利用动态规划求解资源分配问题的单表迭代法

典型单班次问题的线性规划求解
纪贤标
【期刊名称】《广西轻工业》
【年(卷),期】2007(023)011
【摘要】单班次问题是研究更一般、更复杂班次问题的基础,基于对作业计划的灵活分类并设立决策变量,从而为典型的单班次问题建立数学模型,实现利用线性规划方法求解.利用线性规划方法求解单班次问题有着思路简洁、灵活易变、结果分析直观等特点.
【总页数】3页(P64-66)
【作者】纪贤标
【作者单位】集美大学工商管理学院,福建,厦门,361021
【正文语种】中文
【中图分类】F272.92
【相关文献】
1.用Excel软件中规划求解命令求解线性规划问题 [J], 张景川
2.基于多目标模糊线性规划求解方法的飞机排班问题研究 [J], 吴东华;夏洪山
3.一类单输入单输出的典型非线性系统神经网络滑模控制 [J], 刘洁;张华;王述一;刘子龙
4.利用动态规划求解资源分配问题的单表迭代法 [J], 宋占岭;冀秀春
5.Excel2003中解决线性规划求解问题 [J], 姜雪茸;
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1.资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2.资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);3.线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F[i]:=max{f[j]+1}4.剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5.剖分问题2-----多边形剖分F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6.剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7.资源问题3-----系统可靠性(完全背包)F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}8.贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}9.贪心的动态规划2-----过河f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]){f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态10.剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];负负 g[I,k]*f[k+1,j];正负 g[I,k]*f[k+1,j];负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11.树型动态规划1-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}12.树型动态规划2-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}13.计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)14.递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m]15.递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16.最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17.判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18.判定性问题2-----能否被k整除f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20.线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0]21.线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]={0(i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1(i>0,j>0,x[i]=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);22.最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);24.数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25.数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]26.双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28.数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29.数字三角形6-----优化的打砖块f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}30.线性动态规划3-----打鼹鼠’f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j])31.树形动态规划3-----贪吃的九头龙⎭⎬⎫⎩⎨⎧======⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++--+=0))2()0(&)0(())1(&)1((1],[]][,[*]0,[],',[]0,',[]][,[*]1,[],1',[]1,',[min ],,[m and j i or j i j i d i p i w k d k j j r f j l f i p i w k d k j j r f j l f k j i f32.状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])If (map[i] and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)33.递推天地3-----情书抄写员f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2]34.递推天地4-----错位排列f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35.递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36.递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37.递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1):=sqr(n)-n+2;38递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k 边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39递推天地9-----Catalan 数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f[i]+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43剖分问题5-----最大奖励f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t44最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H 的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);49 资源问题-----化工场装箱员[,[1,],[1,]][,,]:min [,[1,],[1,]]1[10,[1,10],[1,10]f n i getA n n i j getB n n i f n i j f n j i getA n n j getB n n j f n i j i getA n n i j j getB n n i j ++++++⎧⎫⎪⎪=+++++++⎨⎬⎪⎪+--+++--+++--⎩⎭-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);51树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);52递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53双重动态规划-----有限的基因序列f[i]:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55线性动态规划------日程安排f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])56递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}58树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0)-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]]61线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}62线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);64树形动态规划-----APIO2007 风铃f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]]68目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]]69树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;70地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71最大子矩阵问题-----最大字段和问题f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1]72最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])79线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])80树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。

