高考数学第二轮专题复习练习7(无答案)

第七练一、选择题1.设函数f(x)=x(e x+e-x),则f(x)()A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数B.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数C.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数答案A通解:由条件可知, f(-x)=(-x)(e-x+e x)=-x(e x+e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数. f'(x)=e x+e-x+x(e x-e-x),当x>0时,e x>e-x,所以x(e x-e-x)>0,又e x+e-x>0,所以f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,故选A.优解:根据题意知f(-1)=-f(1),所以函数f(x)为奇函数.又f(1)<f(2),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,故选A.2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.p:B+C=2A,且b+c=2a;q:△ABC是正三角形.则p是q的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A对于p,在△ABC中,B+C=2A,所以π-A=2A,即A=π3,又b+c=2a,所以由正弦定理得sin B+sin C=2sin A=√3,所以sin B+sin(2π3-B)=√3,整理得√3sin(B+π6)=√3,所以sin(B+π6)=1,因为B∈(0,2π3),所以B=π3,所以C=π3,即△ABC是正三角形.所以p是q的充要条件,故选A.3.已知函数f(x)=2sin (ωx +π4)在区间(0,π8)上单调递增,则ω的最大值为( ) A.12 B.1 C.2 D.4答案 C 解法一:因为x ∈(0,π8),所以ωx+π4∈(π4,ωπ8+π4),因为f(x)=2sin (ωx +π4)在(0,π8)上单调递增,所以ωπ8+π4≤π2,所以ω≤2,即ω的最大值为2,故选C.解法二:将选项逐个代入函数f(x)进行验证,选项D 不满足条件,选项A 、B 、C 满足条件f(x)在(0,π8)上单调递增,所以ω的最大值为2,故选C. 4.(2019甘肃、青海、宁夏联考,11)已知函数f(x)={2x +1,x ≤1,lnx +1,x >1,则满足f(x)+f(x+1)>1的x的取值范围是( ) A.(-1,+∞)B.(-34,+∞) C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案 B 根据函数的解析式可知,当{x ≤1,x +1≤1,即x ≤0时, f(x)+f(x+1)=2x+1+2x+3>1, 解得-34<x ≤0;当{x ≤1,x +1>1,即0<x ≤1时,1<x+1≤2, 所以f(x)+f(x+1)=2x+1+ln(x+1)+1>1恒成立; 当{x >1,x +1>1,即x>1时,ln x+1>1, 所以 f(x)+f(x+1)=ln x+1+ln(x+1)+1>1恒成立. 综上,x>-34,故选B.二、填空题5.设函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=log 3x,则f (379)+f(1)= . 答案 -2解析 ∵函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,∴f (379)=f (2×2+19)=f (19)=log 319=-2, f(-1)=-f(1), f(-1)=f(-1+2)=f(1),∴f(1)=-f(1),∴f(1)=0, ∴f (379)+f(1)=-2.6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A(8,0),以OA 为直径的圆与直线y=2x 在第一象限的交点为B,则直线AB 的方程为 . 答案 x+2y-8=0解析 解法一:如图,由题意知OB ⊥AB,因为直线OB 的方程为y=2x,所以直线AB 的斜率为-12,因为A(8,0),所以直线AB 的方程为y-0=- 12(x-8), 即x+2y-8=0. 解法二:依题意,以OA为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=16,解方程组{(x -4)2+y 2=16,y =2x,得{x =85,y =165或{x =0,y =0(舍去),即B (85,165),因为A 的坐标为(8,0),所以k AB =165-085-8=-12,所以直线AB 的方程为y-0=-12(x-8),即x+2y-8=0.三、解答题7.已知{a n }为正项等比数列,a 1+a 2=6,a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 2a n a n,且{b n }的前n 项和为T n ,求T n .解析 (1)依题意,设等比数列{a n }的公比为q,则有{a 1+a 1q =6,a 1q 2=8,则3q 2-4q-4=0,又q>0,∴q=2.于是a 1=2,∴数列{a n }的通项公式为a n =2n .(2)由(1)得b n =log 2a n a n=n2n ,∴T n =12+22+32+…+n 2,12T n =12+22+…+n -12+n2, 两式相减得,12T n =12+12+12+…+12-n2,∴T n =1+12+122+…+12n -1-n2n =1-12n 1-12-n 2n =2-n+22n .8.过点Q (√22,1)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为M,N,直线MN 恰好经过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点. (1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,若椭圆上存在一点P,使得四边形OAPB 为平行四边形,求直线l 的方程.解析 (1)过点Q (√22,1)作圆x 2+y 2=1的两条切线,一条切线为直线y=1,切点为M(0,1). 设另一条切线的方程为y-1=k (x -√22)(k ≠0),即2kx-2y+2-√2k=0,由直线与圆x 2+y 2=1相切可得√2k|√2=1,即k 2+2√2k=0,解得k=0(舍去)或k=-2√2.∴另一条切线的方程为y=-2√2x+3. 由{y =-2√2x +3,x 2+y 2=1解得{x =2√23,y =13,∴N (2√23,13), ∴直线MN 的方程为y=-√22x+1.由此可知,椭圆C 的上顶点的坐标为(0,1),右顶点的坐标为(√2,0), ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)当直线l 的斜率不存在或为零时,在椭圆上不存在点P,使得四边形OAPB 为平行四边形.故直线l 的斜率存在,且不为零. 易知椭圆的左焦点为(-1,0),设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l 的方程为y=k(x+1)(k ≠0).联立得{y =k(x +1),x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2(k 2-1)=0, Δ=8k 2+8>0,x 1+x 2=-4k 21+2k .若四边形OAPB 为平行四边形,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(x 1+x 2,k(x 1+x 2+2))=(-4k 21+2k 2,2k 1+2k 2), ∴P (-4k 21+2k ,2k1+2k ), 又点P 在椭圆上,∴(-4k 21+2k)2+2(2k 1+2k)2=2,整理得4k 4=1,解得k=±√22.∴直线l 的方程为y=±√22(x+1).。

