多次相遇问题

多次相遇的问题归纳总结在生活中，我们常常会遇到各种各样的问题，而有些问题可能会反复出现，多次在我们的生活中相遇。

这些问题可能是小到日常生活的琐事，也可能是大到职业发展的难题。

在本文中，我将对这些多次相遇的问题进行归纳总结，并提出一些解决这些问题的方法和建议。

一、时间管理问题许多人都面临着时间管理问题，无论是学生、职场人还是家庭主妇。

我们总是感到时间不够用，任务无法完成，以至于焦虑和压力不断积累。

为了解决这个问题，我们可以采取以下策略：1. 制定合理的计划和目标：确立明确的任务和优先级，合理规划每天的时间，并设定实际可行的目标。

2. 调整时间分配：根据任务的重要性和紧急程度，合理分配时间，避免浪费，提高工作效率。

3. 培养时间管理的习惯：养成良好的时间管理习惯，例如使用时间表、提醒事项或番茄钟等工具，保持高效的工作状态。

二、人际关系问题无论在工作场所还是日常生活中，人际关系问题经常会出现。

这些问题包括与同事相处不融洽、与家人沟通不畅等。

解决这些问题的方法如下：1. 倾听和理解：在与他人交流时，积极倾听对方的观点和意见，尊重他人的感受，增强沟通的互动性。

2. 沟通和表达：学会有效地表达自己的观点和感受，用清晰明了的语言进行沟通，避免产生误解和冲突。

3. 建立共同利益：寻找共同的话题和兴趣，建立共同的目标和利益，增加彼此之间的共鸣和合作。

三、学习困难问题对于学生而言，学习困难是一个普遍存在的问题。

这些困难可能来自于学科知识的理解难度、考试压力等。

要克服学习困难，可以采取以下措施：1. 寻求帮助和支持：与老师、同学或家人进行交流，寻求帮助和指导，共同解决学习困难。

2. 制定学习计划：合理规划学习时间和任务，制定明确的学习目标，分解大的学习任务为小的可行步骤。

3. 多种学习方式：尝试不同的学习方法，如笔记、复习卡片、小组合作学习等，找到适合自己的学习方式，提高学习效果。

四、职业选择问题在职业发展的道路上，我们常常面临着职业选择的问题。

多次相遇问题1.甲村、乙村相距6千米,小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后马上返回).在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回,在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.小张和小王行走时的速度？2.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),他们在离甲村3500米处第一次相遇,在离乙村2000米处第二次相遇，问他们两人第四次相遇的地点离乙村多少米？(相遇指迎面相遇)3.甲乙二人分别从A、B两地同时出发,在A、B之间往返跑步.甲每秒跑3米,乙每秒跑7米,如果他们第四次迎面相遇点与第五次迎面相遇点之间相距150米,求A、B间相距多少米?4.甲乙两地之间有一条公路,李明从甲地出发步行往乙地;同时张平从乙地出发骑摩托车往甲地，80分后两人在途中相遇.张平到达甲地后马上折回往乙地,在第一次相遇后又经过20分张平在途中追上李明.张平到达乙地后又马上折回往甲地,这样一直下去,当李明到达乙地时,张平追上李明的次数是多少?5.甲乙二人分别从A、B两地同时出发，并在两地间往返行走。

第一次二人在距离B点400米处相遇，第二次二人又在距离B点100米处相遇，问两地相距多少米？6.甲乙两人分别从AB两地相向往返而行，第一次相遇在离A地92米处，第二次相遇在离B地63米处，求全程。

7.湖中有A、B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。

两人分别从A、B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。

问：两岛相距多远？8.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。

他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。

求两次相遇地点的距离。

9.甲乙丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米。

有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。

小学奥数--多次相遇专项练习60题(有答案)1.甲和乙在直路上来回跑步，他们的速度分别是每秒3米和每秒2米。

如果他们同时从两端出发，在10分钟内共迎面相遇了多少次？他们相距90米。

2.甲、乙、丙三人从东镇到西镇走路。

甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米。

甲和乙从东镇出发，丙从西镇出发。

当丙与乙相遇后，再经过2分钟，他与甲相遇。

求东西两镇间的路程长度。

3.兄弟两人在A、B两市之间往返。

兄和弟的速度比为4:3.两人同时从A市出发30分钟后，弟以原速的2倍开始跑，兄正好从B市返回。

这两人从A市出发后，多久会再次相遇？4.甲从A地往B地，乙和丙从B地往A地。

三人同时出发，甲首先在途中与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇。

甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米。

问A、B 两地相距多少米？5.两地相距1800米，甲和乙同时从两地相向而行，12分钟后相遇（甲速度大于乙）。

如果每人每分钟多走25米，此次相遇地点与上次相遇点相距33米。

甲和乙的速度各是多少？6.甲和乙两地相距120千米。

客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。

客车到达乙地后立即沿原路返回，在途中的丙地与货车相遇。

之后，客车和货车继续前进，各自到达甲地和乙地后又马上折回，结果两车又恰好在丙地相遇。

已知两车在出发后的2小时首次相遇，那么客车的速度是每小时多少千米？7.甲和乙分别从A、B两地相向而行，相遇时离A地350米。

两人又继续前进，到达B、A两地后立即返回。

第二次相遇离A地150米。

求AB两地距离是多少米？8.甲和乙同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步。

甲每分钟跑72米，乙每分钟跑48米。

甲和乙第二次迎面相遇时，甲从后面追上乙的距离是80米。

求A、B两地相距多少米？9.甲和乙两车从A、B两地相向而行，在距A地270千米的C地相遇。

如果乙的速度提高了20%，则两车在距C地30千米的D地相遇。

实际上，甲在行驶一段时间后因事返回，但两车仍在D点相遇。

公务员行测考试相遇问题示例(精选3篇)公务员行测考试相遇问题示例精选篇1从两地同时出发的直线异地多次相遇的问题中，有如下两个结论：(1)每两次相遇之间，相遇总路程、时间、甲路程、乙路程，除了第一次剩下都相等且为第一次的2倍。

(2)从出发开始到第n次相遇，相遇总路程、时间、甲路程、乙路程为第一次相遇总路程、时间、甲路程、乙路程的2n-1倍。

题型一：求两地之间的距离例1:两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。

两城市相距多少千米。

【解析】第一次相遇时两车共走一个全程，从第一次相遇到第二次相遇时两车共走了两个全程，从A城出发的汽车从第一次相遇时开始到第二次相遇时走了52×2=104千米，从B城出发的汽车从第一次相遇时开始到第二次相遇时走了52+44=96千米，故两城间距离为(104+96)÷2=100千米。

