1.4.1-1.4.2 全称量词、存在量词(课时测试)-2016-2017学年高二数学上册(选修2-1)(解析版)

1.4.1全称量词1.4.2存在量词【课时目标】1.了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义.2.会判定含有一个量词的命题的真假.1.短语“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.2.一般的，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么命题就是全称命题.用符号简记为∀x∈M，p(x) .3.短语“有一个”“有些”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.4.一般的，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么命题存在性命题，用符号简记为∃x∈M，p(x) .一、选择题1．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R，使x20>3B．有些x0∈R，使x20>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x0∈R，使x20>3答案C解析“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C.2．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－x0＋1≥0C．∀x∈N*，log2x>0D．∃x0∈R，cos x0<2x0－x20－3答案B解析当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B.3．下列命题是全称真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0答案 B解析 A ，B ，D 是全称命题，当x ＝0时，x 2＝0；当x ＝0，y ＝0时，x 2＋y 2＝0，因此A ，D 为假命题．故选B.4．下列语句不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高二(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个向量都有大小答案 C解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C.5．给出下列命题：①存在实数x 0，使x 20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 ①③④是特称命题，②是全称命题．6．下列命题正确的是( )A ．对所有的正实数t, t 为正且t <tB ．存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0 C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0D ．存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4答案 B解析 t ＝14时t ＝12，此时t >t ，所以A 错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x 0＝－1或x 0＝4时，x 20－3x 0－4＝0，故B 正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以C 错；由|x ＋1|≤1，得－2≤x ≤0，由x 2>4，得x <－2或x >2，所以D 错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．(1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)________a ，b ∈R ，使方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1a 2x ＝2，有唯一解． 答案 (1)∀ (2)∃ (3)∃8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数，________.(2)实数的绝对值不小于0，________.(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，________.答案 (1)∀x ∈Z ，x ∈Q (2)∀x ∈R ，|x |≥0 (3)∃x 0∈R ，x 30＋1＝0三、解答题9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．(1)∃x 0，x 0－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．解 (1)特称命题，真命题；(2)全称命题，假命题；(3)全称命题，真命题；(4)特称命题，真命题．10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．解 所有的矩形都是正方形．一切矩形都是正方形．每一个矩形都是正方形．任一个矩形都是正方形．凡是矩形都是正方形.。

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词【选题明细表】知识点、方法题号全称量词与存在量词 1全称命题与特称命题3,6,8全称、特称命题的真假2,5,9,10全称、特称命题的应用4,7,11,12,13【基础巩固】1.下列量词中是存在量词的是( B )(A)任意一个 (B)至少有一个(C)都是(D)全部2.(2019·烟台市高二期末)命题p:∀a∈R,3a≥2a;命题q:∃x0>0,使得x0-1+ln x0=0,则下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(﹁p)∧q(C)p∨(﹁q) (D)(﹁p)∧﹁q)解析:当a<0时,3a<2a,故命题p是假命题.显然∃x0=1>0,使得x0-1+ln x0=0,故命题q是真命题;故(﹁p)∧q是真命题,故选B.3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( D )(A)p是假命题 (B)q是真命题(C)p∧(﹁q)是真命题(D)(﹁p)∧q是真命题解析:对于命题p:∀a∈R,且a>0,有a+≥2,显然p为真命题,故A错;对于命题q:∃x0∈R,sin x0+cos x0=,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,]而∉[-,]所以q是假命题,故B错;所以利用复合命题的真假判定,p∧(﹁q)是真命题,故C正确;(﹁p)∧q是假命题,故D错误.故选C.6.给出下列四个命题:①a⊥b⇔a·b=0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是.解析:①②④是全称命题,③是特称命题.答案:①②④7.(2019·衡水中学高二期中)若命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,则实数m的取值范围是.解析:因为命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,所以Δ≤0,即m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6.所以实数m的取值范围是[2,6].答案:[2,6]8.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;(2)存在一条直线,其斜率不存在;(3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有惟一解;(4)存在实数x0,使得=2.