专题07 数 列1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数6】记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若,24,124635=-=-a a a a 则=nna S （ ） A ．12-nB ．n--122 C ．122--n D ．121--n【答案】B【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可．【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， ∴1111(1)122,21112n n n n nn n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-，故选B ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．2．【2020年高考北京卷8】在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T }（ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．3．【2020年高考江苏卷11】设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知{}n n a b +的前n 项和2*21()n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是________．【答案】3【解析】∵{}n n a b +的前n 项和2*21()n n S n n n N =-+-∈，当1n =时，111a b +=；当2n ≥时，11222n n n n n a b S S n --+=-=-+，∴224a b +=，从而有2211()()3d q a b a b +=+-+=．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前n 项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法．4．【2020年高考山东卷14】将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 ． 【答案】232n n -【思路导引】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及等差数列的前n 项和公式，考查数列公共项的求法，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式． 5．【2020年高考浙江卷11】已知数列{}n a 满足()1=2n a n n +，则3S = ．【答案】10【思路导引】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【解析】由题意可知11212a ⨯==，22332a ⨯==，33462a ⨯==，313610S ∴=++=，故答案为：10． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，考查数学运算学科素养．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数17】设等比数列{}n a 满足12314,8a a a a +=-=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}3log n a 的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =．【思路导引】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ． （2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22nn n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．1．（2021·江苏南通期中考试）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．与均为的最大值【答案】BD【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；而C 选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C 选项是错误的．∵，，∴与均为的最大值，故D 正确；故选BD ．【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题．2．（2021·福建泉州质检）设d 为正项等差数列的公差，若，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】ABC{}n a n S n 56S S <678S S S =>0d >70a =95S S >6S 7S n S {}n a d {}n a 67S S =7670S S a -==56S S <6560S S a -=>760d a a =-<95S S >67890a a a a +++>()7820a a +>70a =0d <80a <780a a +<56S S <678S S S =>6S 7S n S n {}n a 0d >32a =244a a ⋅<224154a a +≥15111a a +>1524a a a a ⋅>⋅【解析】由题知，只需，，A 正确；，B 正确； ，C 正确； ，所以，D 错误．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定的范围，由通项公式写出各项（用表示）后，可判断．3．（2021·平潭县新世纪学校高三月考）记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】由得，则．设等比数列的公比为，由，得，即，解得或．又因为数列单调递增，所以，所以，解得．所以，，所以，故选BC 。

