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南京大学物理学院2012-2013学年第二学期
理论力学
Theoretical Mechanics
⏹0. 一维运动势能曲线⏹1. 两体问题有心力⏹2. 平方反比引力
⏹3. 人造地球卫星星际航行⏹
4. 散射问题
第四章有心力散射问题
•一维势能曲线能告诉我们什么？•一维势能曲线的运用？
•一维运动: 自由度为1的体系的运动。
势能曲线：
x1x2x
3
U
A
θ=0θ=180
dx/dt
x
θ=45θ=90θ=135
θ=170
Just barely enough energy for a full swing Enough energy for a full swing
U -A
[例]半径为恒定角速度绕竖直直径转动，试用势能曲线讨论小环的运动
22222
11sin 22
E mr mr q q
12E mr
•两体系统: 两个相互作用质点组成的封闭体系。
1、两体问题概述
束缚态问题：两粒子距离保持有限，如行星绕太阳运动
分类
散射与碰撞：俘获与衰变：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2
两粒子从无穷远处靠近，相互作用改变运
动状态，又分离至无穷远
两体问题的处理方法：约化
相对于质心的运动
随质心的运动由质心运动定理决定
先将两粒子间相对运动约化为一个单粒子的运动
由单粒子的运动求出两粒子相对于质心的运动
两体问题
2、两体问题及约化（牛顿力学）
11122221m r F m r F
，基本方程：1221
F F 11220m r m r 引入质心：
120M m m 质心保持静止或作匀速直线运动)
r r r F m 1
12122
12m m m m r r G m m r r
对于万有引力
3、两体问题的约化（拉格朗日力学）m
1动能：
拉格朗日函数：
折合质量reduced mass
m
1
4、三维运动转化为平面问题
)
r (V
当粒子处在中心势场中时
的方向
有心力: 一定点。定点被称为力心。
F e r F r M r
5、约化为一维运动问题 4.1 两体问题有心力
一维运动的定性分析 4.1 两体问题有心力
运动方程
E
讨论粒子在吸引势U
= -k / r 3中的运动情况
解：粒子的有效势能：(1)曲线渐近行为r → ∞，U eff → 0；r →0，U eff → -∞ 。(2)曲线零点：U eff = 0→r = r o = 2μk /l 2 (3)曲线极值：dU eff /dr = 0 → r = r m = 3μk /l 2 (U eff )max = l 6/ 54 μ3k 2
-k / r 3
l 2/ 2μr 2
O
E (U eff )max
r
U eff
r m
r o r 1
r 2
4.1 两体问题有心力
4.2 平方反比引力吸引势：
有效势能：
(1)曲线渐近行为
r→0 ，U eff → + ∞；
r→ ∞，U eff→ 0。(2)曲线极值：dU eff/dr= 0 → r= r m= l2/ μk
(U eff )min= μk2 / 2l2
(3)曲线零点：
U eff = 0→r= r o = l2/ 2μk r0r m
l2/ 2μr2
-k/ r 与距离成反比的中心势场
1. 势场和运动规律
(E2<0) E2
问题：轨道是闭合轨道吗？
当粒子在的范围内运动时，粒子轨道不一是闭合轨道
4.2 平方反比引力2. 轨道方程
✓求解该方程给出轨道形状
✓分析方程可给出轨道的一般性质
0020du dF L u m d u d u 23A q 220d A d q dF ()()du
o o o u F u F u
稳定性条件(1) 当2C q
(2) 当A<0时,q
q 0
0e C e C 21 q
0Csh 2
)cos(C q 稳定性条件
轨道稳定条件：
势场的稳定性分析
讨论
A
l dr l dr
圆形轨道的稳定性将U
=
eff
4.2 平方反比引力
◆稳定圆轨道发生在有效势能的极小值处
◆有效势能的极大值处为不稳定圆轨道
思考：
12
E mr
例：质量为m的质点约束在半顶角为α的光滑圆锥的内表面，作半径为r
m 的稳定圆轨道运动.
试求径向受扰后作微振动的周期.
◆未扰动，质点作半径为r m的圆周运动
◆受扰后，质点作三维运动
◆有效质量是考虑了约束效应后的等效质量◆扰动沿径向,故受扰前后相对z轴角动量守恒
作业： 4.8
4.15
4.16