题型二：求运动时间例题2：老张和老王分别从相距1800米的A、B两地相向而行，老张每分钟走40米，老王每分钟走50米，两人在A、B两地来回行走，不计转向时间，问出发多长时间两人第十次相遇?【解析】第一次相遇时间为：1800÷(40+50)=20min，根据“从出发开始到第n次相遇，时间为第一次相遇时间的2n-1倍”可得：20× (2×10-1) =380min。

以上就是多次相遇的一些常考题型，其实对于解决多次相遇问题，大家只要建立在多次相遇的结论上进行公式代入即可。

确定好到底是相邻两次的数据还是累计到n次相遇节点的数据，做好公式分类，就一定可以把此类问题完美解决!公务员行测考试相遇问题示例精选篇2矛盾关系和反对关系都属于不相容关系,或叫全异关系,但是二者是有区别的。

一、矛盾关系矛盾关系是指对立的两种情况,没有第三种情况存在,非此即彼,非彼即此。

【例】男：女首先男女是对立的，是男不是女，是女不是男。

一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇,共走1个全程；第2次相遇,共走3个全程；第3次相遇,共走5个全程；…………, ………………；第N 次相遇,共走2N-1个全程；注意：除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程;即甲第1次如果走了N 米,以后每次都走2N 米;2. 同地同向出发：第1次相遇,共走2个全程；第2次相遇,共走4个全程；第3次相遇,共走6个全程；…………, ………………；第N 次相遇,共走2N 个全程；知识框架多次相遇与追及问题3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成;折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少;如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易;例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问：他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发,10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A地出发,不停的往返行驶于A,B两地之间;已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地;问：甲车的速度是乙车的多少倍【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行,6时后相遇;如果二人的速度各增加1千米／时,那么相遇地点距前一次相遇地点1千米;问：甲、乙二人的速度各是多少【例 3】如图,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C 点第一次相遇,在D点第二次相遇．已知C离A有75米,D离B有55米,求这个圆的周长是多少米【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【例 5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地18千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地13千米处第二次相遇,求AB两地之间的距离.【巩固】甲、乙两车同时从A,B两地相向而行,在距B地54千米处相遇;他们各自到达对方车站后立即返回原地,途中又在距A地42千米处相遇;求两次相遇地点的距离;【例 6】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地3千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地2千米处第二次相遇,求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求第三次相遇时共走了多少千米.【例 7】A、B两地相距2400米,甲从A地、乙从B地同时出发,在A、B间往返长跑;甲每分钟跑300米,乙每分钟跑240米,在30分钟后停止运动;甲、乙两人在第几次相遇时A地最近最近距离是多少米【巩固】A、B两地相距950米;甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时;甲步行,每分钟走40米；乙跑步,每分钟行150米;则甲、乙二人第___ __次迎面相遇时距B地最近;【例 8】甲、乙两车分别从A,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶;已知甲车的速度是 15千米／时,乙车的速度是25千米／时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米;求A,B两地的距离;【巩固】欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑,欢欢的速度是每秒8米,乐乐的速度是每秒5米;两人同时从A点出发,到达B点后返回,已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米,AB之间的距离是________; 【例 9】甲、乙二人进行游泳追逐赛,规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游,直到一方追上另一方为止,追上者为胜;已知甲、乙的速度分别为米／秒和米／秒;问：1比赛开始后多长时间甲追上乙2甲追上乙时两人共迎面相遇了几次【巩固】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步,做体能训练,小明的速度为6米/秒,小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发,连续跑了12分钟．在这段时间内,他们迎面相遇了多少次【例 10】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前途中能遇上几艘从纽约开来的轮船【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟课堂检测【随练1】如右图,A,B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇;已知C离A有80米,D离B有60米,求这个圆的周长;【随练2】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地5千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【随练3】A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次【随练4】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次家庭作业【作业1】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发,8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走米,那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米【作业2】上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分【作业3】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地6千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地4千米处第二次相遇,求两人第5次相遇地点距B 多远. 【作业4】湖中有A,B两岛,甲、乙二人都要在两岛间游一个来回;两人分别从A,B两岛同时出发,他们第一次相遇时距A岛700米,第二次相遇时距B岛400米;问：两岛相距多远【作业5】在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,6分后两人相遇,再过4分甲到达B点,又过8分两人再次相遇;甲、乙环行一周各需要多少分【作业6】A、B两地位于同一条河上,B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发,相向而行,甲船到达B地、乙船到达A地后,都立即按原来路线返航．水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是米/秒．教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。

多次相遇问题（解析版）一、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例 1】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，1260101023510⨯-÷⨯=（）（），共相遇35136+=(次)。

注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．【例 2】 A 、B 两地间有条公路，甲从A 地出发，步行到B 地，乙骑摩托车从B 地出发，不停地往返于A 、B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？【解析】第一次追上第一次相遇乙甲F E B由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在1008020-=(分钟)内所走的路程恰等于线段FA 的长度再加上线段AE 的长度，即等于甲在(80100+)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(18020=÷)，则BF 的长为AF 的9倍，所以，甲从A 到B ，共需走80(19)800⨯+=(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB 全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB 全程，因此，追及时间也变为200分钟(1002=⨯)，知识精讲所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．【例 3】（难度等级3）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的23，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．【解析】由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3．第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了236⨯=份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2510⨯=份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）【巩固】（难度等级※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米．【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了326⨯=千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为(63)2 1.5-÷=千米，甲、乙两地的距离为6 1.57.5+=千米；李王乙甲甲王李乙②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633-=千米，小李走了639+=千米，两人的速度比为3:91:3=．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312+=千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．【巩固】（难度级别3）A，B两地相距540千米。

周二2022-2023学年小学五年级思维拓展专题 行程(多次相遇)问题知识精讲专题简析：通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：(1)相向而行：相遇时间=距离÷速度和(2)相背而行：相背距离=速度×时间(3)同向而行：追及时间=追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。

解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。

典例分析1.(2019•岳麓区)甲、乙两人同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步，甲每分钟72米，乙每分钟48米，甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙，两地相距80米，求A、B两地相距多少米？2.(2019•郑州)如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进(乙车速度小于甲车速度)，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米？周二3.(2018春•江宁区期末)小欣和小鸣分别从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间．小欣每分钟走65米，小鸣每分钟走70米，经过5分钟后两人第二次相遇．这座桥长多少米？4.(2018•广东)甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？真题演练一、选择题(共5小题，满分5分，每小题1分)1.(1分)(2015秋•漳州期末)爸爸和儿子去2km外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回⋯直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了()A.2kmB.4kmC.6km2.(1分)甲乙两人分别从桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。

