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一种新的基于Kruppa方程的摄像机自标定方法
雷成;胡占义;吴福朝;TSUIHT
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】2003(026)005
【摘要】主要针对传统的基于Kruppa方程的摄像机自标定算法的欠鲁棒性提出了一种新的二步式标定方法.在新标定方法中,首先利用传统的LM优化算法或遗传算法求解出Kruppa方程中通常需要被消去的比例因子,然后再利用线性方法完成对摄像机的标定.大量的仿真和真实图像实验表明,该方法可以大大提高基于Kruppa方程标定算法的鲁棒性及标定精度.
【总页数】11页(P587-597)
【作者】雷成;胡占义;吴福朝;TSUIHT
【作者单位】中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室,北京,100080;香港中文大学电子工程系,香港;中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室,北京,100080;中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室,北京,100080;香港中文大学电子工程系,香港
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种基于Kruppa方程的摄像机线性自标定方法 [J], 李析;郑南宁;程洪
2.一种基于Kruppa方程的分步自标定方法 [J], 王欣;高焕玉;张明明
3.一种新的基于直线特征的摄像机自标定方法 [J], 殷焰;赵荣椿
4.一种新的基于正交性的摄像机自标定方法 [J], 潘亚宾;刘国栋
5.一种新的基于Kruppa方程的摄像机线性自标定方法 [J], 王维盛
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第26卷 第1期2006年1月北京理工大学学报T ransactions of Beijing Institute of T echnolog yVol .26 No .1Jan .2006 文章编号:1001-0645(2006)01-0027-05基于主动视觉的摄像机线性自标定方法裴明涛, 贾云得(北京理工大学计算机科学技术学院,北京 100081)摘 要:讨论了一种基于主动视觉的摄像机线性自标定方法,在摄像机为完全的射影模型,即畸变因子(skew fac -tor )存在时,通过控制摄像机作一次纯轴向运动和3组两正交运动即可线性地标定出摄像机的所有5个内参数.当摄像机为四参数模型,即畸变因子为零时,只需控制摄像机作2组两正交运动即可线性标定出其4个内参数.模拟实验和真实图像的实验结果表明,该方法能够比较准确地标定出摄像机的所有内参数.关键词:摄像机自标定;主动视觉;正交运动中图分类号:T P 391 文献标识码:ALinear Self -Calibration Technique Based on Active VisionPEI Ming -tao , JIA Yun -de(Schoo l of Computer Science and Technology ,Beijing Institute of T echnology ,Beijing 100081,China )A bstract :A linear self -calibration technique based on o rthogonal motion is brought forth .When thecamera model is one that is complete perspective ,the five intrinsic parameters of the camera can be cal -culated linearly by controlling the camera to undergo a pure axial mo tion and three two -o rthogonal mo -tio n .When the camera 's skew factor is zero ,only tw o tw o -orthogonal mo tion is needed to calculate the camera 's intrinsic parameters linearly .Simulative and real experimental results show that the in -trinsic parameters can be calculated precisely by applying this technique .Key words :camera self -calibration ;active vision ;orthogonal mo tio n 收稿日期:20050419基金项目:国家“八六三”计划项目(2002AA735051)作者简介:裴明涛(1977-),男,博士,讲师,E -mail :peimt @bit .edu .cn . 摄像机标定是从二维图像获取三维信息必不可少的步骤.传统的标定方法是通过结构已知的物体(如标定块,标定板等)在图像中的投影计算摄像机的内参数.这种方法的缺点是需要一个标定物,在很多实际应用中难以实现.近年来,摄像机自标定技术以其应用的灵活性得到了很多研究者的重视[1-6],但是这些自标定技术一般都要通过求解复杂的非线性方程来计算摄像机的内参数,从而导致运算速度和结果的精度都不理想.而基于主动视觉的自定标技术可以克服这个缺点[7-11],它是通过控制摄像机作某些特定的运动来获取图像从而标定摄像机的内参数.H .LI 等提出了一种通过摄像机作5组两正交运动来线性求解摄像机内参数的方法[12],该方法对场景没有限制,但是需要过多的正交运动(5组)才能线性求解摄像机的内参数.作者讨论了一种基于主动视觉的摄像机线性自标定方法,在摄像机为完全的射影模型,即畸变因子(skew factor )存在时,通过控制摄像机作一次纯轴向运动和3组两正交运动即可线性地标定出摄像机的所有5个内参数,减少了所需的正交运动次数,而且对场景没有任何限制条件.1 摄像机模型所用摄像机模型为经典的针孔模型.如图1所DOI :10.15918/j .tbi t1001-0645.2006.01.007示.在图像上定义直角坐标系u ,v .每一像素的坐标(u ,v )分别是该像素在图像中的列数和行数.另外建立以物理单位(例如mm )表示的图像坐标系.该坐标系以光轴和图像平面的交点,即主点O 1为原点,x 轴和y 轴分别和u ,v 轴平行.图1 图像坐标系Fig .1 Image coordinate s ystem设主点坐标为(u 0,v 0),每个像素在x 轴和y 轴方向上的物理尺寸为d x ,d y .s ′为摄像机成像平面坐标轴互不正交引出的倾斜因子,则两个坐标系的关系为u v 1=1/d x s ′u 001/d yv 001x y 1,(1)其逆关系为xy 1=d x -s ′d x d y(sv 0d y -u 0)d x0d y -v 0d y1uv 1.(2)摄像机内参数矩阵为K =a xs u 00a yv 0001.其中:(u 0,v 0)为主点坐标;a x =f /d x 为图像u 轴的尺度因子;a y =f /d y 为图像v 轴的尺度因子;s =s ′f 为畸变因子,在四参数模型下s =0.摄像机拍摄两幅图像时的投影矩阵分别为P 1=K [R 1,t 1],P 2=K [R 2,t 2],其中R 1,R 2为摄像机在第1个和第2个拍摄位置对应的旋转矩阵,t 1,t 2分别为摄像机在第1个和第2个拍摄位置对应的平移向量.2 两种特殊的平移运动在自标定中的应用2.1 纯轴向运动确定主点纯轴向运动是指摄像机沿光轴方向,也就是摄像机坐标系的z 轴作平移运动,纯轴向运动特有的性质使其能够应用于摄像机自标定中.通过控制摄像机作一次纯轴向运动,可以线性地计算出摄像机的主点.Ma 提出了如下定理[9]116:设P 为空间中任意一点,p 1,p 2为该点在第1幅和第2幅图像上的投影,称p 1,p 2为空间同一点的对应点,如果按p 2在第2幅图像上的坐标值在第1幅图像上标出p 2点的位置p ′2(即p ′2在第1副图像上的坐标等于p 2点在第2副图像上的坐标),则称p 1p ′2为第1副图像上对应点的连线.如果摄像机作纯平移运动,则空间所有点在第1副图像上的对应点连线交于同一点e ,且O 1e (O 1为运动前摄像机光心)为摄像机运动方向.当摄像机作纯轴向运动时,因为光轴方向就是摄像机的运动方向,所以对应点连线交点就是运动方向与图像平面的交点,即光轴与图像平面的交点,所以对应点连线的交点就是摄像机的主点.2.2 水平平移运动和垂直平移运动的性质水平平移运动是指摄像机在作平移运动时,y 方向的平移分量为0,即平移向量为[x ,0,z ];同样垂直平移运动是指摄像机在作平移运动时,x 方向的平移分量为0,即平移向量为[0,y ,z ].设空间内任意两点X 1=[x 1y 1z 11],X 2=[x 2y 2z 21].X 1在摄像机作水平平移前后通过投影矩阵P 1,P 2投影到图像平面上,投影点为m 11=P 1×X 1,m 12=P 2×X 1.(3)同样可得X 2通过投影矩阵P 1,P 2投影到图像平面上的投影点m 21,m 22.m ij 表示第i 个空间点在第j 幅图像上的投影点.则m 11,m 12确定了第1幅图像上关于X 1的对应点连线,该直线可以表示为m 11×m 12.同样m 21,m 22确定了第1副图像上关于X 2的对应点连线,该直线可以表示为m 21×m 22.则对应点连线的交点为e =(m 11×m 12)×(m 21×m 22)=(a ,b ,1),化简后b 的值恰好等于v 0.即通过一次水平平移运动可以确定主点的v 0值.同理可证在摄像机的畸变因子为零时,通过一次垂直平移运动可以确定主点的u 0值.显然,在摄像机作水平平移运动时,对应点连线的交点必定在x 轴上,所以其v 坐标等于v 0.同理,在摄像机的畸变因子为零,且摄像机作垂直平移运动时,对应点连线的交点必定在y 轴上,所以其u 坐标等于u 0.28北京理工大学学报 第26卷3 五参数模型的摄像机自标定设空间有一条直线,当该直线和摄像机的光轴重合时,该直线所成的像为一个点.所以只要摄像机运动前后该直线所成的像都为一个点时,摄像机所作的就是纯轴向运动.在确定了主点后,可以通过控制摄像机作3组两正交运动线性地确定其它3个内参数.控制摄像机作纯平移运动后,在摄像机坐标系下的平移运动方向可以通过对应点连线的交点获得.设在每次运动前后由对应点连线求出相应的e ij(i=1,2,3;j= 1,2),其中i表示第几组正交运动,j表示该组正交运动中的第几次运动,从而求出每次平移运动的方向O1e ij.设e ij在图像平面上的坐标为(u ij,v ij),则根据式(2),e ij在摄像机坐标系下的坐标为e ij=(u i j d x-s′v i j d x d y+(s′v0d y-u0)d x,(v ij-v0)d y,f).