动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。

本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。

二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。

其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。

具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。

这种分解可以通过递归的方式进行。

2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。

状态具有明确的定义和可计算的表达式。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。

这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。

4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。

三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。

假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。

目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。

这个问题可以通过动态规划算法来求解。

具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。

（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。

（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。

2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。

动态规划算法在路径规划中的应用路径规划在日常生活中随处可见，比如搜索最短路线、规划旅游路线、寻找交通路线等等。

其中，动态规划算法被广泛应用于路径规划领域，可解决诸如最短路径、最小花费路径等问题。

这篇文章将介绍动态规划算法在路径规划中的应用。

一、动态规划算法的基本原理动态规划算法是一种求解多阶段决策问题的优化方法。

它将问题分成多个子问题，并分别求解这些子问题的最优解。

最后通过不断合并子问题的最优解得到原问题的最优解。

其基本思想可以用以下三个步骤来概括：1.确定状态：将原问题分解成若干个子问题，每个子问题对应一个状态。

2.确定状态转移方程：确定每个状态之间的转移关系。

3.确定边界条件：确定初始状态和结束状态。

动态规划算法通常包括两种方法：自顶向下的记忆化搜索和自底向上的迭代法。

其中，自顶向下的记忆化搜索依赖于递归调用子问题的解，而自底向上的迭代法则通过维护状态表来解决问题。

二、动态规划算法在路径规划中的应用路径规划是动态规划算法的一个重要应用场景。

动态规划算法可以用来求解最短路径、最小花费路径、最大价值路径等问题。

这里以求解最短路径为例，介绍动态规划算法在路径规划中的应用。

1.问题定义假设我们需要从城市A走到城市B，中途经过若干个城市。

每个城市之间的距离已知，现在需要求出从城市A到城市B的最短路径。

这个问题可以用动态规划算法来求解。

2.状态定义在这个问题中，我们可以用一个二元组(u, v)表示从城市u到城市v的一条路径。

因此，在求解最短路径问题时，我们需要进行状态定义。

通常情况下，状态定义成一个包含一个或多个变量的元组，这些变量描述了在路径中的某个位置、某种状态和其他有关的信息。

在这个问题中，状态定义为S(i,j)，它表示从城市A到城市j的一条路径，该路径经过了城市集合{1, 2, …, i}。

3.状态转移方程状态转移方程描述了相邻状态之间的关系，即从一个状态到另一个状态的计算方法。

在求解最短路径问题时，状态转移方程可以定义为：d(i, j) = min{d(i-1, j), d(i, k) + w(k, j)}其中，d(i,j)表示从城市A到城市j经过城市集合{1, 2, …, i}的最短路径长度。

动态规划方案解决资源分配问题的策略在幼儿教育事业中，资源分配问题是一项至关重要的任务。

如何合理、高效地分配教育资源，以满足幼儿的需求和发展，成为幼儿工作者们关注的焦点。

针对这一问题，我们引入动态规划这一优化算法，提出一套解决方案，以期为我国幼儿教育事业的发展提供有力支持。

一、背景及问题阐述随着我国经济社会的快速发展，幼儿教育事业逐渐受到广泛关注。

然而，在资源分配方面，幼儿教育仍面临诸多问题。

一方面，资源分配不均，城乡、地区之间差距较大，部分幼儿无法享受到优质的教育资源；另一方面，资源利用效率低下，导致教育成本上升，加剧了教育资源供需矛盾。

为解决这一问题，我们需要对教育资源进行合理分配，提高资源利用效率。

动态规划作为一种优化算法，具有实现全局最优、求解效率高等特点，适用于解决资源分配问题。

本文将以幼儿教育资源分配为背景，探讨动态规划在解决资源分配问题方面的应用。

二、动态规划基本原理动态规划（DynamicProgramming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为多个子问题，并通过求解子问题来实现全局最优。

动态规划的核心思想是“记住已经解决过的子问题的最优解”，从而避免重复计算。

1.确定状态：将问题分解为若干个子问题，并用状态变量表示这些子问题。

2.建立状态转移方程：找出子问题之间的关系，建立状态转移方程，表示当前状态如何通过前一个状态得到。

3.确定边界条件：设定初始状态和边界条件，为递推过程提供基础。

4.计算最优解：根据状态转移方程，从初始状态开始递推，得到问题的最优解。

5.构造最优解：根据最优解的递推过程，构造出问题的最优解。

三、动态规划解决资源分配问题的策略1.状态定义我们将资源分配问题分为两个状态：当前状态和子状态。

当前状态表示在某一时间点或某一阶段，已分配的资源总量；子状态表示在分配过程中，某一特定资源类型的分配情况。

2.状态转移方程状态转移方程是动态规划的核心，它描述了当前状态如何由子状态得到。

动态规划问题典型解决策略概述动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法设计方法，用于求解多阶段决策问题。

