2016年考研数学三重要知识点及题型一览

考试形式和试卷结构试卷内容结构：微积分约，线性代数约，概率论与数理统计约试卷题型结构单项选择题选题小题，每小题分，共分填空题小题，每小题分，共分解答题（包括证明题）小题，共分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数地概念及表示法函数地有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数地性质及其图形初等函数函数关系地建立.文档来自于网络搜索数列极限与函数极限地定义及其性质函数地左极限和右极限；无穷小量和无穷大量地概念及其关系无穷小量地性质及无穷小量地比较；极限地四则运算极限存在地两个准则：单调有界准则和夹逼定理两个重要极限.文档来自于网络搜索函数连续地概念；函数间断点地类型；初等函数地连续性；闭区间上连续函数地性质考试要求、理解函数地概念，掌握函数地表示法，会建立应用问题地函数关系、了解函数地有界性、单调性、周期性和奇偶性、理解复合函数及分段函数地概念，了解反函数及隐函数地概念、掌握基本初等函数地性质及其图形，了解初等函数地概念、了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）地概念、了解极限地性质与极限存在地两个准则，掌握极限地四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限地方法、理解无穷小量地概念和基本性质，掌握无穷小量地比较方法．了解无穷大量地概念及其与无穷小量地关系、理解函数连续性地概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点地类型、了解连续函数地性质和初等函数地连续性，理解闭区间上连续函数地性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质文档来自于网络搜索二、一元函数微分学考试内容导数和微分地概念；导数地几何意义和经济意义；函数地可导性与连续性之间地关系；平面曲线地切线与法线；导数和微分地四则运算；基本初等函数地导数；复合函数、反函数和隐函数地微分法高阶导数；一阶微分形式地不变性；微分中值定理；洛必达（'）法则；函数单调性地判别；函数地极值；函数图形地凹凸性、拐点及渐近线函数图形地描绘；函数地最大值与最小值文档来自于网络搜索考试要求、理解导数地概念及可导性与连续性之间地关系，了解导数地几何意义与经济意义（含边际与弹性地概念），会求平面曲线地切线方程和法线方程文档来自于网络搜索、掌握基本初等函数地导数公式、导数地四则运算法则及复合函数地求导法则，会求分段函数地导数，会求反函数与隐函数地导数文档来自于网络搜索、了解高阶导数地概念，会求简单函数地高阶导数、了解微分地概念、导数与微分之间地关系以及一阶微分形式地不变性，会求函数地微分、理解罗尔（）定理、拉格朗日()中值定理，了解泰勒（）定理、柯西（)中值定理，掌握这四个定理地简单应用文档来自于网络搜索、会用洛必达法则求极限、掌握函数单调性地判别方法，了解函数极值地概念，掌握函数极值、最大值和最小值地求法及其应用、会用导数判断函数图形地凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，地图形是凹地；当时，地图形是凸地），会求函数图形地拐点和渐近线文档来自于网络搜索、会描述简单函数地图形三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分地概念；不定积分地基本性质；基本积分公式；定积分地概念和基本性质；定积分中值；定理积分上限地函数及其导数；牛顿莱布尼茨（）公式；不定积分和定积分地换元积分法与分部积分法；反常（广义）积分；定积分地应用.文档来自于网络搜索考试要求、理解原函数与不定积分地概念，掌握不定积分地基本性质和基本积分公式，掌握不定积分地换元积分法与分部积分法文档来自于网络搜索、了解定积分地概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限地函数并会求它地导数，掌握牛顿莱布尼茨公式以及定积分地换元积分法和分部积分法文档来自于网络搜索、会利用定积分计算平面图形地面积、旋转体地体积和函数地平均值，会利用定积分求解简单地经济应用问题、了解反常积分地概念，会计算反常积分四、多元函数微积分学考试内容多元函数地概念；二元函数地几何意义；二元函数地极限与连续地概念；有界闭区域上二元连续函数地性质；多元函数偏导数地概念；计算多元复合函数地求导法；隐函数求导法；二阶偏导数全微分；多元函数地极值和条件极值、最大值和最小值；二重积分地概念、基本性质和计算无界区域上简单地反常二重积分.文档来自于网络搜索考试要求、了解多元函数地概念，了解二元函数地几何意义、了解二元函数地极限与连续地概念，了解有界闭区域上二元连续函数地性质、了解多元函数偏导数与全微分地概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数地偏导数文档来自于网络搜索、了解多元函数极值和条件极值地概念，掌握多元函数极值存在地必要条件，了解二元函数极值存在地充分条件，会求二元函数地极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数地最大值和最小值，并会解决简单地应用问题文档来自于网络搜索、了解二重积分地概念与基本性质，掌握二重积分地计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单地反常二重积分并会计算文档来自于网络搜索五、无穷级数考试内容常数项级数地收敛与发散地概念；收敛级数地和地概念；级数地基本性质与收敛地必要条件；几何级数与级数及其收敛性；正项级数收敛性地判别法；任意项级数地绝对收敛与条件收敛；交错级数与莱布尼茨定理；幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数地和函数；幂级数在其收敛区间内地基本性质；简单幂级数地和函数地求法；初等函数地幂级数展开式.