初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)

专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为()A. 6cmB. 10cmC. 4cmD. 8cm【答案】D【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP·PBB. AP2=BP·ABC. BP2=AP·ABD. AP·AB=PB·AP【答案】B【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可.由AP>BP知AP是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP·AB．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP·AB．3.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−1【答案】D【分析】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义判断即可．【解答】解：∵宽与长的比是√5−12的矩形叫做黄金矩形，∴ba =√5−12，∴a=2，b=√5−1．4.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=200，则AC的长度是()A. 200(√5−1)B. 100(√5−1)C. 100(3−√5)D. 50(√5−1)【答案】B【分析】根据黄金分割的定义得到AC=√5−12AB，把AB=200代入计算即可．本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的√5−12倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，∴AC=√5−12AB，而AB=200，∴AC=√5−12×200=100(√5−1)．5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到1cm)()A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm 【答案】C【分析】设她应穿的高跟鞋的高度大xcm，利用黄金分割的定义得到61.894+x =√5−12，然后解关于x的方程即可．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC=√5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．【解答】解：设她应穿的高跟鞋的高度大xcm，根据题意得61.894+x =√5−12，解得x≈6(cm)，答：她应穿的高跟鞋的高度大约6cm(精确到1cm)．6.若点C是线段AB的黄金分割点，且AD>BC，则下列说法正确的有()①AB=√5+12AC；②AC=3−√52AB；③AB：AC=AC：BC；④AC≈0.618AB．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．【解答】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴①AB=√5+12AC，正确；②AC=3−√52AB，错误；③AB：AC=AC：BC，正确；④AC≈0.618AB，正确．二、填空题7.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为________．【答案】135【分析】本题考查了圆心角的概念，线段的比，黄金分割的知识．解题关键是根据题中黄金比的定义得到x=0.6y，则y=53x，再根据周角的定义得到x+y=360，所以x+53x=360，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得，x=0.6y，∴y=53x而x+y=360°，∴x+53x=360°，∴x=135°．8.已知线段AB=2，P是AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP=______．【答案】√5−1【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为√5−12计算．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比值为√5−12是解题的关键．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，AP>BP，∴AP=√5−12AB=√5−1，9.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=10.那么CD的长度是______．【答案】10√5−20【分析】根据黄金分割的定义计算．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点．【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD=BC=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5，∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，10.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为6cm，那么AP的长度是________cm．【答案】3√5−3【分析】此题考查了黄金分割有关知识，利用黄金分割的定义计算出AP即可．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB的长度为6cm，∴AP=√5−12AB=√5−12×6=3√5−3(cm)，11.如图，已知线段AB=2，作BD⊥AB，使BD=12AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为______．【答案】√5−1【解析】设AB=x，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD，求出AC与AB 的比值，根据黄金比值进行判断即可．是解题的关键．本题考查的是作图和黄金分割的概念，熟记黄金比的值√5−12×2=1，解：：∵AB=2，则BD=DE=12由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，则AC=AE=√5−1，AB=√5−1，∴AC=√5−1212.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2(填“>”或“=”或“<”)．【答案】=【分析】根据黄金分割的定义可得AP2=BP×AB，得出S1，S2的表达式即可比较S1与S2的大小．本题考查了黄金分割的知识，关键是得出AP2=BP×AB，属于基础题．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．三、解答题13.如图，在矩形ABCD中，CD=2，AD=4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)在边CB上截取CF=CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．【分析】(1)通过“连直径、证垂直”的方法，证明∠BAP =∠OPA ，即可求解； (2)CF =CE =AC −AE =√20−4=2√5−2，即可求解．本题考查了圆的切线的性质与证明、黄金分割的应用，题目的关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．【解答】解：(1)连接OP ，则∠PAO =∠APO ，而△AEP 是由△ABP 沿AP 折叠而得： 故AE =AB =4，∠OAP =∠PAB ， ∴∠BAP =∠OPA ，∴AB//OP ，∴∠OPC =90°， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)CF =CE =AC −AE =√20−4=2√5−2， CFBC=4√5−24=√5−12， 故：点F 是线段BC 的黄金分割点．14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ． (1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点；(2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．【分析】(1)易证△BCD∽△BAC ，则有BC AB =BDBC，再由BC =CD =AD 可得AD AB =BDAD ，由此可得D 是AB 边上的黄金分割点；(2)设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC =12AD ⋅ℎ，S △DBC =12DB ⋅ℎ，S △ABC =12AB ⋅ℎ，即可得到S △ADCS△ABC=AD AB ，S △DBC S △ADC=BD AD .由(1)得AD AB=BDAD，即可知S △ADCS△ABC=S△DBC S △ADC，由此可得CD 是△ABC 的黄金分割线．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象． 【解答】解：(1)点D 是边AB 上的黄金分割点，理由如下： ∵∠A =36°，AB =AC ，∴∠B =∠ACB =72°． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =36°， ∴∠BDC =∠B =72°，∠ACD =∠A =36°， ∴BC =DC =AD ． ∵∠A =∠BCD ，∠B =∠B ， ∴△BCD∽△BAC ， ∴BC AB =BD BC． ∴AD AB=BD AD．∴D 是AB 边上的黄金分割点；(2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线，理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC =12AD ⋅ℎ，S △DBC =12DB ⋅ℎ，S △ABC =12AB ⋅ℎ， ∴S △ADC S △ABC=AD AB ，S △DBC S △ADC=BDAD ．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．15.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB= AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．【分析】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC 是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，也考查了等腰三角形的性质.作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=12BC=2，则根据勾股定理可计算出AH=√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=√5−12BC=2√5−2，则计算出HE=2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【答案】解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，∴DCBC =BDDC=√5−12，BEBC=CEBE=√5−12，∴DCBC =BDDC=BEBC=CEBE，∴DC=BE，∴BD=CE，作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，BC=2，∴BH=CH=12∴DH=HE，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，BC=2(√5−1)=2√5−2，∴BE=√5−12∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，∴DE=2HE=4√5−8×(4√5−8)×√5=10−4√5．∴S△ADE=1216.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。