(4)因为每两次运动都互为正交运动,所以可得e T i1e i2=0(i=1,2,3),将式(4)带入该正交条件关系式,得:(u i1-s′v i1d y+s′v0d y-u0)(u i2-s′v i2d y+s′v0d y-u0)d2x+(v i1-v0)(v i2-v0)d2y+f2=0, (i=1,2,3)(5)控制第1组两正交运动的第2个分量为零,使对应点连线的交点v坐标等于v0,然后控制另两组两正交运动,使其第1、第2分量都不为零.最终可以线性地求出摄像机的所有5个内参数.4 四参数模型的摄像机自标定类似五参数模型的自标定可得到如下方程组:(u1-u0)(u2-u0)d2x+(v1-v0)(v2- v0)d2y+f2=0,(u3-u0)(u4-u0)d2x+(v3-v0)(v4- v0)d2y+f2=0.(6)其中:(u1,v1),(u2,v2)是通过第1次两正交运动计算出的对应点连线的交点;(u3,v3),(u4,v4)是通过第2次两正交运动计算出的对应点连线的交点.由于第1次两正交运动为两次水平方向上的平移运动,则有v1=v0,v2=v0,则f/d x=动为两次垂直方向上的平移运动,则u1=u0,u2=u0,此时f/d y=(v3-v0)(v0-v4).这样就可以通过控制摄像机作两组正交运动,得到摄像机的内参数.控制摄像机作垂直平移运动比较困难,可以通过下面的方法解决:首先在水平面上作一次两正交运动,然后将摄像机沿光轴方向旋转90°,再在水平面上作一次两正交运动,就可以线性求解出摄像机的4个内参数.在水平面上作两正交运动和将摄像机沿光轴方向旋转90°都是比较容易做到的,这样就可以不依靠复杂的设备进行摄像机自标定.5 实验结果5.1 模拟数据实验适当设置两个摄像机的位置和姿态以及摄像机的内参数模拟摄像机正交运动的过程,通过将已知坐标的随机分布的空间点投影于指定大小的摄像机图像平面上,可以得到两幅合成图像.为模拟实际应用时特征点提取过程中不可避免的噪声影响,在图像点坐标上加入了零均值的随机高斯噪声.当生成了含有噪声的合成图像之后,首先对摄像机的运动为严格正交运动的情况进行了模拟实验.在不同的噪声水平上,采用第3节和第4节中所述的方法进行自标定,计算出内参数的值,然后取其均值,具体实验参数如下.合成图像大小(像素数):640×480;图像点个数60;图像点上加的高斯噪声(偏移量):0～1.5像素;各级噪声上的实验次数:10;摄像机内参数为u0= 320,v0=240,s=0,a x=a y=1000.模拟实验结果如表1所示.可以看出,在有相当噪声的情况下,本文中提出的摄像机自标定算法仍能获得较好的结果.同时,随着噪声水平的线性增大,所得内参数的计算误差也线性增大.因为在本文所提出的算法中,同一组内摄像机的两次平移运动必须是正交的.下面的模拟实验在于检验正交性对于摄像机标定的影响.在实验中,图像对应点不含有噪声,但在同一组内两次平移运动方向之间的夹角允许在一个给定的范围内随机变化.摄像机内参数如上所述,在每一个给定的误差范围内,算法运行10次,最后的统计结果如表2所示.可以看出当每一组内两次平移运动方向之间的夹角越趋近90°,所求得的摄像机内参数就越趋近于理想值.在主动视觉系统中,摄像机运动的正交性通常是很容易满足的.29第1期 裴明涛等:基于主动视觉的摄像机线性自标定方法表1 模拟数据实验结果(a )Tab .1 Simulation results (a )噪声水平/像素五参数模型四参数模型a x a y s u 0v 0a x a yu 0v 00.11000.0011000.0910.112320.021-240.2571000.0201000.041320.181-240.5570.2999.289999.5981.363320.561239.597999.348999.247320.762238.6210.31001.276998.0361.802321.463238.6601001.612998.070321.501238.6280.41004.2081006.2420.837322.953237.6911005.1081005.552321.983237.9910.51003.5851004.4600.250324.657237.1771003.8551004.880324.980236.1341.01019.4651012.5082.307328.246235.3191020.0051012.333329.254235.2091.51038.1401041.79515.599341.825207.5911039.1041042.774347.505204.498表2 模拟数据实验结果(b )Tab .2 Simulation results (b )两次平移运动的夹角/(°)五参数模型四参数模型a x a y s u 0v 0a x a y u 0v 089～911002.9911000.9070.509320.540240.1091003.8911001.707320.953240.40988～921009.6541010.5541.884325.508243.0311008.1561010.665323.508242.01187～931024.8041017.8879.760329.589254.0911022.0621018.557325.399256.09486～941048.9731049.11011.901333.877258.7261047.8031049.668334.856258.54785～951058.8871062.10522.160341.213263.7121054.9321053.618339.231260.2145.2 真实数据实验结果使用网眼摄像机进行四参数模型的自标定实验,首先控制摄像机在水平桌面上作一组两正交运动,然后将摄像机沿光轴旋转90°后再作一组正交运动.按本文中方法进行自标定,标定结果如表3所示.图2为该摄像机拍摄的两幅图像;图3为根据标定参数进行重建的结果.可以看出,使用本文中的自标定方法可以准确标定出摄像机的内参数.表3 四参数模型真实数据实验结果Tab .3 The real experiment results of fourparameters mo delf u f v u 0v 0785.54785.68102.47168.95图2 摄像机拍摄的两幅图像Fig .2 Tw o images taken by the camera图3 三维重建结果Fig .3 The 3-D reconstruction result6 结 论提出一种基于主动视觉的摄像机自标定方法,对于完全的摄影模型通过纯轴向运动和正交运动进行摄像机自标定,通过纯轴向运动确定主点后,待标定摄像机的内参数数目减少了两个,从而使得进行自标定所需要的正交运动的次数也有所减少,使作者提出的方法更容易控制和实现;对于四参数模型,只需控制摄像机作两组两正交运动即可线性地标定出其4个内参数,这样就可以不依靠复杂的设备进行摄像机自标定.感谢:感谢中科院自动化所模式识别国家重点实验室机器人视觉研究组提供特征点匹配及重建程序.(下转第35面)30北京理工大学学报 第26卷process:an analytical hierarchy process appro ach[J].International Journal of Production Research,2003,41(15):3549-3579.[4]金鑫,张之敬,卢玉波,等.火箭弹发射器设计方案评判的改进AHP法[J].北京理工大学学报,2004,24(1): 35-39.Jin Xin,Zhang Zhijing,L U Yubo,et al.A n improvedanaly tical hierarchy process alg orithm for the evaluation ofrocke t launcher desig n schemes[J].T ransactions of BeijingI nstitute of T echno logy,2004,24(1):35-39.(in Chi-nese)[5]Choy K L,Lee W B,Lau Henry C W,et al.An enter-prise collaborative management sy stem:a case study ofsupplier selection in new product development[J].I nterna-tional Journal o f T echnolo gy Management,2004,28(2): 206-226.[6]W u Liyun,Yang Yuzhong.Grey comprehensive judgmenton colliery transpo rtation system[C]∥ProceedingsP rogress in Safety Science and T echnolog y.Beijing:Sci-ence Press,2004:2006-2011.[7]韩晓,何明,李金林,等.基于灰色关联度的科研项目风险评价方法[J].北京理工大学学报,2002,22(6):778-781.Han Xiao,He M ing,Li Jinlin,et al.M ethod o f evalua-tion for risks in research projects based on g rey relevancy[J].Journal of Beijing Institute of T echnolog y,2002,22(6):778-781.(in Chinese)[8]张国英,沙云,刘旭红,等.高维云模型及其在多属性评价中的应用[J].北京理工大学学报,2004,24(12):1065-1069.Z hang Guoying,Sha Yun,Liu Xuhong,et al.High di-mensional cloud model and its application in multipleattribute evaluation[J].T ransactions of Beijing Institute ofT echnolog y,2004,24(12):1065-1069.(in Chinese) 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基于主动视觉摄像机标定方法Title: Camera Calibration Methods Based on Active Vision摘要：摄像机标定是计算机视觉和机器人视觉中的重要任务，用于确定摄像机的内部参数和外部参数。
这些参数对于原始图像的像素坐标和真实世界中的点之间的关系具有重要意义。
本文将讨论基于主动视觉的摄像机标定方法。
引言：在计算机视觉和机器人视觉应用中，摄像机标定是将二维图像空间与真实世界三维空间相对应的关键步骤。
通过标定，可以获得摄像机的内部参数（例如焦距、主点位置、径向和切向畸变等）和外部参数（例如相机在世界坐标系下的位置和方向）。
这些参数对于估计图像中物体的尺寸、相机姿态和相机运动等任务至关重要。
主体：基于主动视觉的摄像机标定方法通过特殊的标定模式或动态场景来改变图像中的特征点位置，从而获取更多的约束信息。
这些方法可以分为基于特征点（如棋盘格、圆圈网格等）的标定方法和基于纹理的标定方法。
基于特征点的标定方法通常使用已知精确尺寸的标定模式，其特征点位置可以在图像中被检测到。
通过对这些特征点的像素坐标与真实世界中的三维坐标进行匹配，可以求解出摄像机的内部参数和外部参数。
基于纹理的标定方法则利用了图像的纹理信息。
它们使用具有高频纹理特征的标定图案，如条纹或棋盘格纹理。