高考小题标准练(七)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|，则z的虚部为( )A.-4B.-C.4D.【解析】选D.由(3-4i)z=|4+3i|=5，得z===+i，所以复数z的虚部为.2.若集合A=，集合B={y|y=2x，x∈A}，则集合A∩B=( )A. B.C. D.【解析】选C.B={y|y=2x，x∈A}=，所以A∩B=.3.已知命题p：∃x∈R，x-1≥lgx，命题q：∀x∈(0，π)，sinx+>2，则下列判断正确的是( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨(q)是假命题D.命题p∧(q)是真命题【解析】选D.根据函数y=x-1与y=lgx的图象可知，当x=1时，有x-1=lgx，当x>0且x≠1时，有x-1>lgx，故命题p是真命题；当x=时，sinx+=2，故q是假命题，从而有p∧(q)是真命题.4.已知公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d，由于a1，a3，a4成等比数列，因此=a1a4，即=a1，整理得：a1+4d=0，a1=-4d，所以====2.5.设函数f(x)是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤时，f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，则实数m的取值范围是( )A.(0，1)B.(-∞，0)C. D.(-∞，1)【解析】选D.因为f(x)是奇函数，所以f(msinθ)>-f(1-m)=f(m-1).又f(x)在R上是增函数，所以msinθ>m-1，即m(1-sinθ)<1.当θ=时，m∈R；当0≤θ<时，m<.因为0<1-sinθ≤1，所以≥1.所以m<1.6.双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率是( )A. B. C.2 D.【解析】选A.由已知=2，e===.7.已知P为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y 的最大值是( )A.5B.0C.2D.2【解析】选A.作出的可行域如图所示，由图可知A(a，-2a)，B(a，2a)，因为S△OAB=×4a×a=2，所以a=1，得B(1，2)，目标函数可化为y=-x+过点B时，z最大，z=1+2×2=5.8.已知向量a=，向量b=(2cosφ，cos2ωx-sin2ωx)，函数f(x)=a·b的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将函数g(x)=sinωx的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选C.依题意，f(x)=a·b=sinωx·cosωx×2cosφ+sinφ(cos2ωx-sin2ωx)=sinωx·cosφ+cosωx·sin φ=sin(ωx+φ).由图知T=-=，所以T=π，又T=(ω>0)，所以ω=2，又×2+φ=kπ(k∈Z)，φ=kπ-×2(k∈Z)，所以φ=，所以f(x)=sin，g(x)=sin2x，因为g=sin=sin，所以为了得到f(x)=sin的图象，只需将g(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度.9.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A.4πB.πC.πD.20π【解析】选B.由三视图知该几何体是棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1，设M是△ABC的中心，N是△A1B1C1的中心，O是线段MN的中点，则O是其外接球的球心，半径为OA===，S=4π×=.10.已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，若a=，b=2，cos2(A+B)=0，则c=( )A. B.C.或D.【解析】选C.因为cos(2A+2B)=0，A+B+C=π，所以2A+2B=或，即A+B=或.当A+B=时，C=，此时由c2=2+4-2×2××cos，得c=；当A+B=时，C=，此时由c2=2+4-2×2××cos，得c=，所以c=或.11.如图，圆x2+y2=1上一定点A(0，1)，一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数t=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.当x由0→π时，t从-∞→0，且单调递增，当x由π→2π时，t从0→+∞，且单调递增，所以排除B，C，D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)12.若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为________.【解析】设切点为(x0，x0lnx0)，由y′=(xlnx)′=lnx+x·=lnx+1，得切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0)，整理得y=(lnx0+1)x-x0，与y=2x+m比较得解得x0=e，故m=-e.答案：-e13.的展开式中x2的系数是________.【解析】展开式的通项为T r+1=x r，由题意可知，x2的系数为1×+2×=20.答案：2014.设a，b，c是单位向量，且a·b=0，则(a+c)·(b+c)的最大值为________.【解析】(a+c)·(b+c)=a·b+a·c+b·c+c2=(a+b)·c+1=|a+b|·|c|cosθ+1=cosθ+1，其中θ为向量a+b与c的夹角，易知当cosθ=1时，(a+c)·(b+c)取得最大值1+.答案：1+15.若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，又已知E(X)=，D(X)=，则x1+x2的值为________.【解析】由已知得解得或又因为x1<x2，所以所以x1+x2=3. 答案：3。

