曲线和方程练习

【高考复习】江苏届高考复习曲线与方程专题练习（带答案）方程是指含有未知数的等式，以下是江苏届高考复习曲线与方程专题练习，请考生认真练习。

一、填空1.(苏州模拟)如图85，已知f1、f2分别是椭圆c：+=1(a0)的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段pf2与圆x2+y2=b2相切于点q，且点q为线段pf2的中点，则椭圆c的离心率为________.【分析】从问题的含义来看，OQ=b=Pf1，然后PF2=2a-Pf1=2a-2b，QF2=A-b，所以（A-b）2+B2=C2，然后2a=3b，然后4a2=9b2=9a2-9c2，然后E=[答案]2.（中学附属中学研究），已知抛物线y2=4x，点a（5,0）。

点O是坐标原点，具有倾角的直线L与线段OA相交，但只有两点O和a，抛物线与两点m和N相交，则AMN的最大面积为___[解析]设直线l的方程为y=x+b(-5c，直线pr的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.如果圆（x-1）2+y2=1内接在PRN中，则圆心（1,0）到直线PR的距离为1=1，注意到x02，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，类似地，（x0-2）C2+2y0c-x0=0b。

C是方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0中的两个b+c=，bc=，(b-c)2=.Y=2x0，B-C=，s△ PRN=（B-C）x0=（x0-2）++48，当且仅当x0=4时取等号，prn面积的最小值为8.特殊突破五：高考解析几何解题策略(见学生用书第187页)1型曲线方程及其性质直线方程、圆方程、圆锥曲线的标准方程在课标高考中占有十分重要的地位，由已知条件求曲线方程或已知曲线方程研究曲线性质是高考命题的重点和热点，求曲线方程最常用的方法是定义法与待定系数法，椭圆与双曲线的离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系，另外抛物线的准线，双曲线的渐近线，圆的切线也是命题的热点.【典型示例1】（南京质量检验）已知椭圆中心位于坐标原点，焦点位于x轴上，偏心率为，其一个顶点是抛物线x2=4Y的焦点(1)求椭圆方程;（2）如果直线y=X-1与点a处的抛物线相切，则求出以a为中心并与抛物线的拟直线相切的圆方程[思路点拨](1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的标准方程.(2)联立方程求出圆心和半径.[标准解决方案]（1）椭圆的中心位于原点，焦点位于x轴上设椭圆的方程为+=1(a0)，因为抛物线x2=4Y的焦点是（0,1），所以b=1.根据偏心率e==，A2=B2+C2=1+C2，从而得a=，椭圆的标准方程为+y2=1.（2）所有点a（2,1）都是从解中得到的因为抛物线的准线方程为y=-1，所以圆的半径r=1-（-1）=2，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【反思与启示】1待定系数法求解曲线方程的关键是方程的联立求解。

高三数学曲线与方程练习题1. 求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标和对称轴方程。

解：首先，我们可以将抛物线的方程表示成标准形式：$y = a(x-h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。

将给定的抛物线方程展开，可以得到：$y = x^2 - 4x + 3$比较标准形式与给定方程，可以得知：$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$将$h$代入给定方程，可以得到顶点的纵坐标：$k = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$所以，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。

对称轴的方程可以通过将$x$替换为$h$得到：$x = 2$综上所述，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$，对称轴方程为 $x = 2$。

2. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像过点$(-1, 0)$，切线方程为 $y = 2x - 3$，求函数的解析式。

解：首先，由于已知二次函数的图像过点$(-1, 0)$，可以得到一个方程：$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$化简上述方程，可以得到：$a - b + c = 0$另外，切线的方程为 $y = 2x - 3$，说明该点处的导数为2，即对应二次函数的导数为2。