通过在摄像机看到的图像中检测和跟踪这些纹理，可以确定摄像机的内部参数和外部参数。
结论：基于主动视觉的摄像机标定方法通过引入额外的约束信息，可以提高标定的精度和鲁棒性。
在实际应用中，选择合适的标定方法取决于具体的场景和摄像机特性。
研究人员可以根据实际需求选择最合适的标定方法，并根据需要对其进行改进和优化。
关键词：摄像机标定、内部参数、外部参数、主动视觉、特征点、纹理。
第29卷 第1期2003年1月自 动 化 学 报ACT A AUT OM ATIC A SI NIC A V ol 129,N o 11Jan.,2003 摄像机自标定方法的研究与进展1)孟晓桥 胡占义(中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室 北京 100080)(E 2mail :{mengxq ,huzy}@ )摘 要 该文回顾了近几年来摄像机自标定技术的发展,并分类介绍了其中几种主要方法.同传统标定方法相比,自标定方法不需要使用标定块,仅根据图像间图像点的对应关系就能估计出摄像机内参数.文中重点介绍了透视模型下的几种重要的自标定方法,包括内参数恒定和内参数可变两种情形;最后还简要介绍了几种非透视模型下的摄像机自标定方法.关键词 摄像机自标定,小孔模型,无穷远平面,绝对二次曲线(曲面)中图分类号 TP3911)国家自然科学基金(60175009,60033010)和中国科学院交叉学科重大创新项目(K JCZ 1207)资助Supported by the Natural Science F oundation of P.R.China (60175009,60033010)and Multidisciplinary Research Program of CAS (K JCX 1207)本文通讯作者胡占义 C orresponding author :H U Zhan 2Y i收稿日期 2001208228 收修改稿日期 2002201216Received August 28,2001;in revised form January 16,2002R ecent Progress in C amera Self 2C alibrationME NG X iao 2Qiao H U Zhan 2Y i(National Laboratory o f Pattern Recognition ,Institute o f AutomationChinese Academy o f Sciences ,Beijing 100080)(E 2mail :{mengxq ,huzy}@ )Abstract W e present a review and classification of camera self 2calibration techniques developed in recent years.C om pared with traditional calibration techniques ,self 2calibration does not require a calibration object with known 3D geometry ,but only needs point correspondences from images to solve for the intrinsic parameters.Our main focus is on dealing with the pinhole camera m odel with either constant or varying intrinsic parameters.In the end ,we also give a brief review of self 2cali 2bration techniques under other camera m odels.K ey w ords Camera self 2calibration ,pinhole m odel ,the plane at in finity ,the absolute conic (quadric )1 引言摄像机标定是计算机视觉领域里从二维图像提取三维空间信息必不可少的步骤,被广泛应用于三维重建、导航、视觉监控等领域.广义上摄像机标定可分为三种:传统标定方法、基于主动视觉的标定方法和自标定方法.传统标定方法[1～3]需要使用经过精密加工的标定块,通过建立标定块上三维坐标已知的点与其图像点间的对应,来计算摄像机的内外参数;该方法的优点在于可以获得较高的精度,但标定过程费时费力,不适用于在线标定和不可能使用标定块的场合.基于主动视觉的标定方法需要控制摄像机做某些特殊运动,如绕光心旋转[4]或纯平移[5,6]等,利用这种运动的特殊性可以计算出内参数.该方法的优点是算法简单,往往能获得线性解,缺点是不能适用于摄像机运动未知或无法控制的场合(如手持摄像机等).以上两种标定方法均利用到场景或摄像机运动的信息,对于场景任意、摄像机运动未知的最一般的情形,则都无能为力.20世纪90年代初,Faugeras,Luong,Maybank等[7,8]首先提出了自标定的概念,使得在场景未知和摄像机任意运动的一般情形下标定成为可能.Faugeras等[7]从射影几何的角度出发证明了每两幅图像间存在着两个形如K ruppa方程的二次非线性约束,通过直接求解K ruppa 方程组可以解出内参数.鉴于直接求解K ruppa方程的困难,人们又提出了分层逐步标定的思想,即首先对图像序列做射影重建,在此基础上再仿射标定和欧氏标定.分层逐步标定的方法以Hartley的QR分解法[9]、Triggs的绝对二次曲面法[10]、P ollefeys的模约束法[11]等为代表.针对在实际应用中摄像机内参数会实时改变的情形,人们进一步提出了可变内参数下摄像机自标定的概念.Heyden,≅strϕm,P ollefeys等[12,13]从理论上证明:在内参数满足一定条件的前提下,可变内参数下的自标定是完全可能的,P ollefeys等[13]还给出了一种比较实用的可变内参数下的摄像机自标定方法.从本质上说,所有自标定方法都只是利用了摄像机内参数自身存在的约束,这些约束与场景和摄像机的运动无关,这也是自标定方法较前两种标定方法更灵活的原因.2 预备知识2.1 符号约定为表示三维欧氏空间中的无穷远量,通常把该空间中任意一点记作x=(X,Y,Z,t)T,并称之为该点的齐次坐标,齐次项t=0对应着无穷远平面上的元素,补充了无穷远元素的欧氏空间被称为扩充的欧氏空间.相应地,二维平面上的点对应的齐次坐标为m=(x,y,t)T, t=0对应着无穷远直线上的元素.除非特别申明,本文所用到的坐标(包括点、矢量、平面方程、直线方程等)均为齐次坐标,用小写黑体表示.矩阵则用大写白体表示.2.2 摄像机模型通常使用的是针孔模型[14].在该模型下,摄像机按透视射影变换将空间点x=(X,Y, Z,1)T投影到像点m=(x,y,1)T,用公式写成λm=P x(1)投影矩阵P可进一步分解成P=K[R -R t] (K=αf s u0f v0001).这里R,t分别是世界坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵和平移矢量,被称为摄像机外参数;K是将摄像机坐标系变换到图像坐标系所需的只与摄像机自身有关的参数矩阵,称之为摄像机内参数矩阵;(u0,111 1期孟晓桥等:摄像机自标定方法的研究与进展v 0)为主点坐标(principle point );f 为有效焦距(effective focal length );α为纵横比(aspect ratio );s 为倾斜因子(skew factor ).摄像机自标定的目的就是要求解矩阵K .2.3 绝对二次曲线与摄像机自标定密切相关的两个重要概念是绝对二次曲线Ω(abs olute conic )和绝对二次曲面(abs olute quadric )Ω3[15].在扩展欧氏坐标系(无穷远平面方程为t =0)中,绝对二次曲线被定义为无穷远平面上的一个虚二次曲线,令x =(X ,Y ,Z ,0)T 是它上面的任一点,则x满足X 2+Y 2+Z 2=0,t =0.点x 在摄像机投影矩阵P =K (R -R t )的作用下成像为m KR x (这里“ ”表示相差一个常数因子下的相等),则得到x R T K -1m ,代入绝对二次曲线的方程x T x =0可得m T K -T RR T K-1m =m T K -T K -1m =0.通常用ω记矩阵K -T K -1所代表的绝对二次曲线的像,用ω3记ω的对偶[15](指所有与ω相切的直线族组成的包络).上式表明,在内参数恒定的前提下,Ω相当于一个虚拟的标定块,无论摄像机如何运动,它均能被“看到”,且所成的像ω保持不变.Ω的这种不变性是几乎所有自标定方法的基础.自标定的目标就是要寻找ω(或ω3)并计算出K -T K -1,再对K -T K -1取逆得到KK T ,对KK T 做Cholesky 分解[16],即可求出内参数矩阵K .2.4 绝对二次曲面绝对二次曲面Ω3是空间中一个特殊的虚二次曲面.从代数角度考虑,Ω3在扩展欧氏坐标系(无穷远平面方程为t =0)中的二次型为Ω3=I 3×30T 0(2)在任意射影坐标系下,该二次型将成为一个形式不固定、半正定、秩为3的4×4矩阵.如果再从几何角度考虑,(2)式所代表的几何元素有两种理解方式:(Ⅰ)Ω3可以被看成一个由点的轨迹组成的曲面,该曲面上的任意点x 均满足方程x T Ω3x =0,此时该曲面是被压缩到无穷远平面上的一个退化的二次曲面,它落在无穷远平面上的边缘即为绝对二次曲线,它所成的像等同于ω;(Ⅱ)Ω3也可被理解成由一组平面族组成的包络,该包络中任意平面的法向矢量n T 均满足方程n T Ω3n =0,容易证明,该包络中任意平面均与绝对二次曲线Ω相切,所以Ω3等同于Ω的对偶(abs olute dual quadric ),且该包络的成像也等同于绝对二次曲线像的对偶ω3.在第二种理解方式下,若设P 为投影矩阵,则Ω3应满足ω3 P Ω3P T .1)这里的欧氏变换=标准欧氏变换(旋转和平移)+总体尺度因子变换.下同.上式非常重要,它是在第3节中将介绍的许多自标定方法的基础.与Ω类似,Ω3也是欧氏变换1)下的几何不变量,但Ω3在代数处理上较Ω有更多的优越性,这是因为我们已由213节知Ω是一个二维几何元素,它的定义需要两个方程,其中包括支持它的无穷远平面方程;而Ω3则是三维几何元素,它的定义很自然地将无穷远平面方程和自身方程合为一体,因此可以直接把Ω3放在三维射影坐标系中加以研究,这在许多场合会带来便利.2.5 单应矩阵设π为空间中任意平面,在π上建立二维射影坐标系后,用x 记落在π上的任意一点的齐次坐标,用m ,m ′记该点在两图像上的对应像点,则关系式m H 1x ,m ′ H 2m 成立.211自 动 化 学 报29卷当平面π不通过任一光心时,上式中的H 1,H 2均是3×3的非奇异矩阵,习惯上我们称H 1为π到第一幅图像的单应矩阵(hom ography ),H 2为π在两幅图像间的单应矩阵.2.6 多视点间的几何关系1)双视点.在双视点结构下,图像间的对应点遵循着众所周知的对极几何关系[14](epipolar ge 2ometry ).如图1,摄像机分别在不同的光心位置C ,C ′摄取图像,给定第一幅图像上的点m ,则它的对应点m ′必然落在由x CC ′三点确定的平面π与第二个图像平面的交线l ′m 上,同理,m 必然落在平面π与第一个图像平面的交线l m 上.