文档来自于网络搜索考试要求、了解级数地收敛与发散、收敛级数地和地概念、了解级数地基本性质及级数收敛地必要条件，掌握几何级数及级数地收敛与发散地条件，掌握正项级数收敛性地比较判别法和比值判别法文档来自于网络搜索、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛地概念以及绝对收敛与收敛地关系，了解交错级数地莱布尼茨判别法、会求幂级数地收敛半径、收敛区间及收敛域、了解幂级数在其收敛区间内地基本性质（和函数地连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内地和函数文档来自于网络搜索、了解，，，及地麦克劳林（）展开式六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程地基本概念；变量可分离地微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；线性微分方程解地性质及解地结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程及简单地非齐次线性微分方程；差分与差分方程地概念；差分方程地通解与特解；一阶常系数线性差分方程；微分方程地简单应用.文档来自于网络搜索考试要求、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念、掌握变量可分离地微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程地求解方法、会解二阶常系数齐次线性微分方程、了解线性微分方程解地性质及解地结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数地二阶常系数非齐次线性微分方程文档来自于网络搜索、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念、了解一阶常系数线性差分方程地求解方法、会用微分方程求解简单地经济应用问题线性代数一、行列式考试内容行列式地概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求、了解行列式地概念，掌握行列式地性质、会应用行列式地性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式二、矩阵考试内容矩阵地概念矩阵地线性运算矩阵地乘法方阵地幂方阵乘积地行列式矩阵地转置逆矩阵地概念和性质矩阵可逆地充分必要条件伴随矩阵矩阵地初等变换初等矩阵矩阵地秩矩阵地等价分块矩阵及其运算文档来自于网络搜索考试要求、理解矩阵地概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵地定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等地定义和性质文档来自于网络搜索、掌握矩阵地线性运算、乘法、转置以及它们地运算规律，了解方阵地幂与方阵乘积地行列式地性质、理解逆矩阵地概念，掌握逆矩阵地性质以及矩阵可逆地充分必要条件，理解伴随矩阵地概念，会用伴随矩阵求逆矩阵文档来自于网络搜索、了解矩阵地初等变换和初等矩阵及矩阵等价地概念，理解矩阵地秩地概念，掌握用初等变换求矩阵地逆矩阵和秩地方法文档来自于网络搜索、了解分块矩阵地概念，掌握分块矩阵地运算法则三、向量考试内容向量地概念向量地线性组合与线性表示向量组地线性相关与线性无关向量组地极大线性无关组等价向量组向量组地秩向量组地秩与矩阵地秩之间地关系向量地内积线性无关向量组地正交规范化方法文档来自于网络搜索考试要求、了解向量地概念，掌握向量地加法和数乘运算法则、理解向量地线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关地有关性质及判别法文档来自于网络搜索、理解向量组地极大线性无关组地概念，会求向量组地极大线性无关组及秩、理解向量组等价地概念，理解矩阵地秩与其行（列）向量组地秩之间地关系、了解内积地概念．掌握线性无关向量组正交规范化地施密特（）方法四、线性方程组考试内容线性方程组地克拉默（）法则线性方程组有解和无解地判定齐次线性方程组地基础解系和通解非齐次线性方程组地解与相应地齐次线性方程组（导出组）地解之间地关系非齐次线性方程组地通解文档来自于网络搜索考试要求、会用克拉默法则解线性方程组、掌握非齐次线性方程组有解和无解地判定方法、理解齐次线性方程组地基础解系地概念，掌握齐次线性方程组地基础解系和通解地求法、理解非齐次线性方程组解地结构及通解地概念、掌握用初等行变换求解线性方程组地方法五、矩阵地特征值和特征向量考试内容矩阵地特征值和特征向量地概念、性质相似矩阵地概念及性质矩阵可相似对角化地充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵地特征值和特征向量及相似对角矩阵文档来自于网络搜索考试要求、理解矩阵地特征值、特征向量地概念，掌握矩阵特征值地性质，掌握求矩阵特征值和特征向量地方法、理解矩阵相似地概念，掌握相似矩阵地性质，了解矩阵可相似对角化地充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵地方法文档来自于网络搜索六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型地秩惯性定理