导数
一、导数的概念
函数 y=f(x),如果自变量 x 在x 0 处有增量∆x ，那么函
数 y 相应地有增量∆y =f （x + ∆x ）－f （x ），比值 ∆y
叫做函数 y=f （x ）在 x 到 x + ∆x 之间的平均变化率， 0 0 ∆x
0 0
即∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。如果当∆x → 0 时， ∆y 有极限，我们就说函数 y=f(x) ∆x ∆x ∆x
在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（x 0 ）
或 y ’|
。f’(x 0 )= lim ∆y = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。
x = x 0
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
例、 若lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = k ，则lim f (x 0 + 2 ⋅ ∆x ) - f (x 0 ) 等于（ ）
∆x →0
A. 2k ∆x
B. k
C. 1 k 2
∆x →0 ∆x
D. 以上都不是 变式训练： 设函数 f (x ) 在点 x 0 处可导，试求下列各极限的值．
1. lim
∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) ；
∆x
2． lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) .
h →0 2h
3．若 f '(x ) = 2 ，则lim f (x 0 - k ) - f (x 0 )
=？
k →0 2k
二、导数的几何意义
函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ）
处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ） 处的切线的
斜率是 f ’（x 0 ）
。
切线方程为 y －y 0 =f /
（x 0 ）（x －x 0 ）
。 三、导数的运算
1．基本函数的导数公式: ① C ' = 0;（C 为常数）
②(x n )' = nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;
④ (cos x )' = -sin x ;
⑤ (e x )' = e x ;
⑥ (a x )' = a x ln a ;
⑦(ln x )' = 1 ;
x
⑧(l o g a
x )' = 1 log e . x a
习题：求下列函数的导数：（8 分钟独立完成） （1） f (x ) = （2） f (x ) = x 4
（3） f (x ) = （4） f (x ) = sin x
（5） f (x ) = -cos x （6） f (x ) = 3x （7） f (x ) = e x （8） f (x ) = log 2 x
（9） f (x ) = ln x （10） f (x ) = 1
x
（11） y = 3 + 1
cos x
4 4 （12） y =
x
1+ x
（13） y = lg x - e x
（14） y = x 3 cos x
2、导数的四则运算法则： [ f (x ) + g (x )]' = f '(x ) + g '(x )
[ f (x ) - g (x )]' = f '(x ) - g '(x ) [ f (x )g (x )]' = f '(x )g (x ) + f (x )g (x )'
⎡ f (x ) ⎤'
⎢ g (x ) ⎥ = f '(x )g (x ) - f (x )g '(x )
g 2 (x ) ⎣ ⎦ 练习：求下列函数的导数： （1） y = x 2 + 2 x ；
（2） y =
- ln x ；
（3） y = x sin x ；
（4） y = x ln x 。
（5） y = sin x x ；
（6） y = x 2
。 ln x
3、复合函数求导：
如果函数
(x ) 在点 x 处可导，函数 f (u )在点 u=(x ) 处可导，则复合函数 y=
x
x
1 - 2x 1 + x 2
f (u )=f [(x )]在点 x 处也可导，并且
(f [
(x ) ])ˊ=
f '[
(x )]
'(x )
例、求下列函数的导数
（1）y= cos x （2）y=ln (x + )
练习：求下列函数的导数
（1）y =
1
(3x - 1)2
（2） y =sin （3x +
）
4
常考题型：
类型一、求导数相关问题
例 1、若曲线 y ＝e －x 上点 P 处的切线平行于直线 2x ＋y ＋1＝0，则点 P 的坐标是
． 例 2、曲线 y ＝x e x －1 在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
例 3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y ＝2x ，则 a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
类型二、求切线方程
（一）已知切点坐标，求切线方程
例 1.曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点(1， - 1) 处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程
例 2.与直线2x - y + 4 = 0 的平行的抛物线 y = x 2 的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程
例 3.求过点(2，0) 且与曲线 y = 1
相切的直线方程．
x （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程
例 4.求过曲线 y = x 3 - 2x 上的点(1， - 1) 的切线方程．
变式训练：
1、[2014·广东卷] 曲线 y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2)处的切线方程为 ．
b 2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ＝ax 2＋ (a ，b 为常数) x
过点 P (2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x ＋2y ＋3＝0 平行，则 a ＋b 的值是 ．
