2015年高考试题：正弦定理和余弦定理

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考点 16 正弦定理和余弦定理一、选择题1. (2015 ·广东高考文科· T5) 设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a=2,c=2 ,cosA= , 且 b<c, 则 b= ()A.B.2C.2D.3【解题指南】 直接利用 a 2=b 2 +c 2 -2bccosA 即可求得 b 的值 .【分析】选 B 由余弦定理得： a2b2c22bc cos，因此 22b223 ，2 32 b 2 32即 b 2 6b 8 0 ，解得： b2 或 b 4 ，因为 b c ，因此 b 2 ．二、填空题2. (2015 ·广东高考理科· T11) 设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a= ,sinB= ,C= , 则 b =.【解题指南】 可先求出角 B 的大小 , 再利用正弦定理求解 .【分析】 因为 sin B1且 B0, ，因此 B或 B5，又C，因此 B，26666AB2，又 a3 ，由正弦定理得a b即3b解得 b 1.Csin Asin B 23sinsin63答案:13. (2015 ·北京高考理科· T12) 在△ ABC 中 ,a=4,b=5,c=6,则 sin2 A =.sin C【解题指南】 利用二倍角公式睁开sin2A, 再利用正、余弦定理角化边 .sin2 A 2sin Acos A2a b 2 c 2 a 2a(b 2 c 2 a 2 )【分析】2bcsinCsin Ccbc2=4 (526242 )1.562答案:14 .(2015·天津高考理科·T13) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ ABC的面积为 3,b-c=2,cosA=-, 则 a 的值为.【分析】因为 0<A<π , 因此sin A1cos2A15 ，4又SABC 1bc sin A15 bc315,bc24 ，解方程组bc 2得 b 6,c 4 ，由余弦定28bc24理得a2b2c22bc cos A6242 2 64164 因此a=8.4答案:85.(2015·福建高考理科· T12) 若锐角△ ABC的面积为 10, 且 AB=5,AC=8, 则 BC 等于.【解题指南】利用三角形面积公式及余弦定理求解.【分析】 S= × 5× 8sinA=10 ? sinA= , 因为 A 为锐角 , 因此 A=60° , 因此BC 2AB2AC 2 2 AB AC cos6025 64 2 5 8149 ,因此BC=7. 2答案:76.(2015 ·福建高考文科·T14) 若△ ABC中 ,AC= ,A=45 ° ,C=75 °, 则 BC=.【解题指南】利用正弦定理解答本题.【分析】因为 A=45° ,C=75 ° , 因此 B=60° , 由正弦定理可知AC BC3BC sin B sin A sin 60BC2sin 45答案 :7. (2015·北京高考文科·T11) 在△ ABC中 ,a=3,b= 6 ,∠A=2, 则∠ B=. 3【解题指南】利用正弦定理求解, 注意角 B 的范围 .【分析】由正弦定理得36,因此2因为∈),因此B= .2sin B sin B. B (0,342sin3答案 :48．（ 2015·安徽高考文科· T12）在ABC 中，AB 6 ， A75，B45，则 AC。

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。

必修Ⅴ－02 正弦定理和余弦定理的应用举例知识填空：1、三角形中的边角关系：（1）____________A B C ++（2）______c a b c a b +-（3）______________________⇔⇔a>b （4）______________________⇔⇔a=b2、三角形的面积公式：（1）ABC a b c 111 S=ah =bh =ch 222（2）4sin ________ABC abc ab C R ===1 S=2（3）ABC 1 S =(a+b+c) r 2（4）ABC 1 S =p(p-a)(p-b)(p-c) ，p=(a+b+c)23、三角形形状的判断：（1）______________________C ABC ⇔⇔222 a +b =c （2）______________________C ABC ⇔⇔222 a +b <c （3）______________________C ABC ⇔⇐222 a +b >c4、解三角形应用题的基本思路：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________例题分析：例1 ABC ABC 0在中，A=30，a=10，b=15，这样的有几个？例2 ABC ABC 在中，acosA+bcosB=ccosC，则的形状是什么？例3 ABC ABC 0在中，已知 c=23，B=30，b=2，求的面积。