这种约束关系是两幅图像间最基本的几何关系,习惯上称为极线约束,从数学上可以描述为m ′T F m =0(3)式中F 是秩为2的3×3矩阵,习惯上被称为基础矩阵(fundamental matrix ).关于F 的性质的讨论,请参阅文献[17,18].由于基础矩阵F 包含了两幅图像间的所有几何信息,因此精确地计算F 对于摄像机标定和三维重建具有重要意义.常用计算F 的方法是直接基于(3)式的8点算法,原理如下:设m =[u v 1]T ,m ′=[u ′v ′1]T ,将F 写成由各分量组成的列矢量形式,即f =[F 11F 12F 13F 21F 22F 23F 31F 32F 33]T ,则对每一对对应点对(m ,m ′),可写出方程[uu ′ vu ′ u ′ uv ′ vv ′ v ′ u v 1]f =0.将n (n ≥8)个这样的方程叠加起来得到线性方程组Af =0,再利用S VD分解[19]可求出该方程组的最小二乘解.8点算法简单易行,但实验表明图像中有噪声时,矩阵A 的条件数极大,不容易得到精确解.为克服这一弊端,Hartley 在文献[17]中将图像点坐标规一化到区间[-1,1],大大降低了矩阵A 的条件数,提高了求解的精度.关于其它求解F 的方法请参见文献[20].2)三视点.令(m ,m ′,m ″)是三视点间的一组对应点,它们之间的线性关系可以用一个3×3×3的三视点张量T (trifocal tens or )来描述[21](如图2),关系式如下:m ″l =m ′i ∑3k =1m k T kjl -m ′j ∑3k =1m k T kil .上式遵循Einstein 约定,下标i ,j ,k 表示坐标分量,取值范围为1,2,3,相互之间的取值遵循着叉乘规定.相应地,直线也有类似关系[22,23],若令(I ,I ′,I ″)是三视点间的一组对应直线,则它们满足I i =∑3j =1∑3k =1I ′j I ″k T ijk .关于三视点张量的性质和计算的进一步讨论请参见文献[24,25].3)更多视点.与三视点类似,四视点间的几何关系可以用四视点张量(quadrifocal tens or )来描述,Hartley 在文献[26]中讨论了四视点张量的性质并给出了计算方法.由于射影空间中3111期孟晓桥等:摄像机自标定方法的研究与进展点的齐次坐标只有4个分量,多于四视点的图像对应点之间将不再有新的约束关系,具体证明请参见文献[27].对多视点间几何关系的深入讨论请参见文献[25,28,29].另外,最近Ma Y 在文献[30]中证明,从代数的观点看,四视点张量不是一个独立的约束,它可以分解成基本矩阵约束和三视点张量的组合.2.7分层重建与摄像机标定紧密联系的是三维欧氏重建,在这里我们将简要地介绍分层重建的概念.通常我们所建立的世界坐标系是欧氏意义下的,但在某些场合,建立比欧氏坐标系更广泛的仿射,甚至射影坐标系可能会带来便利.Faugeras 在文献[31]中首先提出了将三维欧氏重建分解成三步:1)根据图像对应点得到射影重建(也称为射影标定),并计算出射影意义下的摄像机投影矩阵.实现射影重建的方法很多,请参阅文献[32～37]等;2)在射影重建所恢复的射影空间中,确定无穷远平面的位置,把射影空间升级到仿射空间,这一步也称为仿射标定;3)在仿射重建的基础上,进一步施加约束,确定绝对二次曲线(面)像的方程并计算出内参数,从而最终恢复出欧氏结构.射影重建也称为射影标定,其定义如下:设空间中第k 个点的齐次坐标为x k ,它在第i 幅图像上的像点为m ik ,射影重建即是要找到一组3×4的矩阵P i ,满足λik m ik =P i x k (4)显然,从射影重建恢复出的射影坐标系不是唯一的,因为对于空间中任意一个射影变换(用一个4×4的非奇异矩阵H 表示),形如({P i H -1},{H x k })的射影重建都满足(4)式.摄像机的完全自标定和欧氏重建要求找到唯一的H ,能将P i 变换到欧氏意义下的摄像机投影矩阵,即要对所有的i 满足P i H -1=K (R i -R i t i )(5)如果以第一幅图像为基准做射影对齐,将(4)式改写成P 1 [I 0], P i [H 1i e 1i ](i ≥2)(6)上式中的e 1i 是极点,H 1i 是参考面的单应矩阵,此参考面被证明[38]可以是射影空间中的任意平面.作射影对齐后,在(6)式右边做具有如下形式的H A 变换H A =I0a T σ-1(7)将不会改变P 1.上式中的σ是尺度因子,a 是某一平面的法向矢量,这意味着作形如(7)式的射影变换其实就是改变了参考面.如果确定了法向量为a ∞的某平面为无穷远平面,并作形如(7)式的变换将无穷远平面变为参考面,则射影空间被升级到仿射空间,此时无穷远平面的单应矩阵可通过式H ∞1i H 1i +e 1i a T ∞ (8)与H 1i 联系起来.从(8)式确定出H ∞1i 后即得到了仿射重建,此时摄像机成像矩阵为P i [I 0], P i [H ∞1i e 1i ](9)如果进一步求出了摄像机内参数矩阵K ,则在(9)式规定的仿射空间里作仿射变换H E 可将仿射重建升级到欧氏重建,H E 具有形式H E=K 00σ-1(10)将(10)式中的H E 作用于(9)式的右边,可以得到欧氏意义下的摄像机成像矩阵411自 动 化 学 报29卷P E 1 K [I 0], P Ei K [R i -R i t i ](11)3 自标定方法综述在这一节里,我们按照自标定方法提出的时间和方法的共性分类.所有自标定方法均是针对运动的单个摄像机而言,摄像机采用的是针孔模型,并假定匹配点对应已经确定.以下除非特殊申明,摄像机的内参数均保持恒定.3.1 直接求解K ruppa 方程的自标定Faugeras ,Luong ,Maybank 等提出的自标定方法是直接基于求解K ruppa 方程的一种方法[5,32],该方法利用绝对二次曲线像和极线变换的概念推导出了K ruppa 方程.如图3,在光心C 对应的图像平面1上,存在着两极线l 1,l 2与ω相切,在光心C ′对应的图像平面2上也存在着两极线l ′1,l ′2与ω′相切(ω,ω′分别是绝对二次曲线Ω在图像平面1,2上的像).根据射影几何[15]的原理,l 1与l ′1,l 2与l ′2分别对应着无穷远平面π∞上两条与绝对二次曲线相切的直线,这种对应被称为极线变换[7].如果将极线l 1表示成e ×m ,其切点m 在图像平面2上形成的极线即为l ′1,而l ′1的方程可用基础矩阵表示为F m ,则根据极线变换得(e ×m )T KK T (e ×m )=m T [e ]T×KK T [e ]×m Ζ(Fm )T KK T (Fm )=m T F T KK T F m ,Πm ,即[e ]T ×KK T [e ]× F T KK T F (12)式中[]×表示矢量的反对称矩阵.从(12)式可以得到5个关于ω分量的二次方程,但其中只有2个是独立的[39].(12)式常由于其形式的特殊被称为K ruppa 方程.容易看出,从两幅图像总共可以得到2个K ruppa 方程,在给定3幅图像的情形下,原则上通过联立求解可解出摄像机的全部5个内参数.围绕着求解K ruppa 方程,文献中存在着不同的途径.Faugeras ,Maybank 等[7,8]最早提出的算法完全基于代数几何的概念,该算法对噪声极其敏感,普通计算机的浮点运算已不足以5111期孟晓桥等:摄像机自标定方法的研究与进展满足其要求.Luong [39]提出了一套基于连续同伦算法[40]的较实用的求解策略,降低了对噪声的敏感度,但该策略要求拐点的提取精度达到子像素级(0.2个像素).这两种直接求解K ruppa 方程的方法存在着共同的弊端:求解困难,而且是针对两两图像之间列方程,当图像数目增加时,可能解的个数呈指数增长,使得直接求解失去意义.另一类求解K ruppa 方程的途径是间接的非线性优化算法,Z eller 等[41]利用K ruppa 方程计算出多幅图像上的所有点到对应极线距离之和,再利用Levenberg 2Marquardt 优化算法[42]减小该距离,并求出相应的内参数;文献[27]则首先令(12)式两边的模相等以消去常数因子,再直接对两边的代数距离进行优化,优化函数如下(令F (A )=A Π‖A ‖F ,‖‖F 表示Frobenius 模):c K (K )=∑i >j ‖F (KK T )-F (F T ji KK T F ji )‖F .上述优化算法的缺点在于,待优化参数过多,且容易陷入局部最优值.部分学者[43,44,39]还通过简化摄像机模型以降低K ruppa 方程的求解难度,如Hartley 在文献[44]中假设除焦距f 外的其它内参数均已知,利用对基础矩阵F 的S VD 分解从两幅图像中计算f .我们注意到在2000年的ECC V 会议上,Ma 等[45]对K ruppa 方程的奇异性和可解性做了详细的分析.Ma 等在文献[45]中证明:在某些特殊情形下(如摄像机的旋转轴平行或垂直于平移矢量),K ruppa 方程可以被归一化为线性方程,相应的自标定算法也成为线性方法.文献[45]还给出了利用K ruppa 方程自标定的充分性证明.基于K ruppa 方程的自标定方法不需要对图像序列做射影重建,而是对两两图像之间建立方程,在某些很难将所有图像统一到一个一致的射影框架的场合,该方法会较下面将介绍的分层逐步标定法更具有优势,但获得这种优势的代价是:在从(12)式推导出K ruppa 方程时,隐含将无穷远平面的3个未知数消去了,这意味着无法保证无穷远平面在所有图像对确定的射影空间里的一致性,从而也部分解释了当图像序列较长时,基于K ruppa 方程的自标定方法不稳定的现象.雷成等指出了基于K ruppa 方程标定摄像机存在的三种不鲁棒性原因[65].3.2 分层逐步标定近年来,分层逐步标定法成为自标定研究中的热点,并在实际应用中逐渐取代了直接求解K ruppa 方程的方法.分层逐步标定法首先要求对图像序列做射影重建(参见2.7节),再通过绝对二次曲线(面)施加约束,定出仿射参数(即无穷远平面方程)和摄像机内参数.限于篇幅,下面仅列出其中几种较有代表性的方法.1)Hartley 的方法.Hartley 在文献[9]中提出了一种直接对摄像机投影矩阵进行QR 分解的自标定方法,首先进行射影重建,做射影对齐后得到形如(6)式的摄像机投影矩阵序列.自标定的目标即是要寻找合适的射影变换H E ,将P i 变换到欧氏意义下的投影矩阵,即P i H E K [R i -R i t i ](13)在P 1 [I 3×3 03]的前提下,H E 共有8个未知数,且具有如下形式:H E K0a T ∞1(14)将(14)式代入(13)式,并取前三列得P iI a T ∞K K i R i (15)文献[9]首先通过预估计得到K ,a T ∞,再利用QR 分解法[16]分解(15)式的左边得到K i .611自 动 化 学 报29卷由于摄像机内参数保持恒定,K i 应接近于K ,利用Levenberg 2Marquardt 算法[42]对式∑i >0‖αi K i K -1-I ‖2(16)进行优化可以解出K .Hartley 方法利用了QR 分解法消去旋转矩阵R ,这是该方法的最大特色.该方法的优点在于当输入图像序列较长时,往往能取得较好的效果;不足之处在于其初始值必须预先知道.2)Heyden 和≅str ϕm 的方法.Heyden 和≅str ϕm 在文献[46]中提出了类似的方法.