所以我们可以对二次函数求导以得到导函数。

对二次函数求导，可以得到：$y' = 2ax + b$将过点$(-1, 0)$的坐标代入导函数，可以得到一个新的方程：$2a(-1) + b = 2$化简上述方程，可以得到：$-2a + b = 2$综合以上两个方程，可以得到一个方程组：$\begin{cases}a -b +c = 0 \\-2a + b = 2 \\\end{cases}$通过解方程组，我们可以得到 $a = -\frac{2}{5}$，$b = -\frac{6}{5}$ 和 $c = -\frac{12}{5}$。

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。

曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。

其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。

练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。

当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。

因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。

这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。

练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。

我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。

例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。

将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。

这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。

练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。

正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。

我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。

例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。

将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。

这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。

练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。

指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。

我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。

曲线的切线与法线方程练习题切线是解析几何中常用的概念，它是曲线在某个给定点处的切线，代表了曲线在该点的局部变化趋势。

而法线则是与切线垂直的直线，它用来描述曲线在给定点处的垂直方向的变化。

在解析几何中，我们经常需要求解曲线的切线和法线方程。

下面，我们就来练习一些曲线的切线与法线方程的题目。

题目一：给定曲线方程 y = 2x^2 + 3x - 4，求曲线在点 (1, 1) 处的切线和法线方程。

解答一：首先，我们求解曲线在点 (1, 1) 处的切线方程。

设曲线在点 (1, 1) 处的切线方程为 y = mx + c，其中 m 为切线的斜率，c 为切线与 y 轴的交点。

要求解切线的斜率，可以利用导数的概念。

曲线的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

因此，我们需要先对曲线方程进行求导，然后将 x = 1 代入求得切线的斜率。

对 y = 2x^2 + 3x - 4 进行求导，得到 y' = 4x + 3。

将 x = 1 代入，可得切线的斜率 m = 4*1 + 3 = 7。

接下来，我们需要求解切线与 y 轴的交点。

由于切线过点 (1, 1)，代入切线方程得到 1 = 7*1 + c，解方程可得 c = -6。

综上，曲线在点 (1, 1) 处的切线方程为 y = 7x - 6。

接下来，我们来求解曲线在点 (1, 1) 处的法线方程。

法线与切线垂直，因此切线的斜率与法线的斜率的乘积等于 -1。

切线的斜率为 7，因此法线的斜率为 -1/7。

法线通过点 (1, 1)，代入法线方程可得 1 = (-1/7)*1 + c'，解方程可得c' = 8/7。

综上，曲线在点 (1, 1) 处的法线方程为 y = (-1/7)x + 8/7。

题目二：给定曲线方程 y = 3x^3 - 2x，求曲线在点 (-1, 5) 处的切线和法线方程。

解答二：与上一题类似，我们首先求解曲线在点 (-1, 5) 处的切线方程。

高一数学方程曲线练习题一、单项选择题（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错选、多选或未选均无分。