2019-2020年高三数学二轮复习 23. 高三数学综合练习七（无答案）教学案 旧人教版一、基础练习：1、关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为（-∞，2），则不等式cx 2+ax+b>0的解集为_________2、不等式-9<≤6对任意实数x 恒成立，则p 的取值范围是________3、已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，不等式a 2-5a-3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈[-1，1]恒成立；若命题p 是假命题，a 的取值范围为___________4、若a>0，b>0且（a-1）(b-1)<0，则log a b+log b a 的取值范围是__________5、已知数列{a n }满足，且a 2=6，则数列{a n }的通项公式为___________6、若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是___________7、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=1-2-x ，则不等式f(x)<-的解集是_________8、设点P 是△ABC 内一点，△ABC 三个边上的高为h A 、h B 、h C ，P 到这三边的距离分别为l a ，l b ，l c ，则有=________。

类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四个顶点到对面的距离分别是H A 、H B 、H C 、H D ，P 到这四个面的距离分别是L a ，L b ，L c ，L d ，则有________________________9、定义在（0，+∞）上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)，且x>1时f(x)<0，若不等式f ()f f a ≤+，对任意x ，y ∈（0，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围是___________10、已知不等式11112log (1)122123a a n n n +++≥-+++L 对于大于1的正整数n 恒成立，则a 的取值范围为_____________11、已知结论“若a 1，a 2均为正实数，且a 1+a 2=1，则”，请猜想a 1，a 2，…，a n 均为正实数，且a 1+a 2+…+a n =1，则__________二、解答题12、已知函数f(x)=的定义域为M ，函数g(x)=ln(ax 2-2x+2)的定义域为N 。

一、选择题1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人解析：选 B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 10022 500＝108.故选B. 2．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B.法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B.法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B.3．(2019·山东淄博模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.5．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A.6．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.7．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a2 017·a2 019－a22 018等于()A．1 B．－1C．2 017 D．－2 017解析：选A.因为a1a3－a22＝1×2－1＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，由此可知a n a n＋2－a2n＋1＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a22 018＝(－1)2 017＋1＝1，故选A.8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B. 11．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝2n －1C ．a 4＝27D ．a n －a n －1＝2·3n －2(n ≥2) 解析：选ACD.黑色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.12．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路解析：选ABD.设此人第n 天走a n 里路，前n 天共走S n 里路．由题意可知，{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，由等比数列前n 项和公式得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192. 在A 中，a 2＝192×12＝96，故A 正确； 在B 中，378－192＝186，192－186＝6，故B 正确；在C 中，a 3＝192×14＝48，48378>18，故C 错误； 在D 中，a 4＋a 5＋a 6＝192×⎝⎛⎭⎫18＋116＋132＝42，故D 正确．13．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列命题正确的是( )A ．对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个B ．函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”C ．正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”D ．函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故A 正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故B 错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C 正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D 错误．二、填空题14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R ，(2R )2＝62＋22＋12，解得R 2＝414，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR 2＝41π.答案：41π15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF 2，PF 1分别是Rt △F 1PF 2的“勾”“股”，则点P 的横坐标为________．解析：由题意知半焦距c ＝3，又PF 1⊥PF 2，故点P 在圆x 2＋y 2＝3上，设P (x ，y )，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得P ⎝⎛⎭⎫263，33. 故点P 的横坐标为263. 答案：26316．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0．618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝________． 解析：由题设n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝2·（2sin 18°cos 18°）cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2. 答案：217．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：262－1。