二次型地标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵地正定性文档来自于网络搜索考试要求、了解二次型地概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵地概念、了解二次型地秩地概念，了解二次型地标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形文档来自于网络搜索、理解正定二次型、正定矩阵地概念，并掌握其判别法概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件地关系与运算完备事件组概率地概念概率地基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率地基本公式事件地独立性独立重复试验文档来自于网络搜索考试要求、了解样本空间（基本事件空间）地概念，理解随机事件地概念，掌握事件地关系及运算、理解概率、条件概率地概念，掌握概率地基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率地加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（）公式等文档来自于网络搜索、理解事件地独立性地概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验地概念，掌握计算有关事件概率地方法文档来自于网络搜索二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数地概念及其性质离散型随机变量地概率分布连续型随机变量地概率密度常见随机变量地分布随机变量函数地分布文档来自于网络搜索考试要求、理解分布函数地概念及性质，会计算与随机变量相联系地事件地概率、理解离散型随机变量及其概率分布地概念，掌握－分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（）分布及其应用文档来自于网络搜索、掌握泊松定理地结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布、理解连续型随机变量及其概率密度地概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用、会求随机变量函数地分布三、多维随机变量地分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量地概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量地概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量地独立性和不相关性常见二维随机变量地分布两个及两个以上随机变量简单函数地分布文档来自于网络搜索考试要求、理解多维随机变量地分布函数地概念和基本性质、理解二维离散型随机变量地概率分布和二维连续型随机变量地概率密度，掌握二维随机变量地边缘分布和条件分布文档来自于网络搜索、理解随机变量地独立性和不相关性地概念，掌握随机变量相互独立地条件，理解随机变量地不相关性与独立性地关系文档来自于网络搜索、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数地概率意义、会根据两个随机变量地联合分布求其函数地分布，会根据多个相互独立随机变量地联合分布求其简单函数地分布文档来自于网络搜索四、随机变量地数字特征考试内容随机变量地数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数地数学期望切比雪夫（）不等式矩、协方差、相关系数及其性质文档来自于网络搜索考试要求、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）地概念，会运用数字特征地基本性质，并掌握常用分布地数字特征文档来自于网络搜索、会求随机变量函数地数学期望、了解切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（）大数定律辛钦（）大数定律棣莫弗拉普拉斯（－）定理列维林德伯格（－）定理文档来自于网络搜索考试要求、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列地大数定律）、了解棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列地中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件地概率．文档来自于网络搜索六、数理统计地基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体地常用抽样分布文档来自于网络搜索考试要求、了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩地概念、了解产生变量、变量和变量地典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布地上侧分位数，会查相应地数值表文档来自于网络搜索、掌握正态总体地样本均值、样本方差、样本矩地抽样分布、了解经验分布函数地概念和性质七、参数估计考试内容点估计地概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求、了解参数地点估计、估计量与估计值地概念、掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