两次相遇三个全程经典例题两次相遇是一个经典的物理问题，它涉及到时间、速度、路程等多个因素。

下面介绍三个全程经典例题，深入探讨两次相遇的原理。

例题1：两车相向而行问题假设两辆汽车从A、B两地相向而行，它们的速度分别为v1、v2，从A地到B地的距离为S。

问它们相遇的时间和位置分别是多少？解析：两车相向而行，相当于在向着同一方向行进的两车之间，有一虚拟的速度v=v1+v2。

而两车的距离为S，因此相遇所需的时间为t=S/v。

相遇时，两车已经各自行进了vt的距离，因此相遇的位置为vt。

例题2：两车同向而行问题现在假设两辆汽车从A、B两地同向而行，它们的速度分别为v1、v2，从A地到B地的距离为S。

已知其中一辆汽车比另一辆汽车快，当那辆比较快的汽车超过那辆比较慢的汽车后，它再掉头返回原点，当它回到A地后再往B方向走时，这两辆汽车相遇的时间和位置分别是多少？解析：在超车之前，比较快的汽车比比较慢的汽车走了x个单位长度，因此它们之间的距离为S-x。

此后，比较快的汽车以v1-v2的速度向B地方向行驶，而比较慢的汽车以v2的速度向B地方向行驶。

因此，它们相遇的时间为t=(S-x)/(v1-v2)，相遇的位置为x+vt。

注意，此时v=v1-v2。

例题3：风筝问题假设一个人拉着一只风筝行走，风筝线与地面成一定角度，风筝线长为L，风向与人的移动方向垂直，风速为v1，人的行走速度为v2。

当风筝拉不到时，人停下来等待风筝降落。

等风筝下来后，人再开始走。

当人走到原来的位置时，风筝又开始往上拉，重复这个过程多次，直到飞行总时间为T。

问风筝在空中停留的时间和上升的高度分别为多少？解析：当风筝被拉起来之后，它在空中飞行的时间为t1=L/(v1*sinθ)，其中θ为风筝线和地面的夹角。

它上升的高度为h1=v1*cosθ*t1。

当风筝下降时，它在空中的时间为t2=L/(v2-v1*sinθ)。

它下降的高度为h2=v1*cosθ*t2。

因此，整个过程中风筝在空中停留的总时间为T=t1+t2，它上升的总高度为H=h1+h2。

多次相遇问题：例：甲乙两车同时分别以不同的速度从A 、B 两地相向而行，在距A 地90千米处相遇。

相遇后两车继续以原速度前进，在各自到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。

已知第一次相遇与第二次相遇恰好间隔4小时，求甲乙两车的速度。

分析：1、由题意知：第一次相遇甲乙走了一个全程，第二次相遇又走了两个全程；A、B两个全程共用了4小时，所以第一次相遇时用时为：4÷2=2 （小时）。

2、甲2小时行驶90千米，所以甲速为：90÷2=45（千米/时）。

3、甲2小时行驶90千米，那么甲行驶的总路程应为90×3=270（千米）A、B全程为270-70=200（千米）。

4、所以乙的速度为：相遇路程÷相遇时间-甲的速度=200÷2-45=55（千米/时）。

拓展：（第六届小机灵杯四年级邀请赛复赛）两辆汽车同时从甲乙两站出发相向而行，第一次在距家站80千米处相遇。

第一次相遇后两车仍以原速度继续行驶，并在到达对方车站立即按原速度返回，返回途中两车又在距乙站100千米处第二次相遇，两辆汽车第一次相遇的地方与第二次相遇的地方相距多少千米？分析：1、第二次相遇时共行驶了3倍的两站距离，所以甲共行驶了3倍的80千米。

80×3=240（千米）2、甲乙全长为240-100=140（千米）3、所以两次相遇点的距离为80+100-140=40（千米）。

数量关系之行程问题解题原理及方法时间：2010-6-21 9:39:31 点击：143核心提示：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。

这样的问题一般称为追及问题。

有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×时间=追及（或领先的）路程对于有三个以上人或车同时参...两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。

“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。

相对来讲，直线型出题的模型更加复杂。

环型只是单纯的周期问题。

现在我们分开一一进行讲解。

首先，来看直线型多次相遇问题。

一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

现在分开向大家一一介绍：（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。

而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数全程个数再走全程数1 112 323 524 72………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。

我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。

（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

多次相遇追及问题及详解多次相遇、追及问题及详解行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次碰面、赴援问题------难度：中难度甲、乙两车分别从a，b两地出发，并在a，b两地间不断往返行驶。

已知甲车的速度是25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。

求a，b两地的距离？【分析】：多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次碰面两车Jaguaribe了一个全程，其中乙行了。

第三次两车Jaguaribe了5个全程，乙行了5×=个全程，第四次碰面两车Jaguaribe了7个全程，乙行了7×=个全程，两次路程高就是个全程，所以ab两地距离200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从apb两地同时并肩而行，乙的速度就是甲的，二人碰面后稳步前进，甲至b地，乙至a地后立即回到。

未知二人第二次碰面至地点距第一次碰面的地点就是20千米，那么，apb两地距离多少千米？【分析】：第一次碰面，甲乙的路程和就是一个全程，甲行的路程就是全程的，乙行了全程的，第二次碰面，甲乙的路程和就是3个全程，此时甲行及了×3=个全程，两次碰面的距离就是个全程，即20千米，所以ab的距离就是20÷=50千米。

3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度a、b两地间有条公路，甲从a地启程，步行至b地，乙骑摩托车从b地启程，不停地来往于a、b两地之间，他们同时启程，80分钟后两人第一次碰面，100分钟后乙第一次甩开甲，问：当甲抵达b地时，乙冲上甲几次？【分析】：在第一次碰面与第一次冲上之间，乙在100-80=20（分钟）内所跑的路程恰等同于线段fa的长度再加之线段ae的长度，即为等同于甲在（80+100）分钟内所跑的路程，因此，乙的速度就是甲的9倍（=180÷20），则bf的短为af的9倍，所以，甲从a至b，共需跑80×（1+9）=800（分钟），乙第一次甩开甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程高为一个ab全程.从第一次甩开甲时已经开始，乙每次冲上甲的路程高就是两个ab全程，因此，赴援时间也变成200分钟，所以，在甲从a至b的800分钟内，乙共计4次冲上甲，即为在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时送出，并肩而行，经过5小时碰面。