用心 爱心 专心 1 题型七 求事件的概率问题(推荐时间：30分钟)1．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5.甲先摸出一个球，记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b .(1)求“a ＋b ＝6”事件发生的概率；(2)若点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝21内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由．2．在甲、乙等6个单位中的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；(2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．答 案1．解 (1)设“a ＋b ＝6”为事件A ，其包含的基本事件为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5个，又因为基本事件空间有5×5＝25(个)，所以P (A )＝525＝15. (2)这个游戏规则不公平．设甲胜为事件B ，则其所包含的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13个．所以P (B )＝1325>12，故而对乙不公平． 2．解 考虑甲、乙两个单位的排列．甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任意2个，有6×5＝30种等可能的结果．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”．则A 包含的结果有3×2＝6种．故所求概率为P (A )＝630＝15. (2)设B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”，则B 表示甲、乙两单位序号相邻，B 包含的结果有5×2！＝10种．故所求概率为P (B )＝1－P (B )＝1－1030＝23.。

精品“正版”资料系列，由本公司独创。

旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友。

本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。

包含本课对应内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。

高考数学二轮复习（全套）专题练习汇总规范答题示例1函数的单调性、极值与最值问题典例1 (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．审题路线图求f′(x)――――→讨论f′(x)的符号f(x)单调性―→f(x)最大值―→解f(x)max>2a－2.规范解答· 分步得分构建答题模板解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a时，f′(x)＞0；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f′(x)＜0.所以f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减.5分所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减.6分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．第二步定符号：通过讨论确定f′(x)的符号．第三步写区间：利用f′(x)的符号写出函数的评分细则(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．跟踪演练1 (2017·山东)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解(1)由题意知f(π)＝π2－2.又f′(x)＝2x－2sin x，所以f′(π)＝2π.所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)．即2πx－y－π2－2＝0.(2)由题意得h(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，h′(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)＝2e x(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(e x－a)(x－sin x)．令m(x)＝x－sin x，则m′(x)＝1－cos x≥0，所以m(x)在R上单调递增．因为m(0)＝0，所以当x＞0时，m(x)＞0；当x＜0时，m(x)＜0.①当a≤0时，e x－a＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1.②当a＞0时，h′(x)＝2(e x－e ln a)(x－sin x)，由h′(x)＝0，得x1＝ln a，x2＝0.(i)当0＜a＜1时，ln a＜0，当x∈(－∞，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(ln a,0)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝ln a时，h(x)取到极大值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；(ii)当a＝1时，ln a＝0，所以当x∈(－∞，＋∞)时，h′(x)≥0，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；(iii)当a＞1时，ln a＞0，所以当x∈(－∞，0)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(0，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时，h(x)取到极大值，极大值是h(0)＝－2a－1；当x＝ln a时，h(x)取到极小值，极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．综上所述，当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，极小值是h (0)＝－2a －1；当a ＝1时，函数h (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a ＞1时，函数h (x )在(－∞，0)和(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，函数h (x )有极大值，也有极小值，极大值是h (0)＝－2a －1，极小值是h (ln a )＝－a [(ln a )2－2ln a ＋sin(ln a )＋cos(ln a )＋2]．规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题典例2 (12分)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )的单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0，g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝ln x ＋1x.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意的x >1，恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立，求k 的取值范围； (3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，极大值为f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，所以k ≥1. (3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x，当且仅当x ＝1时取等号． 令x ＝n 2(n ∈N *，n ≥2)．则ln n 2n 2<1－1n 2⇒ln n n 2<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1(n ≥2)，所以ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋1－12＝2n 2－n －14(n ＋1). 规范答题示例3 解三角形典例3 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A ，sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 (1)第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．(2)第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练3 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3ab.(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝3ab，由正弦定理可得3cos C ＋sin C ＝3sin Asin B，∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ⇒3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C ) ⇒3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理可得2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得3ac ＝(a ＋c )2－b 2，即3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，∴AB →·BC →＝－BA →·BC → ＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.规范答题示例4 三角函数的图象与性质典例4 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－34，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．审题路线图 (1)f (x )＝m·n ―――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω――――――→()2f =α和差公式cos α(2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 (1)化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；(2)计算cos α时，算对cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3给1分；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3时没有考虑范围扣1分；(3)第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练4 (2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.