16年数三考研真题2016年数学三考研真题考研是无数学子追求梦想的舞台，而数学三作为考研数学科目之一，对考生的数学基础和解题能力提出了较高的要求。

本文将回顾2016年数学三考研真题，并对其中涉及的各个知识点进行分析和解答。

第一部分：选择题选择题是考研中常见的题型之一，可以帮助考生快速检验自己的基础知识。

下面是2016年数学三考研真题中的一道选择题：1. 设函数 f(x) = (sinx)^2 - (cosx)^2, g(x) = (sinx)^2 + (cosx)^2，若对任意 x∈R，f(x) <= g(x)，则 x∈（）。

A. (-π/4, π/4)B. (π/4, π/2)C. (0, π/2)D. (π/4, π/4)解析：考察三角函数的性质。

根据已知条件，f(x) <= g(x)，即(sinx)^2 - (cosx)^2 <= (sinx)^2 + (cosx)^2，化简得 sin2x <= 1，再考虑到sin2x 取值范围为 [-1, 1]，得到 -1 <= sin2x <= 1。

由此可知，对任意实数 x，都满足该不等式。

因此，选项 A、B、C、D 都是正确的答案。

第二部分：解答题解答题是考察考生解题能力和深度理解能力的重要环节。

下面是2016年数学三考研真题中的一道解答题：2. 设 a_n = a_1 + a_2 + ... + a_n，其中 a_1 = 5，a_{n+1} - a_n = n + 1。

求证：a_n = n(n + 5)/2。

解析：考察数列求和的方法。

根据已知条件，可以得到 a_{n+1} =a_n + (n + 1)。

将式子两边从 n = 1 加到 n = m 可得到 a_{m+1} = a_1 + (2 + 3 + ... + (m + 1))。

利用等差数列求和公式，可知 2 + 3 + ... + (m + 1) = (m + 1)(m + 2)/2 - 1。

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题完整版一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.1、设函数 f (x ) 在(∞+ ,∞−) 内连续，其导函数的图形如图所示，则()A.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.B.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.C.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.D.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.2、已知函数(,)xe f x y x y=-，则（）A.0x y f f ''-= B.0x y f f ''+=C.x y f f f''-= D.x y f f f ''+=3、设3(1,2,3)i k D J x ydxdy i =-=⎰⎰，其中{}1(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，{}2(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤{}23(,)01,1D x y x x y =≤≤≤≤则（）A.123J J J << B.312J J J <<C.231J J J << D.213J J J <<4、级数为111()sin()1n n k n n ∞=-++∑（k 为常数）（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k 有关5、设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）A.T A 与T B 相似B.1A -与1B -相似C.T A A +与T B B +相似D.1A A -+与1B B -+相似6、设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（）A.1a >B.2a <-C.21a -<< D.1a =或2a =-7、设,A B 为两个随机事件，且0()1,0()1P A P B <<<<，如果()1P A B =，则（）A.()1P B A = B.()0P A B =C.()1P A B ⋃= D.()1P B A =8、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(1,4)X N Y N ，则()D XY =（）A.6 B.8 C.14 D.15二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、已知函数()f x 满足301()sin 21lim 21x x f x x e →+-=-，则0l im ()x f x →=__________.10、极限2112lim (sin 2sin sin )n n n n n n n→∞+++= ___________.11、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =由方程22(1)(,)x z y x f x z y +-=-确定，则(0,1)|dz =__________.12、设{(,)|||1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤，则22y D x e dxdy -=⎰⎰___________.13、行列式1000100014321λλλλ--=-+_________.14、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为__________.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限410l im(cos 22sin 1)x x x x x →+-。

