离散数学课后知识题目解析
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习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟QP∇（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(RPQPRPQPRQPRQP→∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能 习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2)()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式： （A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A∧～B）∨（C∧～D∧～B）∨（～C∧D∧～B）∨（～A∧～C）∨（C∧～D∧～C）∨（～C∧D∧～C））∧（～C∨～D）⇔（（～A∧～B）∨（C∧～D∧～B）∨（～C∧D∧～B）∨（～A∧～C）∨（～C∧D∧～C））∧（～C∨～D）⇔（～A∧～B∧～C）∨（C∧～D∧～B∧～C）∨（～C∧D∧～B∧～C）∨（～A∧～C∧～C）∨（～C∧D∧～C∧～C）∨（～A∧～B∧～D）∨（C∧～D∧～B∧～D）∨（～C∧D∧～B∧～D）∨（～A∧～C∧～D）∨（～C∧D∧～C∧～D）（由题意和矛盾律）⇔（～C∧D∧～B）∨（～A∧～C）∨（～C∧D）∨（C∧～D∧～B）⇔（～C∧D∧～B∧A）∨（～C∧D∧～B∧～A）∨（～A∧～C∧B）∨（～A∧～C∧～B）∨（～C∧D∧A）∨（～C∧D∧～A）∨（C∧～D∧～B∧A）∨（C∧～D∧～B∧～A）⇔（～C∧D∧～B∧A）∨（～A∧～C∧B∧D）∨（～A∧～C∧B∧～D）∨（～A∧～C∧～B∧D）∨（～A∧～C∧～B∧～D）∨（～C∧D∧A∧B）∨（～C∧D∧A∧～B）∨（～C∧D∧～A∧B）∨（～C∧D∧～A∧～B）∨（C∧～D∧～B∧A）∨（C∧～D∧～B∧～A）⇔（～C∧D∧～B∧A）∨（～A∧～C∧B∧D）∨（～C∧D∧A∧～B）∨（～C∧D∧～A∧B）∨（C∧～D∧～B∧A）⇔（～C∧D∧～B∧A）∨（～A∧～C∧B∧D）∨（C∧～D∧～B∧A）三种方案：A和D、B和D、A和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P PP Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧ （3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧ 3A BA B ⇒∴→、为永真式。
即~A B ∨永真~~~~A B B A B A ∨⇔∨⇔→永真A B ∴⇒当且仅当~~B A ⇒4、设： P ：珍宝藏在东厢房 Q ：藏宝的房子靠近池塘 R ：房子的前院栽有大柏树 S ：珍宝藏在花园正中地下 t ：后院栽有香樟树m ：珍宝藏在附近（后院）命题化后进行推理：(~)()()()~()()()~()()()Q p R P Q R S t m p R P R S t m R R S t m S t m →∧→∧∧∨∧→⇒∧→∧∨∧→⇒∧∨∧→⇒∧→ 即S 为真，珍宝藏在花园正中地下5、(1)F (P=0,Q=1) (2)F (P=1,Q=R=0) (3)F (P=0,Q=1)习题 1.61.（1）~,~~∨→⇒→P Q R Q P R证：利用CP规则①P P(附加前提)②~P Q P∨③Q T①②I④~→R Q P⑤~R T③④I⑥结论成立CP规则①⑤（2）()(),()∨→∧→⇒→P Q R S SVE B P B 证：①P P(附加)②P∨Q T①③()()P Q R S P∨→∧④R S T∧②③⑤S T④⑥S∨E T⑤⑦S∨E→B P⑧B T⑥⑦⑨P B CP→(①⑧)2. (2) P：无任何痕迹Q：失窃时，小花在OK厅R：失窃时，小英在OK厅S ：失窃时，小胖在附近 T ：金刚是偷窃者M ：瘦子是偷窃者命题可符号化为：{M R R S T Q P S R Q P →⌝→⌝→⌝→∨ , , , , ,} 证：①PP ② P S ~→P③ S ~T ①②④ R S ~~→ P ⑤ R ~ T ③④ ⑥ R Q ∨ P ⑦ QT ⑤⑥ ⑧ T Q →P ⑨TT ⑦⑧∴金刚是窃贼。