）1.双曲线x2－2y2＝16的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 2.a=5,焦距为4,焦点在y 轴上的椭圆方程是（ ）A.2212125y x += B.2212521y x += C.221254y x += D.221425y x += 3.焦点在y 轴上,a=3,b=4的双曲线方程是（ ）A.221169y x -= B.221916x y -= C.221169x y -=D.221916y x -= 4.ax2+by2=ab 且ab<0,则这曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.圆D.射线 5.双曲线22148y x -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±x D.y ＝±2x 6.双曲线221916x y -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±34x B.y ＝±43x C.y ＝±916x D.y ＝±169x 7.椭圆x225＋y24=1的长轴长为 （ ） A.10 B.5C.4D.28.双曲线x29－y216=－1的顶点坐标为 （ ） A.（±4，0），（0，±3）B.（±3，0），（0，±4）C.（±3，0）D.（0，±4）9.已知ax2＋y2＝1，当－1＜a ＜0时，方程所表示的曲线为 （ ）A.焦点在y 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线10.椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（ ）A.y225＋x216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225＋x216＝1或x225＋y216＝1 D.y225＋x29＝1 11.若椭圆的两半轴之和为8，它的焦点与双曲线x2－y2＝8的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ）A.45B.35C.12D.2212.过点（2，3）的等轴双曲线方程是 （ ） A.x24－y29＝1 B.y25－x25＝1 C.x213－y213＝1 D.y213－x213＝1 13.平面内到两定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹方程是（ ）A.29x ＋216y ＝1B.225x ＋29y ＝1 C.29x －216y ＝1 D.216x －29y ＝1 14.在下列双曲线中，以y ＝12x 为渐近线的双由线是 （ ） A.216x －24y ＝1 B.24x －216y ＝1 C.22x －21y ＝1 D.21x －22y ＝1 15.椭圆22x a ＋22y b＝1的离心率是方程2x2－5x ＋2＝0的一个根，长轴长2a ＝8，则焦点坐标为 （ ）A.（±4，0）B.（0，±2）C.（±2，0）D.，0）16.设椭圆22x a ＋22y b＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B 且｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，则该椭圆的方程为 （ ） A.24x ＋23x ＝1 B.23x ＋y2＝1 C.22x ＋y2＝1 D.24x ＋y2＝1 17.已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P 到F1的距离是12，则点P 到F2的距离是（ ）A.17B.7C.7或17D.2或2218.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是（ ）A.y ＝±xB.y ＝±2xC.y ＝±3xD.y ＝±2x19.已知动点P （x ，y ）到两个定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.x225－y216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225－x216＝1 D.y225＋x216＝1 20.若椭圆x216＋y2m＝1经过点M （2，15），则（ ） A.椭圆的长轴长为25，焦点在y 轴上B.椭圆的长轴长为45，焦点在y 轴上C.椭圆的长轴长为8，焦点在x 轴上D.椭圆的长轴长为4，焦点在x 轴上二、填空题21.椭圆4x2＋9y2＝36的a,b 值分别为 .22.已知椭圆的短轴长等于焦距,则离心率为 .23.双曲线221819x y -=的焦距为 . 24.以（±5，0）为焦点，且过点（0，4）的椭圆的标准方程为 .25.若双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，焦距为8，一个顶点为（2，0），则该双曲线的标准方程为 .26.双曲线x29－y227＝1的离心率为 . 27.已知双曲线x2a －y212＝1的离心率为2，则a ＝ . 