小波分析及其应用(精)

小 波 分 析 及 应 用第一部分 引 言小波分析及应用傅立叶分析的有效性19世纪，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问题，解决了很多物理和工程学方面的问题。

这个突破使得科学家们和工程师们开始考虑如何将傅立叶变换作为分析各种现象的最佳工具。

这种普遍性迫使人们开始进一步研究这种方法。

问题及大胆设想直到20世纪即将结束时，数学家、物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换的缺点：它们在分析短时信号或突变信号时，效果并不理想。

在整个20世纪的过程中，各个领域的科学家们都试图突破上述这些障碍。

从本质上讲，科学家们往往想同时获取到低分辨率的森林——重复的背景信号；以及高分辨率的树——个体的、在背景上的局部变化。

他们提出了大胆的设想：也许通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素，就可以同时在时间和频率两方面对信息进行描述。

问题的解决小波变换是傅里叶变换的新发展，它既保留了傅里叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信号分析上的一些不足。

原则上讲，小波变换适用于以往一切傅里叶变换应用的领域。

但小波变换并不是万能的，作为一种数学工具，小波变换（分析）有其特定的应用范围，即面向更能发挥小波分析优势的时间—频率局域性问题。

本课程的内容安排理论部分第二部分从傅里叶变换开始，沿着傅里叶变换→短时傅里叶变换→小波变换的发展轨迹，从物理直观的角度对其逐一进行介绍，引出小波变换的概念；然后对小波变换的基本理论进行了详细的讲解；第三部分首先介绍多分辨分析和多分辨率滤波器组的概念，在此基础上讲解由滤波器组系数构造小波基的方法，最后给出对信号和图像进行小波变换的Mallat算法；第四部分介绍小波理论的最新进展和发展方向：多小波；M带小波和提升框架等；应用部分第五部分在给出小波域滤波基本原理的基础上，介绍三种小波滤波方法——模极大值重构滤波、空域相关滤波和基于阈值的小波域滤波方法，并对这三种方法进行分析和比较；第六部分对经典小波滤波方法的改进、较新的进展及发展趋势进行介绍；第七部分对目前国内外小波分析软件应用领域的情况进行总结，着重介绍我们开发的小波分析领域通用信号处理软件系统——“小波软体”（Wavesoft），对其安装、运行、操作进行说明、演示；最后给出几个小波滤波方法的应用实例。

小波分析及其应用论文仿真文献为《小波包在图像边缘检测中的应用》流程图：开始调入图像图像分解边缘检测水平检测垂直检测平面卷积输出结果算法说明：所谓正交小波包，粗略地说，是一函数族，由他们可构成L2(R)的标准正交基库。

所谓正交基库，也就是说，从此库中可以选择出L2(R)的许多组标准正交基，通常的小波正交基只是其中的一组，而小波函数正是这函数族中的一个，所以小波包是小波函数的推广和延伸。

设令),()(),()(10x x u x x u φϕ==)2(2)2(2122k x u g u k x u h u zk n k n zk n k n -=-=∑∑∈+∈其中{}{}k k g h 和为式中的共轭滤波器。

我们称函数族{)(x u n |}+∈Z n 为相对于止交尺度函数)(x ϕ的正交小波包。

小波包对图像分解作多分辨率分解是在小波函数对图像的分解基础上发展起来的，通过水平和垂直滤波，小波包变换将原始图像分为4个子带：水平和垂直方向上的低频子带，水平和垂直方向上的高频子带。

继续对图像的低频子带和高频子带进行分解就可以得到图像的小波包分解结构，如图所示：S1A 1D 2AA 2DA 2AD 2DD 3AAA 3DAA 3ADA 3DDA 3AAD 3DAD 3ADD 3DDD 图像的小波包分解结构示意图由图可见，分解级数越大，也就是选择的小波包尺度越大，小波包系数对应的空间分辨率就越低，利用这一点，可以在不同的空间分辨率上进行分析，实现图像的降噪、图像压缩以及图像增强和图像边缘检测等各种处理工作。

在边缘检测中，常用的一种模板是Sobel 算子。

Sobel 算子有两个，一个是检测水平边缘的；另一个是检测垂直边缘的，与其它算子相比。

Sobel 算子对于像素的位置的影响做了加权，因此效果更好。

由于Sobel 算子是滤波算子的形式，用于提取边缘，可以利用快速卷积函数，简单有效，因此应用广泛。

Sobel 算子是一组方向算子，从不同的方向检测边缘。

小波分析及其在地震工程中的应用摘要小波分析方法是一种较为先进的科学理论，已经在数学、工程、军事以及机械等领域中得到普遍运用，且获得一定的效果。

然而在地震工程中小波分析的使用还不是很成熟。

本文将对小波分析进行简单概述，介绍其涵义，并对地震工程中小波分析的具体应用进行分析。

关键词地震工程；小波分析；应用0引言近年来，在科学技术解出现了一种理论与手段，在科学界引起了较大的振动，即小波数学理论，随着科学技术的不断进步，人们对该理论的认识越来成熟。

