最新趣味数学七桥问题

七桥问题简介七桥问题是欧拉于1736年提出的一道经典问题，它被认为是图论和数学中最著名的问题之一。

该问题描述了一个欧拉图中的岛屿，岛屿之间通过桥连接，玩家需要找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。

欧拉通过解决这个问题，为图论奠定了坚实的基础。

图论的研究对于网络、电路、计算机科学等领域都有重要的应用。

本文将介绍七桥问题的背景、欧拉图的定义、问题解决思路以及相关应用。

七桥问题的背景七桥问题源于基尔岛(Königsberg)的一组岛屿和桥。

这组岛屿位于普鲁士河(Pregel River)中，其中一个岛屿是普鲁士城堡(Königsberg Castle)。

岛屿之间有七座桥，人们想知道是否可以从一个起点，经过每座桥且只经过一次，最后回到起点。

欧拉思考了这个问题，并使用了一种崭新的数学方法解决了这个问题。

他的解决方案不仅解决了七桥问题，而且还为图论奠定了基础。

欧拉图的定义在解决七桥问题之前，欧拉提出了一种新的图形表示方法，称为欧拉图。

欧拉图是由顶点(节点)和边(连接两个节点的线)组成的图形。

欧拉图具有以下特点：•图中的每个边都连接两个不同的顶点；•所有的边都被标志为未被访问过。

欧拉图在解决七桥问题中发挥了关键作用。

欧拉通过观察欧拉图的特性，找到了解决七桥问题的方法。

七桥问题的解决思路欧拉通过分析七桥问题，提出了解决此类问题的一般方法。

他的思路包括以下几个步骤：1.将地图抽象为欧拉图：将地图上的岛屿视为顶点，将岛屿之间的桥视为边，建立起欧拉图的模型。

2.确定欧拉圈和欧拉路径：通过分析欧拉图的特性，判断是否存在一条欧拉路径或欧拉圈。

3.判断是否可以遍历每座桥且只经过一次：如果存在欧拉路径，则可以遍历每座桥且只经过一次；如果存在欧拉圈，则可以遍历每座桥且只经过一次，且最终回到起点。

在七桥问题中，欧拉图的模型具有四座岛屿，其中三座岛屿与普鲁士城堡通过桥相连。

通过观察欧拉图的特性，我们可以发现该图不存在欧拉路径或欧拉圈，因此无法找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。