28.已知椭圆25x ＋2y k＝1，则k ＝ . 29.到定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于10的点的轨迹方程为 .30.过双曲线x216－y29＝1的焦点，且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）31.已知椭圆的中心在原点,有一个焦点与抛物线y2＝－8x 的焦点重合,且椭圆的离心率e ＝23,求椭圆的标准方程. 32.求下列椭圆的焦点、焦距.(1)4x2＋y2＝16; (2)x2＋4y2＝1.33.求双曲线221124y x -=的实轴长、虚轴长、顶点坐标、离心率及渐近线方程. 34.已知椭圆x29＋y2m =1（9>m>0）与双曲线x29－y2n=1的离心率分别是9x2－18x ＋8=0的两根，求m ，n 的值.35.求以3x ±2y=0为渐近线，且过点（－4，33）的双曲线的标准方程.答案一、单项选择题1.D2.B 【提示】 焦距是4,故c=2,a=5,所以b2=21,所以方程是2212521y x +=. 3.D 【提示】 由题意知方程是221916y x -=,故选D. 4.A 【提示】 双曲线ax2+by2=ab 且（ab<0）化简为221x y b a+=,其中ab 异号,所以该曲线表示双曲线,故选A.5.B6.B7.A 【提示】a2＝25，∴a ＝5，∴2a ＝10.8.D【提示】x29－y216＝－1，即y216－x29＝1，∴a2＝16，∴a ＝4，∴顶点坐标为（0，±4）. 9.D 【提示】当－1＜a ＜0时，2x 的系数是负数，2y 系数为正数，根据解析式的特征，方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线，故选D.10.C11.A12.B13.C14.A15.C16.A17.D 【提示】 由双曲线定义知|||PF1|－|PF2|＝2a ，∵a2＝25，a ＝5，∴｜12－｜PF2｜｜＝10，解得｜PF2｜＝2或22，故选D ．18.A 【提示】 方程可化为y22－x22＝1，a2＝b2＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±a b x ，即y ＝±22x ＝±x ． 19.B 【提示】∵2a ＝10，∴a ＝5.又∵c ＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，∴动点P 的轨迹方程是x225＋y216＝1. 20.B 【提示】∵将点M （2，15）代入x216＋y2m ＝1得416＋15m ＝1，∴m ＝20，∴方程为x216＋y220＝1，则a2＝20，a ＝25，∴长轴长2a ＝45，焦点在y 轴上． 二、填空题21.3 2 22.2223.61024.x241＋y216＝1 【提示】c ＝5，b ＝4，∴a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，∴椭圆的标准方程为x241＋y216＝1. 25.22412x y -＝1 【解析】焦点在x 轴上，且c ＝4，a ＝2，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，∴双曲线的标准方程为22412x y -＝1. 26.2 【解析】a2＝9，b2＝27，∴c2＝a2＋b2＝36，∴a ＝3，c ＝6，∴离心率e ＝c a＝2.27.428.4或25429.x225＋y29＝1 【提示】 根据椭圆定义得c ＝4，2a ＝10⇒a ＝5，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故椭圆的标准方程为x225＋y29＝1． 30.92【提示】取右焦点F （5，0），直线方程为x ＝5，则⎩⎨⎧x216－y29＝1，x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝94或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－94，即A 95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴｜AB ｜＝92. 三、解答题31.解 ∵2p ＝8,即2p ＝2,∴抛物线焦点F 的坐标为F(－2,0),即椭圆的焦距2c ＝4,∵椭圆的离心率e ＝c a＝23,∴a ＝3,b＝5,∴椭圆的标准方程为2295x y +＝1. 32.(1)焦点(0,±23) 焦距4 3 (2)焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭焦距 333.实轴长4 3 虚轴长4 顶点坐标(0,±23) 离心率233渐近线y ＝±3x34.解：由9x2－18x ＋8＝0解得x1＝23，x2＝43， ∴椭圆离心率23，双曲线离心率为43， 即9－m 9＝49，∴m ＝5，9＋n 9＝169，∴n ＝7. 35.解：设双曲线方程为9x2－4y2＝λ（λ≠0），将点（－4，33）代入，得λ＝36， ∴双曲线方程为9x2－4y2＝36，即x24－y29＝1.。