奥数思维拓展-多次相遇问题（试题）-小学数学六年级上册人教版一、解答题1．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人,每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上,童童负责配送药物,只要护士下单,它就能准确的送达。

乐乐负责卫生,保证病区干干净净,不留卫生死角。

童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发。

规定：童童从东边A点出发,跑到西边B点马上返回,跑到起点又返回,……,如此继续下去,当乐乐从西边B点打扫到东边A点时,它们同时停止运动。

已知童童每秒跑10.2米,乐乐每秒跑0.2米。

问（1）第三次相遇距离B点多远？（2）若乐乐打扫到60米处时,它们共相遇了多少次？2．甲、乙、丙三人,甲每分钟走20米,乙每分钟走22.5米,丙每分钟走25米。

甲、乙从东镇,丙从西镇,同时相向出发,丙遇乙后10分钟再遇甲,求两镇相距多少米？3．甲,乙两人在一条长100米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。

如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇多少次？4．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。

快车每小时行80千米,慢车每小时行45千米。

两车第二次相遇时,快车比慢车多行了210千米。

求甲、乙两地间的路程。

5．△ABC是一个等边三角形跑道,D在A、B之间,且有AD：BD＝2：3,某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示）,甲、乙按顺时针方向跑步,丙按逆时针跑步,当甲、丙第一次相遇时,乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时,甲走了2012米,那么,△ABC的周长是多少米。

6．A,B两地相距105千米,甲、乙两人分别骑车从A,B两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米,出发后1小时45分钟相遇,然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。

在他们相遇3分钟后,甲与迎面骑车而来的丙相遇,而丙在C地追上乙。

若甲以每小时20千米的速度,乙以每小时比原速度快2千米的车速,两人同时分别从A,B出发相向而行,则甲、乙二人在C点相遇,问丙的车速是多少？7．汽车从A地出发,到B地去,一人骑自行车同时从B地出发到A地去,当汽车与骑自行车人第一次相遇时,距B地12.8千米,自行车与汽车继续以原速驶到各自的目的地后立即返回,第二次相遇时,距A地0.24千米,求AB两地间的路程是多少千米？8．二人同时从AB两地出发相向而行,当他们第一次相遇时,离开A地1.62千米,然后他们以不变的速度不停地往前走,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时,距B地1.12千米,求AB两地间的路程是多少？9．小王和小李同时从东、西两村出发,相向而行,当他们第一次相遇时,离开东村1.8千米,然后他们各以原速继续前进,小王到达西村后立即返回,小李到达东村后也立即返回,当他们第二次相遇时,相遇点离开西村1.2千米,那么东西二村相距多少千米？10．甲、乙分别从A和B两地同时出发,相向而行,往返运动。