3. (1) 不相容(2) 相容 ()0,1====S Q R P （3）不相容 （4）不相容4. (1)证：()()()P Q P Q S S R Q P ∧→∧→∧∨∧→)(~~()()()()P Q P Q S S R Q P ∧∨∧∨∧∨∧∨⇔~~~~~即 {}P Q P Q S S R Q P ,~ ,~~ , ,~~∨∨∨∨=Φ利用消解原理：① P P② Q P ~~∨ P ③ Q ~ ①② ④ Q P ∨~ P⑤~P ③④⑥ ~F P P =∧□ ①⑤习题 2.11. (1)()x A ：x 是实数 ()x B ：x 是有理数()()()()∧→∀x A x B x ()()()∧→⌝∀x B x A x ()()()x B x A x ∧∃(2)()x A ：x 是直线()y x F ,：x 与y 平行()y x G ,：x 与y 相交()()()()()[]b a G b a F b A a A b a ,,⌝↔→∧∀∀(3))(x A ：x 是会员)(x C ：x 有意义),(y x F ：x 参加ya ：这个活动()()()()a x F x A x a C ,→∀→或者()()()a C a x F x A x ⌝→→⌝∀),(（4） ()x A ：x 是正整数)(x B ：x 是合数 )(x C ：x 是质数()()()()x C x B x A x ∇→∀（5） ()x A ：x 是人B （x ）：x 存钱 a ：利息P:存钱有利息 ()y x F ,：x 想有y()()()()()()()[]x B x A P a x F x B x A x ⌝∧→⌝∧→∧∀,2.(1)()()()()()()()210210Q R R P P P ∨∨∧∧∧ (2)()()][()()]()()[[221100Q P Q P Q P →∧→∧→ 4.(1)()()()[()]()()z y x R z t y Q y x P y x ,,,,∀∨→∃∀习题 2.21.（1）D ：数 ()()xy y x f x x A ==,0:()()()()[]()()()1,11,+-⌝→-⌝∧∨→∀∀x x f A x A y A x A y x f A y x可满足式 (2)()x x A :是诚实的人()x x B :讲实话a ：小林 ()()[]()()a B a A x B x A x ⌝→⌝∧→∀可满足式 (3) ()x x A :不便宜()x x B :是好货()x y x F :,买的ya ：衣服b ：小王 ()()[]()()()a B a A b a F x B x A x →∧∧→∀,可满足式（4）()x x A :是作家 ()x x B :懂得人性本质()x x C :是诗人()x x D :是真正的()x x E :能刻画人们内心世界()x x F :很高明()x y x P :,创作了ya ：莎士比亚b ：哈姆雷特()()()()()()()[]()()[])(),()()()()()(,)(x D b x P x C x x E x B x A x b a P x D x E x C x F x B x A x →∧∀∧∧⌝∧∃⌝∧∧⌝→⌝∧∧→∧∀ 2.(1) T 3.(1) F(2) T4. 0:)( ,:),( :>=y y Q e y y x P D x 实数 习题 2.31.（1）()()][y Q x P y x →∃∃()[()]y Q x P y x ∨∃∃⇔~ ()[()]y yQ x P y x ∃∨∃∃⇔~())(~y yQ x P x ∃∨∃⇔())(~y yQ x xP ∃∨∀⇔()()())(y Q y x P Ax ∃→⇔2. 不成立D={0,1,2} 1)2(,0)1(,1)0( 0)2(,1)1(,0)0(Q Q Q P P P3.(1)()()()()()y P y x P x ∃→∀~()()()()()y P y x P x ∃∨∀⇔~~ ()(()()()()y P y x P x ∃∨∃⇔~~ ()()()()()y P y x P x ~∀∧∀⇔()()()()()y P x P y x ~∧∀∀⇔ ——skolem 范式(2)()()()()()()z y Q z y x P x ,~∀∃→∀()()()()()()z y Q z y x P x ,~~∀∃∨∀⇔ ()()()()()z y Q z y x P x ,~∃∀∧∀⇔()()()()()()z y Q x P z y x ,~∧∃∀∀⇔ ——前束范式()()()()()()y x f y Q x P y x ,,~∧∀∀⇔ ——skolem 范式1. （1）证：在某个解释下，()()()][)(y Q x P y x ∧∃∃取值1，必有D b a ∈,,()()b Q a P ∧，取值1，因此，D a ∈∃ ()a P 取值1。