课时提升作业(五十八)一、选择题1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若错误！未找到引用源。

=λ错误！未找到引用源。

(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,错误！未找到引用源。

)的轨迹是( )(A)圆(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( )(A)(x-1)2+(y+1)2=9(B)(x+1)2+(y-1)2=9(C)(x-1)2+(y-1)2=9(D)(x+1)2+(y+1)2=96.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg错误！未找到引用源。

成等差数列,则点P的轨迹图象是( )7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线8.(2013·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-错误！未找到引用源。

,0),C(错误！未找到引用源。

方程与曲线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．平面内有两定点,A B ,且AB 4= ，动点P 满足4PA PB += ，则点P 轨迹是( ) A ．线段B ．半圆C ．圆D ．直线2．动点P 到点A (6，0)的距离是到点B (2，0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．(x +2)2+y 2=32 B ．x 2+y 2=16 C ．(x -1)2+y 2=16 D ．x 2+(y -1)2=163．与点()1,0A -和点()10B ,连线的斜率之和为1-的动点P 的轨迹方程是（ ） A ．223x y += B ．()2211x xy x +=≠±C ．y =D ．()2290x y x +=≠4．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对5．方程（3x -y +1）（y =0表示的曲线为（ ） A ．一条线段和半个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条线段和半个椭圆D ．两条线段6．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=二、填空题7．方程()10x y +-=表示的曲线是________. 8．直线(2)4y k x =-+与曲线214y x 仅有一个公共点，则实数的k 的取值范围是________.9．已知矩形ABCD 中，3AB BC a ==，，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则当满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是___________. 10．过圆224x y +=上任意一点M 作x 轴垂线，垂足为N ，则线段MN 的中点的轨迹方程为____________.三、解答题11．k 代表实数，讨论方程kx 2+2y 2﹣8=0所表示的曲线．12．已知圆22:4O x y +=，点()3,5A -，点M 在圆O 上移动，且动点P 满足13AP AM =，求动点P 的轨迹方程.13．已知曲线C 是动点M 到两个定点()O 0,0、()A 3,0距离之比为12的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程；（2）求过点()N 1,3且与曲线C 相切的直线方程.14．圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程. 15．过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA ． (1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)延长OA 到N ，使|OA|=|AN|，求N 点的轨迹方程. 16．已知()4,4A 、()1,1B ，动点P 满足2PA PB =. （1）求P 点轨迹方程C ；（2）在直线:80l x +-=上求一点Q ，使过点Q 能作轨迹C 的两条互相垂直的切线.参考答案1．C 【解析】假设AB 的中点为O ，则2PA PB PO +=， ∵4PA PB +=，∴|PO |=2 ∵A ，B 是定点，∴O 为定点∴点P 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆 故选C. 2．A 【解析】 【分析】先设出动点P 的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得. 【详解】设(,)P x y ,则由题意可得PA PB =,=化简可得22(2)32x y ++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养. 3．B 【解析】 【分析】设出P 点的坐标，利用斜率之和为1-列方程，化简后求得动点P 的轨迹方程. 【详解】设动点(),P x y ，1PA PB k k +=-，()00111y y x x --∴+=----，整理得()2211x xy x +=≠±. 故选：B 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题4．C 【解析】 【分析】由题意，根据方程010x y xy -=⎧⎨-=⎩，解方程组，即可得到结论．【详解】由题意，方程22()(1)0x y xy -+-=，可得010x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，所以方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是两个点(1,1)或(1,1)--，故选C ． 【点睛】本题主要考查了曲线与方程问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】由原方程可得y=-1≤x≤1，y 0≥）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），进一步求出轨迹得答案． 【详解】由方程（3x-y+1）（=0得y 0≥）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，即221y 0x y +=≥（）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），∴方程（3x-y+1）（=0表示一条线段和半个圆． 故选A ． 【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义的范围，是中档题． 6．B 【解析】 【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型. 7．射线()101x y x +-=≥和直线1x = 【解析】 【分析】根据()10x y +-=，由1010x y x +-=⎧⎨-≥⎩或0=求解.【详解】由()10x y +-=，得1010x y x +-=⎧⎨-≥⎩0=，即()101x y x +-=≥或1x =.所以方程表示的曲线是射线()101x y x +-=≥和直线1x =. 故答案为：射线()101x y x +-=≥和直线1x = 【点睛】本题主要考查曲线与方程以及方程化简问题，属于基础题. 