一类Hankel算子与Toeplitz算子的Sp性质

Dirichlet空间上Toeplitz乘积的有界性于涛;陆俏飞【摘要】对于Dirichlet空间中的函数f和g,应用Berezin变换,研究Dirichlet空间上Toeplitz乘积TfT-g的有界性,分别给出TfT-g在Dirichlet空间上有界的充分条件和必要条件.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(037)001【总页数】6页(P20-25)【关键词】Dirichlet空间;Toeplitz算子;Berezin变换;Bergman空间【作者】于涛;陆俏飞【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O177.20 引言本文中，令D是复平面C中的开单位圆盘，dA表示D上的正规化面积测度.把所有满足下式的D上函数u构成的空间称为Sobolev空间:其中,和表示弱导数意义下的偏导数.用 W1,2(D)表示Sobolev空间，它是一个具有如下内积的Hilbert空间:〉L2.其中,符号〈\5,\5〉L2表示Lebesque空间L2(D,dA)上的内积.称由Sobolev空间W1,2(D)中所有在原点处为0的解析函数构成的子空间为Dirichlet空间，记为D,它是一个具有如下内积的Hilbert空间:Dirichlet空间的再生核为即对任意的f∈D,f(z)=〈f,Kz〉.在单位圆盘的Hardy空间H2上，有界Toeplitz算子都是由有界符号函数诱导的.2个Toeplitz算子的乘积有界，并不意味着它们本身都是有界的.1994年,Sarason[1]提出猜想:对于f,g∈H2,H2上Toeplitz乘积有界的充要条件是(1)式(1)中,代表u在单位圆盘内的Poisson扩张.Sarason在文献[1]中提到,Treil已经证明了条件(1)是必要的.文献[2]给出了当符号函数 f和g是外函数时，Toeplitz算子乘积在Hardy空间H2上有界且可逆的充要条件，支持了Sarason的上述猜想.在一般情形下,文献[3]证明了如下比条件(1)强一些的条件是充分的：存在ε>0,使得(2)Sarason在文献[1]中同时提出了Bergman空间上的类似问题;文献[4]给出与Hardy 空间情形类似的回答，此时条件(1)和条件(2)中的Piosson扩张改为Bergman空间上的Berezin变换;文献[5-6]分别将该结果推广到单位圆盘和单位球上的加权Bergman空间;文献[7-9]分别将该结果推广到多圆盘和单位球上的Bergman空间.本文的目的是在Dirichlet空间上考虑Toeplitz乘积有界性的条件. Sobolev空间W1,∞(D)定义为其中,L∞(D)是D上所有本质有界可测函数构成的空间.空间W1,∞(D)的范数定义为令P为由W1,2(D)到D上的正交投影，则P是可表示为如下的积分算子:(3)给定u∈W1,∞(D)，定义D上以u为符号的Toeplitz算子Tu为Tu f=P(uf).(4)容易看出,对于每个u∈W1,∞(D),Toeplitz算子 Tu是有界的.Dirichlet空间上Toeplitz算子已被广泛研究.例如:文献[10]研究了具有连续可导符号Toeplitz算子的Fredholm性质;文献[11]研究了当符号函数是调和函数时，Toeplitz算子的交换性和正规性等;文献[12]研究了W1,∞(D)符号Toeplitz算子的交换性、乘积和模有限秩交换等代数性质.对于u∈W1,2(D)，式(4)的右边对于f∈D ∩W1,∞(D)还是有意义的，此时Toeplitz算子Tu可以看作D上的稠定义算子.若再设v∈W1,2(D)，按照式(3)和式(4),对于f∈D ∩W1,∞(D),上述积分是可积的.因此,可将TvTu看作从D到H(D)(D上所有解析函数的空间)的稠定义算子.本文的主要结果是Toeplitz乘积在 D上有界的一个充分条件和一个必要条件.定理1 设f,g∈D，如果存在ε>0，使得那么在Dirichlet空间上有界.其中，表示 f的Berezin变换.定理2 设f,g ∈D，f≠0,如果在Dirichlet空间上有界，那么1 预备知识对于w∈D，定义分式线性变换φw 为则φw是单位圆盘上的一个自同构.事实上，这个映射是对合的，即=φw，且这个变换的实Jacobian行列式为因此有如下的变量变换公式：(5)设函数f∈L1(D)，则 f的Berezin变换定义为D上的一个函数(6)对于w∈D，定义W1,2(D)上的算子Uw为Uw f=f(w)- f ∘ φw.易见算子Uw 是D上的自伴酉算子.特别地，当φ∈W1,∞(D)解析时，有UwTφUw=Tφ ∘ φw+Uw(φ)⊗Kw;(7)当φ∈W1,∞(D)共轭解析时，有UwTφUw=Tφ ∘ φw.(8)关于Uw 的定义、式(4)及式(5)可参阅文献[13].对于f,g∈D,定义 D上一秩算子 f⊗g为(f⊗g)h=〈 h,g 〉f,h ∈D.如果T和S是有界线性算子，那么T( f⊗g)S*=(T f)⊗(Sg).对于w ∈D，令τw表示函数Uw(z)=w-φw，其中z表示D上的恒等映射.引理1[13] 在Dirichlet空间D上,是个一秩算子，且等于z⊗z.引理2[13] 设w∈D，在Dirichlet空间上,τw⊗引理3 设w∈D，则在Dirichlet空间D上，有τw⊗证明对于w∈D，应用引理1和引理2 及式(7)、式(8)可得τw⊗τw=Uw(z⊗z)⊗引理3证毕.引理4 设w∈D，则有证明令u∈D，v∈D，对于w∈D，有所以又因为所以可以得到类似可得因此,引理4证毕.引理5 令 f，g∈D，对于w∈D，有其中,‖\5‖H2表示Hardy空间 H2 的范数.证明令f∈D，w∈D,则由|τw(eiθ)|≥1-|w|，可以得到引理5的第1个不等式.令u∈D，v∈D，有事实上，所以可得因此,(9)式(9)中的最后一个等式通过式(5)和式(6)获得.引理6[13] 如果F∈D,G∈D，那么2 主要结果的证明令P0为Lp(D)上核为的积分算子,即当1<p<∞ 时,P0是 Lp-有界的[14].