学者认为小波理论是数学、工程以及物理等方面的综合。

目前。

在众多学科中小波理论得到广泛的使用，例如在土木工程中，小波分析能够进行信号奇异性的检查、对信号进行消噪处理，并且对含噪的信号内的有用信息进行有效识别等作用。

然而在地震工程中的使用还不够成熟，因此应该加强对小理论在地震工程中的运用。

1小波分析概述小波指的就是小的波形，而其中的“小”就是其具备衰减性，“波”则代表其具备波动性，它振幅正负向之间的一种震荡方式。

和Fourier变换相比较，小波变换主要是在空间或时间上局部频率的分析与研究，其利用伸缩平移运算对信号逐渐实行多尺度上的细化处理，从而实现高频处与低频处时间上的细化，可以自动满足时频信号分析的需要，进而能够将其集中在信号的任何一个部分上，有效处理好Fourier变换上的难题。

小波分析已经成为科学方法上的一个重要突破。

小波分析的明确涵义为：ψ（t）表示平方可积函数，也就是ψ（t）∈L2（R），如果ψ（t）能够达到允许的条件：那么ψ（t）就代表的是一个小波母函数或者是一个小波函数。

在母函数ψ（t）相同的情况下，通过平移与伸缩之后能够获得函数组，即ψa，b（t），被叫做一族小波。

就某种意义而言，小波交换是利用一族小波函数来代表函数或者是信号。

2 地震工程中小波分析的应用在地震工程中，小波分析的运用才刚刚起步，还不够成熟。

而目前在地震工程中已经运用到小波分析的主要有地震波的去噪与滤波等方面。

姓名：彭超学号：200710702012小波分析及应用1介绍Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。

此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。

20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析[1](waveletAnalysis，又称子波分析)能成功地解决这些问题。

因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。

小波分析一面世，立刻成为国际研究热点。

目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。

小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质;能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节;同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。

2 小波分析的形成及发展小波分析[1,2,3〕是一调和分析方法，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显微镜”。

小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。

小波理论形成经历了三个阶段:(1)Fourier变换(FT)阶段在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。

时域分析无法得到关于信号变化的更多信息(如采样、周期等)。

(2)短时Fourier变换(SFT)阶段1946年Gabor提出SFT。

SFT能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限的。

由于频率与周期成反比，高频信号需要窄的时间窗，低频信号需要宽的时间窗，即变换的窗口大小应随频率而变。

SFT解决不了这个问题。

(3)小波分析阶段在继承SFT的基础上，Morlct提出了小波变换法(WT)。

wT可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度上的演变情况，实现了时频局部化分析。

小波分析在图像处理中的应用实践一、引言图像处理技术在工业、医学、军事等诸多领域都有广泛的应用。

而小波分析是一种能够在时频域中分析和处理信号的重要技术，逐渐在图像处理中得到了广泛的应用。

二、小波分析基础小波分析是一种广泛应用于信号分析和处理的数学工具。

它是由Laurent Cohen于1984年首次提出，是一种不仅可以分析信号的频率特征，同时也可以分析信号的时域特征的分析方法。

小波分析与傅里叶分析不同，可以在时间和频率空间中分析信号的特征。

三、小波分析在图像压缩中的应用小波分析可以将原始的图像分解成不同的尺度和方向上的子图像，每个子图像都有不同的贡献。

通过舍弃以后的系数，可以实现图像的压缩。

小波变换是一种无损压缩方法，处理后的图像保留了较高的细节和清晰度，对于高分辨率图像的压缩是很有效的。

四、小波分析在图像增强中的应用小波分析可以将图像分为较低频和高频的分量，较低频的部分表示图像的整体特征，较高频的部分表示图像的高频细节。

可根据需求选择保留较高或较低频部分，从而实现图像的增强和去噪。

较低频信号的滤波可以使得图像的边缘信息得到更加明显的突出，同时保持图像的平滑度。

五、小波分析在图像识别中的应用小波变换可以将2D图像变换到小波域，并提取有用的特征。

在图像识别中，可以使用小波分析对图像特征进行提取和分类。

小波分析还可以将图像信息进行二维压缩，减少了图像信息点的数量，从而实现更加快速的识别。

六、小波分析在图像去噪中的应用图像中存在着噪声，噪声会影响图像质量和可视化效果。

小波分析是一种可以用来解决图像噪声的技术。

可以在小波域中对图像进行去噪，舍弃高频分量，达到去噪的效果，保留图像的细节和清晰度。

七、小波分析在图像特征提取中的应用小波分析可以提取不同尺度和方向的图像特征，获取不同层次的图像特征信息，因此在图像特征提取方面具备一定的优势。

可以对图像的边缘、轮廓等特征进行提取，从而用于目标检测和识别。

八、小波分析在图像拼接中的应用在图像拼接中，大小、亮度、角度等因素都会造成无缝连接的困难。

小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。

小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。

本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。

小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。

小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。

小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。

小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。

小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。

小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。

同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。

此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。

小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。

在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。

同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。

此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。

小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。

通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。

本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。