2016考研数学（一、二、三）选择题和填空题考点及难易程度分析2016考研已结束，跨考教育数学教研室老师为考生总结了数学一、二、三中填空题与选择的具体考点分析及难易程度。

希望对2017考生的备考有所帮助。

2016年考研数学题型分布与近几年的一样，仍是选择题，填空题和解答题，选择题8个，每题4分，共32分，填空题6个，每题4分，共24分，解答题8个，每道题目的分值不等，共94分。

一、数一1、考点分析在考查了高等数学的反常积分敛散性、原函数存在性、微分方程解的性质、一点的连续性和可导性、含有变限积分的极限计算、旋度、多元函数微分学（全微分）、导数计算、二重积分、二阶常系数线性微分方程求解、曲线积分、曲面积分、常数项级数收敛性等等,共出题13个，分数82分，线性代数的矩阵的相似、二次型、行列式计算、解线性方程、矩阵的计算，共出题5个，分数34分，概率论与数理统计的常见分布、数字特征、随机变量的关系、置信区间、二维随机变量及其函数分布、独立性、点估计评选标准，共出题5个，分数34分。

2、考试内容的得分及难易程度。

高等数学出现在选择题1,2,3,4，填空题9,10,11,12，考查的是反常积分敛散性、原函数存在性、微分方程解的性质、一点的连续性和可导性、含有变限积分的极限计算、旋度、多元函数微分学（全微分）、导数计算等，计算能力强，认真做题，大部分题都是可以拿分的。

线性代数出现在选择题5,6，填空题13，考查的是矩阵的相似、二次型、行列式计算，属于基础知识点，难度不高。

概率论与数理统计出现在选择题7,8，填空题14，考查的是常见分布、数字特征、随机变量的关系、置信区间。

选择题7,8难度不大，认真计算就可以得分，填空题14有些难度，需要多思考一下。

二、数二1、考点分析考查了高等数学的无穷小比较、原函数存在性、反常积分敛散性、极值和拐点、曲率、偏导数的计算、渐近线、数列极限计算、求解一阶微分方程、高阶导数、导数的物理应用、最值问题、极限计算、无条件极值、二重积分计算、二阶微分方程代换和求解二阶微分方程、旋转体和旋转侧面积、定积分性质，零点定理等等,共出题18个，分数116分，线性代数的求解线性方程组、矩阵计算、矩阵等价、正负惯性指数、矩阵相似，共出题5个，分数34分。