《相似》单元测试题及参考答案(精编)一、选择题1.如图,点P 是AB 的黄金分割点,即P 点满足BP AP =AP AB ,若AB=2,则AP 的长为( )A.√5-1B.√5+1C.√5+2D.0.618 2.若3a=4b(ab ≠0),则下列比例式正确的是( )A.a 3=b 4B.4a =3bC.a b =34D.a 3=4b3.如图,已知AB//CD//EF,BD:DF =1:2,那么下列结论中,正确的是( )A.AC:AE=1:3B.CE:EA=1:3C.CD:EF=1:2D.AB:EF=1:2 第3题 第4题 第5题 第6题4.如图,在△ABC 中,如果DE 与BC 不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE ∽△ACB 的是 ( )A.∠ADE=∠CB.∠AED=∠BC.AD AB =DE BCD.AD AC =AEAB5.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于点D.若AC=3,AB=4,则BD 的长为( )A.125B.165C.203D.154 6.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC,对角线AC,BD 相交于点O.若AD=1,BC=3,则AOCO 的值为( )A.12B.13C.14D.19 第7题 第8题 第9题 第10题7.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D,交边BC 于点E,连接BD.若AD=5,BD=2,则DE 的长为( )A.35B.425C.225D.45 8.如图,已知在△ABC 中,点D,E,F 分别是边AB,AC,BC 上的点,DE//BC, EF//AB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB 等于( )A.5:8B.3:8C.3:5D.2:59.如图,△ABC ∽△ADE,且BC=2DE,则S 四边形BEDC :S △ABC 的值为( )A.1:4B.3:4C.2:3D.1: 210.如图,D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,DE//AC,AE,CD 相交于点O,若S △DOE :S △COA =1:25,则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A.1.3B.1:4C.1.5D.1:2511.已知△ABC ∽△DEF,其对应中线的比为1:3,若△ABC 的周长为3,则△DEF 的周长为( )A.1B.3C.9D.2712.如图,在平行四边形ABCD 中,F 为BC 的中点,延长AD 至点E,使DE:AD=1:3,连接 EF 交DC 于点G,则S △DEG :S △CFG 等于( )A. 2:3B.3:2C.9:4D.4:9第12题 第13题 第14题 第15题13.如图,在△ABC 中,DE//BC,过点A 作AM ⊥BC 于点M,交DE 于点N.若S △ADE :S △ABC =4:9,则AN 与NM 的长度比是( )A.4:9B.3:2C.9:4D.2:114.如图,在△ABC 中,点D,E 分别在AB 和AC 上,DE//BC,M 为BC 边上一点,连接AM 交DE 于点N,若DN NE =13,DN BM =23,则下列选项不成立的是( )A.S △AD NS △AD E =14 B.BM MC =13 C.S △ANE <S 四边形DBMN D.S 四边形DBMN S 四边形NMCE =1315.如图,点E,F,M 在矩形ABCD 的边上,四边形EFMN 是正方形,B,M,N 三点共线.若AB=3,AD=7,则BN MN 的值为()A.2B.178C.√5+12 D.158二、填空题16.若nm =23,则m−nm=____.17.线段a,b,c,d是成比例线段a=9cm,b=6cm,c=3cm,则d的长为____cm.18.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.2m,测AB=1.6m,BC=12.4m,则楼高CD为____m.第 18题第19题第20题第21题19.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高度为6cm,实像CD的高度为3cm,则小孔O到BC的距离OE为______cm.20.如图,学生用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=60cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,则树高AB___m.21.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=60mm,高AD=40mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是_____mm.22.如图,已知△ABC和△DEF为位似图形,点O是位似中心,且△ABC和△DEF的周长之比是4:3,则下列结论:①AB//ED②BOOD =43③△AOC∽△DOF④S△A BC S△DEF =2√33.其中错误的是_____(填序号).三、解答题23.如图,O是△ABC外的一点,分别在射线OA,OB,OC上取点A',B',C’,使O A′OA =O B′OB=O C’OC=3,连接A'B’,B'C’,C'A',判断△A'B'C’与△ABC是否相似,并说明理由.24.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AB边上一点,CE交AD于点F,且CF=CD.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)若EF=2,BD=4,求AB的值.AC25.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD,CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:△ABD∽△DCP;(3)若AB=6,AC=8,求点O到AD的距离.26(1)问题:如图①,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP; (2)探究:如图②,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结是否依然成立?请说明理由;(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图③,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以点D为圆心,以DC长为半径的圆与AB相切时,求t的值.参考答案一、选择题1-5 ABACB 6-10 BDABB 11-15 CDDCA二、填空题16.1317. 218. 10.519. 220. 6.521. 2422.②④三、解答题23.略24(1)略(2)√225(1)略(2)略(3)√2226(1)略(2)略(3)1s或5s。