例4 货轮在海上自B 点以40千米每小时的速度沿方位角为1400的方向航行，为了确定船位，货轮在B 点观测灯塔A 的方位角为1100，航行半小时后，货轮到达C 点，观测灯塔A 的方位角为650. 求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n NB ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D.[来 考点：集合运算已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =（A ）(-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 【答案】A 【解析】考点：向量运算3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ）—2－i （B ） －2+i （C ） 2－i （D ）2+i 【答案】C 【解析】试题分析：∴(Z －1）i =1+ i ，∴z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.考点：复数运算4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）120【答案】C 【解析】 试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选 C.[来源:学*科*网Z*X*X*K]考点：古典概型5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B 【解析】考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛（A ）14斛 （B ）【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式7、已知{a n } 是公差为1的等差数列，Sn 为{a n } 的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（ ）（A ） 172 （B ）192 （C ）10 （D ）12【答案】B 【解析】试题分析：∵公差，d=1,S8=4S4，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯， 解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=， 故选B.考点：等差数列通项公式及前n 项和公式8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Zππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Zππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z-+∈（D ）13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C【解析】考点：程序框图10、已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a=-，则(6)f a-=（A）74-（B）54-（C）34-（D）14-【答案】A 【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】B 【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16+ 20π，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 【答案】C【解析】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a=--+，即2()log ()f x x a=--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算二、填空题：本大题共4小题,每小题5分[来源:学|科|网Z|X|X|K] 13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6 【解析】 试题分析：∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n=，∴n=6.考点：等比数列定义与前n 项和公式 14. 已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+， 又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法16. 已知F是双曲线22:18yC x-=的右焦点，P是C 左支上一点，()0,66A，当APF∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126[来源:学科网]【解析】考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c分别是ABC∆内角,,A B C的对边，2sin2sin sinB A C=. （I）若a b=，求cos;B（II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积.试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a cb +=. 故222a c ac +=，得2c a ==. 所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I ）见解析（II ）3+25 【解析】试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ， 因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED. 又AC Ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x ,GB=GD=2x .因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=32x .由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=22x. 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BEx -=醋?=.故x =2从而可得AE=EC=ED=6.所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x yw21()nii x x =-∑21()nii w w =-∑1()()n iii x x y y =--∑1()()ni ii w w y y =--∑46.6 56.36.8289.8 1.6 1469 108.8表中w1 =x 1, ，w =181nii w=∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-【答案】（Ⅰ）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）100.668y x =+（Ⅲ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x =，先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y 关于xy的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年的回归方程先求出年销售量利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN.【答案】（I ）4747,33骣-+琪琪桫（II ）2【解析】试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点，所以2|231|11k k-+<+.解得474733k -+<<. 所以k 的取值范围是4747,33骣-+琪琪桫.（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++()()21212121224(1)OM ONy 1181k k x x y k x x k x x k +?+=++++=++,由题设可得24(1)8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+.故圆心在直线l 上，所以|MN |2=.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x=-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a ≥+.【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a +，即证明了所证不等式.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x ¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，ax -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04ab <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .由于0202=0x a e x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?.[来源:Z_xx_]故当0a >时，2()2lnf x a a a ?.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E.（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是 O 切线； （II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由3OA CE =得，AB=23，设AE=x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=23，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE = ，∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB=60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12 【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4s i n40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯⨯⨯=12.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x ax a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。

1.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4答案：B2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：△ABC 中，a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a ＝34.故选B. 答案：B3. (2013·广西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1 D.34解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.答案：A4．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A2，则三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin B sin C ＝cos 2A2，∴sin B sin C ＝1＋cos A2.∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]． 将cos(B ＋C )＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1. ∴cos (B －C )＝1.又0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π， ∴B －C ＝0.∴B ＝C .故此三角形是等腰三角形．故选D.答案：D5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：由正弦定理得，a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.答案：C6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由余弦定理可知：a cos B ＋b cos A ＝a a 2＋c 2－b 22ac ＋b c 2＋b 2－a 22bc＝c sin C ，于是sinC ＝1，C ＝π2，从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)，解得a ＝b ，∴B ＝45°.故选C.答案：C7．(2013·皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135B.125 C ．3 D.134解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c ＋b c －b2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴cos B ＝3＋c －b 23c＝32，即3＋4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.故选A.答案：A 8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0.所以cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：72＝b 2＋62－12b ×15，解之得：b ＝5，b ＝－135(舍去)．故选D.答案：D9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .所以a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：010．(2012·商丘三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是________．解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以bc ≤16，所以S ＝12bc sinA ≤12×16×sin π3＝4 3. 答案：4 311．(2012－2013·福建厦门六中上学期期中考试)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：sin A sin C ＝BC AB ＝75，而sin A ＝32，可得sin C ＝5314，因为BC >AB ，所以C 为锐角，cos C ＝1－sin 2C ＝1114，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3314， 所以sin B sin C ＝35.答案：3512．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解析：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取得最大值3.13．(2013·揭阳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解析：(1)由c sin A ＝3a cos C ，结合正弦定理得，a sin A ＝c 3cos C ＝csin C ，∴sin C ＝3cos C ，即tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，∴3sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝3sin A －cos B ＝3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A －cos 2π3cos A －sin 2π3sin A ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，当A ＋π6＝π2时，3sin A －sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2取得最大值1，此时A ＝π3，B ＝π3.14．(2013·广州一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(其中x ∈R ，A ＞0，ω＞0)的最大值为2，最小正周期为8.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos∠POQ 的值．解析：(1)因为函数f (x )的最大值是2，所以A ＝2；它的最小正周期是8，ω＝π4，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)因为f (2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝2cos π4＝2， f (4)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－2sin π4＝－2， 所以P (2，2)，Q (4，－2)．所以|OP |＝6，|PQ |＝23，|OQ |＝3 2.所以cos∠POQ ＝|OP |2＋|OQ |2－|PQ |22|OP ||OQ |＝62＋22－32 26×32＝3 3.。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