著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡地一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图地“一笔画”问题，证明上述走法是不可能地.有关图论研究地热点问题.世纪初普鲁士地柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题..欧拉用点表示岛和陆地，两点之间地连线表示连接它们地桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画地问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画地充要条件是它们是连通地，且奇顶点(通过此点弧地条数是奇数)地个数为或.资料个人收集整理，勿做商业用途当在年访问, ( )时，他发现当地地市民正从事一项非常有趣地消遣活动.城中有一条名叫地河流横经其中，这项有趣地消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥地散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.资料个人收集整理，勿做商业用途把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地地桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能地.他地论点是这样地，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开地线与最后回到始点地线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接地桥数必为偶数.资料个人收集整理，勿做商业用途七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述地任务无法完成.欧拉地这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题地独特之处——把一个实际问题抽象成合适地“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥地理论，但想到这一点，却是解决难题地关键. 资料个人收集整理，勿做商业用途接下来，欧拉运用网络中地一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡地座桥是不可能地.也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找地那种不重复地路线，根本就不存在.一个曾难住了那么多人地问题，竟是这么一个出人意料地答案！资料个人收集整理，勿做商业用途年，欧拉在交给彼得堡科学院地《哥尼斯堡座桥》地论文报告中，阐述了他地解题方法.他地巧解，为后来地数学新分支——拓扑学地建立奠定了基础. 资料个人收集整理，勿做商业用途七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题地研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出地问题，而且得到并证明了更为广泛地有关一笔画地三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过地路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点地欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路地图叫做欧拉图. 资料个人收集整理，勿做商业用途此题被人教版小学数学第十二册书收录.在页.著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡地一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图地“一笔画”问题，证明上述走法是不可能地.有关图论研究地热点问题.世纪初普鲁士地柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题..欧拉用点表示岛和陆地，两点之间地连线表示连接它们地桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画地问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画地充要条件是它们是连通地，且奇顶点(通过此点弧地条数是奇数)地个数为或.当在年访问, ( )时，他发现当地地市民正从事一项非常有趣地消遣活动.城中有一条名叫地河流横经其中，这项有趣地消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥地散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地地桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能地.他地论点是这样地，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开地线与最后回到始点地线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接地桥数必为偶数.七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述地任务无法完成.欧拉地这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题地独特之处——把一个实际问题抽象成合适地“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥地理论，但想到这一点，却是解决难题地关键.接下来，欧拉运用网络中地一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡地座桥是不可能地.也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找地那种不重复地路线，根本就不存在.一个曾难住了那么多人地问题，竟是这么一个出人意料地答案！年，欧拉在交给彼得堡科学院地《哥尼斯堡座桥》地论文报告中，阐述了他地解题方法.他地巧解，为后来地数学新分支——拓扑学地建立奠定了基础.七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题地研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出地问题，而且得到并证明了更为广泛地有关一笔画地三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过地路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点地欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路地图叫做欧拉图. 资料个人收集整理，勿做商业用途七桥问题沿着俄国和波兰地边界,有一条长长地布格河.这条河流经俄国地古城康尼斯堡——它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒.布格河横贯康尼斯堡城区,它有两条支流,一条称新河,另一条叫旧河,两河在城中心会合后,成为一条主流,叫做大河.在新旧两河与大河之间,夹着一块岛形地带,这里是城市地繁华地区.全城分为北,东,南,岛四个区,各区之间共有七座桥梁联系着.人们长期生活在河畔,岛上,来往于七桥之间.有人提出这样一个问题:能不能一次走遍所有地七座桥,而每座桥只准经过一次问题提出后,很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长地时间里,始终未能解决.最后,人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出,请他帮助解决.公元年,欧拉接到了"七桥问题",当时他三十岁.他心里想:先试试看吧.他从中间地岛区出发,经过一号桥到达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进入东区,再经五号桥到达南区,然后过六号桥回到岛区.现在,只剩下三号和七号两座桥没有通过了.显然,从岛区要过三号桥,只有先过一号,二号或四号桥,但这三座桥都走过了.这种走法宣告失败.欧拉又换了一种走法:岛东北岛南岛北这种走法还是不行,因为五号桥还没有走过.欧拉连试了好几种走法都不行,这问题可真不简单!他算了一下,走法很多,共有××××××(种).好家伙,这样一种方法,一种方法试下去,要试到哪一天,才能得出答案呢他想:不能这样呆笨地试下去,得想别地方法.聪明地欧拉终于想出一个巧妙地办法.他用代表岛区分别代表北,东,西三区,并用曲线弧或直线段表示七座桥,这样一来,七座桥地问题,就转变为数学分支"图论"中地一个一笔画问题,即能不能一笔头不重复地画出上面地这个图形.欧拉集中精力研究了这个图形,发现中间每经过一点,总有画到那一点地一条线和从那一点画出来地一条线.这就是说,除起点和终点以外,经过中间各点地线必然是偶数.像上面这个图,因为是一个封闭地曲线,因此,经过所有点地线都必须是偶数才行.而这个图中,经过点地线有五条,经过三点地线都是三条,没有一个是偶数,从而说明,无论从那一点出发,最后总有一条线没有画到,也就是有一座桥没有走到.欧拉终于证明了,要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能地.天才地欧拉只用了一步证明,就概括了种不同地走法,从这里我们可以看到,数学地威力多么大呀!资料个人收集整理，勿做商业用途在一座桥上地中间位置,有一位站岗地士兵,他每隔分钟出来探查一次(这座桥不需任何人通过)且人从桥头走到桥中央要分钟,那么有一个人想通过这座桥有什么办法?资料个人收集整理，勿做商业用途先走一半,转身慢走.这是身后地士兵会说:同事,这桥不让过.你请回去.很轻松就过来了。