与Hartley 方法相同,文献[46]也利用了(6)式,但区别在于Heyden 等将(14)代入(13)式后,利用了R i R T i =I 消去R i 和t i 并得到λi P i KK T K T a ∞a T ∞K πT ∞a ∞P T i =KK T (17)通过优化下式可以解出内参数矩阵Kf (K ,a ∞,λi )=∑i λi P iKK T K T a ∞a T ∞K a T ∞a ∞P T i -KK T 2(18)该方法也存在着计算量大,优化的收敛性难以保证的弊端.必须指出的是,(18)式非常重要,它其实也是下面将介绍的Triggs 的基于绝对二次曲面、P ollefeys 的分层重建等方法的基础.3)P ollefeys 的方法.P ollefeys 等[47]从单应矩阵和绝对二次曲线出发推导出了类似文献[46]的结果.由于无穷远平面上的绝对二次曲线的像不随摄像机运动而改变,利用(8)式得λi KKT =[H 1i +e 1i a T ∞]KK T [H 1i +e 1i a T ∞]T (19)文献[48]建议利用Levenberg 2Marquardt 算法优化式∑ni =21λi F ([H 1i +e 1i a T ∞]KK T [H 1i +e 1i a T ∞]T )-F (KK T )F(20)以解出K .可以看出,优化函数(20)与(18)在形式上类似,都存在着未知的常数因子λi ,但在处理该常数因子上,P ollefeys 和Heyden 采用了不同的途径:Heyden 是将λi 看作独立的未知数与其它参数同时优化,而P ollefeys 则利用(19)式两边的模相等估计出λi =‖H 1i +e 1i a T ∞‖2(21)由于减少了待优化的未知数个数,优化函数将更易于收敛.P ollefeys 在文献[49]中还证明:该方法与基于K ruppa 方程的方法[7]、Heyden 等的方法[47]、Triggs 的基于绝对二次曲面的方法[10]等在本质上是相同的.以上我们介绍的三种方法有着共同的特点:都是在射影标定的基础上,以某一幅图像为基准做射影对齐,从而将未知数缩减至8个(无穷远平面参数3个和摄像机内参数5个,不包括总体常数因子),再通过非线性优化算法同时解出所有未知数.缺点在于:1)非线性优化算法的初值只能通过预估得到,不能保证收敛性;2)射影重建时均是以某参考图像为基准,参考图像的选取不同,标定的结果也不同,这不满足一般情形下噪声均匀分布的假设.3.3 基于绝对二次曲面的自标定Triggs [10]最早将绝对二次曲面的概念引入到自标定的研究中来,该方法的原理如下.由2.4节知,绝对二次曲面Ω3对应着图像上的绝对二次曲线像的对偶ω3,即下式成立ω3≌KK T =λi P i Ω3P T i (22)7111期孟晓桥等:摄像机自标定方法的研究与进展(22)式非常重要,它是将摄像机内参数的自身约束转移到对Ω3的约束的纽带.不难看出,(22)式与Heyden 等给出的(17)式在本质上是相同的,但Heyden 等并未给出其相应的几何解释.原则上通过联立求解(22)式组成的方程组可以计算出ω3.由于(22)式中的常数因子λi 随图像不同而改变,为消去λi ,对(22)式两边矩阵的对应项作叉乘[ω]kl [P i Ω3P T i ]k ′l ′-[ω]k ′l ′[P i Ω3P T i ]kl =0(23)上式中的[…]kl 表示矩阵第k 行第l 列元素.对于每一幅图像,可得到15个形如(23)式的方程,但其中最多只有5个是独立的[58].T riggs 提出了两种方法求解该方程组:第一种方法利用了S QP 优化算法(sequential quadrat 2ic programming ),在det (Ω3)=0的约束下直接求解代价函数∑i ‖ω∧(P i Ω3P T i )‖2的最小值,利用该方法,给定至少3幅图像即可完全标定,初始值由预估得到;第二种方法被称为半线性方法(quasi 2linear ),将ω,Ω3的分量分别组织成列矢量 ω6×1, Ω310×1,并以 ω Ω3T 的59个分量为未知数,则此时(23)式成为线性方程,再联立从多幅图像(≥4)得到的所有这样的线性方程,在最小二乘意义下解出59个未知数.半线性方法存在着过分参数化的倾向,噪声大时误差也较大.基于Ω3的自标定方法与基于K ruppa 方程的方法在本质上是一致的,都是利用了绝对二次曲线在欧氏变换下的不变性,但在输入多幅图像并能得到一致射影重建的情形下,前者较后者更具有优势,其根源在于Ω3包含了无穷远平面和绝对二次曲线的所有信息,且基于Ω3的自标定方法又是在对所有图像做射影重建的基础上计算Ω3的,从而保证了无穷远平面对所有图像的一致性.与此相比,基于K ruppa 方程的方法是在两两图像之间建立方程,在列方程过程中已将支持绝对二次曲线的无穷远平面参数消去,所以当输入更多的图像对时,不能保证该无穷远平面的一致性.3.4 Pollefeys 的模约束以上介绍的分层逐步标定法有一个共同的特点:在得到射影重建后,将仿射标定和欧氏标定合为一步,一次性地求解出3个仿射参数(即无穷远平面参数)和5个摄像机内参数.而P ollefeys [11]提出的模约束法则是将仿射标定和欧氏标定分开进行,其原理如下.设H ∞ij 表示无穷远平面在图像i ,j 间的单应矩阵,联系H ∞ij 在欧氏坐标系下的表达式(11)和在射影坐标系下的表达式(8)可得到H T ij H ∞1j H ∞-11iKR T j R -T i K -1 (H 1j +e 1j a T ∞)(H 1i +e 1i a T ∞)-1(24)P ollefeys 由(24)式发现,H ∞ij 与一个旋转矩阵R T j R -T i 在相差一个尺度因子下共轭,则根据旋转矩阵的性质,H ∞ij 的3个特征值的模应相等,这就是所谓的“模约束”.必须指出的是,这种模约束只是在内参数矩阵K 恒定的情形下才成立.文献[11]进一步将模约束用H ∞ij 的特征多项式系数表达,即如果设H ∞ij 的特征多项式为det (H ∞ij -λI )=l 3λ3+l 2λ2+l 1λ1+l 0=0(25)则由模约束可推出如下必要条件l 3l 31=l 32l 0 (26)利用(24)式,将l i 写成关于a ∞的三个分量的表达式,从而由(26)式得到了关于a ∞的4次多项式约束,在最少3幅图像下,可通过联立求解4次多项式方程组计算出a ∞,将计算出的a ∞代入(19)式即可线性求解出绝对二次曲线的像KK T .此后,可以构造形如(20)的优化811自 动 化 学 报29卷。
主动视觉相机标定方法摘要：相机标定是计算机视觉中的基本问题之一，对于主动视觉相机而言，准确的标定是保证其测量精度和姿态估计的前提。
本文介绍了主动视觉相机标定的方法和步骤。
1.引言主动视觉相机是指能够主动调整自身姿态以获取更多信息的相机系统。
对于这类相机系统而言，准确的标定是保证其测量精度和姿态估计的前提。
相机标定是计算机视觉中的基本问题之一，其目的是通过确定相机内外参数来建立相机成像模型，从而实现像素到物理空间的转换。
2.主动视觉相机标定方法主动视觉相机标定方法主要包括以下几个步骤：2.1 物体选择在进行相机标定之前，需要选择合适的物体作为标定对象。
一般来说，应选择具有明显特征点且不易变形的物体作为标定对象，如棋盘格、靶标等。
2.2 标定图像采集标定图像的采集是相机标定的关键步骤。
在采集过程中，需要保证相机和物体的相对位置不变，并尽可能覆盖不同的空间位置和姿态。
为了获得更好的标定效果，可以考虑采集多组标定图像。
2.3 特征点提取在标定图像中，需要提取出物体的特征点。
特征点的选择应具有以下特点：能够准确检测出来、分布均匀、具有良好的可区分性。
常用的特征点提取算法有Harris角点检测、SIFT、SURF等。
2.4 特征点匹配特征点匹配是将标定图像中提取出的特征点与相机坐标系中的特征点进行匹配，从而建立像素到物理空间的对应关系。
常用的特征点匹配算法有基于距离的匹配、基于相似性度量的匹配等。
2.5 相机参数求解通过特征点匹配得到的像素点和物理点的对应关系，可以利用相机成像模型求解相机的内外参数。
常用的相机成像模型有针孔相机模型、透视相机模型等。
相机参数求解的方法主要有最小二乘法、非线性优化等。
3.实验结果与讨论为了验证主动视觉相机标定方法的有效性，我们进行了一系列的实验。
实验结果表明，所提出的方法可以准确地求解相机的内外参数，并获得较高的标定精度。
同时，我们还对不同因素对标定结果的影响进行了详细的讨论。
基于主动视觉的结构光手眼系统自标定方法吉峰;郭新年;曹沁婕;白瑞林;于圣龙【摘要】In order to calibrate the structured light eye-in-hand system, the self-calibration approach based on active vision is proposed. In this calibration method, by precisely controlling the robot, 2 groups of translational motion and 1 group of motion with rotating are conducted. The intrinsic parameters of camera, and the normal vectors of eye-in-hand rotation matrix and the light plane are calibrated by 2 groups of translational motion, and the translational section of eye-in-hand matrix and the depth information of the light plane are calibrated by 1 group motion with rotating. The test results show that this calibration approach is simple, specific target is not requested, feature selection is easy, testing result is stable, the accuracy is ±1. 02 mm. This provides important significance to structured light eye-in-hand system in industrial fields.%为实现结构光手眼系统的标定,提出一种基于主动视觉的结构光手眼系统自标定方法。
1 154 计算机学 , , 报 , 20 02 年运动; (2 (3 j ~ 1 2 … N } 同样满足投影关系根据上面的两种算法之一求对应的H 。
; , U U U l , 、、、 p l月 = ( p , A A ( A 一’ X , , 利用求得的多个不同的H C , 。
