《角》

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

人教版数学七年级上册3.1《角》教学设计1一. 教材分析《角》是人教版数学七年级上册第三章第一节的内容，本节主要介绍了角的定义、分类和表示方法。

通过本节的学习，使学生能够理解角的概念，掌握角的分类和表示方法，为后续学习几何图形打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了实数、代数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但他们对角的概念和表示方法可能较为陌生，因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际情境中发现角，感知角的概念，并通过大量的实例使学生理解和掌握角的表示方法。

三. 教学目标1.了解角的概念，能正确地认识和表示各种角。

2.掌握角的分类，能对给定的角进行分类。

3.能运用角的概念解决实际问题，培养学生的空间想象能力。

四. 教学重难点1.重点：角的概念、分类和表示方法。

2.难点：对角的概念和表示方法的理解和运用。

五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和小组合作学习法。

通过实际情境引入角的概念，引导学生观察、思考和交流，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作角的概念、分类和表示方法的课件。

2.教学素材：准备一些实际情境的图片和几何图形。

3.小组合作学习材料：分发给每个小组，用于小组讨论和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际情境的图片，如钟表、剪刀、自行车等，引导学生观察并提问：“这些图片中有哪些形状是角？”让学生从实际情境中发现角，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍角的概念，讲解角的分类和表示方法。

通过课件和实物展示，使学生直观地理解和掌握角的概念。

同时，引导学生进行思考和交流，培养学生的问题解决能力。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组分发一些几何图形，要求学生判断和表示图形中的角。

教师巡回指导，解答学生的疑问，并给予鼓励和评价。

4.巩固（5分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和填空题，主要考察学生对角的概念和表示方法的掌握程度。

《角》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是《角》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《角》是人教版数学七年级上册第四章《几何图形初步》的重要内容。

角是几何图形中最基本的图形之一，它不仅是后续学习三角形、四边形等图形的基础，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

本节课主要介绍了角的概念、角的表示方法以及角的度量。

通过学习，学生将对角有一个初步的认识，为进一步学习角的比较与运算等知识奠定基础。

二、学情分析七年级的学生已经具备了一定的观察能力和抽象思维能力，但对于抽象的几何概念的理解仍存在一定的困难。

在学习角之前，学生已经学习了点、线等基本几何图形，这为学习角提供了一定的知识储备。

然而，角的概念较为抽象，角的度量单位的换算也需要一定的逻辑思维能力，因此在教学中需要注重引导学生通过观察、操作等活动来理解和掌握相关知识。

三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解角的概念，掌握角的表示方法。

（2）会进行角的度量单位的换算，能正确使用量角器测量角的度数。

2、过程与方法目标（1）通过观察、操作等活动，培养学生的观察能力、动手操作能力和抽象概括能力。

（2）在角的度量单位换算的过程中，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探索角的相关知识的过程中，体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）角的概念及表示方法。

（2）角的度量单位的换算及角的度量。

2、教学难点（1）角的概念的形成。

（2）角的度量单位的换算。

五、教法与学法1、教法为了实现教学目标，突破教学重难点，我在教学中主要采用了以下教学方法：（1）直观演示法：通过多媒体演示、实物展示等手段，让学生直观地感受角的概念和特征，帮助学生理解和掌握相关知识。

《角》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是“角”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“角”这一内容是数学课程中的重要概念之一，它是几何图形的基本构成元素。

本节课是在学生已经初步认识了长方形、正方形、三角形等平面图形的基础上进行教学的。

通过学习角，学生将进一步丰富对平面图形的认识，为后续学习三角形、四边形等几何图形的特征以及解决相关的几何问题打下坚实的基础。

教材首先通过生活中的实例引入角的概念，让学生对角有一个直观的感知。

然后通过观察、比较、操作等活动，引导学生认识角的各部分名称、角的大小以及角的度量方法。

教材的编排注重联系学生的生活实际，充分体现了数学知识来源于生活又服务于生活的理念。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经具备了一定的观察能力和初步的空间观念，但对于角的概念和性质的理解还比较模糊。

此外，这个年龄段的学生思维活跃，好奇心强，喜欢动手操作，但抽象思维能力和概括能力相对较弱。

因此，在教学过程中，我将注重引导学生通过观察、操作、交流等活动，让学生亲身经历知识的形成过程，从而更好地理解和掌握角的相关知识。

三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）学生能够结合生活情境及操作活动，初步认识角，知道角的各部分名称，会用直尺画角。

（2）学生能够初步感知角的大小与两条边张开的程度有关，与边的长短无关。

2、过程与方法目标（1）通过观察、操作、比较等活动，培养学生的观察能力、动手操作能力和抽象概括能力。

（2）让学生经历从现实生活中发现角、认识角的过程，体会数学与生活的密切联系。

3、情感态度与价值观目标（1）在探索角的过程中，培养学生的合作意识和创新精神，让学生体验数学学习的乐趣。

（2）使学生感受数学与生活的密切联系，增强学生学习数学的信心和兴趣。

四、教学重难点1、教学重点（1）初步认识角，知道角的各部分名称。