初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。

这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。

以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。

答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。

2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。

答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。

解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。

3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。

答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。

4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。

答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。

5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。

答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。

这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。

4.4 探索三角形相似的条件课时4 黄金分割题型1 黄金分割的定义1、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2=AB∙PBB.AP2=AB∙PBC.PB2=AP∙ABD.AP2+ BP2=AB22、如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为（）A.23 B.12C.√5−12D.3−√523、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（ ）A.(3√5−3)cmB.(9−3√5)cmC.(3√5−3)cm或(9−3√5)cmD. (9−3√5)cm或(6√5−6)cm4、宽与长的比是√5−12（约0.618）的矩形叫黄金矩形，矩形的长与宽分别为a和b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）A.a=4，b=√5+2B.a=4，b=√5−2C.a=2，b=√5+1D.a=2，b=√5−15、定义：如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC⋅AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。

如图2,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长。

题型2 黄金分割的应用6、主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体。

如图所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她要到达最理想的位置至少走（ ）A.(18−6√5)米B.(6√5−6)米C. (6√5+6)米D. (18−6√5)米或(6√5−6)米7、某种乐器的弦AB长为120cm,点A、B固定在乐器面板上,弦AB之间有一个支撑点C,且点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( )A.(120−30√5)cmB.(160−60√5)cmC.(60√5−120)cmD.(60√5−60)cm8、宽与长的比是√5−1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调2和匀称的美感。

鲁教版2019初三下册第九章相似三角形习题归类（黄金分割）一、黄金分割（一）黄金分割中的计算典例：点C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm,则BC 的长为A 、35-3)cmB 、(9-35)cmC 、(35-3)cm 或(9-35)cmD 、(9-35)cm 或(65-6)cm思路导析:根据黄金分割点的定义,知BC 可能是较长线段,也可能是较短线段,则BC= 215-AB 或BC= 253- AB ，将AB=6cm 代入计算即可 ∵点C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm∴,BC=215-AB=35-3(cm)， 或BC=253- AB=9-35(cm) 答案:C方法总结：本题考查了黄金分割的概念:把一条线段AB 分成两部分AC 与BC,使其中较长的线段AC 为全线段AB 与较短线段BC 的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,点C 是线段AB 的黄金分割点,熟记较长的线段AC=215-AB ，较短的线段BC= 253- AB 是解题的关键、注意线段AB 的黄金分割点有两个。

变式1：如图，扇子的圆心角为x °，余下的扇形的圆心角为y °，x 与y 的比通常按黄金比为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为（ ）变式2：已知点C,D 是线段AB 的黄金分割点，AB=1，求线段AC 与CD 的长。

（二）:黄金分割中证明典例：如图所示,点C 是线段AB 的黄金分割点,BC>AC,D,E 分别是AC,BC 的中点,那么点C 是线段DE的黄金分割点吗?思路导析:根据黄金分割的定义可知DE CE =CECD ,则点C 是线段DE 的黄金分割点,否则不是. 解:因为D,E 分别是AC,BC 的中点, 所以CD=21AC,CE=21BC, 所以DE=CD+CE=21(AC+BC)=21AB又因为点C 是线段AB 的黄金分割点,BC>AC 所以AB BC =BCAC ,即BC 2=AB ·AC 又CE 2=41BC 2=41AB ·AC=DE ·CD 即DE CE =CE CD 所以点C 是线段DE 的黄金分割点。

黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。

6. 2 黄金分割知识点 黄金分割1. 如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列各式正确的是()A. AC AB BC AC= B. BC AC AB BC = C. AC AB AB BC = D. BC AC AB AB= 2. 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，并且,1AC CB AB >=，那么AC 的长度为( )A.23B.123. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞台AB 长为20米，主持人现站在A 处，请问主持人应走到离A 点 米处才最自然得体?(黄金比的值取0. 618，结果精确到0. 1米) 4. 以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上.(1)求,AM DM 的长;(2)求证:2AM AD DM =;(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?【作业精选】1. 如图，点P 为线段AB 的黄金分割点()PB PA >，四边形AMNB 、四边形PBFE 都为正方形，且面积分别为12,S S .四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为34,S S .下列说法正确的是( )A. 2112S S = B. 23S S = C. 34S S = D. 41S = 2. 如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，则下列命题:①2AB AP PB =，②2BP AP AB =，③2AP PB AB =，④::AP AB PB AP =，其中正确的是 .3. 如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP < )，点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <)……依此类推，则线段2017AP 的长度是 .4. 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD ;第二步:分别取,AD BC 的中点,M N ，连接MN ;第三步:以点N 为圆心，ND 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ;第四步:过点E 作EF AD ⊥，交AD 的延长线于点F .请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形.参考答案1. B2. C3.7.6或12.44. (1)在Rt APD ∆中，11,22AP AB AD ===∴PD ==∴1AM AF PF PA PD PA ==-=-=21)3DM AD AM =-=-=-(2)∵221)6AM ==-2(36AD DM ==- ∴2AM AD DM =(3)能，点M 是AD 的黄金分割点.∵2AM AD DM =，1,2AM AD ==∴AM DM AD AM == ∴点M 是AD 的黄金分割点【作业精选】1. B2. ③④3. 20174. 在正方形ABCD 中，令2AB a = ∵点N 为BC 的中点∴12NC BC a ==在Rt DNC ∆中，ND ===又∵NE ND =∴1)CE NE NC a =-=∴1)122CE a CD a == 故矩形DCEF 为黄金矩形。

5相关资料练习一、请你填一填 （1）如图 4—2—1，若点 P 是 AB 的黄金分割点，则线段 A P 、PB 、AB 满足关系式 ，即 AP是 与 的比例中项.图 4—2—1（2） 黄金矩形的宽与长的比大约为 （精确到 0.001）. （3） 如果线段 d 是线段 a 、b 、c 的第四比例项，其中 a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则 d =cm.（4） 已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点，则 AO ∶AB ∶AC =.（5）若 a = c =3（b +d ≠0），则a + c=.b d b + d二、认真选一选（1） 已知 3= 2 ,那么下列式子成立的是（） x yA.3x =2yB.xy =6C. x =2D. y = 2y 3x3 （2） 把 ab = 1 cd 写成比例式，不正确的写法是（ ）2A. a =dB. a = dc 2b 2c b C. 2a =d D. c = 2acbbd（3） 已知线段 x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么 x ∶y 等于（）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶2（4） 有以下命题:①如果线段 d 是线段 a ,b ,c 的第四比例项，则有 a= cbd②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB 、BC 的比例中项③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC >BC ，且 AB =2，则 AC = －1其中正确的判断有（）A.1 个C.3 个B.2 个D.4 个三、细心算一算已知实数 a ,b ,c 满足b +c = c + a = a + b ,求 b + c的值. a b c a3 332 35 3 15四、好好想一想以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连结 PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使PF =PD ，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上，如图 4—2—2.图 4—2—2（1） 求 AM 、DM 的长. （2） 求证：AM 2=AD ·DM .（3） 根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？黄金分割 同步练习一、选择题1. 等边三角形的一边与这边上的高的比是()A. ∶2B.∶1C.2∶D.1∶2. 下列各组中的四条线段成比例的是()A.a = ，b =3，c =2，d =B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b = ，c =2 ，d =D.a =2，b =3，c =4，d =13. 已知线段 a 、b 、c 、d 满足 ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是()A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶d3= C.d ∶a =b ∶c D.a ∶c =d ∶b4. 若 ac =bd ，则下列各式一定成立的是()A. a = cB. a + d = b + cb dd ca 2 d C.b 2 cD. ab = a cd d5. 已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是()A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =5 -1 AB2C.BM =5 -1 AB2D.AM ≈0.618AB二、填空题6. 在 1∶500000 的地图上，A 、B 两地的距离是 64 cm ，则这两地间的实际距离是.7. 正方形 ABCD 的一边与其对角线的比等于.8.若 2x －5y =0，则 y ∶x =9. 若 a - b = 3 ，则 a =， x + y=.x.b 5 b三、解答题10. 已知x + y = 4 ，求 x. 2x 3 y11. 在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB =15 cm ，AC =10 cm ，且 BD ∶DC =AB ∶AC ，BD－DC =2 cm ，求 B C.212.现有三个数1，，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？*13.如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，AB=BC5 -1≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，2黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.图 1相似三角形知识补充：相似三角形练习一、选择题1.如果多边形ABCDEF∽多边形A＇B＇C＇D＇E＇F＇，且∠A＝68°，则∠A＇等于（）．A．22 o B．112 o C．68 o D．54o2.两个相似三角形的相似比是2：3，其中较小的三角形的面积是12，则另一个三角形的面积是（）．A.8B.16C.24D.27二、填空题（每小题3 分，共24 分）3.相似多边形对应边之比叫做，两个相似多边形的最长边分别为10cm 和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为.4.下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).5.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB 的长为18cm，AC 被分为60 等份.如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20 等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE 是．ba甲乙6.已知：如图，在△PAB 中，M 、N 是 AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM ∽△PAN ， 则∠APB 的度数是.三、解答题7. 如图所示，四边形 ABCD ∽四边形 A ' B 'C ' D '，求未知边 x 的长度和的大小.8. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，AEAE ＝2，BD ＝4，求的值以及 AC 、EC 的长度.AC9. 阅读理解：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．.如图 所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（ a : b ）．设 S 、S 分别表示这两个正方体的表面积，则 S6a 2a 2 .甲乙甲= S 乙 6b 2= ( ) b又设 V 、V 分别表示这两个正方体的体积，则 V 甲= a V 乙 b = ( a b)3 .（1） 下列几何体中，一定属于相似体的是 .A.两个球体B.两个圆锥体C.两个圆柱体D.两个长方体（2） 请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于.（3） 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体.一个小朋友上幼儿园时身高为1.1 m ，体重为 18 kg.到了初三时，身高为 1.65 m ，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的3 3。