规范答题示例5 数列的通项与求和问题典例5 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n… … … … …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ； (2)设b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．跟踪演练5 (2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n.(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .规范答题示例6 空间中的平行与垂直关系典例6 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――――→设法利用中位线定理取PD 的中点M ――――――→考虑平行关系长度关系平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行的判定定理EF ∥平面PAD (2)平面PAD ⊥平面ABCDPA ⊥AD ――――→面面垂直的性质PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中E ，H 为AB ，BC 中点DE ⊥AH ―――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面PAH ――――→面面垂直的判定定理平面PAH ⊥平面DEF规范解答·分步得分构建答题模板 证明 (1)取PD 的中点M ，连接FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点，∴FM ∥CD 且FM ＝12CD . 第一步找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形， ∴AM ∥EF ，4分∵EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .6分(2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥PA . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt △ABH ≌Rt △DAE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，∴DE ⊥AH ，8分 ∵PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面PAH ， ∵DE ⊂平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF . 12分 中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直． 第二步找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行． 第三步找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行． 第四步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则 (1)第(1)问证出AE 綊FM 给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面PAD 同样给分；(2)第(2)问证明PA ⊥底面ABCD 时缺少条件扣1分；证明DE ⊥AH 时只要指明E ，H 分别为正方形边AB ，BC 的中点得DE ⊥AH 不扣分；证明DE ⊥平面PAH 只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥PA ，缺少条件不扣分．跟踪演练6 如图，在三棱锥V —ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点． (1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V —ABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB.所以三棱锥C—VAB的体积等于13·OC·S△VAB＝33，又因为三棱锥V—ABC的体积与三棱锥C—VAB的体积相等，所以三棱锥V—ABC的体积为33.规范答题示例7空间角的计算问题典例7 (12分)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．审题路线图(1)(2)CA，CB，CD两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→求平面AED与平面ABE的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角规范解答·分步得分构建答题模板(1)证明∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，又DC∥EB，DC＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD.4分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．(2)解 在Rt △ACB 中，AB ＝4，AC ＝BC ， ∴AC ＝BC ＝22，如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，则A (22，0,0)，D (0,0,1)，B (0,22，0)，E (0,22，1)，AD →＝(－22，0,1)，DE →＝(0,22，0)， AB →＝(－22，22，0)，BE →＝(0,0,1).6分设平面ADE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝－22x 1＋z 1＝0，n 1·DE →＝22y 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝(1,0,22)，设平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝－22x 2＋22y 2＝0，n 2·BE →＝z 2＝0，令x 2＝1，得n 2＝(1,1,0).10分∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝132＝26.∴平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为26.12分 第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量． 第四步求夹角：计算向量的夹角． 第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角. 评分细则 (1)第(1)问中证明DC ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分，证明DE ∥BC 给1分，证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，不扣分．(2)第(2)问中建系给1分，两个法向量求出1个给2分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分．跟踪演练7 (2017·山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E —AG —C 的大小． 解 (1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°， 所以∠CBP ＝30°.(2)方法一 取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为∠EBC ＝120°， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22＝13. 取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3. 在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°.方法二 以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m · AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.因此所求的角为60°.规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1， 得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．规范答题示例9 解析几何中的探索性问题典例9 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练9 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， 且Δ＝(18m )2＋84(3m 2＋4)>0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.由A ，P ，M 三点共线可知，y M163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49 ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．规范答题示例10 离散型随机变量的分布列典例10 (12分)2015年，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的分布列及其期望．审题路线图(1)对事件进行分解―→求出从10块地中任取两块的方法总数―→求出空气湿度指标相同的方法总数―→利用古典概型求概率(2)确定随机变量X的所有取值―→计算X取各个值的概率―→写分布列―→求期望评分细则 (1)第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；(2)第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率的式子给3分；分布列正确写出给1分．跟踪演练10 (2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与期望E (X )． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为所以X 的期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。