2016数学三考试大纲2016年的数学三考试大纲主要针对的是中国大陆地区高考数学科目的第三部分，即高等数学部分。

这一部分通常包含微积分、线性代数和概率论等高等数学的基础知识。

以下是2016年数学三考试大纲的详细内容：# 一、微积分1. 函数、极限与连续性- 函数的概念、性质- 极限的定义、性质和运算- 无穷小量与无穷大量的概念- 函数的连续性与间断点2. 导数与微分- 导数的定义、几何意义、物理意义- 基本初等函数的求导公式- 高阶导数- 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数- 微分的概念和运算3. 微分中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理- 泰勒公式- 函数的单调性、极值与最值- 曲线的凹凸性与拐点- 函数图形的描绘4. 不定积分- 不定积分的概念与性质- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数与三角函数的积分5. 定积分- 定积分的概念与性质- 微积分基本定理- 定积分的换元积分法与分部积分法- 定积分在几何、物理中的应用6. 无穷级数- 数列的极限- 无穷级数的收敛性- 正项级数的收敛性判别法- 幂级数与函数的泰勒展开# 二、线性代数1. 向量空间- 向量的概念、线性组合、基与维数- 向量空间的定义与性质2. 矩阵- 矩阵的概念、运算- 矩阵的秩、逆矩阵- 特殊矩阵（如对角矩阵、单位矩阵等）3. 线性方程组- 线性方程组的解法- 高斯消元法、克拉默法则- 线性方程组解的存在性与唯一性4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的概念- 特征多项式- 矩阵的对角化# 三、概率论与数理统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概念、运算- 概率的定义、性质- 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式2. 随机变量及其分布- 离散型随机变量及其分布列- 连续型随机变量及其概率密度函数- 常见分布（如均匀分布、正态分布等）3. 多维随机变量及其分布- 多维随机变量的联合分布- 边缘分布、条件分布4. 数理统计基础- 数理统计的基本概念- 样本均值、方差、标准差- 参数估计（点估计与区间估计）- 假设检验# 四、综合应用- 微积分、线性代数、概率论在实际问题中的应用- 解决实际问题时的数学建模能力- 数学软件在数学问题求解中的应用2016年的数学三考试大纲强调了对高等数学基础知识的掌握和应用能力，要求考生不仅要理解数学概念和定理，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。

2016年考研数学大纲最新解读及重要知识点解析2015年9月18日教育部考试中心发布了2016年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与2015年大纲相比，整个考试大纲（数学一、数学二、数学三）包括标点符号在内，和去年的一模一样，所以同学们按照原来的计划复习即可，考试大纲没有任何的变化说明咱们考研命题的规律依然延续往年的原则，不会出现偏题、怪题、超纲题目，仍然以考察基本概念、基本理论和基本方法为主，所以大家放心复习，努力就一定会有更大的收获，更好的成绩。

下面我就高等数学重要知识点—二重积分在考研中的命题规律，题型，例题等方面给大家进行总结，希望能给你带去更大的帮助。

二重积分这部分内容主要考查二重积分的计算，其中数二、数三每年都会考一道有关二重积分的大题，三重积分只对数一要求，多以计算题为主.另外，对于数一的考生来讲，偶尔还会涉及二重积分、三重积分的应用，例如求重心坐标、形心坐标、质心、转动惯量等.题型一交换积分次序与累次积分的转换.做这类题的一般步骤是：（1）确定二次积分是哪一个二重积分所转化成的二次积分；（2）由二次积分的上、下限写出积分区域D的不等式组；（3）画出积分区域D的草图；（4）根据图形写出另一积分次序的二次积分.2012年数三第（3）题就是如此.凯程教育：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

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2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X Λ和 2,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有 0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x Λ的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) Λ+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见 S (0) = 0，Λ+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642Λ+⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3， 其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=． 【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ΛM M M ΛΛb b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) ο1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λΛM M M M ΛΛ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12Λ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b bn A E λ)1()1()1(1ΛM M M ΛΛ→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n ΛM M M ΛΛ →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------0000111111111111ΛΛM M M M ΛΛn n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------0000111111111111ΛΛM M MM ΛΛn n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111ΛΛM M M M ΛΛn n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001ΛΛM M M MΛΛ解得Tξ)1,,1,1,1(1Λ=，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1Λ= (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λΛM M M ΛΛ2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111ΛM M M ΛΛ 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2Λ-=，T ξ)0,,1,0,1(3Λ-=，T n ξ)1,,0,0,1(,-=ΛΛ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++Λ3322 (n k k k ,,,32Λ是不全为零的常数)．ο2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-ΛM M M ΛΛ,特征值为11===n λλΛ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) ο1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP Λ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11Oο2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他ΛΛ当),,2,1(1n i x i Λ=>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ， 令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ， 解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixn1ln ˆβ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他ΛΛ当),,2,1(n i αx i Λ=>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x αΛ=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X αΛ=．。