专题02 三角形相似综合训练1．如图，在矩形ABCD 中，将ADC △绕点D 逆时针旋转90︒得到FDE B F E ，、、三点恰好在同一直线上，AC 与BE 相交于点G ，连接DG ．以下结论正确的是( )①AC BE ⊥；BCG GAD ~②；③点F 是线段CD 的黄金分割点；④CG EG = A ．①②③ B ．①③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【详解】证明：FDE ADC ≌，∴AD DF DC DE ==，又∴四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=︒， ∴90DAC DCA ∠+∠=即DAG DEF ∠+∠=即BGC 是直角三角形，而AGD 不是直角三角形，∴②错误；Rt FCB 和Rt 中， BFC EFC ∠=∠Rt FCB Rt FDE ∽， FC BCDF DE=， BC AD DF DE DC ===，FC DFDF DC=， F 是线段CD 的黄金分割点，和DEG '中，∴SAS DCG DEG '≌（DG DG CDG ='∠=，90CDG GDA ∠+∠=︒90EDG GDA ∠'+∠=90GDG ∠'=︒，∴GDG '是等腰直角三角形，2GG DG '=EG CG '=EG EG ='故选：D ．【我思故我在】2．如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点(不与B 、C 重合)，连结AM 交DE 于点N ，则( )A ．ADANANAEB ．BD MNMN CEC ．DN NEBM MCD ．DN NEMC BM,AN ANNE DN NEAM AMMCBMMC，故选相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握3．如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为( )A ．2aB ．52aC ．3aD ．72aACD BCA ∆，再由相似三角形的性质得到答案ACD BCA ∆，2AC BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BCA ∆的面积为的面积为：．4．如图，在矩形ABCD 中，E，F分别为边BC 、CD 中点，线段AE ，AF 与对角线BD 分别交于点G ，H ．设矩形ABCD 的面积为S ，则以下4个结论中：①AG ：GE =2：1 ②BG ：GH ：HD =1：1：1；③12325S S S S ++=；④ 246124S S S =：：：：正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C∴,BGE DGA ∽ 2,AG AD BGGE BE DG===②∴AG AD BGGE BE DG==13BG BD =，1所以本题的3个结论符合题意； 故选：C ．【我思故我在】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，等底同高三角形面积相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出以下结论：①3BE AE =；②DFP BPH ；③2DP PH PC =⋅；④若2AB =，则1BPD S △．其中正确结论的是( )A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①③④从而证明DFP BPH ，正确；利用DPH CPD ~，得DP PC ，将ΔBPD S 转化为S 四边形解：BPC ∆是等边三角形，BC ，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=ABCD 中，AB BC CD =，A ∠30ABE DCF ∴∠==︒2BE AE ∴=故①错误PC CD =PDC ∴∠=FDP ∴∠=DBA =∠DFP ∠=DFP BPH ∴~，故②正确；30PDH PCD ∠=∠=︒DPH CPD ∴~，∴DP PHPC DP=， 2DP PH PC ∴=⋅，故③正确；如图，过点P 作PM正方形的边长6．如图， 在平行四边形ABCD 中， 点,M N 分别是AD BC 、上的点， 且22AM DM BN CN ==，， 点O 是CM ， DN 的交点， 直线AB 分别与CM DN ，的延长线交于点,P Q ． 若平行四边形ABCD 的面积为144 ， 则POQ △的面积为( )A ．72B ．216C ．268D ．300∴AMP DMC ∽， AP AMDC DM=， 2AM DM = 2AP AMDC DM==， 2AP CD =， ∴COD POQ ∽， 1215h CD h PQ ==， ∴∴POQ 的高为56h ，144ABCDS CD h =⋅=151POQS=故选：D 【我思故我在】的性质及平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上一点，且12GC BG =，连接DG 交对角线AC 于F 点，过D 点作DE DG ⊥交CA 的延长线于点E ，若5AE =，则DF 的长为( )A ．BC ．92D ，证明DEH DGC ∽，推出，求出5EH HA ==延长线于H ，DE DG ⊥EDG ∠∴21∴∠+∠1∠∠∴=DEH DGC ∴∽，∴EH DHGC DC =， 12GC BG =， ∴设GC x =，则BG =∴3EH DHGC x=， AC 是正方形DAC ∴∠EAH ∠=HEA ∴∠=EH HA ∴=2EH HA ∴+EH HA ∴=在正方形8．已知，如图，平行四边形ABCD 中，:1:3=CE BE ，且1EFC S =△，那么ABCS=_____．ACD ABC SS =，证明1:4AD =，则CE AD =． 9．P 是ABC 边上的任一点(P 不与A 、B 、C 重合)，过点P 的一条直线截ABC ，如果截得的三角形与ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的∴ABC 的“相似线”．Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，当点P 是边BC 上一个三等分点时(PB PC >)，过点P 的ABC 的“相似线”最多有___________条．【答案】4【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与ABC 有一个公共角，分①公共角为A ∠时；②公共角为B ∠时；③公共角为C ∠时；三种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：①当公共角为A ∠时，不存在；②公共角为B ∠时，过点P 作PD BC ⊥，交AB 于点D ，如图所示：∴90DPB C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BPD BCA ∽；过点P 作PD AB ⊥于点D ，如图所示：∴90PDB C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BPD BAC ∽△△；③公共角为C ∠时，连接AP ，如图所示：∴30B ∠=︒，∴2AB AC =，设AC a =，则2AB a =，∴ACP BCA∽；过点P作PD AB∥，交∴CDP CAB∽；综上分析可知，过点的ABC的“相似线故答案为：4.【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．10．如图，在ABC中，6BC=，AE AFEB FC=，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP∠的平分线交CE于点Q，当14CQ CE=时，EP BP+的值为______．【答案】18【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB PG=，EP PB EG+=，由EG BC∥，11．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是,==∠=︒∠=︒，则BC的长度是___________．