通过将问题划分为若干个子问题，并保存已解决子问题的结果，最终得到原问题的解。

本文将对动态规划问题的典型解决策略进行概述。

一、动态规划基本思想动态规划算法的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解，得到原问题的解。

其核心是利用子问题的最优解构造原问题的最优解，以此达到减少计算量的目的。

二、动态规划问题的特点动态规划问题具有以下几个特点：1. 最优子结构性质：原问题的最优解可以通过子问题的最优解构造而得到。

2. 重叠子问题性质：动态规划算法会将子问题的解保存在一个表或数组中，避免重复计算相同的子问题。

3. 状态转移方程：通过定义状态转移方程来描述原问题与子问题之间的关系，进而求解问题的最优解。

三、动态规划问题的解决策略为了解决动态规划问题，需要采用合适的解决策略。

下面介绍几种常见的动态规划问题解决策略。

1. 自顶向下的递归求解这种方法是从原问题开始，不断分解为规模更小的子问题，并递归地求解子问题。

通过保存已解决子问题的结果，避免重复计算，提高效率。

这种方法常用于问题规模较小、子问题数较少的情况。

2. 自底向上的迭代求解自底向上的方法是从问题的较小规模开始解决，逐步构造出问题的最优解。

按顺序求解子问题，通过已解决问题的最优解计算出更大规模的问题的最优解。

这种方法适用于问题规模较大、子问题之间没有重叠的情况。

3. 带备忘录的自顶向下求解带备忘录的自顶向下方法在递归求解的基础上，增加了备忘录来保存已解决子问题的结果。

在每次递归时，先查看备忘录中是否已经计算过，如果有则直接使用，避免重复计算。

这种方法常用于问题规模较大、子问题数较多的情况。

4. 状态压缩状态压缩是指通过定义合适的状态表示，将问题的状态空间进行压缩。

通过降低空间复杂度来提高程序的效率。

这种方法常用于状态空间较大的问题，如旅行商问题等。

动态规划讲解大全动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程（multistep decision process）的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法--动态规划。

1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用.例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。

不象前面所述的那些搜索或数值计算那样,具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。

动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法,可以解决各类最优化问题。

因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型,用创造性的技巧去求解.我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。

基本模型多阶段决策过程的最优化问题。

在现实生活中,有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段,在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。