正弦定理与余弦定理2015广东卷文–5【原题】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）A ．B ．2C ．D ．3 【答案】B【考点定位】余弦定理．试题揭秘： 【试题解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯ 2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．【命题意图】本题考查余弦定理、一元二次方程等基础知识，意在考查学生基本运算能力和逻辑推理能力．【方法、技巧、规律】已知两边和它们的夹角，可以利用余弦定理求出第三边，已知两边和其中一边的对角，可以利用正弦定理求出另一条边的对角.【探源、变式、扩展】利用正弦定理求角时，可能有两解的情况，此时要注意检验两解是否符合题意，否则很容易出现错误．【变式】【2015广东高考改编】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，则b = ． 【答案】2或4试题精粹：1．【2015北京期末】已知a ，b ，c 分别是C ∆AB 三个内角A ，B ，C 的对边，b =，c =6πB =，那么a 等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1或4 【答案】C2．【2015天津质检】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A =B ，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D3．【2015陕西联考】在C ∆AB 中，已知30∠A =，AB =，C 1B =，则C A 的长为（ ） A ．2 B ．1 C ．2或1 D ．4 【答案】C4．【2015浙江联考】C ∆AB 中，7b =，3c =，60B =，则a =（ ）A ．5B ．6C ．D ．8 【答案】D5．【2015西藏月考】已知C ∆AB 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2B =A ，1a =，b =c =（ ）A ．B ．2C ．D ．1 【答案】B6．【2015北京二模】在C ∆AB 中，若a =b =，56π∠B =，则边c =__________． 【答案】17．【2015山东二模】已知C ∆AB 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且1a =，b =，6πA =，则c = .【答案】1或28．【2015江苏期中】C ∆AB 中，3πA =，3AB =，C 8A =，则C B = .【答案】79．【2015山东模拟】在C ∆AB 中，若1b =，c =2C 3π∠=，则a = . 【答案】110．【2015四川一诊】在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c a =，4b =，1cos 4B =，则边c 的长度为__________． 【答案】4。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，理1，5分】i 为虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限，故选B ．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）cos y x = （B ）sin y x = （C ）ln y x = （D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，B 、C 项均不是偶函数，故排除B 、C ，A 、D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D项不存在零点，故选A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．（3）【2015年安徽，理3，5分】设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． （4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项渐近线方程为2214y x -=，即2y x =±，故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． （5）【2015年安徽，理5，5分】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选D ．【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． （6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为DX ，则8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯，所以其标准差为226416⨯=，故选C ． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 （7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）22 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选B ． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．（8）【2015年安徽，理8，5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =， 2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意，()22BC AC AB a b a b =-=+-=，故2b =，故A 错误，222a a ==，所以1a =，又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=，所以1a b ⋅=-，故B ，C 错误；设BC 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，所以()4a b BC +⊥，故选D ．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．（9）【2015年安徽，理9，5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知，x c ≠-，0c ->；当0x =时，()200bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=， 所以0bx a=->，所以0a <．故0a <，0b >，0c <，故选C ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及()0f 的符号是解决本题的关键．（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意，()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>，22T πππωω===，所以2ω=，则()()sin f x x ωϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+时，()f x 取得最大值．要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与6π比较近，-2与56π-比较近，所以当0k =时，6x π=，此时00.526π-=，2 1.476π-=，当1k =-时，56x π=-，此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f <-<，故选A ．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，理11，5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 （用数字填写答案）．【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 ．【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即()22416x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆心的半径为r ，则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 ． 【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， 171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a ，n 的值是解题的关键，属于基础题． （14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列，249a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ． 【答案】21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩，解得11a =，48a =或者18a =，41a =，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列{}n a 的前n 项和求法，基本知识的考查．（15）【2015年安徽，理15，5分】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 __．①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==． 【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++，求导得()23f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以()3f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则()()()233311f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大，()()11320f x f b b ==-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2015年安徽，理16，12分】在ABC ∆中，4A π=，6AB =，AC =D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．解：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=，所以a =．又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===， 由题设知04B π<<，所以cos B = 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． （17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==．（2）χ的可能取值为200，300，400，22251(200)10A P A χ===；31123232353(300)10A C C A P A χ+===； 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=． 故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． （18）【2015年安徽，理18，12分】设*n N ∈，n x 是曲线231n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥． 解：（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-，令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++． （2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==， 当1n =时，114T =；当2n ≥时，因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==； 所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F ．（1）证明：11//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --余弦值．解：（1）由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ， 又1B C ⊂面11B CD ，面1A DE面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ，而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1．设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =，而该面上向量()10.5,0.5,0A E =，()10,1,1A D =-，由11n A E ⊥，11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，()1,1,1-为其一组解，所以可取()11,1,1n =-，设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量()110.5,0.5,0A B =，()10,1,1A D =-，由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，、故255c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y bb +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+，又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k =-，从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数2()f x x ax b =-+．（1）讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24az b =-满足1D ≤时的最大值．解：（1）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<，[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<，因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<，①2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值； ②2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③对于22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π≤<时，函数(sin )f x 单调递增．因此22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．（2）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-．（3）1D ≤即为||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a zb =-≤．取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=，由此可知，24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。