3,6,30,45BE CD FED FDE【答案】3##3+【分析】作FN DE ⊥于点N ，延长DE 交CB 的延长线于点M ，先证FND ∆是等腰直角三角形，设FN x =，利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出DN ，EF ，NE 的长度，FDE ∠=DFN ∴∠FND ∴∆是等腰直角三角形．由题意得：设FN x =FED ∠=2EF FN ∴=NE ∴=DE DN ∴=3BE =，AE BE ∴=又EAD ∠=EAD ∴∆∆≌AD BM ∴=EBM ∠=EBM ∴∆∽BM BE MN NF ∴=解得：BM 12．如图，在ABC 中，146AB AC ==，，在AC 上取一点D ，使2AD =，如果在AB 上取点E ，使ADE 和ABC 相似，则AE =___________．①ABC AED ；②ABC ADE ；可根据各四条线段的比例关系式求出AE 的长．此时ADE ACB ，::AC AE AD =，146AC AD ==，，此时ADE ABC ，::AC AD AE =，146AC AD ==，，67=， 故答案为：143或67．13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA 、OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ．测得8.5m MC =，13m CD =，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为23：．则点O 、M 之间的距离等于___________m ；【答案】10【分析】连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CN BD ⊥，通过证明HMC EFG HAO ∽∽△△△，通过相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】解：连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CN BD ⊥，14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果23CE BE =，求FE EG的值．15．矩形ABCD 中，AC BD ，为对角线，6cm 8cm AB BC ==，，E 为DC 中点，动点P 从点A 出发沿AB 方向，向点B 运动，动点Q 同时以相同速度，从点B 出发沿BC 方向向点C 运动，P 、Q 的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x 秒．()06t <<(1)PQ AC ∥时，求运动时间t ；(2)PQ BD ⊥时，求运动时间t ；(3)当t 为何值时，以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与QCE 相似？(4)连接PE PQE ，△的面积能否达到矩形ABCD 面积的三分之一，若能求出t 的值；若不能，说明理由．7BP BQBP BQ为顶点的三角形与QCE相似216．解答题=；(1)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD、CE，求证，BD CE[类比探究](2)如图2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，连接BD CE ，．求BD CE的值．[拓展提升](3)如图3，ABC 和ADE 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，2AC AE AB AD==．连接BD CE 、，延长CE 交BD 于点F ，连接AF ．若AFC ∠恰好等于90︒，请直接写出此时AF BF CF ，，之间的数量关系．证明BAD CAE ∽，从而得出结果；B 作BH CF ⊥，垂足为点AOF BOH ∆∽，根据对应边成比例，【详解】(1)解：∴ABC 和ADE 都是等边三角形，AC ，AD AE =，∠∠DAE BAC =BAC BAE ∠-∠，即：在BAD 和CAE 中，AB AC DAB EAC AD AE =∠=∠=，(SAS BAD CAE ≌△△BD CE =．∴ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，45BAC =∠=︒，ADE ∠ADE △∽，AE AC ，则AD AB AE AC=，BAE BAC -∠=∠-∠在BAD 和CAE 中，DAB EAC =∠，AD AE ∴BAD CAE ∽，BD AB CE AC =， 令AB x =，根据勾股定理可得：2BD AB x CE AC x===(3)∴BAD CAE ∽，ACE ABD ∠=∠，在FOB ∆和AOC ∆中，ACE ABD ∠=∠，∠60OFB OAC ∠=∠=设FH x =，OH y =，则17．在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．(1)如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD的值为 ； (2)如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； (3)在(2)的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．18．在∴ABC 中，CA CB =，ACB α∠=，点P 在平面内不与点A ，C 重合，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接,,AD BD CP ．(1)如图①，当60α=︒，BD CP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． (2)如图②，当90α=︒时，请写出BD CP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并说明理由． (3)当90α=︒时，若点E ，F 分别是,CA CB 中点，点P 在直线EF 上，请直接写出当C ，P ，D 在同一直线上时，求AD CP 的值． ，ABC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明，利用相似的性质即可得解；上，和P 在线段解：如图，延长CP 交60︒，∴ABC 是等边三角形，由题意可知∴PAD 是等边三角形，PAD ∠=∠CAP ∠+∠在CAP 和BAD 中，CA BA CAP BAD AP AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CAP BAD △≌△ (SAS),PC BD ACP =∠=∠在AOC 和△1BD PC=，直线BD ∴ABC 是等腰直角三角形，CAB ∠=∠∴ AB AC =AB AD AC AP∴=CAB ∠+∠AD是ABC的中位线，2219．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点(点F与点B，点C不重合)，线段DE和:AF相交于点P，连接PC．(1)若在线段DP 上取一点Q ，使得2DP EQ =，连接AQ ，猜想PC 与AQ 的关系并证明；(2)若AF DE ⊥时，8,10AB AD ==，求BF 的长；(3)当点F 为BC 的中点时，求AP PF 的值． AEQCDP ∆，即可得出结论；，再判断出DAE ABF ，即可得出结论；，先判断出(AAS)ADE BGE ∆≅∆，再判断出2,2AD BF BG BF ==，进而判断出，即可得出结论．∴90BAF AED ．90BAF AFB ∠+∠=︒，AED AFB ∠=∠，90DAE ABF ∠=∠=︒，∴DAEABF ， AD AE AB BF =，即1083.2BF =；(3)解：如图，延长AD GC ，APD FPG ∆，23AD GF ==．【我思故我在】此题查了矩形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．。