, 如第 3 节介绍的方法 Z, p乡 X p 首先求矩阵、然后用 Ch o l e s ky K 分解法分解出矩阵 . {~ (p Z ` (A一 X , 3, 本节介绍的方法可以说是至目前为止对设备要 ;X; 一 (p 3 A (A A , 一 ` X , 求最低从理论上来说非常完整的一种基于主动视觉的摄像机标定方法该方法的唯一不足是在标定过程中把不同运动组看作是相互独立的没有当作一个整体来考虑这在实际应用中可能会产生对局部噪声敏感的现象另外需要指出的是如果场景中含有平面信息最好使用算法法 2 , . . . {U 、 ` p 冰{ 二 j = , , (p、 , ( A一N , , ` X (28 , 1 2 … 式异 ( 25 中 4火 4 , 为一任意非奇 2 7 ( 矩阵式 ( 2 8 表明式中的投影矩阵和重 x , 洲 = 只A . {一 A 一’ x A 2 , o 来求解 H c . 由于算 1 建的空间点之间存在一个用定性由于一个影变换 , . 4x 4 矩阵表示的不确 4x 4 中待定的未知变量比较少所以一般比算法 . 矩阵在射影几何中表示一个射 : 的重建为射影重建( 注 , 的鲁棒性好些 7 所以称式〔 2 7 表示 A 如果不确定性矩阵是一个仿射变换矩阵则式 , , 基于射影重建的标定方法李华等人吮〕最近提出的基于射影重建的摄像 (2 7 称为仿射重建 ; 如果 A 是一个刚体变换矩阵 . 则式 (2 7 称为欧氏空间重建即传统意义下的三维重建 , 机标定方法是将多幅图像当作一个整体对待以期 , 给定 N 组 M 幅图像之间的对应点以 ( i 一 , 1 2 , , 进一步提高算法鲁棒性的很好尝试基于射影重建的方法对摄像机运动的限制条件与第, . … M ;j 一 1 2 … ( 一1 2 … i , , , , , , ` N 射影重建下的投影矩阵尸 , , , 6 节中的方法 . M 可以很方便地计算出如文献 [ 4 0 . 是一样的即要求摄像机至少作一次平移运动基于 4 1 〕介绍的方法所以在讨论基于射影重建的标定 , 射影重建标定摄像机的重点不是探索在哪种摄像机运动情况下摄像机的内参数矩阵可以线性唯一求解而旨在探索研究如何从多幅含噪声的图像中更鲁棒地对摄像机进行标定当然基于射影重建方法 , . 方法时总假定当 (1 (H 、 , p `( i 一1 , ,2 , , … M 是已知的 , , , . , P` ( i 一1 : 2 l , … M 求出后如果 , P l 、 ; , 0 e ` ( 注如果 p 不是这种形式的话可以很方便 P 地通过一个仿射变换变成这种形式对其它从数学上可以证明有如下关于成立 , 、 , : 的前提是给定的多幅图像已包含了标定摄像机的必要信息而且一般来说要远远多于标定摄像机最少 , , H + e ` a T ` ` 岛 KR K一 , i 一2 , 3,… , M , (29 a 需要的信息从数学的观点来看间题类似于求超定方程的鲁棒解 . . . , 式 (29 中 , K 为待标定的摄像机的内参数矩阵 . 为一 ` 一个未知的三维列向量从上式可知一但我们能够 , 这里我们首先需要对射影重建作一点简单介绍所谓射影重建就是指给定 M 幅图像 N 组 M 幅图像之间的对应点 , 一 N (酥表示在第 , , , 确定向量 , , a , , 无穷远平面的单应矩阵 i H , , . 的 ~ K风 Ki( 二2 3 4 … M 就可以得到从而如第 3 节所述, U *, (i= 1 , 2 , … , M , ; , 一 l , 2 , 可以线性标定摄像机式 ( 2 9 中第 i , R `是第 1 . 幅图像与幅图像之间摄像机的旋转矩阵 , , i 幅图像中的第 j 个对应点 1 2 4只 , , , 寻找 M 个 3x 4 t 一投影矩阵只’( (X l , … M 和由 N : 当图像之间摄像机的运动至少有一次为纯平移运动时不失一般性假定第 , 1 幅和第 : 2 幅图像之间 , 个点组成的点集, X : , … , X 、、 ( 即射影空间下摄像机的运动为纯平移运动此时 H : R 一I Za T 则 (30 重建的点坐标使得下列投影关系成立 U U U l , + e ZaT 、 . I , Z 或 H + e , 一舫七七七 p , X J , ~ ~ (H (H (H Z , , e , X X X , , 上式中 , , 又为未知标量从式 ( 30 a 向量可以线性求 o Z, p ZX p 3X , e e Z 解然后代入式 4 5 , ( 29 , 可以得到从一 K风 K 一` (i~ 3 , 3, , ~ 3 , 3 , … M , . 李华等人进一步研究了如何检测两幅图像之间 U均、 p , X , 一 (H、 , , e 、 X , , , 摄像机的运动为纯平移运动的条件检测的主要判 ( 27 . j ~ , l , 2 … , , , N l 2 … , 据是摄像机在两幅图像之间的运动为纯平移运动 : 很显然如果式 ( 2 7 中{尸2 , , M j = 1 ( … N } 满足投影关系即是一组可行的射影空间则式 (2 8 , x , , i~ ; , 的充要条件是两幅图像之间的基础矩阵为一反对称矩阵 . : 下的重建中的 {洲 , X二i = l , , 2 , …对; , 鉴于上述讨论本节标定算法的基本步骤为 , :11 期 ( l 胡占义等基于主动视觉摄像机标定方法 : 115 5 从多幅图像中通过基础矩阵的性质 (是否为一反对 ; , t o r t o n i m s ls o de l d a n d a e e u r a ee y e v a lu a t lo n , . IE E E , T r a n s Pa t te r n 称矩阵检测那两幅图像之间摄像机的运动为纯平移运动 (2 进行射影重建 An 6 a ly n a n M a e h in In te ll l g e a e n e e r a 1992 t on 14 ( 10 : 9 6 5 一 98 0 v 确定投影矩阵 a P , ; Zha u n g 2 Y o . F le ie x ib le i e a m e r a lib ro e i by ie w in g n a a p la n ef r o m o n ( 3 根据式 ( 3 0 确定 ( 4 KR K 一 1 向量 ; kn w n o r n ta t o n s lo n , . In : P , In , t e r n a t io l C o n fer e n e e C _ o mpu e n t e r V is , K , e r ky u e u ra G . r e e e e 1999 w . 6 6 6一 6 7 3 y e a 根据式 ( 2 9 确定无 , 穷远平面的单应矩阵鱿 ~ 7 Mg X Q e L I H s e H e 2 Y la r A n e e a s : m t e r a e a l ib r a t o n i ; t eeh n iq u h ln e ba V is d o n ir P o in , t s . In l , Pr n l o e h e 1 1 t h B r it is h , ( 5 如第 3 节所述利用 H 油线性标定摄像机的内参数 , M a e lo n Co n fe r e n e e B r 一s t o U t e d K in d o m 20 0 0 . 矩阵. K 4 9 6一 5 0 5 正如本节开始时所述的那样基于射影重建标 8 Ha b r t le y d n , R e a . E s t . im I a t xo n o f r e l a t iv u ro e e a m e r a Po s it io n s fo C r u n e a li - r a te m e r a s n : P ro e E p e a n , C a o n , f e r e n e e o n o mp u te r 定方法的主要优点是该方法可以利用所有图像的信 V is io 9 Sa n t a , M a rg h e r i t a L ig t e an u r e s e e It in ly t 1 9 92 e e . 579一 587 e n s 息从理论上来说其对噪声的抗干扰性要强该方法最关键的问题是在实际应用中能否很好地检测出摄像机的纯平移运动如果检测不准 , , . . , . Fa u g e r a s O D t e W ha r l be : n hr d im C o n , io n s w it h o n a n - u n e a li b r a s d s t e r e o g . I n P e r r o e E u r o p e a n f e r e n e e . C o m p u t er a V i i n o n , S , a n ta u , a 向量就会计 . M a rg h i . t a L ig u r e , I o t a ly s e 1992 一 5 63 一 5 7 8 a 10 M m y ba g k S J e a Fa . g e r a s 0 D A t heo r y f lf o e a lib r u t on i o f a 算不准确从而整个方法就有可能失效所以如何准确地检测摄像机的纯平移运动从而准确地计算 a , o v ln , m : e ra I n te r n a tlo n a l J o u r n a l o f C m p t er V i s 一 o n , 1 9 92 1l 8 (2 1 2 3 一 15 1 , 向量是需要进一步研究的课题 . Fa Je e ro u g e r a s O D m e r a Qu a n e r a a n L a : , St u r m P t o n . S e lf t o t 一 e a lib lf 一 ra t 一o n o f i a o n I D pr o o o - t v e i e a d i . ts p P lie a i h e s e e a lib r a t f a ZD t er p e 一 e t v e i , e a m In G a e r , P r o e Eu , r o p . e a n Co n fe r e n e e o n C r pu n 8 结论 V i 12 s lo r n e l y . F r e . ib u r r u g , m e a n y 1998 s 3 6一 5 2 r r o Ha n r a t R K pp 5 q u a t o n i d e iv e d f A n a m d th e fu hl n da m In e n t a l - t r lx , IE E E 19 9 7 s , T r a n s : P a t t er n ly s ls a n M a e n e t e l ll 本文介绍了文献中近年来在基于主动视觉的摄像机标定方面的研究进展并对不同方法的特点进行了简要评述基于主动视觉的摄像机标定方法由于要求知道摄像机的某些运动信息所以与自标定 , . g e n e e 19(2 V a n 133一 135 o o , 13 P o ll e f e y e a M . , G o e n l L . A s t r at if ie d a p Pr o a e h to te r , m e t r ie lo n s e lf - l ib r a t lo n In : Pr i t io IE E E C , o n fer r e n e e o n r a , Co m p u V is . a n d Pa tt e r n Reeo g n Sa n ta Ba ba C a li f o r n ia 19 9 7 407 一 412 方法相比似乎不那么完美然而自标定方法的非鲁 , , 14 P o ll e f e y r e e o n s s M e , Ko in In : e h R s , V o a n Go o l L . S e lf 一e a lib r w n a t o n i a n d m l o e t r le e ra 棒性又迫使人们不得不回过头来做一点基础的事 r 计算机视觉的发展进程似乎也一样 M a , . . tr u e t o n i p it e f In , v a r y in g a n d u n kn o in te r n a o n e a m p r a r a 计算视觉 h tt a iV e 15 m n t er s , . Pr , o e t e r n a t一 o n a l C o n fer e n e e C r pu n t er V is io Ar m im ag 5 s B o m ba y I n d ia s e r 199 8 . 