在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。

以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。

假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。

动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。

1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。

通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。

2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。

最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。

换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。

3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。

状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。

通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。

动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。

它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。

1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。

动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。

动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。

动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。

以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。

它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。

可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。

2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。

0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。

完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。

3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。

4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。

5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。

以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。

常用算法——迭代法迭代法是一种常见的算法设计方法，它通过重复执行一定的操作来逐步逼近问题的解。

迭代法是一种简单有效的求解问题的方法，常用于求解数值问题、优化问题以及函数逼近等领域。

本文将介绍迭代法的基本概念、原理以及常见的应用场景。

一、迭代法的基本概念迭代法的思想是通过反复应用一些函数或算子来逐步逼近问题的解。

对于一个需要求解的问题，我们首先选择一个初始解或者近似解，然后通过不断迭代更新来逼近真实解。

迭代法的核心是找到一个递推关系，使得每次迭代可以使问题的解越来越接近真实解。

常见的迭代法有不动点迭代法、牛顿迭代法、梯度下降法等。

这些方法的求解过程都是基于迭代的思想，通过不断逼近解的过程来得到问题的解。

二、迭代法的原理迭代法的基本原理是通过不断迭代求解迭代方程的解，从而逼近问题的解。

迭代法的求解过程通常分为以下几个步骤：1.选择适当的初始解或者近似解。

初始解的选择对迭代法的收敛性和效率都有影响，一般需要根据问题的特点进行合理选择。

2.构建递推关系。

通过分析问题的特点，构建递推关系式来更新解的值。

递推关系的构建是迭代法求解问题的核心，它决定了每次迭代如何更新解的值。

3.根据递推关系进行迭代。

根据递推关系式，依次更新解的值，直到满足收敛条件为止。

收敛条件可以是解的变化小于一定阈值，或者达到一定的迭代次数。

4.得到逼近解。

当迭代停止时，得到的解即为问题的逼近解。

通常需要根据实际问题的需求来判断迭代停止的条件。

三、迭代法的应用迭代法在数值计算、优化问题以及函数逼近等领域有广泛的应用。

下面将介绍迭代法在常见问题中的应用场景。

1.数值计算：迭代法可以用于求解方程的根、解线性方程组、求解矩阵的特征值等数值计算问题。

这些问题的解通常是通过迭代的方式逼近得到的。

2.优化问题：迭代法可以应用于各种优化问题的求解，如最大值最小化、参数估计、模式识别等。

迭代法可以通过不断调整参数的值来逼近问题的最优解。

3.函数逼近：迭代法可以应用于函数逼近问题，通过不断迭代来逼近一个函数的近似解。

1. 资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2. 资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2-----多边形剖分F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);6. 剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7. 资源问题3-----系统可靠性(完全背包)F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}8. 贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}9. 贪心的动态规划2-----过河f=min{{f(i-k)} (not stone){f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];负负g[I,k]*f[k+1,j];正负g[I,k]*f[k+1,j];负正f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11. 树型动态规划1-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}12. 树型动态规划2-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}13. 计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)14. 递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]15. 递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16. 最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17. 判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18. 判定性问题2-----能否被k整除f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20. 线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0]21. 线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]={0(i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v]);24. 数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25. 数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]26. 双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28. 数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29. 数字三角形6-----优化的打砖块f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}30. 线性动态规划3-----打鼹鼠’f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])31. 树形动态规划3-----贪吃的九头龙32. 状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])If (map and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)33. 递推天地3-----情书抄写员f:=f[i-1]+k*f[i-2]34. 递推天地4-----错位排列f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35. 递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36. 递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37. 递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1):=sqr(n)-n+2;38 递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39 递推天地9-----Catalan数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40 递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41 线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42 线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w/w[j]-gold)};if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43 剖分问题5-----最大奖励f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t44 最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);49 资源问题-----化工场装箱员50 树形动态规划-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);51 树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);52 递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53 双重动态规划-----有限的基因序列f:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54 最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55 线性动态规划------日程安排f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)56 递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157 树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}58 树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)59 线性动态规划-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60 背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]61 线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+w ords[s]}62 线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63 线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);64 树形动态规划-----APIO2007 风铃f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65 地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66 地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67 目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]68 目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]69 树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves>=p>=l, 1<=q<=p;70 地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71 最大子矩阵问题-----最大字段和问题f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]72 最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73 括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74 棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75 概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176 概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77 线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78 线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])79 线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])80 树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。

动态规划的三个实施步骤什么是动态规划动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通常用于求解最优化问题。

动态规划的核心思想是将复杂问题分解成较简单的子问题，并通过子问题的最优解推导出原问题的最优解。

动态规划的三个实施步骤动态规划的实施步骤通常包括以下三个阶段：1.划分阶段：将原问题划分成若干个子问题，通过划分可以简化问题的复杂度。

2.确定状态：定义状态表示问题的不同阶段和状态，以及状态之间的关系。

状态的选择对最终解决问题的效率和准确性有很大影响。

3.推导方程：根据子问题的最优解和状态之间的关系，推导出原问题的最优解，并通过递推和迭代求解。

下面将详细介绍每个步骤。

1. 划分阶段在划分阶段，我们需要将原问题划分成若干个子问题。

通常，问题的划分可以基于以下两种方式之一：•递归划分：将原问题拆分成规模更小的相同类型的子问题，直到问题规模较小，可以直接得到解答。

•迭代划分：通过迭代的方式，逐步处理原问题的不同阶段，每个阶段都可以看作是一个子问题。

划分阶段可以大大减少问题的复杂度，使得问题的求解更加可行和高效。

2. 确定状态确定状态是动态规划的核心步骤，它需要定义状态并建立状态之间的关系。

状态表示问题的不同阶段和状态，以及状态之间的关联关系。

在确定状态时，通常需要考虑以下几个因素：•问题的边界状态：例如，问题的起始状态和最终状态。

•中间状态的定义：例如，问题的中间阶段的状态。

•状态之间的转移方程：即状态之间的关联关系，包括过程中的选择和决策。

通过合理地确定状态，可以将复杂问题简化成易于求解的子问题，并能够快速推导出原问题的最优解。

3. 推导方程在推导方程阶段，我们通过子问题的最优解和状态之间的关系，推导出原问题的最优解。

根据问题的具体特点和状态定义，推导方程可以采用不同的方式，例如：•递推方程：通过递归地求解子问题，逐步推导出原问题的最优解。

•迭代方程：通过迭代地更新状态，逐步得到原问题的最优解。

动态规划中策略迭代和值迭代的⼀个⼩例⼦强化学习中动态规划是解决已知状态转移概率和奖励值情况下的解决⽅法，这种情况下我们⼀般可以采取动态规划中的策略迭代和值迭代的⽅式来进⾏求解，下⾯给出⼀个具体的⼩例⼦。