2016考研数学：数学三知识点归纳大家在做近几年的考研数学真题的时候要注意，发现自己的薄弱环节，抓紧时间补上才是最后提分关键。

从考研数学题目来看，虽然千变万化，有各种延伸或变式，数学三的考查都是常规题型与常考知识点的再现。

接下来凯程考研小编就考研数学三常考知识点做了整理归纳，希望对大家有所帮助!1.曲线的渐近线;2.某点处的高阶导数;3.化极坐标系下的二次积分为直角坐标系下的二次积分;4.数项级数敛散性的判定;5.向量组的线性相关性;6.初等变换与初等矩阵;7.二维均匀分布;8.统计量的常见分布;9.未定式的极限;10.分段函数的复合函数的导数;11.二元函数全微分的定义;12.平面图形的面积;13.初等变换、伴随矩阵、抽象行列式的计算;14.随机事件的概率;15.未定式的极限;16.无界区域上的二重积分;17.多元函数微分学的经济应用，条件极值;18.函数不等式的证明;19.微分方程、变限积分函数、拐点;20.含参数的方程组;21.利用正交变换化二次型为标准形;22.二维离散型随机变量的概率、数字特征;23.二维常见分布的随机变量函数的分布、数字特征所谓思维定势，就是按照积累的思维活动经验教训和已有的思维规律，在反复使用中所形成的比较稳定的、定型化了的思维思维定势路线、方式、程序、模式。

第一部分《高数解题的四种思维定势》1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，"不管三七二十一"，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则"不管三七二十一"先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3.在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则"不管三七二十一"先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则"不管三七二十一"先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

2016考研数学三真题解答题考点分析来源：智阅网真题历来是我们复习的重中之重，今天我们就来分析一下2016年数学三解答题的考点：前五题是高等数学部分内容：第15题是关于函数极限的计算问题，关于极限的内容是我们高等数学的重点内容，极限的计算也是近些年都有的考研题型，因此，关于极限的计算问题是我们所要掌握住的。

第16题是有关经济类的题，要求需求函数以及边际收益问题。

此类问题去年出了大题，今天又出现了大题。

第17题是分段函数极值(最值)的问题，这种题结合积分的相关知识来考察同学们对这一部分知识的把握情况。

第18题是一个微分方程结合变限积分求导的问题，这类题近年来也是常常出现的题型。

第19题是关于无穷级数的问题，关于幂级数求和函数是我们无穷级数这章节的重要内容，其处理方法是先积分后求导，或者先求导再积分，经过这样的恒等变形，可以有效的处理此类级数问题，当然，本题型一般会先求收敛域，再求和函数。

解答题中间两题是线代部分内容：第20题是非齐次方程组解的问题，方程组这一部分是线性代数中所常常考到的地方，因此，有关齐次和非齐次线性方程组解的性质，解的判断以及解的结构都时要求我们所掌握的。

第21题是关于矩阵幂的运算，这一部分我们在讲矩阵的计算时，已经列举的很详细了，记的当时我们还讲了几种常见的求幂的矩阵，包括，行列成比例的矩阵，还有主对角线全为0的上下三角等的幂次运算问题。

解答题最后两道题是概率统计部分内容：第22题是关于二维随机变量联合概率密度、随机变量之间的独立性问题以一个离散一个联系随机变量函数的分布问题。

关于概率统计的大题，像二维随机变量的函数的分布一般是很容易考到的，因此是我要求掌握的重点，其中分布函数法是我必须要掌握的解题方法。

第23题是考查统计量中函数的概率密度结合数字特征问题。

上述我们分析了2016年数学三真题各个题考察的方向和知识点，相信通过我们的分析，考生们对真题的出题方向，就有了一定的了解，我们要分清主次，抓住重点。

2016年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲数学（三）考试科目：微积分，线性代数，概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题8 小题，每题4 分，共32 分填空题6 小题，每题4 分，共24 分解答题（包括证明题）9 小题，共94 分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．（Cauchy）柯西中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(a, b) 内，设函数f (x)具有二阶导数．当f n(x) > 0时，f ( x) 的图形是凹的；当f n(x)< 0时，f (x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用。