解:(1)是全称命题,用符号表示为“∀α∈R,sin2α+cos2α=1”,是真命题.(2)是特称命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.(3)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有惟一解”,是假命题.(4)是特称命题,用符号表示为“∃x0∈R,=2”,是假命题.【能力提升】9.(2019·济南市高二期末)给出下列3个命题:命题p:若a2≥20,则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆.命题q:∀m∈(-∞,0),方程0.1x+msin x=0总有实数解.命题r:∃m∈(1,3),msin x+mcos x=3.那么,下列命题为真命题的是( D )(A)p∨r (B)p∧(﹁q)(C)(﹁q)∧(﹁r) (D)(﹁p)∧q解析:由方程x2+y2+ax+5=0化为(x+)2+y2=-5表示一个圆,则-5>0,a2>20,因此p是假命题.由∀x∈R,0.1x>0,-msin x∈[m,-m],可知:∀m∈(-∞,0),方程0.1x+msin x=0总有实数解,因此q是真命题.若m∈(1,3),则msin x+mcos x=m sin (x+)<3,因此r是假命题.那么,命题为真命题的是D.故选D.10.下列命题中是假命题的是( D )(A)∃m∈R,使f(x)=(m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减(B)∀a>0,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点(C)∃α,β∈R,使cos(α+β)=cos α+sin β(D)∀ϕ∈R,函数f(x)=sin(2x+ϕ)都不是偶函数解析:因为f(x)为幂函数,所以m-1=1,所以m=2,所以f(x)=x-1,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,故A中的命题为真命题;因为y=(ln x)2+ ln x的值域为[-,+∞),所以∀a>0,方程(ln x)2+ln x-a=0有解,即函数f(x)有零点,故B中的命题为真命题;当α=, β=2π时,cos(α+β)=cos α+sin β成立,故C中的命题为真命题;当ϕ=时,f(x)=sin(2x+)=cos 2x为偶函数,故D中的命题为假命题.11.已知函数f(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,若f(a2-sin x)≤f(a+1+cos2x)对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.解析:由函数的单调性得3≥a2-sin x≥a+1+cos2x对任意x∈R均成立,即对任意x∈R均成立,然后转化为函数的最值问题,即解得-≤a≤-.答案:[-,-]12.(2019·洛阳市高二期中)设命题p:“∀x∈R,x2+2x>m”;命题q:“∃x0∈R,使+2mx0+2-m≤0”.如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,求实数m的取值范围.解:当p为真时,∀x∈R,x2+2x>m,有Δ=4+4m<0,解得m<-1,当q为真时,∃x0∈R,使+2mx0+2-m≤0,所以Δ=4m2-4(2-m)≥0,解得m≤-2,或m≥1,又因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p,q一真一假,当p真q假时,-2<m<-1,当p假q真时,m≥1,所以实数m的取值范围是(-2,-1)∪[1,+∞).【探究创新】13.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:∃x0∈R,使f(x0)<0的充要条件是+bx0+c<0有解,即b2-4c>0,4c<b2,所以当c<0时一定有4c<b2,即∃x0∈R,使f(x0)<0.反之当∃x0∈R,使f(x0)<0时,只要4c<b2即可,不一定c<0.故选A.。

1.4.1全称量词~1.4.2存在量词自主预习·探新知情景引入生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等．其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？新知导学1．全称量词与全称命题(1)短语“___________”“___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“___________”表示，含有全称量词的命题，叫做___________.(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：________.(3)常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”，表示________的含义．2．存在量词与特称命题(1)短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____________”表示，含有存在量词的命题，叫做______________.(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，________.(3)存在量词：“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”，表示________________的含义．预习自测1．下列命题中含有全称量词的是()A．至少有一个自然数是2的倍数B．存在小于零的整数C．方程3x＝2有实数根D．无理数是小数2．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n0，使n0能被11整除C．x>7D．∀x∈M，p(x)成立3．选出与其他命题不同的命题()A．有一个平行四边形是菱形B．任何一个平行四边形是菱形C．某些平行四边形是菱形D．有的平行四边形是菱形4．下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,3x－2>0B．∀x∈N*，(x－2)2>0C．∃x0∈R，lg x0≤2D．∃x0∈R，tan x0＝25．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向1全称命题与特称命题的判定典例1(1)下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称命题的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3规律总结1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．跟踪练习1判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)自然数的平方是正数．命题方向2全称命题与特称命题的真假判断典例2指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1、x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．规律总结1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．跟踪练习2有下列四个命题：①∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；②∃x0∈N，x20≤x0；③∃x0∈N*，x0为29的约数；④有的向量方向不定．