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析] 根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析] ∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析] 方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析] 根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析] 设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )， 整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0， ∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析] 根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析] ∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析] 设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618， 解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意， 即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ， 即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AEAB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a .又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x， 整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h .11 / 11 则S △ADC ＝12AD ·h ，S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ， ∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BD AD， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1， 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC ＝S △DFE ，∴S △ADC ＝S △ADF ＋S △DFC ＝S △ADF ＋S △DFE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC .又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC， ∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFC S △AEF， 因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．(4)画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如图①，取EF 的中点G ，过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 两点，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线；画法二：如图②，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．。

第3课时 黄金分割一、选择题1．已知线段a ，b ，c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a ＝4，b ＝9，则c 等于( ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．362．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ． cmB ． cmC ． cmD ． cm3．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )＝b c ＝b c＝c d ＝c d4．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A ．6 cmB ．10 cmC ．4 cmD ．8 cm5．已知C 是线段AB 上的一个点(AC ＞BC )，有以下命题：①若AC AB ＝BC AC ，则C 是线段AB 的黄金分割点；②若AC AB ＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ③若BC AC＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ④若AC 2＝BC ·AB ，则C 是线段AB 的黄金分割点. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10，则PQ 的长为( ) A ．5( 5－1) B ．5( 5＋1) C ．10( 5－2) D ．5(3－5)7．宽与长的比是5－12(约的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K －29－1②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )图K －29－1A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二、填空题8．(1)实数2和18的比例中项是________；(2)已知线段a ＝5 cm ，b ＝15 cm ，则a 与b 的比例中项是________；(3)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．9．已知C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则BC AB ＝________，BC AC＝________.10．据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为________℃(精确到1 ℃).链接学习手册例2归纳总结11．如图K －29－2所示，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB .若S 1是以PA 为边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．图K－29－2三、解答题12．如图K－29－3，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观．若取黄金比为，求x的值(精确到1°)．图K－29－313．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图K－29－4，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，求DE的长．图K－29－414．以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取一点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图K －29－5所示．(1)求AM ，DM 的长；(2)求证：M 是线段AD 的黄金分割点．图K －29－515思维拓展如图K －29－6①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗为什么(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．图K－29－61．[答案]B2．[解析] A 设这本书的宽为x cm ，则x20≈，解得x≈，故选A.3．[答案]B4．[解析] D 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 根据已知条件得下半身长是160×＝96(cm)．设需要穿的高跟鞋的高度是y cm ，则根据黄金分割的定义，得y ＋96160＋y ≈.解得y≈8.故选D. 5．[答案]D6．[解析] C 由黄金分割的意义可得PQ ＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12－（1－5－12）＝10( 5－2)．7．[解析] D 设正方形的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1. 在Rt △DCF 中，DF ＝12＋22＝5， ∴FG ＝5，∴CG ＝5－1， ∴CG CD ＝5－12， ∴矩形DCGH 为黄金矩形． 故选D.8．[答案] (1)±6 (2)5 3cm (3)32，12或±3 2(写出一个即可) [解析] (3)设这个数为x ，则3，6或x 都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论．设这个数为x ，则32＝6x 或62＝3x 或x 2＝3×6，解得x ＝32或x ＝12或x ＝±3 2.9．[答案]3－525－12[解析] 因为C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，所以AC AB ＝5－12.又因为BC ＝AB －AC ，所以BC AB ＝AB －AC AB ＝1－AC AB ＝1－5－12＝3－52.由黄金分割可知BC AC ＝AC AB ＝5－12.10．[答案] 23[解析] 用近似的黄金比值直接与37相乘即可． 11．答案] ＝[解析] 根据黄金分割的定义得到PA 2＝PB·AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，即可得到S 1＝S 2.∵P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ， ∴PA 2＝PB·AB.又∵S 1是以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积， ∴S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，∴S 1＝S 2.12．解：∵x 与y 的比通常按黄金比来设计， ∴x ∶y ≈，∴y ≈53x.又∵x＋y ＝360，∴x ＋53x≈360，解得x≈135.13．解：∵△ABC，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，AB ＝1，∴AB ＝AC ，AD ＝BD ＝BC ，DE ＝BE ＝CD.设DE ＝x ，则CD ＝BE ＝x ，AD ＝BC ＝1－x.∵EC DE ＝BCAB ，EC ＝BC －BE ＝1－x －x ＝1－2x ，∴1－2x x ＝1－x1， 解得x ＝3－52(x ＝3＋52>1舍去)，∴DE 的长为3－52.14．解：(1)∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点， ∴AB ＝AD ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝AP 2＋AD 2＝5，∴在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5－1，DM ＝AD －AM ＝3－ 5. (2)证明：由(1)，得AD·DM＝2(3－5)＝6－2 5. 又∵AM 2＝(5－1)2＝6－2 5. ∴AM 2＝AD·DM，即M 是线段AD 的黄金分割点． 15解：(1)对．理由如下： 设△ABC 中边AB 上的高为h.则S △ADC ＝12AD·h，S △BDC ＝12BD·h，S △ABC ＝12AB·h，∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为AB 边的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD ， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDCS △ADC，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． (3)∵DF∥CE，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高相等，∴S △DEC ＝S △FCE .设直线EF 与CD 交于点G ， ∴S △DGE ＝S △FGC ，∴S △ADC ＝S 四边形AFGD ＋S △FGC ＝S 四边形AFGD ＋S △DGE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC . 又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ，∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFCS △AEF ，∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．。