多次相遇问题原理及解题方法多次相遇问题指的是在一定条件下，两个或多个人或物体在某一时刻相遇，然后经过一段时间后再次相遇。

这种问题可以应用于很多场景，如两个人在同一地点同时出发，同时以不同的速度前往另一个地点，问他们何时再次相遇。

解决多次相遇问题可以使用最小公倍数的概念。

最小公倍数是指能被两个或多个整数整除的最小正整数。

对于多次相遇问题，我们需要找到两个或多个物体在相遇之间所需的时间间隔，然后将这些时间间隔的最小公倍数作为解。

假设有两个人A和B，在同一地点同时出发，A的速度是a，B的速度是b。

设t是他们再次相遇的时间，那么在这段时间内，A走了a*t的距离，B走了b*t的距离。

因为他们再次相遇时，走过的距离是相同的，所以可以得到以下等式：a*t =b*t。

从中解出t的值，就可以得到他们再次相遇的时间。

而在解决多次相遇问题时，我们需要找到一个最小的t的值，也就是他们多次相遇的最小时间间隔。

这个最小的t值就是两个速度a和b的最小公倍数。

解题方法可以总结如下：1. 确定问题中的已知条件，如两个物体的速度，或者多个物体的速度等。

2. 根据已知条件，列出方程或等式。

根据两个物体再次相遇时走过的距离相等的原则，可以得到相应的方程。

3. 求解方程，得到两个物体再次相遇的时间。

4. 如果问题要求多次相遇的最小时间间隔，找到所有时间的最小公倍数，即为解。

继续以上面的问题为例，假设A和B两人同时出发，A的速度是3m/s，B的速度是5m/s。

我们想知道他们何时再次相遇。

根据以上的解题方法，我们可以列出方程：3t = 5t，其中t为他们再次相遇的时间。

解这个方程可以得到t=0，但这显然不符合实际情况，因为他们必须要有一段时间才能相遇。

我们知道，t的最小值就是他们再次相遇的时间，但我们想要求的是他们多次相遇的最小时间间隔。

为了求得最小时间间隔，我们需要求解出两个物体相遇的周期。

两个物体再次相遇的周期是两个物体速度的最小公倍数。

“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。

相对来讲，直线型更加复杂。

环型只是单纯的周期问题。

一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。

而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。

我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。

（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

第5讲多次相遇问题第一关求速度【知识点】多次相遇的基本公式和方法计算：距离、逢皮、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度X时间.星秋，知道其中的两个量，就可以求出第三个量.还可以发现：当计问柏同时，路程和速度成正比：当速度和同计,路程和时间成正比：当路程相同时，逢度和时间成,反比.也枕是说：设甲、乙两个人，所丈的路我分别为S甲、S乙：连度分别为V甲、V乙：所用时间分别为T甲、T乙时，ATS甲=V甲XTT1SC=VC×TC.有如下关系：(1)当时阿柏凡即T甲=T乙时.有S甲：S乙=V甲：V乙：(2)当it度相同即V甲=V乙时，有$甲：S乙=T甲：T乙：(3)当路况相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T中.在多次相遇、迫及阿Ii中.用比例方法来解往往能收到很好的效果.IMU甲村、乙村相距6千米,小张与小王分别从甲、乙两村同时出发.在两村之间往返行走(到达另一村后马上返回).在出发后40分仲两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2F米的地方两人第二次相遇.小张每小时走多少「米，小王姆小时走多少千米？【写发】5:4【例2】A、B两地相距300千米,甲乙两军分别从A、B两地同时出发相向而行，在两地之间往返行械，在出发后3小时两车第一次相遇，第：次相遇时足B地60I■•米，同甲、乙两车的速度各是年小时多少千米？【与案】甲车的速度是每小时4()千米,乙车的速度是每小时60千米1例3】甲乙两车同时分别以不同的速度从A,B两地相向而行，在距A地90千米处相遇，相遇后两车继续以原速前进，在各门到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇.已知第一次相遇与第二次相遇恰好间隔4小时.那么，甲的速度是年小时多少千米.乙的速度是每小时多少千米？【各tJ45:55【例4】甲车以匀速从A地开往B地，乙车以匀速从B鹿开往A地，两车在足离A地60公里处第一次相遇，两车继埃以各自的匀速前进,到达目的地后各自休息10钟然后折返原出发地.两车在即肉B地40公里处第二次相遇.请问甲车与乙车之速度比为何？【各裳】6:5r例5】A、B两城相距280『米，某天上午8时，卬乙两车分别从两城出发，相向而行.甲车至达B城后立即返回,乙车到达A城后也立即返回.中午12时他们第二次相遇，此时,甲车比乙车多行了40千米.求甲车的时速是多少？[§-t]IIO千米，小时r例6】A,B两地间有一条公路，甲、乙两辆军分别从A、B两地同时相向出发，甲车的速度是60千米/时,经过1小时，两车第一次相遇.然后两车继续行驶,各自到达B、A两地后都立即返回.第二次相遇点与第一次相遇点的距离是2()千米.求乙车的速度.[»«]50千米/小时1例7] A、B两地间有条公路，卬乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50「米/时.羟过I小时，两车第一次相遇.然后两车维续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回,第二次机遇点与第一次相遇点的距离是2()千米.求：乙车的速度.【各箕】40千米/小时1例8】甲乙两车分别从A、B两地相向而行，两车在距A点10千米处相遇后，各自继续以原速前进，到达对方出发点后又立即返回，从B地返回的甲车在我!过A、B中点3千米处再次与从A地返回的乙车相遇,若甲每小时行驶60千米，则乙每小时行驶多少千米？【答案】48【例9】甲、乙、丙三人沿落湖边敌步，同时从湖边固定点出发，甲按顺时针方向行走，1 Ii乙和丙按逆时针方向行走.甲第一次遇到乙后4分钟遇到丙.再过4分钟第二次遇判2_乙，己知乙的速度是甲的3,湖的周长是900米，求丙的速慢.【答案】36米/分钟【例10】有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机:“后面有自行车吗？“司机回答：“十分钟前我超过•辆自行车”•这人继续走了十分钟.遇到自行车.已知自行车速度是人步行速度的一:倍.向汽车的速改毡步行速度的多少信？【答案】7【例II】甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去.甲、乙两车速度分别是6()千米/小时和48千米/小时,有一辆卡车网时从B地迎面开来,分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲乙丙车相遇.丙车的速度是多少？【答•发】39千米，小时51例12】甲、乙、丙：潮乍同时从A地出发驶向B地.依次在出发后5小时、512小时、1 62小时与迎面驶来的-•辆卡车相遇.已知甲、乙两车的速僮分别是8()千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度.【写案】卡车的速度与丙车的速度用为每，卜时50千米【例13】两列火,车分别从AB两地相向而行.甲车从A地以每小时65公里的速发向B地行进，乙车从B地以每小时70公里的速度向A地行时•同时有一辆汽车从A向B沿马铁跖平行的公路行驶，若干小时后两列火车相遇，又过了段时间，乙车与汽车相遇，若前一段时间是后一段时间的5倍.那么汽车的速度是每小时行多少公里？【等£】42.5r例14】甲、乙同时从A地出发向B地前进,途中遇到迎面来的丙.甲、丙相遇后都返身而行，36分钟后平迎面泄到乙，此后甲又立刻返身迫丙，又用1.2小时，在B处追到丙，1.l知甲速度12千米川、时，乙速度3千米可、时.求：AB相距多少千米,丙速度为多少千米/小时？【各案】AB距再为19.2千米，内速度为44千米/时【例15】甲、乙两人在相距200米的直路上来回胞步，如果他们同时于6点05分分别在直路两战出发,当他们第Il次相遇时，时间是6点19分，已知甲每秒比乙每秒多跑1米,向甲、乙两人的速度是每杪多少米？【容案】甲的速度为每秒3米，乙的速度为4秒2米(M16]ΛB两地相距100米，甲乙两名机器人同时从A胞出发，分别在Λ,B两地之间做往返运动，两机器人的速度一直不变，其中甲机器人的速度比乙机器人大，但是乂不超过乙机器人速度的1.5倍.当甲机器人第13次到达B地时.乙机器人刚好也到达B地,当甲机器人第18次到达B 地时,乙机器人刚好也到达C地，并向B地前进,其中AC=5AB,则甲乙两机器人的速度比为多少,当甲机器人第23次到达A地时，乙机器人距离A 地多少米？【容案】25：23:321例17]如图，AABC是边长为108Cm的等边三角形,虫子印和乙分别从A点和C点同时出发,沿AABC的边爬行,乙逆时针爬行.速度比是电5.相遇后.甲在相遇点休息10秒钟.然后继续以原来的速度沿原方向爬行：乙不休息，速度提而20%,仍沿便方向爬行，第：次恰好在BC的中点相遇.求开始时，虫子甲和乙的旭行速度.【例18】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点,如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米.若乙速度不变，甲每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米.