动态规划可以看成是构成强化学习问题的⼀个⼦问题，与其说是⼀个⼦问题更不如说是⼀种特殊情况，动态规划中我们是知道 reward 和state transiton probability , ⽤强化学习的语⾔表⽰就是说在动态规划中我们是已知模型的，就是说在不同状态 state 时我们选择任意⾏为action, 所获得的奖励reward和跳转到的新状态是已知的，不需要我们抽样来学习。

⽽在强化学习问题中我们往往是不知道奖励值和跳转到的新状态的。

也就是说，这⾥⾯我们要说的策略迭代和值迭代都是在已知模型的情况下，因为这⾥我们讨论的是动态规划问题，⽽在强化学习中我们往往不知道模型的情况下我们⼀般采⽤蒙特卡洛和时序差分的⽅法，其中蒙特卡洛⽅法需要采样⼀次完整的决策过程才可以对过程中的决策动作更新Q值，计算量较⼤，计算不⽅便，不能单步的改进动作Q值，因此我们往往采⽤时序差分的⽅法，如 Q-learnging 和 Sarsa ⽅法。

这⾥我们主要讲的是动态规划中的策略迭代和值迭代⽅法，也可以看做是强化学习中已知模型的情况下求解最优策略的⽅法。

策略迭代⽅法的代码为：#encoding:UTF-8#!/usr/bin/env python3import random#状态states=["1", "2"]#动作actions=["a", "b"]# 奖励的折扣因⼦gama=0.99""" 状态值 v_valuev_value={"1":0,"2":0}"""v_value={}for state in states:v_value[state]=0# 动作值 ("1", "a"):0q_value={}def p_state_reward(state, action):# 输⼊当前状态，及⾏为# return 跳转概率，下⼀状态, 奖励if state=="1":if action=="a":return ((1.0/3, "1", 0),(2.0/3, "2", 1))else:return ((2.0/3, "1", 0),(1.0/3, "2", 1))if state=="2":if action=="a":return ((1.0/3, "1", 0),(2.0/3, "2", 1))else:return ((2.0/3, "1", 0),(1.0/3, "2", 1))# q_value 初始值"""q_value={("1", "a"):(1.0/3*()),("1", "b"):0,("2", "a"):0,("2", "b"):0}"""def q_value_fun():q_value.clear()for state in states:for action in actions:temp=0for t in p_state_reward(state, action):temp+=t[0]*(t[2]+gama*v_value[t[1]])q_value[(state, action)]=temp#q_value初始化q_value_fun()#策略 pi 初始化 "1":{"a":0.5, "b":0.5}pi={}for state in states:temp={}for action in actions:temp[action]=1.0/len(actions)pi[state]=temp#print(v_value)#print(pi)#print(q_value)#策略评估得出 v_value 值def policy_evalue():global v_valuev_value_new={}def v_update():nonlocal v_value_newv_value_new={}for state in states:temp=0for action, p in pi[state].items():temp+=p*q_value[(state, action)]v_value_new[state]=temp#print("v_value: "+str(v_value))#print("v_value_new: "+str(v_value_new))def stop_judge():flag=Truefor state, value in v_value.items():if abs(v_value_new[state]-value)>0.0001:flag=Falsereturn flag# 计算 v_value_newv_update()while stop_judge()!=True:# 更新 v_valuev_value=v_value_new# 更新 q_valueq_value_fun()# 再次迭代计算v_value_newv_update()#策略改进 maxdef policy_improve():flag=Truefor state in states:#L=[]#for action in actions:# L.append((q_value[state, action], action))#action=max(L)[-1]action=max((q_value[state, action], action) for action in actions)[-1] for k in pi[state]:if k==action:if pi[state][k]!=1.0:pi[state][k]=1.0flag=Falseelse:pi[state][k]=0.0return flagif__name__=="__main__":"""policy_evalue()print("*"*30)print(v_value)print("*"*30)print(q_value)print("*"*30)print(pi)"""policy_evalue()flag=policy_improve()i=1while flag!=True:i+=1policy_evalue()flag=policy_improve()print("*"*30+"\n")print("总共运⾏次数:"+str(i)+"\n")print("状态值为：")print(v_value)print("")print("⾏为值为：")print(q_value)print("策略为：")print(pi)在折扣因⼦ gama 设置为0.99的情况下，状态“1”的状态值为66.65674655343062，状态“2”的状态值为66.65674655343062 。