高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

高考数学模拟试题精编(七) (考试用时：120分钟 分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪21-x ≥12，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，3]2．已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cos β＝－1010，则α＋β＝( ) A ．π4 B ．3π4 C ．5π6D ．5π43．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t (月)满足函数关系式v ＝ab t (其中a ，b 为非零常数)，若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过(参数数据：lg 2≈0.3)( )A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月4．函数f (x )＝x 36＋sin 2x 的图象的大致形状是( )5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝2，则以下结论错误的是( )甲 乙A ．2OB→＋OE →＋OG →＝0B ．OA →·OD →＝－2 2C ．|AH→＋EH →|＝4 D ．|AH→＋GH →|＝4＋2 2 6．已知正实数a ，b 满足ab ＋2a －2＝0，则4a ＋b 的最小值是( ) A ．2 B ．42－2 C ．43－2D ．67．从编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为( )A ．57B ．35C ．25D ．138．若函数f (x )＝e x ＋x 3－2x 2－ax ，则a ＞e 是f (x )在(0，＋∞)上有两个不同零点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z 是z 的共轭复数，则下列命题中的真命题是( )A ．z ＋z ∈RB ．z －z ∈RC ．z ·z ∈RD ．zz ∈R10．某市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛．比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组．已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M 1，“乙队分在第一小组”为事件M 2，“甲、乙两队分在同一小组”为事件M 3，则( )A ．P (M 1)＝12B ．P (M 3)＝37C ．P (M 1)＋P (M 2)＝P (M 3)D ．事件M 1与事件M 3相互独立11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在C 上，则下列说法正确的是( )A ．若点P (2，1)，则△P AF 的周长的最小值为3＋ 2B ．若点P (m ，2)是C 上的一点，且AF →＋BF →＝FP →，则|AF |，|FP |，|BF |成等差数列C ．若A ，F ，B 三点共线，则y 1y 2＝－2D ．若|AB |＝8，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为3 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，Q 为正方形BB 1C 1C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )A ．若D 1Q ∥平面A 1PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得D 1Q ⊥平面A 1PDC ．当且仅当Q 点落在棱CC 1上某处时，三棱锥Q -A 1PD 的体积最大 D ．若D 1Q ＝62，那么Q 点的轨迹长度为24π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 8的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a ＝________．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f (x )＝________． ①f (x )的最大值为2； ②∀x ∈R ，f (2－x )＝f (x )； ③f (x )是周期函数．15．在一次社团活动中，甲、乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6，若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响，设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则E (ξ)＝________．16．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (x 3＋1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝ax ＋b .若f (4)＝1，则∑100k ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a －c ＝2b cos C ．(1)求B ；(2)A 的角平分线与C 的角平分线相交于点D ，AD ＝3，CD ＝5，求AC 和BD . 18．(本小题满分12分)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：23≤T n ＜1. 19．(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN ∥BM ，AN ＝AB ＝BC ＝2，BM ＝4，CN ＝2 3.(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM (不含端点)上是否存在一点E ，使得二面角E -BN -M 的余弦值为33.若存在，求出CE EM 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表．该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y ^＝u ^x 2＋v^. (1)根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程(u^的值精确到0.1)；(2)已知该公司的月利润z (单位：万元)与x ，y 的关系为z ＝24x －5y ＋2x ，根据(1)的结果，该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(本小题满分12分)已知f (x )＝ln x ＋ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)若对任意x ＞0都有f (x )≤0，求a 的取值范围；(2)若0＜x 1＜x 2，证明：对任意常数a ，存在唯一的x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2成立．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点为F (3，0)，点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上但不在y 轴上，过点M 作圆的切线交椭圆于P ，Q 两点，当点M 在x 轴上时，|PQ |＝ 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点M 在圆上运动时，试探究△FPQ 周长的取值范围．。