90一 95 的困难迫使人们回过头来研究定性视觉 ( q u a v t r o n g M . , Z is In e , m a n A , H p a r t e y l R fe . Self e e 一e a li b r C o a t 一o n u fr o m - i s io n t ic 目的视觉 in g v (pu . r p o s iv e v i s io n 和应用视觉 16 e t r p e t s i l : P r o e E u r o . e a n C o n r e n o n mp te r V i (p r a c is io n 自标定的非鲁棒性也会使更多 , , . io n , C a m b r id g A , U K , 1996 . 3 一 16 He y de n s e A it s t r o m y K in g E a n u e l id e a k n o n r e e o ns t r u e t e n io n fr a n o m r 一 m a g a e 的人们转向基于主动视觉的标定或更广义地讲基于知识 ( 运动知识场景知识等的标定 , q u e n e e s w P h v a r d u n w o n n f C o e a l l g th d p i n a n n e l p l Po i n t e r n t . In : r o e IE E E C , o n fe , r e n e e o mpu , t e r V is io . d P a t- Reeo g . n ltlo n Sa a n Ju ra n n o n Pu o o r e t o a Rieo f fi u 19 9 7 438一 443 参 1 考 H 文 M i . 献 D ir o 17 QUA N L v le S lf e 一e lib t i f a n o n e e r e a m s e r a o n , fr o m m , u l t iple : w s . I n te r n a t i o n a l J o u r n a l f C mp t V i i 19 9 6 1 9 ( 1 9 3 一 10 5 A b d e l A z iz f r o 一 Y a r a l , K a r a r a e e t e e li n t r a e a r t r an s fo r m di a t lo n . l8 H a n a r t e y l t R , H a y m o r a n In E , de Ag y s . a p it o L t e t a e , l t . Cam e r a e a li b r a t io n o n - m e o m p t or u e o o r d 一 n a t e s 一 n t o bj s p a e e e t r e o o r n a t e s ,d he s e a r e hf o fi n lt I o n n : , P r o e h 7 h I G n t e r n a t zo n a , l C AS P S 一 18 2 Fa I n : e e o u y m po s i m o n Cl o s e R a ng e Ph o t o g mm y , 1971 1 : 1 f e r e n e e o n C mp u t e r Vi i K e r ky r a re e e e 19 9 9 . 510 一 517 e r a s g O D , T o s e a n o n i G . T he o n e a lib o r a t o n i p r o b le m f o o n a n r s t e r e o · l 9 L a n e l C he e a n g , Wu s e Fu 一一 Ch a a o , H . u Zh ta a n 一 . Yi t o Th e K r u pp a , e q u a t o n i , P g r o e IE E E i o n , C a f e r e n e e , C o r e m a r , Pu t e r V i i . s d P a t t e r n d : m e r a lf e a lib r t on i Ae A u m a t ie a S in ie a 2001 27 R 3 n lt , Mi m R K . l B e a e e e h F l id 1986 1 5一 2 0 to n o (5 o u s a n 62 1 一 6 3 0 ( i n , , C h in e s e . Ku r p T s a i R L e n z A n t h n 一q u e e a fo a f u ll y . a u m d e ffi - (雷成吴福朝胡占义 , P 方程与摄像机自定标 a e a : . 自动 l e ;e n t 3D u . r o bo t i e s H a a t lo n e , d /E y , li b r t io n 班EE e a T r a n s Ro bo t :e s 化学报 20 2001 . , 27 (5 一e : 6 2 1 一 6 30 io n n o a n d A s a to m An a e 1989 n 5 (3 : 3 4 5一 3 58 t e e a H a r t e l y R S e lf a l ib r a t f , s t at o n a r y i , m e r a s . In t e r n a t io n a 4 T i R ff i e i e e v t n a n d In a e e u r a : m e r a li b r a t o n i t e e h n iq u e J 21 o u r n a a l o . f Co m pu A s e t er a V is io a 1997 22 (l e 5一 2 3 t lv e : v fo r 3D m n a n hi n is io . P r o e IE E E C , o n fer a e e n e e o n C a o , m Pu t e r . M 5 D lf 一e ll b r A 一 t o n i t ee a hn lq u , fo , r a e i io s n s y s t e m · V is io d Pa t te r n Re e o g n zt zo n M ia m l Be h , F l o r id 19 8 6 IE E E T r a n s Ro bo t u u t o m , t io n 1996 a n 一 12 ( 1 1 14 一 12 0 e a 36 4 一 3 7 4 5 2 , L e l C he t o n n g , Wu F C hao e Hu Zh a e t v e Y l . A s n e w . m e r a s e lf 一 e a l - Wen g J Y C o he n P , He r n lo u . M Cam e r a e a lib r a t o n i w it h d l s - ib r a i m e t h od bas d o n i v is lo n y s t e m C hln e s e Jo u r n a l115 6 计 t r es , 算机学 n 报 iq u a e 20 02 年 a r e , o o fC m pu 2000 , , 23( 11 . : 1 1 30 一 1 1 3 9 ( in C h i n e s e ba s e d o n p r o je e t iv e r e e o n s t r u e t io n . Jo u r n a l o f So ft w (雷成吴福朝胡占义 , . 一种新的基于主动视觉系统的摄像 , ,2 0 0 0 23 ( 22 to pp e a r , ( in C h in . e s e 机自标定方法 23 计算机学报 L i Hua , : 1130一 2139 a e (李 ba s e 华胡占义基于射影重建的线性摄像机自标定方法软 , . W u Fu C h e a 一 a o , Hu Zh te e a n 一 Y i e . . A A e n e w t to iv e v i s io i n d , 件学报待发表 33 m e r a , s e lf 一e a lib r a t o n i h n iq u t a Au m a t ea S inie a Wu e a r Fu e a , 一 Ch e r a a o , H lf u Zh a n 一 Y i io . A . n e w th s e e o r y a n d l a lg o o r it h m o f lin te - 20 0 1 2 7 ( 6 : 7 3 6一 7 4 6 ( in C h i n , . e s e m s e : e a l诬 br a t n C hine Jo u r n a f Co m Pu r s , ( 吴福朝 , 李 , 华胡占义基于主动视觉的摄像机自标定方法 , 20 0 1 24 (11 , 1 1 2 1 一 11 3 5 ( i n C h i n . e s e 研究 24 . 自动化学报 Ma 5 . 2001 , 27 (6 e a : 7 3 6 一 74 6 a ( 吴福朝 v a n 胡占义 24( 12 ao , 摄像机自标定的线性理论与算法 1 12 1 一 11 3 5 u . 计算机学 h e in f in it u W e i G Q r a , D . C o e a m e r a l ib r In t io n by n is h in g P o 止 n ts a n d , 报 4 3 ho , 2001 F o u 一 , : e r o s s t io In , : Pr . IE E E t e r n at o n a i l Co fer e n e e A SSP Wu Ch H a n Zha e a : n 一 Yi . T he de s e te r r a m in i o n . a t o n i o f t e B ib R e f 25 L i 5 L . e e 1 98 9 16 3 0 一 1 6 3 3 e r a e a m g , r a ph y , d m e r a lf 一e a l ib t A e ta A to m a t e a i M X n . Ca m : l ib a r ro t io n e a n o f a H e fer a d Ey e o n 一 s y s te m f o r a e t iv e v i - S in ie a 20 0 2 , 28 (4 . 