甲车原来姆小时行多少千米？【S■发】30第二关求时间【知识点】多次相遇的基本公式和方法计算：距禹、速度、时间这三个量之间的关系.可以用下面的公式来衣示：比博=速度X时间.2.⅛,知道其中的两个量，就可以求出第三个量.还可以发现：当叶间相同时，的代和速度成正比：当纯.度相同叶，路代和时间成正比；当珞椽相同计,速度和时间成反尼,也就比说：⅛r.乙两个人.所走的路程分别为S甲、Sj选民分别为V甲、V乙：所用时间分别为T甲、T乙时,由于S l P=V甲XTy,S乙=V乙XT乙.有如下美东：(I)当时冏相同即T甲=T乙计，有S甲：S乙=V甲：VC:(2)当遑度相向即V甲=V乙时.在S甲：S匕=T甲：T乙：(3)当路假相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲.在多次相遇、迫及问题中,用比例方法汆却往往能收到很好的效果.KM19]甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行.相遇后，甲维续向前走,经过9分钟到达B地.乙维埃向前走,经过4分忡到达AJfe.问两人出发后多少分钟第二次相遇？【卷案】6【例20】甲乙两个码头相距3600米，A渡轮平均每分钟行185米,B渡轮平均短分钟行175米,这两艘渡轮同时分别从甲乙两个码头相向而行,就码头时乘客上船需停4分钟.第一次相遇后，又羟过几分件相遇？【卷案】24KM21]A,B两站相距17S0米,甲车的速度为1分钟190米，乙车的速度为每分钟160米,甲、乙两车分别从A、B两站相向开出,两车到站后都要停留15分钟.它们第一次相遇后要经过多少时间第二次相遇？【各案】25【例22】甲、乙丽人在理行胞道上粗步，如果雨佃人都按廊畤引方向跑，等12分獐相遇一次,如果闲人速度不燮.其中一人改箜按逆的斜•方向跑.即每聃4分建相遇一次•周甲、乙两人各跑一圈需要筵分缀？【容案】甲比一丹隽娈6小时，乙跑一周秀笑12小时【例23】甲、乙、丙三人在学校到公园的路上散步，甲毋分钟比乙多走12米，乙每分钟比丙多走9米,上午8点三人同时从学校出发.上午9点即到达公园后立即返回学校.在距公园420米处遇到乙.再过多长时间甲与丙相遇？【容案】IO分钟【例24】一天甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行.乙、丙相遇时丙走了4F米，若乙与丙相遇后立即返回,则再过12分钟与甲迎向相遇.实际上乙遇到丙后继续前进.到达B地后才立即返回.返回疗乂左广18分钟迎面遇到了甲.已知甲，丙相遇时内走了8『米.加么甲走完全程需要多少分钟？[§∙«]!20【例25】在一硼形跑道匕甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇.再过6分钟甲到B点，又过IO分忡两人再次相遇甲环形•周需多少分仲?【名案】28【例26】有一路电车从甲站开往乙站，每5分忡发车一居,全程共需15分仲，小张从乙站的力行车沿电车蚣去甲站，出发时恰好有•辆电车到达乙站，在路上又遇到8辆迎面开来的电车，到达时恰好有一柄电车从甲站出发，他从乙站到甲站共用多少分钟？【写发】301例27】A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，俄托车的行验速度是年小时50千米，摩托车后座可带一人.何：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地角少需要多少小时？【苔■案】6.2【例28】A,B两地分别在一条河的上下游.甲乙两条船同时从A地舟发.行到B地立即返回，如果卬乙两船在修水中速度分别为每小时21「米和每小时15「•米，水速为每小时3千米，两船从出发到第二次相遇，所用的时间是甲船从A到B所用时间的多少倍？[»«]4.25【例29】甲乙两辆汽车分别从相跑63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出,时速分别为40「米和50F米,如果不计装卸时间,那么,两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少小时？[»«]3.5【例30】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，口在A、B两地往返来网匀速行驶.若两军第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B,而乙车只行驶了I小时就到达A∙则两车第15次（在A,B两地相遇次数不计）HU3∣⅛,它们行驶了多少小时？【3■发】86【例31】甲乙两地相距360千米.一辆卡4：.载行6箱筠品,从甲地驶往乙地,同时一辆摩托车从乙地出发，与卡车相向而行，卡车的速度是40千米/小时，松托车的速僮是80F米/小时.摩托车与卡车相遇后，从卡车上卸下2箱药品运回乙地，又珈即掠头…摩托车短次与卡车相遇，都从R车上卸下2箱药品运回乙地,那么将全部的6箱药品运到乙地,至少需要多K时间？这时,摩托车一共行驶了多长路程？（不考虑装卸药品的时间》2j_【容案】83；69331例32]如图,C、D为AB的三等分点.8点整时甲从A出发匀速向B行走.8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分W1丙从B出发匀速向A行走：甲、乙在C点相遇时内恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A.加么，丙出发时是几点几分？AC5i【任案】8:16【例33】甲、乙两地相距60「米.小王骑车以饵小时行IO「米的速度上午8戊钟从甲地出发去乙地.过了一会儿,小李骑乍以每小时15千米的速度也从甲地去乙地，小李花途中M地追上小王,通知小王立即返回平地.小李维续骑车去乙培.各自分别到达甲、乙两地后都马上返网,两人再次见面时，恰好还在M地.问小李是什么时刻出发的？【答案】8点48分【例541A,B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4加分、6米/分、5米，分,如果甲、乙从A地,丙从B地同时出发相向而行.那么,在多少分钟后.丙与乙的距肉是丙与甲的距惠的2倍？【答案】21或.29第三关求距离【知识点】多次相遇的基本公式和方法计算：距禹、逑度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距I¢=速度X时间.要次，知道其中的两个量，就可以求出的三个管.还可以发现：当时间相向时.哈租和速度成正比：当途度柏同计.珞租和时间成正比：当珞程相同升，建.反和时间我反比.也就是说：说中、乙两个人，所走的路底分别为S中、S乙：速度分别为V甲、VC;所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲XT甲,SC=V C×TC.在*下关系：(1)当时同栩同即T甲=T乙时.¾∙S甲：S乙=V甲：V乙：(2)当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙；(3)当路程相同即S甲二S乙时.有V甲：VC=TC:TΨ.在多次相遇、追及问题中.用比例方法来解往往能敢到很好的效果.tM35]甲、乙两车同时从A、B两地相向而行.在距A地60千米处第一次相遇.各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地4Q千米处相遇.A、B两地粗花多少干米？【各宴】IlO【例36】甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时相向而行，第•次两人在距离B地27千米处相遇，相遇后，两人继续行驶，到达目的地后又立即返回，在距岗A地12千米处又相遇了.A∙B 两地相距多少千米【卷箕】69【例37】甲、乙两船从A、B两港口同时出发相向而行.第一次在足A港90「米处相遇.相遇后两船绯续1»行，各自到达目的地后立即返回，在距A港IO千米处第二次相遇.A、B两港U和距多少千米？[§-t]1401例38】甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地80『•米处笫次相遇.相遇后两车仍以原速继续行会,并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地4()千米处第二次相遇.A.B两地相距多少千米？【各箕】200【例39】两辆汽车I可时从ΛB两地相向而行，第次相遇在距A地180『•米的地方，相遇后继埃前进，各自到达BA两地后沿原路返回.，第二次相遇在距A地260千米的地方,AB两地相距多少千米？【各箕】4(M)【例40】一辆Sf托车和一辆卡车同时从A、B地相向而行.两车在途中距B地20千米的C处第一次相遇，然后两车继续前进.卡车到达A地，摩托车到达B地后都立即返回，两车在途中由A地15千米的D处第二次相遇.求A、B两地间的距肉.【卷箕】45r例41】甲蛤自行车，乙骑摩托车同时从张村出发去李庄，乙到李庄后，立即返I可，在离李庄20「米处与甲相遇，甲、乙相遇后，仍按原来速度前诳，甲到李庄，乙到张村后，都立即返回，在离李庄30千米处甲、乙第二次相遇，问张村与李村之间相距多少千米？【各箕】7()1例42】甲、乙两辆车从A、B两地出发,相向而行，第一次相遇距A地75千米•相遇后继续行进到达终点后又立即返回，在距B地75「米处第：次相遇，求A、B两地距离【各箕】150【例43】甲乙车同时从A、B两地相向而行，第诙相遇距离A地80「米，两车仍以原速行驶,分别到达B、A两地后立即返回，在小B地60千米处第二次相遇，A、B两地相距多少干.米？[§-t]180【例44】甲、乙.人分别从A,B两地出发相向而行，到达目的地后马上拉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次相遇距B地SOO米，A.B两地相柜多少米？