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4学科核心素养 利用全称命题和特称命题的真假求参数范围典例3 命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m ，若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围．跟踪练习3若命题“∃x 0∈R 使得x 20＋mx 0＋2m ＋5<0”为假命题，则实数m 的取值范围是() A ．[－10,6] B ．(－6,2]C ．[－2,10]D ．(－2,10)易混易错警示典例4 指出下列命题是全称命题还是特称命题．(1)“末位是0的整数，可以被5整除”；(2)当x ∈(0,1)时，12<⎝⎛⎭⎫12x <1；(3)有的平面四边形两对角线互相垂直．[错解] (1)无法判定．(2)特称命题．(3)全称命题．参考答案自主预习·探新知新知导学1．(1)所有的 任意一个 ∀ 全称命题(2) ∀x∈M，p(x)(3)整体或全部2．(1)存在一个至少有一个∃特称命题(2) ∃x0∈M，p(x0)(3)个别或一部分预习自测1．【答案】D【解析】选项D中“无理数”指的是所有的无理数．2．【答案】B【解析】选项A、C不是命题，选项B中有存在量间“存在”，故B项是特称命题．D是全称命题．3．【答案】B【解析】B选项为全称命题，其余的为特称命题．4．【答案】B【解析】特殊值验证x＝2时，(x－2)2＝0，∴∀x∈N*，(x－2)2>0是假命题，故选B．5．【答案】(－∞，3]【解析】a<x在x∈(3，＋∞)恒成立，令g(x)＝x，则a<g(x)min，∵g(x)min>g(3)＝3，∴a≤3.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向1全称命题与特称命题的判定典例1【答案】(1) B(2)D【解析】(1)中，只有②③含有全称量词，故选B．(2)中，只有选项D含有存在量词，故选D．跟踪练习1解：因为(1)含有存在量词，所以命题(1)为特称命题；(4)因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题．综上所述，(1)为特称命题，(2)(4)为全称命题，(3)不是命题．命题方向2全称命题与特称命题的真假判断典例2解：(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f (x )＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题． 跟踪练习2【答案】C学科核心素养 利用全称命题和特称命题的真假求参数范围典例3 解：m ≤sin x cos x ，∀x ∈R 恒成立，令f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ， f (x )min ＝－12，∀x ∈R ， ∴m ≤－12， ∴实数m 的取值范围⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 跟踪练习3【答案】C易混易错警示典例4 [正解] (1)指所有的末位数字是零的整数都可以被5整除，是全称命题．(2)是指对任意的x ∈(0,1)，都有12<⎝⎛⎭⎫12x <1，是全称命题． (3)是指存在这样的平面四边形，其两条对角线互相垂直，是特称命题．。

1．4.1 全称量词1．4.2 存在量词一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 命题①②④都是全称命题．2．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题答案 C解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．4．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①②③为真命题．5．下列全称命题为真命题的是( )A ．所有的素数是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋3≥3C ．∀x ∈R,2x －1＝0D ．所有的平行向量都相等答案 B6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β答案 A解析 只有A 、B 两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题． 又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题．7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2. 解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题．(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题．二、能力提升8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，3]解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.9．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案①②④解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．10．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析∵x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．解∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p、q都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1.12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )．若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与拓展13．若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围． 解 ①当m ＝0时，f (x )＝x －a 与x 轴恒相交，所以a ∈R ；②当m ≠0时，二次函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m (m ＋a )≥0恒成立，即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立．又4m 2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a )2－16≤0，解得－1≤a ≤1.综上所述，当m ＝0时，a ∈R ；当m ≠0时，a ∈[－1,1]．。