8．35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【解析】 【分析】根据方程可知直线恒过点(2,4)，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出k ，再结合图形求出当直线经过点(2,1)-，(2,1)时，实数k 的取值，即可的k 的取值范围． 【详解】 解：如图， 由题知曲线214y x 即22(1)4x y +-=，表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线1y =上方，直线(2)4y k x =-+恒过点(2,4)， 因为直线与曲线只有一个交点，2=，解得512k =， 由图，当直线经过点(2,1)-时，直线的斜率为4132(2)4-=--，当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在， 综上，实数k 的取值范围是512k =，或34k >， 故答案为 35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题 9．6a > 【解析】∵PA ⊥平面AC ， ∴PA ⊥DE又∵PE ⊥DE ，PA∩PE=P ∴DE ⊥平面PAE ∴DE ⊥AE即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点 ∵AB=3，BC=a ，满足条件的E 点有2个 ∴6a > 故答案为6a > 10．2244x y += 【解析】 【分析】设线段MN 的中点为(,)P x y ，利用代入法求得P 的轨迹方程. 【详解】设线段MN 的中点为(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，则0002x x y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得00,2x x y y ==，又22004x y +=，得2244x y +=. 故答案为：2244x y += 【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程的方法，中点坐标公式，考查了代入法，属于基础题． 11．【解析】试题分析：本题要确定曲线的类型，关键是讨论k 的取值范围， 解：当k ＜0时，曲线为焦点在y 轴的双曲线；当k=0时，曲线为两条平行于轴的直线y=2或y=﹣2； 当0＜k ＜2时，曲为焦点x 轴的椭圆； 当k=2时，曲线为一个圆；当k ＞2时，曲线为焦点y 轴的椭圆．点评：本题考查了几种基本的曲线方程与曲线的对应关系，从方程区分曲线也是必需的要掌握的．12．()221042()39x y ++-= 【解析】 【分析】设动点(),P x y ，()00,M x y ，根据题设条件和向量的坐标运算，求得0036310x x y y =+⎧⎨=-⎩，将点()00,M x y 代入圆的方程，即可求解. 【详解】设动点(),P x y ，()00,M x y ，因为()3,5AP x y =+-，()003,5AM x y =+-，所以()()0013,53,53x y x y +-=+-，所以00131315533x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即0036310x x y y =+⎧⎨=-⎩， 因为点()00,M x y 在圆O 上，所以22004x y +=，即()()22363104x y ++-=，整理得()221042()39x y ++-=， 所以动点P 的轨迹方程为()221042()39x y ++-=. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中根据向量的坐标运算，列出方程组，求得点M 的坐标，结合代入法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 13．（1）；(2）1x =，512310x y -+=．【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）在给定的坐标系里，设点．由12OM AM=及两点间的距离公式，得， ①将①式两边平方整理得： 即所求曲线方程为：．（2）由（1）得，其圆心为(1,0)C -，半径为2．i)当过点(1,3)N 的直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，显然与圆相切； ii) 当过点(1,3)N 的直线的斜率存在时，设其方程为3(1)y k x -=- 即30kx y k -+-=由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得2=，解得512k =，此时直线方程为512310x y -+=所以过点(1,3)N 与曲线C 相切的直线方程为1x =或512310x y -+=． 14．2211()24x y -+= 【解析】 【分析】设弦的中点为(,)x y ，利用中点坐标公式可求出弦的另一端点为(2,2)x y ，代入圆C 的方程即可得到答案. 【详解】设弦的中点为(,)x y ，则弦的另一端点为(2,2)x y 在圆C 上，代入圆C 的方程可得22(21)(2)1x y -+=，即2211()24x y -+=， 故弦的中点的轨迹方程为2211()24x y -+=. 【点睛】本题主要考查利用代入法求轨迹方程，属于基础题. 15．(1)x 2+y 2-4x="0;" (2)x 2+y 2-16x=0 【解析】试题分析：（1）设M 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（2x ，2y ）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，所以， （2x ）2+（2y ）2-16x=0， 化简得M 点轨迹方程为x 2+y 2-4x=0．（2）设N 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（,22x y）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程， 得到：（2x ）2+（y2）2-4x=0， N 点轨迹方程为：x 2+y 2-16x=0． 考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．16．（1）228x y +=；（2）(2,Q .【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，利用两点间的距离公式结合等式2PA PB =，可求出点P 的轨迹方程；（2）设点Q 的坐标为()008,y ，并设切线与圆228x y +=相切于M 、N 两点，可知四边形OMQN 为正方形，可得出4OQ =，然后利用两点间的距离公式求出0y 的值，即可得出点Q 的坐标.【详解】（1）设点(),P x y ，由2PA PB == 化简得228x y +=，因此，P 点轨迹方程为228x y +=；（2）设点Q 的坐标为()008,y ，如下图所示：设切线与圆228x y +=相切于M 、N 两点，连接OM 、ON ，则四边形OMQN 为正方形，且OM ON ==4OQ ∴==.4=，解得0y =Q 的坐标为(2,. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，解题的关键就是将问题转化为该点与圆心的距离问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。