[&«]19(K)【例45】已知甲车比乙车慢,甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,在跑离中点60千米处，两车第I次相遇，然后两车继续前进，到达B、A两地后立即返回，在距离B地20千米处，两车第2次相遇,A、B两地相距多少千米？[$-«]400【例46】甲、乙两人从A地出发，前往B地,当甲走了100米时,乙走了50米,当甲到达B地时，乙距离B地还差100米.卬到达B地后立即调头返回，两人在距国B地60米处相遇，那么，A、B两地的距离多少米？【答案】250【例47】客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米.货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到乙站后立即返I可，货车到甲站后也立即返回，两车再相遇时，客车比货车多行216「米，加么甲、乙两站的路程是多少千米？[««]1224【例48】小明、小华分别从他们所在的学校同时出发去对方的学校参加交流活动.20分.钟后在距小明的学校800米处相遇.当他In参加完2小时的活动后(他们到达学校时活动恰好开始)，立即返回,在离小华学校400米处又一次相期,这两所学校间的距离是多少米？【容案】2000【例49】甲、乙、丙三人，甲每分走100米，乙集分走80米，丙⅛j分走75米，卬从东村,乙、丙从西村同时出发相向而行.途中甲与乙相遇后3分又与丙相遇.来东西两村的距离.【容案】2l∞【例50】甲'乙两车同时从AB两地相向而行，在矩A地70千米处相遇.相遇后两车维2_续以原速曲进,到达目地的后马上返【可.在距B地占AB两地路程的5处第二次相遇.A、B两地相距多少「米？【各发】150【例511A,B两地相距400千米，甲、乙两辆车同时从A地出发不停地往返于A.B两地之间.乙车比甲车快,若两辆车第一次相遇和第二次相遇都在途中P处.那么,到两军第一：次相遇为止，乙车共走了多少千米？【各发】1600【例52】甲、乙二人以均匀的速度分别从A,B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米.相遇后二人维续前进,走到对方出发点后立即返回，在距B地3I■•米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少「米？[§∙«]90【例53】甲、乙两人同时从A地出发，在A,B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度,甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走.除此以外,两人在AB之间行走方向不会改变，已知两人第：次相遇的地点距离B地1200米，第三次的相遇点距离B地800米，那么笫•次相遇的地点距离B胞多少米？【答•发】IsOO1例54】甲、乙二人分别从A.B两地同时出发,相向而行.甲乙速度之比为5：4.二人相遇后继续前进，甲到B地，乙到A地都立即返向.已知二人两次相遇的地点之间相距20「米,求A、B两地的距恩.[§∙«]901例55】甲,乙两人分别在小路两端A.B两处同时出发相向收步,第一次相遇在跑B处80米的地方.然后两人继续按原速度向演行走，分别到达B,A处后再立即返回，第：次相遇在距A处30米的地方.照这样的走法，两人第三次相遇将在距A处多少米的地方？【例§6】小明在河的东岸,小倒在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去.两人第次在河中相遇时距西岸80米,相遇后各自维续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回.他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回.当他俩在河中第三次相遇时,距东岸多少米,距西岸多少米？[^tJ140:40【例57】甲、乙两人从A,B出发，甲饵分60m,乙f⅛分84m,第一次相遇在C点，之后两人抱续前进，到终点后再放回，又在D点相期，己知CD是420m,求A,B之间的距离.A rn R【答案】1260【例58]如图，从A到C为上坡，从C到B为下坡.汽车上坡速度年小时30千米，F坡速度每小时40千米,甲、乙两辆相同型号汽车同时分别从A∙B出发,甲车从A开往B∙乙车从&开往A.它们到达后立即返回，来回行驶.两车第一次相遇于D点，第：次相遇TE点，若DE=20f∙米，求AC的长与BC的长之差是多少？2【例59】甲、乙两人分别从A.B两地同时出发相向而行,乙的速度是即的3,二人相遇后维续行迸,甲到B地、乙到A地后立即返何.已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100「•米，那么，A、B两地相距多少「米？【一生】125【例60】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发.相向而行.甲车每小时行45千米,乙车小时行36千米.相遇以后继续•以原来的速度前进，各自到达目的地后即返回,这样不断地往返行驶，已知途中笫：次相遇地点与第三次相遇抱点相距40「米，A、B两地相距多远？【谷案】90【例61】甲乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断往返行驶.已知甲车的速度是每小时∣5r∙‰乙车的速度是每小时35I•味，并且甲乙两车第三次相遇(两车同时到达同-地点即称为相遇)的地点与笫四次相遇的地点恰好相距360千米，那么两地之间的距丙等于多少千米？【各案】15M)【例62】甲乙两车从AB两地同时出发，相向而行，并在AB两胞之间不断往返行驶.甲车的速度是悠小时IS公里，乙车的速度是年小时25公里，己知西年第三次相遇的地点与第四次相遇的地点相距K)O公里.那么・AB两地的距国是多少?800【容案】200*3【例63】有一辆沿公路不停地往返于M、N两地之间的汽车.老王从M地沿这条公跖步行向N 地，速度为每小时3.6千米，中途迎面遇到从N地驶来的这辆汽车,经20分钟又遇到这辆汽车从后而折回•再过50分钟又迎面遇到这辆汽车.再过40分神乂遇到这辆车再折回.M、N两地的路程有多少「米？[§∙«]18.9CM M I一个圆，两只蚂蚊分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行，它们第一次相遇在内A点8理;米处的B点,第二次相遇在离C点6电米处的D点.这个困周长是多少J里米？【容案】36【例65】A、B是圆直径的两端,小张在A点.小王在B点,同时出发反向而行，他的花C点第一次相遇,C点禺A点100米,在D点第二次相遇.D点肉A点有60米.求这个例的周氏.【容案】360米攻240米【例66]如图，A、B是BI的食径的两端，甲在A点出发逆时针行走，同时乙在B点同时出发顺时针行走.两人在C点第次相遇.在D点第二次相遇.已知C禹A为120米.DgSA为60米，求这个网的冏长.【与案】420【例67】一网形道路的直径两端分别为A.C两点,甲从A点出发、按顺时针方向绕网形道路散步,乙从C点出发、按逆时针方向境困形道路散步.两人问时出发后，第一次在离A点80米的B 戊相遇，第二次在离C点40米的D戊相遇.那么，他们第四次相遇时，乙比甲多行了多少米？【S∙案】280【例68】∆ABC是一个等边三角形跑道,D在A、B之间,且有AD：BD=2:3.某H甲、乙、丙三人从A、B,C同时出发（如图所示），甲、乙按联时钟方向地步，丙按逆时针奥步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第：次相遇是在D时，甲走了2012米.那么，AABC的周长是多少米？【例69】甲、乙两个小电动玩具在Ifll形轨道上同时出发，反向行驶，已知甲的速度是好秒40cm.乙的速度是每杪60cm∙在2分钟内,它们相遇40次,则轨道长为多少的米?【§∙«J3001例70】甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒也6米，乙俅杪胞4米，经过20分钟两人共相遇6次，问这个环形胞道有名长？【行•案】4<)0【例71】有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花懈行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行.中年分钟走40米，乙集分钟走38米，丙降分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和内相遇.这花周的周长是多少米？[&«]8JW2【例72]如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两湘点同时出发，以匀速按相反的方向圾此阴形路跳运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇；在甲走完，周前60米处又笫二次相遇,这个圆形场地一周的长度是多少米？1例73]如图，小明和小华两人分别从一正方形地的对角两端同时匀速反向沿正方形的边行走.当小华走了120米以后，他们第一次相遇；在小明出发前72米处他们∙又第：次相遇.这个正方形地的周长多少米？【答案】5761例74】甲从A出发，匀速向B行走：乙、丙从B出发，匀速向A行走，三人同时出发.乙的速度是丙的2倍,甲、乙相遇时，内距B地30千米：甲、丙相遇时，乙距B地80千米.那么，AB 两地相矩多少千米？【答案】120【例75]如图，有A、B、C三个村庄，它们到O地的距离都是10Γ*∙由于路况不同,汽车在OA、OB、OC三段路上的速衣可能行所不同,但是在同一段路上速度保持不变.甲、乙、丙：.辆汽车同时从A、B、C出发.甲去往C村后立即返13,乙去往A村后立即返回，丙去往B村后立即返回.如果甲、乙两车的两次相遇都在同一个地点.且离。

