【同步教学参考】高中数学人教版课件(新课标)选修2-1 第2章-2.2.1 椭圆及其标准方程

了．可以根据 x2 与 y2 的分母的大小判定椭圆的焦点位 置．若 x2 项的分母大，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的分 母较大，则焦点在 y 轴上．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴 上 y2 x2 ＋ ＝1(a a2 b2 ＞b＞0)
2 2 x y 标准方程 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b ___________________
，
因为 a＞b＞0，所以无解． x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0， n 1 m＝15 3m＋4n＝1 ＞0，m≠n)，依题意有 ，解得 12m＋n＝1 n＝1 5 x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
【思路探究】
(1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方
程是怎样的？(2)焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是怎 样的？(3)若焦点位置不确定该怎么办？ 【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，
x2 y2 ∴设它的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b ∵2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10，∴a＝5. 又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 25 9
焦点 a，b，c 的 关系
(－c,0)与(c,0)
(0，－c) 与 ________ (0，c) _________
a2－b2 c2＝___________
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)， 且椭圆经 过点(5,0)； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
让学生体会到类比思想的应用； 通过利用椭圆定义探索 椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想， 产生主动运用的意识； 通过揭示由于椭圆位置的不确定 所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．
●教学流程设计
演示结束
1.了解椭圆标准方程的推导． 课 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方 标 程．(重点) 解 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的 读 标准方程．(重点、难点)
3．情感、态度与价值观 (1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与 成功的喜悦； 培养学生认真参与、 积极交流的主体意识 和乐于探索创新的科学精神． (2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识 的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．
●重点难点 重点：椭圆定义和标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导过程． 椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的， 揭示了 椭圆的本质属性， 也是椭圆方程建立的基石， 因此给学 生提供动手操作、 合作学习的机会， 通过实验使学生去 探究椭圆的形成过程， 进而顺理成章的可以推导出椭圆 标准方程，以实现重、难点的化解与突破．
(3)法一
①当焦点在 x 轴上时，
x2 y2 设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
2 2 － 2 3 2 ＋ 2 ＝1 b a 依题意有 2 － 2 3 1 ＋ 2＝1 b a2 2 a ＝15 ，解得 2 b ＝5
椭圆．
3．在问题 2 中，移动的笔尖始终满足怎样的几何 条件？ 【提示】 数(绳长)．
把平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于
笔尖到两定点 F1、F2 的距离和等于常
常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点 _______________ 这___________ 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距. 叫做椭圆的焦点，_________________
●教学建议 本节课宜采取的教学方法是“问题诱导 — 启发讨论 — 探索结果”以及“直观观察 — 归纳抽象 — 总结规律” 的一种探究式教学方法， 注重“引、 思、 探、 练”的结合． 引 导学生改变学习方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体 验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围．学法方 面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发 椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，
2．2 2．
椭
圆
椭圆及其标准方程
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象 出椭圆模型的过程；
(2)理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推 导过程． 2．过程与方法 (1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过 程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想； (2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐 标法解决几何问题的能力．
椭圆的定义
【问题导思】 1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板 的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖 画出的轨迹是一个什么图形？
【提示】 圆．
2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图 板上的两点 F1、F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔 尖，画出的轨迹是什么图形？
【提示】
椭圆的标准方程
【问题导思】 1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的 方程简单？
【提示】
以经过椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x
轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系．
2．在椭圆的标准方程中，a2 和 b2 能相等吗？你能 否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？
【提示】 不能相等．否则就表示圆而不是椭圆
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x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5 ②当焦点在 y 轴上时， y2 x2 设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a a
2 2 － 2 3 2 ＋ 2 ＝1 b a 依题意有 2 － 2 3 1 ＝1 2＋ b2 a
2 a ＝5 ，解得 2 b ＝15
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， y2 x2 ∴设它的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 4 0 a2＋b2＝1 ∴ 02＋ 12＝1 a b
2 a ＝4 ，⇒ 2 b ＝1
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y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋x2＝1. 4