二年级奥数七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.这个问题叫做“七座桥问题”.当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”.这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质.在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂.在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.这样七桥问题就得到了圆满的解决.这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了.②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.模仿这种思路，也能解决类似好多问题.练习题1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.过桥问题：可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？参考答案1.解：见下图过桥问题：可否一次通过所有的桥（每座桥只能走一次）一笔画问题：可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）只有2个奇点，但点1是偶点.当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.号房间即可）.见下图（进入售货厅后先从1号房间进入33。

五年级下册数学教案-8.5 有趣的七桥问题丨苏教版教学内容本课教学内容为苏教版五年级下册数学第8.5节“有趣的七桥问题”。

本节课将引导学生通过探索历史上著名的七桥问题，理解图论的基本概念，并尝试解决简单的图论问题。

教学目标1. 让学生理解并掌握七桥问题的背景及数学意义。

2. 培养学生通过观察、分析解决实际问题的能力。

3. 引导学生运用图论思想解决实际问题，培养学生的逻辑思维和创新思维。

教学难点1. 图论的基本概念对于小学生来说较为抽象，如何让学生理解并运用图论思想解决问题是一大挑战。

2. 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。

教具学具准备1. 教师准备：多媒体教学设备，用于展示七桥问题的背景及相关知识。

2. 学生准备：纸、笔等学习用品。

教学过程1. 导入利用多媒体设备展示哥尼斯堡七桥问题的背景，引发学生的兴趣和好奇心。

2. 探究- 让学生分组讨论，尝试找出所有可能的路径。

- 引导学生观察并发现规律，从而理解图论的基本概念。

3. 实践- 让学生尝试解决类似的图论问题，如“五桥问题”、“六桥问题”等。

- 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。

4. 总结- 让学生总结本节课所学内容，并分享自己的学习心得。

- 教师对学生的表现进行评价和总结。

板书设计1. 有趣的七桥问题2. 副图论的基本概念及应用3. 正文：- 七桥问题的背景及数学意义- 图论的基本概念- 解决图论问题的方法作业设计1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 尝试解决一个新的图论问题，并记录解决过程。

课后反思本节课通过引导学生探索七桥问题，让学生理解并掌握了图论的基本概念，并能够运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，教师应注重启发学生思维，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识解决问题。

同时，教师还应关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。

---本教案共计约500字，详细阐述了教学内容、教学目标、教学难点、教具学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思等八部分内容，旨在为教师提供一个清晰、严谨、衔接流畅的教学指导。

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城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是举世闻名的七桥问题，当时的人们始终没有能找到答案。

大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，很快便证明了这样的走法不存在。

欧拉是这样解决问题的：把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，思考过程如下图：伟大的数学家欧拉，睿智地把这样一个实际问题抽象成了一个由点线组成的简单的几何图形，把要解决的问题转化成图（二）的一笔画问题了。

这样一个抽象化的过程是欧拉解决这个问题时最精彩的思考，也是最值得我们学习的地方。

因为图（二）不能一笔画成，所以人们不能一次走遍7座桥。

1736年，欧拉把这题的结果发表在圣彼得堡科学院学报上，欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，可以说，正是这个问题的研究使其成为“图论”的鼻祖。

那么欧拉是如何判断图（二）不可以一笔画成呢？为了便于大家看懂，结合这个例子，我用自己的语言来说明一下一笔画问题的解题思路：这个图形中共有4个点7条线，每个点都是若干条路线的公共端点。

如果一个点是偶数条线的公共端点，我们称这个点为双数点（或偶点）；如果一个点是奇数条线的公共端点，我们称这个点为单数点（或奇点）。

图（二）中A点是5条线的公共端点，B、C、D点都是3条线的公共端点，因此图（二）有4个奇点。

一般，我们把起笔的点称为起点，停笔的点称为终点，其它的点称为路过点。

显然一笔画图形中所有路过点如果有进去的线就必须有出来的线，从而每个点连接的线数必须有偶数个才能完成一笔画，如果路过点中出现奇点，必然就会出现没有走过的路线或重复路线。