8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，则动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 [答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设M (x ，y )，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝1， ∴x 2＋y 2＝2，故选B.3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.52 B.54 C. 2 D ．2 [答案] A[解析] 设椭圆、双曲线的半焦距分别为c 、c ′，由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14， 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c ′2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52.4．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x y 1＝2ax，消去x 得，y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.5．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B. 7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．(2011·聊城月考)过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，k ≠0，则l 2：y －1＝－1k(x －1)，l 1与x 轴交于点A (1－1k ，0)，l 2与y 轴交于点B (0,1＋1k )，∴AB 的中点M (12－12k ，12＋12k)，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k ，y ＝12＋12k ∴x ＋y ＝1.即AB 的中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点P 的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 设P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．10．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是双曲线上任一点，Q 是P 关于x 轴的对称点，求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．[解析] 由条件知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则Q (x 1，－y 1)，|x 1|>3，∴直线A 1P ：y ＝y 1x 1＋3·(x ＋3)，A 2Q ：y ＝－y 1x 1－3·(x －3)，两式相乘得y 2x 2－9＝－y 21x 21－9， ∵点P 在双曲线上，∴x 219－y 2116＝1，∴－y 21x 21－9＝－169∴y 2x 2－9＝－169，整理得x 29＋y 216＝1(xy ≠0).能力拓展提升11.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎨⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.12．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.13．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎨⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.14．(2012·福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2161的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意知椭圆的焦点坐标为：F 1(－3,0)，F 2(3,0)．∵△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，∴△MF 1F 2的内切圆的半径r ＝32.又∵S △MF 2F 1＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋2c )·r ＝c |y M |，∴y M ＝±4.∴满足条件的点M只有两个，在短轴顶点处．15.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|PA |＋|PN |＝|AN |，∴|PA |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切．16．(2012·广东揭阳市模拟)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点G (1,0)和G ′(－1,0)，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆P ，试探究是否存在一个以点G ′(－1,0)为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知直线A 1N 1的方程为： y ＝m2x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点， ①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)．将mn ＝3代入，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知，点G (1,0)和G ′(－1,0)为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点，由椭圆的定义得|PG ′|＋|PG |＝4， 即|PG ′|＝4－|PG |，∴以G ′为圆心，以4为半径的圆与圆P 内切， 即存在定圆G ′，该定圆与圆P 恒内切， 其方程为：(x ＋1)2＋y 2＝16.1．已知点A (2,0)，B 、C 在y 轴上，且|BC |＝4，△ABC 外心的轨迹S 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．x 2＋y 2＝4C ．y 2＝4xD ．x 2＝4y[答案] C[解析] 设△ABC 外心为G (x ，y )，B (0，a )，C (0，a ＋4)， 由G 点在BC 的垂直平分线上知y ＝a ＋2， ∵|GA |2＝|GB |2，∴(x －2)2＋y 2＝x 2＋(y －a )2， 整理得y 2＝4x ，即点G 的轨迹S 方程为y 2＝4x .2．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．3．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.4．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b 2＝1 [解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)，∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )， 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1. 5．(2012·石家庄质检)点P 为圆O ：x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 经过定点(0,2)，且与曲线C 交于A 、B 两点，求△OAB 面积的最大值．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则D (x 0,0)．由题意可得⎩⎨⎧ x ＝x 0，y ＝12y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y ，(*) 将(*)式代入x 2＋y 2＝4中，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(4k 2＋1)×12＝16(4k 2－3)，由Δ>0，得4k 2－3>0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1.② |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(－16k 4k 2＋1)2－4·124k 2＋1].③ 原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.④由三角形的面积公式及③④得S △OAB ＝12×|AB |d ＝44k 2－3(1＋4k 2)2＝44k2－3(4k2－3)2＋8(4k2－3)＋16＝414k2－3＋8＋164k2－3≤4116＝1，当且仅当4k2－3＝164k2－3，即4k2－3＝4时，等号成立．此时S△OAB的最大值为1.。