离散数学图论习题课共48页文档

(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。

2021/6/28
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练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0
A 0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
Hale Waihona Puke 5 6 4 2A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
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8 of 220
练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
〔1 n 6〕 熟练掌握求最优树的方法
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习题1

握手定理应用
无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶 点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则 d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 应用握手定理,得不等式 32=2m= Σd(vi)3*4+4*3+2x 得 x 4, 阶数 n 4+3+4=11.
14
1
实例
有向图D如图所示，求D的邻接矩阵 A与 A2, A3, A4. 问D 中长度 为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别有多少条？
2
实例求解
1 2 A 1 1 1 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A
8
例题
已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树 叶，试求树叶数. 解 设有x片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 先依树的性质m=n1， 再根据握手定理： 2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x， 解出x = 3，故T有3片树叶.
9
例题
已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) 解出n = 8，4度顶点为1个.
2
1 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1
A
3
1 5 4 A 4 4

之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1

离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。

[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。

是一个无向图。

②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。

是一个无向图。

③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。

是一个有向图。

2．画出下左图的补图。

[解] 左图的补图如右图所示。

3．证明下面两图同构。

a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。

4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。

图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。

6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e

2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)

例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：

课件
例3 对任意两个集合A, B,试证 A (A B) A B
证明 对于任意的x
x A (A B)
x {x x A x ( A B)} x {x x A (x A B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A x B}
课件
例10 求图的最小生成树
A 1B34 Nhomakorabea5
2 E
6
1A 2
B
E
4
6
C7 D
C
D
课件
例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的 都是4度顶点，则T有几个4度顶点？
• 解:设T有x个4度顶点 顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1)
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例12 求复合函数
X {1,2,3}, Y {p, q}, Z {a,b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p,b , q,b }
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例: 求幺元、零元、逆元
x A B 因为 x 是任意的,所以有
x ((x A (A B)) (x A B)) 的真值为T,
因此 A ( A B)课件 A B
例4 判断关系的性质
R1 { a, a , a,b , b,b , c,c }
a
1 1 0
M R 1 0 1 0
0 0 1

12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一种欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e旳奇偶性一样。 b) v，e旳奇偶性相反。 假如不可能，阐明原因。
练习 321页（1）
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明：若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
证明： 若图G是自对偶旳，则v=v*，e=e*，即 r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A旳第5列全为0，所
i=1时，因为A旳第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A旳第2列 全为0，所以A不变。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通旳，而且 全部结点度数全为偶数。下面旳 图中全部结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
ห้องสมุดไป่ตู้v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）

2 6 2 4 1 1 3 3 2 5 8 7 5 1 3 6 8 6 6 3
解此不等式可得 n ≥ 7 ， 即 G 中至少有 7 个顶点， 当为 7 个顶点时， 其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次： （欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图 均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6

离散数学（图论部分）1-4章习题课1. 证明：在10个人中，或有3人互相认识，或有4人互不认识。

证：设x为10人中之任意某人，则在余下9人中：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中3人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。

(1) 若此x认识的4人互不相识，命题得证；否则，互相认识的2人加上x构成互相认识的3人，命题得证。

(2) 若此x不认识的6人中有3人互相认识，命题得证；否则，由Ramsey(3,3)=6知，此6人中至少有3人互不认识，此3人加上x为互不认识的4人，命题得证。

2. 设(a) V={a,b,c,d}，A={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}(b) V={a,b,c,d,e}，E={(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)}画出上述图的图解。

解：略。

3. 试找出K3的全部子图，并指出哪些是生成子图。

解：K3共有17个子图。

其他略。

4. 证明：在至少有2人的团体中，总存在2个人，他们在这个团体中恰有相同数目的朋友。

解：在n个人的团体中，各人可能有的朋友数目为0, 1, 2, 3, …, n-1，共n个数，但其中0和n-1 不能共存，故n个人事实上可能的朋友数目只有n-1个。

由鸽巢原理，命题得证。

5.某次宴会上许多人互相握手。

证明：必有偶数个人握了奇数次手。

证：以人为顶点，握手关系为邻接关系构造一个无向图。

由图的性质，奇数度的顶点必为偶数个，即握了奇数次手的人数必为偶数。

6. 证明：Ramsey(3,4)=9。

（提示：题1的推广）证：在9个人中，不可能每个人都恰好认识其他的3个人（即图的9个顶点不可能每个顶点的度都为3，否则违反图的奇数度的顶点必为偶数个的性质）。

设x不会恰好认识其他的3个人（即deg(x)≠3），则在余下8人中：：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中2人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。

全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
2023/5/24
42
§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
❖ 定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
2023/5/24
27
正则图
❖ 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 ❖ 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连
的四边形。 ❖ 试画出两个2次正则图。
2023/5/24
28
两图同构需满足的条件
❖ 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
❖ 例子
2023/5/24
❖ 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
❖ 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
2023/5/24
4
❖ 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发 表了第一部集图论二百年研究成果于一书的 图论专著《有限图与无限图理论》，这是现 代图论发展的里程碑，标志着图论作为一门 独立学科。
2023/5/24
37
连通性
❖ 定义：无向图，若它的任何两结点间均是可达的， 则称图G是连通图；否则为非连通图。
❖ 定义：有向图，如果忽略图的方向后得到的无向图 是连通的，则称此有向图为连通图。否则为非连通 图。
2023/5/24
38
有向连通图
❖ 定义：设G为有向连通图， ❖ 强连通：G中任何两点都是可达的。 ❖ 单向连通：G中任何两结点间，至少存在一个方向

图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
第五页，共48页。
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈 无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G) 点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离 有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
简单图
(2) E (a,b), (b, e), (e,b), (a, e), (d, e) 多重图
(3) E (a,b), (b, e), (e, d ), (c, c)
不是
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下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
，故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全 图中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度数 也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也是相 同的。
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1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数 的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路 ，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E
，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个 边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连 通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。

离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a , d )}是割边 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(d , e )}是边割集 D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e)}是边割集 C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集 D ．{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 应该填写：D8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割ο οο οc a b f集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题 1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．v 123 图六图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形．3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．4．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。

一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.

否则称G为非连通图。
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
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连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
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14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
7
（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集