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1全称量词、存在量词一、选择题1．已知命题p:∀x∈R，2x<3x；命题q:∃x∈R，x3＝1－x2,则下列命题中为真命题的是( ) A．p∧q B．(¬p）∧qC．p∧（¬q）D．（¬p)∧(¬q)［答案] B2．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R,x2≥xB．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题C．∃x0∈R,x错误!≥x0D．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题［答案] C[解析] ∵x2－x≥0的解为x≤0或x≥1，∴存在x0∈{x｜x≤0或x≥1}，使x错误!≥x0，故C 为真命题．3．命题“存在x∈Z,使x2＋2x＋m≤0成立"的否定是( )A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m〉0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z,都有x2＋2x＋m〉0[答案] D[解析] 特称命题的否定是全称命题．二、填空题4．命题“有些负数满足不等式(1＋x）（1－9x）〉0"用“∃"或“∀”可表述为________________．［答案］∃x0<0，使（1＋x0)（1－9x0）>05．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.［答案］存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根2三、解答题6．已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足｜x－2｜≤m（m>0)．（1）当m＝3时，若“p∧q”为真，求实数x的取值范围;(2)若“¬p”是“¬q"的必要不充分条件，求实数m的取值范围．［解析] （1)若p真：－2≤x≤4；当m＝3时，若q真：－1≤x≤5，∵“p∧q”为真，∴－1≤x≤4.(2)∵“¬p”是“¬q"的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．q：2－m≤x≤2＋m,∴｛2－m≤－2，4≤2＋m，且等号不同时取得,∴m≥4。

§1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词一、选择题1．下列说法正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；③命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋4≤0”是特称命题．A．0 B．1 C．2 D．3考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的辨析答案 C解析只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>2考点特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案 B3．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列判断正确的是()①“p且q”是真命题；②“p或q”是真命题；③q是假命题；④“非p”是真命题．A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D解析 由题意知p 假q 真．故②④正确．4．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－16或a >0B ．a ≤－16或a ≥0C ．－16<a <0D ．－16≤a ≤0考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 A解析 由题意知Δ＝a 2＋16a >0，即a <－16或a >0.5．下列命题是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 3≥xB ．∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0C ．∀xy >0，x －y ≥2xyD ．∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0＋y 0)＝sin x 0－sin y 0考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为() A ．－12 B.12 C ．－32 D.32考点 全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 B7．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4考点 全称命题与特称命题的综合问题题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 C解析 ①②③为真命题；当x ＝y ＝0时，x 2＋|y |＝0，④为假命题．8．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5考点 全称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 C解析 当该命题是真命题时，只需a ≥(x 2)max ，x ∈[1,2]．又y ＝x 2在[1,2]上的最大值是4，所以a ≥4.因为a ≥4⇏a ≥5，a ≥5⇒a ≥4，故选C.二、填空题9．命题“末位是0的整数可以被5整除”________全称命题．(填“是”或“不是”) 考点 全称命题与特称命题题点 识别全称命题答案 是解析 原命题可写为“所有末位是0的整数都可以被5整除”．10．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词命题的真假判断答案 真解析 当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立， ∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．11．若命题“关于x 的不等式ax 2－2ax －3>0有解”是真命题，则实数a 的取值范围是________．考点 特称命题题点 由特称命题的真假求参数的范围答案 (－∞，－3)∪(0，＋∞)解析 由题意可得a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a 2＋12a >0， 解得a >0或a <－3.三、解答题12．判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；(2)至少有一个整数x 0，使log 2x 0>0；(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2. 考点题点解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题．(2)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈Z ，log 2x 0>0”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，使得1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题． 13．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”是真命题，求实数x 的取值范围． 考点 特称命题题点 由特称命题的真假求参数的范围解 令f (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，是关于a 的一次函数，由题意，得(x 2＋x )－2x －2>0或(x 2＋x )·3－2x －2>0，即x 2－x －2>0或3x 2＋x －2>0，解得x <－1或x >23.14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1.其中真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3考点含一个量词的命题题点含有一个量词的命题的真假判断答案 C解析画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.15．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的范围解若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4].。