多次相遇问题公式总结
多次相遇问题是指在某一次相遇之后再次相遇的概率。

此问题体现了一个重要的物理现象，即在一定的范围内，不管有多少“物质”，它们仍然有可能在同一个空间重复堆叠，即多次相遇。

基于多次相遇问题中的一些基础概念，可以简单的总结出相关的计算公式。

其中，最重要的两个公式分别是多次相遇的概率和平均多次相遇的时间。

首先、关于多次相遇的概率，其计算公式为：
P_m=1-(1-p)^m
其中，P_m 为多次相遇的概率，p 为某一次相遇的概率，m 为多次相遇的次数。

可以看出，当 m数越多，多次相遇的概率也就越大。

因此，多次相遇的概率事实上是以指数形式增加的。

其次、关于平均多次相遇的时间，其计算公式为：
t_m=n/2*[1-(1-1/n)^m]
其中，t_m 为平均多次相遇的时间，n 为某一次相遇的时间，m 为多次相遇的次数。

可以看出，当 m数越多，平均多次相遇的时间也就越小。

因此，多次相遇的时间事实上是呈线性下降的。

此外，在计算多次相遇的概率和时间的过程中，我们还需要考虑到一些特殊情况，比如在多次相遇问题中，如果存在一个“物质”永远无法被发现，则可以根据经典的Poisson-Rayleigh方程，进行多次相遇的概率和时间的模拟计算。

在实际中，需要考虑到物理现象的特性，以便更好地确定计算公式，从而得出更加准确的结果。

总的来说，多次相遇问题中的计算公式是非常复杂的，它们不仅要考虑到物理现象的特性，还要考虑到特殊情况的出现。

由于计算的复杂度，多次相遇问题的解决过程可以归结为计算公式的推导和应用，从而更有效地解决多次相遇问题。

1.多次相遇的定义及核心公式直线多次相遇：两人同时相向出发并不停地在两地间往返的过程，在此过程中两人多次相遇。

环线多次相遇：两人同时同地背向出发，并不停地绕环线进行在此过程中多次相遇。

等量关系：路程=速度×时间两人相遇走过路程之和=两人速度之和×相遇时间2.直线上多次相遇的行程过程及规律推导由于环线多次相遇问题与解决直线多次相遇问题的思路相同，所以在此只分析直线上的多次相遇行程过程。

甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，经过时间t在C点相遇，继续前行分别到达对方起点后立即返回，在D点第二次相遇，继续前行分别到达对方起点后返回，如此往返。

设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，第一次相遇时两人的相遇路程和就是两地间距离AB，从第一次相遇后到第二次相遇时两人共走了2倍的AB，依次类推，后面每次相遇时两人走的路程和都是2AB，所以每从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程和的比例是1：2：2：2•••由于甲乙两人的速度不变，相遇过程中速度和也始终不变，由相遇路程=两人速度之和×相遇时间，可知，从前一次相遇到下一次相遇之间两人走的路程所用时间比例也是1：2：2：2•••同理可得，从前一次相遇到下一次相遇之间单个人甲或者乙走的总路程S甲或S 乙的比例也是1：2：2：2•••那么，从最开始出发到第一次相遇两人走的路程和为AB，由上述推出，从最开始出发到第二次相遇两人走的路程和是3AB，从最开始出发到第三次相遇两人走的路程和是5AB，依次推出从最开始到第N次相遇时两人走的总路程和的比例是1：3：5：7：9•••，由此总结出从最开始出发到第N次相遇时两人走的总路程是S总=（2N-1）AB所以在行程问题的多次相遇中，一定要掌握好多次相遇的具体行程过程和规律，牢记住每前一次相遇结束到下一次相遇之间两人走的路程总和、所用时间和两人分别走的路程的比例都是1：2：2：2•••，从最开始出发到每一次相遇两人走的路程总和的比例是1：3：5：7：9•••，在解题的过程中巧妙的应用这两个比例关系，就能轻松地解决复杂的行程问题。

多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。