4 8 8 一 4 96 ( in C h in e s e io In o P , r o e E . u p C o n e n e e C o m Pu te r V is i o n , ( 吴福朝胡占义 . 线性确定无穷远平面单应矩阵的确定和摄 , S 26 t o e r o n kh l m L s e . 1994 543一 554 n a 像机标定自动化学报 lf 一 2 00 2 e r a , 28 (4 a : 4 5 5一 4 96 te r n rs D D y mi . e n : e a m e r a s e e a lib a r o n t io n f r o m C e o n t r o o ll d m e r e o - 35 W i a n W i n , X ti u v e G Y v . C o n a m y s p . r m a P a e e s t im g a t io n a n d e v a , lu a - t io n a n q u e n e e s I P r o e IE E E C , f e r e n e e o n , . m Pu t Vi i s o n t o n a e i i s s te m t t e R e e o n it io n , 1 9 96 29 d P s u a t t e . r n R e t e e o g n i t io a n N ew : Yo r k e r n a 1993 5 0 1 一 50 6 gy o n a n : ( 3 4 3 9一 4 4 7 27 Ba I n : A A ive e a li b r o n t io n A lt o n . t iv u e s t r a te s d a n a ly s i s a · 36 W r o e i G Q e , A s r b te r K a n o , Hi r z in e r e e g r G . A e t iv e s e lf o e a lib r a t io n o f - P o r o e IE E E C , f e re n e e , C o mp t e r V i i a n d P tt e r n b o t ie . ye a n d H 一 d Ey la t i o d A n s h iP s w it h m m a t de l i d e n t i f i e a , Ree 28 g n it i o n , N e w Yo . r k 1993 495 a 一 500 o s . t o n i IE E E T r a n s R b o t ie s a n u t o io n , 1998 14( l : 158 D o u F L e a B r a dy M r a e Self v 一e li b r n s a t o n i f t he i n : t r n s e i i Pa r a m e t e r s 一 16 6 37 f m o n e r a s fo t iv e is io n y s te m In P n ro e IEE E n , C o n fe o r r - Ha Pa r t e l y r n R A . In n a defe n a n s e o f a e t he e 一 s p o in t a lg o r , it h m . IE E E T , ra n s : e n e e Co m Put er V i s io a n d Pa t te r n Ree og i t io Ne w Y k , tt e l y s is d M h in In t e l li g e n e e 1997 19( 6 580 1 9 93 4 7 7 一 4 8 2 . 一 59 3 g , 29 Y a n s e g C han g e a s e 一 Jia n o Wan s g p W t e i e , , H r s u Zha s e n 一一 Y i . A i n a e t iv e te e v is io n e . 38 Lu a o n o r g Q T s , , F a u g e r a s 0 D . T h e fu a n a : n . da m In e n t a l m i a tr ix : Th e o r y o , ba d m e r a u r n a in t r in ie a r a m t e lf e a lib r : a t o n h n iq u lg it h m te r a n d n , s t a b i li t y , ly s is t er n a t on a l Jo u r n a l f C hi ne n e s e Jo , l f Co mpu e r s 1998 21( 5 , 4 2 8 一 4 3 5 ( in C h i - Co m Pu 39 V is io , 1996 17(l . 43一 75 . Ha a r t le y R de , St t a n u r m P , T r ia 1997 A f a t u r e , n g u la t i o n : C o mpu te r V is io n a n d Im - ( 杨长江汪 . 威胡占义 , . 一种基于主动视觉的摄像机内参数 , g e U n r s d in g s 68 ( 2 t o a n r 146一 157 自标定方法 30 计算机学报 H r u a e 2 9 95 , 22( 5 i . : 4 25 一 4 3 5 40 一e S tu r a m P e T r ig g B . e iz a t o n i ba . s e d a l即r it h m f o r o e , r m u lt i o - Y a t g r C e J , 2 Y t . A is io e o , n n n i s n tr i n s e p ara : m Pr e te r s o e s e lf a li b r a t i o n im g p r o j e e t o i v e s t r u e d m , o t i o n I e n : , P E u ro Pe a n . C n t e e h n iq u e n e e fo P u iv e v y s t e n , m In In t er n a t o n ai l Co n - fer 4l e n e e o n C , m Pu t er V is io F t t . n C a m b r id g r z a U K m e 1996 r70 9 一 7 2 0 p fer 31 o n , a t t e u r n Re a o . g it io Zh B ri s b a n e n e o , 1998 . 6 7 一69 e a , U a n e s h i ba e u e T lid i To m i ta r e e o n s A fae t o n to i t o n i t ho d f o p e r s r je o v e v e t正 e v s Li H e a u a r a : W F 一 Ch i H u a n Yi . A l w li o n e a r u m e r a s e lf - d a e a n e r u e i f . r o m m n : u l ip le E y , t p e e t i ie w l ib t io n te e h n qu e Chi n es e e s e J o u r n a f C mp t e r s 2000 , 23 v i it e C o r a t v e t er , d Pt h n e s , im a t o n i I , P r o e u r o p e a n . C o n f e r e n e e ( 1 1 1 1 2 1 一 1 1 2 9 ( in C h in (李 , , . . o n mpu V is io s e r F re . ib u r g Ge r m a n 19 9 8 2 9 6一 3 1 0 e o 华吴福朝胡占义一种新的线性摄像机自标定方法 , 42 H e r a r t le y R s Z is a m a n e , A M u l t ip le V i e w G : m e t r y in C o m p u P r e s s , t - 计算机学报 32 L i Hu a , 2000 , 23 (11 一 : 1 1 2 1 一 11 2 9 e a r e a Vi i o n . C m b r id g UK C m b a r i dg e U n i v e r s it y 2000 H u Zh a n Y i . A li n e m r a s e lf e a li b r a t io n t ee h - H U Z ha Ph . . n 一 Yi , m a le . , bo r n in 1 9 6 1 . D a r e , P r o fe r o s s o r His isio a n , r e s e a r e , h in te r s e a r e WU h eo n s t r u e r e n e r n F u C ha 一 o 5 , m a le n e o ,b u o r n in v 19 57 s , p r o fe s so r n e u . His e r e _ es t s e a in e a bo t t v n w h ie h i n e l u d e 3D r e e o n s t r u e r - in t e r e s t s t 1 i iv e m P n te r , i i o n , w hi h i e l d o e 3D a r e - m e r a , l ib r a i o n d e o io . n , ae t v i io s a n d im a ge b a se d m d li n g n d t io n e x a e t iv e e v v is io i s io a s e n n g g u m e t ie P r im it i v t n a v re n e - d i g tra o n , t io n a , i de d e r o bo a n ig a t i im g e b d m o d l in g d d e r -。