第六节 正弦定理和余弦定理时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析 利用a sin A ＝bsin B 代入计算即可． 答案 B2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析 ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2. cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，∴C 为钝角． 答案 C3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43. 答案 A4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析 23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，所以cos 2A ＝125，因为A 是锐角，所以cos A ＝15，由余弦定理得49＝36＋b 2－2×6b ×cos A ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)，故选D.答案 D5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析 由正弦定理得c sin C ＝bsin B ⇒c ＝2×2212＝22，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(π6＋π4)＝6＋24，所以三角形面积为S ＝12bc sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1，故选B.答案 B6．(2014·湖南五市十校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋b c 的值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析 (cos A ＋sin A )(cos B ＋sin B )＝2，cos A cos B ＋cos A sin B ＋sin A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，cos(A －B )＋sin C ＝2.所以cos(A －B )＝1，sin C ＝1，所以A －B ＝0且C ＝90°，所以A ＝B ＝45°，该三角形为等腰直角三角形，所以a ＋bc ＝ 2.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 解析 由余弦定理可得cos B ＝22＋c 2－b 22×2c ＝－14，又b ＋c ＝7，从而cos B ＝22＋(7－b )2－b 22×2×(7－b )，化简得15b ＝60，解得b ＝4.答案 48．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝ab ，则a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又C 是三角形的内角，所以C ＝2π3.答案 2π39．(2013·福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD ) ＝cos ∠BAD ＝223，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝18＋9－2×92×223＝3.∴BD ＝ 3. 答案3三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 又角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3. (2)由正弦定理，得bc ＝a 2， 又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc . ∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．11．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ)求c 的值．解 (Ⅰ)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A ＝5.12．(2014·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ， ∴sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2.由sin C 2≠0，得2cos C 2＋1＝2sin C 2， ∴sin C 2－cos C 2＝12.两边平方，得1－sin C ＝14，∴sin C ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2， 即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得(a －2)2＋(b －2)2＝0， 得a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.。

课时限时检测(二十三) 正弦定理和余弦定理(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．1【解析】 由a cos A ＝b sin B 得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 【答案】 D2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【解析】 由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则cos A ≥12.因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3.【答案】 C3．若△ABC 中，6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516D.1116【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝32a，c＝2a.所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋(2a)2－⎝⎛⎭⎪⎫32a22a×(2a)＝1116.【答案】 D4．(2013·课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1【解析】∵B＝π6，C＝π4，∴A＝π－B－C＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理bsin B＝csin C，得2sinπ6＝csinπ4，即212＝c22，∴c＝2 2.∴S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22sin7π12＝3＋1.故选B.【答案】 B5．(2014·潍坊模拟)在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若cos A cos B＝ba，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解析】法一∵cos Acos B＝ba＝sin Bsin A，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二 ∵cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac ＝ba ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)． ∴a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4. 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.即△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【答案】 C6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5【解析】 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋ 36－2×b ×6×15， ∴b ＝5或b ＝－135. 又∵b ＞0，∴b ＝5. 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．【解析】 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ， 即sin B ＝b sin A a ＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6. ∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2. 【答案】 π28．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.【解析】 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3. 【答案】 2π39．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12， 又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3.(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc . ∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．11．(12分)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．【解】 (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为： a 2＋b 2－c 2＝ab ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332， ∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.12．(13分)(2013·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．【解】 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A＝3c sin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝23，可得b＝ 6.(2)由cos B＝23，得sin B＝53，进而得cos 2B＝2cos2B－1＝－1 9，sin 2B＝2sin B cos B＝45 9，所以sin(2B－π3)＝sin 2B cosπ3－cos 2B sinπ3＝45＋318.。