八年级数学线段的比、黄金分割及相似多边形（相似图形）基础练习试卷简介:这套试卷通过5道选择题考察了学生比例的基本性质，相似多边形的判定，相似三角形的性质，涵盖面较广，题目易错点较高。

学习建议:对于比例的基本性质，牢记设k法，对于相似多边形需要记牢相似多边形的定义要满足两个条件；对于相似三角形的性质需要找准对应边，对应角才能应用。

一、单选题(共5道，每道20分)1.如果，则的值为（）A.B.C.D.答案：D解题思路：易错点：不会整体代入，不会应用合比性质试题难度：二颗星知识点：比例的性质2.如果，则的值为（）A.B.0C.1D.-1答案：A解题思路：，易错点：对于等比性质的变形应用不理解，不能转化试题难度：三颗星知识点：比例的性质3.下列说法中正确的是：所有的（）都相似.A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形答案：C解题思路：相似多边形要求对应角相等，对应边成比例同时满足，所以只有正方形满足易错点：对于相似多边形的定义不明确试题难度：二颗星知识点：相似图形4.△ABC∽△A’B’C’，其中∠B=60°，∠C’=70°，则∠A=（）A.60°B.70°C.50°D.不确定答案：C解题思路：相似三角形对应角相等，∠C’=∠C=70°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-70°=50°易错点：没有掌握相似三角形的性质，对应角相等.试题难度：二颗星知识点：相似三角形的性质5.下列说法中正确的是（）（1）相似三角形一定全等（2）不相似的三角形一定不全等（3）全等的三角形不一定是相似三角形（4）全等的三角形一定是相似三角形A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）答案：C解题思路：当相似图形中相似比为1时，此时图形全等，所以全等是相似的特例.相似的三角形不一定全等，不相似的三角形一定不全等，全等三角形一定是相似三角形，所以选（2）（4）易错点：对于全等和相似分不清定义、性质、判定试题难度：三颗星知识点：相似图形。