下面对Toeplitz算子作一些估计，这些估计将用于Toeplitz乘积有界性的充分性的证明.引理7 对给定的ε>0，令δ=(2+ε)/(1+ε)，则1)令g∈D，u∈D，对任意的w∈D，有2)令f∈D，v∈D，对任意的w∈D，有证明 1)若g∈D,u∈D，则对任意的w∈D，有因此,从而应用Hölder′s不等式，可得其中,第3个不等号使用了不等式类似地，由于所以2)令f∈D，v∈D，对任意的w∈D，有所以与1)的证明类似，有引理7证毕.定理1的证明要证明在Dirichlet空间上是有界的，只须证明存在常数C，满足对所有的u,v∈D,有成立即可.由内积公式(引理 6)得其中:由引理 7可得[P0(|u′|δ)(w)]1/δ[P0(|v′|δ)(w)]1/δdA(w)≤因为2/δ>1,从而P0是L2/δ-有界的，所以存在常数C>0,使得由Cauchy-Schwarz不等式可得因此,得到关于I1的如下估计:存在常数C>0,使得完全类似地，可以对I2和I3作出估计.通过对I1，I2和I3的估计，得到存在某个常数M>0，使得因此,Toeplitz算子乘积是有界的.定理1证毕.定理2的证明由引理3，有Tf(τw⊗又因为Tf(τw⊗⊗及引理 4 给出的估计可以得到⊗由引理4和引理5可以得到所以从而得到定理2的结论.定理2证毕.参考文献：[1]Sarason D.Products of Toeplitz operators[C]//Khavin V P,Nikol′ski N K.Linear and complex analysis problem book 3.New York:Springer-Verlag,1994:318-319.[2]Cruz-Uribe D.The invertibility of the product of unbounded Toeplitz operators[J].Integral Equations Operator Theory,1994,20(2):231-237. [3]Zheng Dechao.The distribution function inequality and products of Toeplitz operators and Hankel operators[J].J Funct Anal,1996,138(2):477-501.[4]Stroethoff K,Zheng Dechao.Product of Hankel and Toeplitz operator on the Bergman space[J].J Funct Anal,1999,169(1):289-313.[5]Stroethoff K,Zheng Dechao.Bounded Toeplitz products on weighted Bergman spaces[J].J Oper Theory,2008,59(2):277-308.[6]Stroethoff K,Zheng Dechao.Bounded Toeplitz products on Bergman spaces of the unit ball[J].J Math Anal Appl,2007,325(1):114-129.[7]Stroethoff K,Zheng Dechao.Bounded Toeplitz products on the Bergman space of the polydisk[J].J Math Anal Appl,2003,278(1):125-135.[8]Park J D.Bounded Toeplitz products on the Bergman space of the unit ball in Cn[J].Integral Equations Operator Theory,2006,54(4):571-584.[9]Lu Yufeng,Liu Chaomei.Toeplitz and Hankel products on Bergman spaces of the unit ball[J].Chin Ann Math Ser B,2009,30B(3):293-310. [10]Cao Guangfu.Fredholm properties of Toeplitz operators on Dirichlet space[J].Pacific J Math,1999,188(2):209-224.[11]Lee Y J.Algebraic propertise of Toeplitz operators on the Dirichlet space[J].J Math Anal Appl,2007,329(2):1361-1329.[12]Yu Tao.Toeplitz operators on the Dirichlet space[J].Integral Equations Operator Theory，2010,67(2):163-170.[13]Yu Tao.Operators on the orthogonal complement of the Dirichlet space[J].J Math Anal Appl,2009,357(1):300-306.[14]Axler S.Bergman spaces and their operators[C]//Conway J B,Morrel BB.Surveys of some recent results in operator theory.NewYork:Wiley,1988:1-50.。

hankel函数
Hankel函数是解决一些偏微分方程的常见的数学函数。

这些方程通常涉及到传播和散射问题，如电磁波，声波和量子力学中的问题。

Hankel函数名字来源于德国数学家Hermann Hankel。

Hankel函数是复变量的特殊函数，用于描述从原点出发的无限长圆柱坐标系中各个区域的传播性质。

对于一些需要特殊处理的函数，Hankel函数的应用非常广泛。

Hankel函数与贝塞尔函数密切相关。

实际上，Hankel函数本质上是贝塞尔函数的线性组合，这一点可以从他们的公式中看出。

Hankel函数可以分为两类，分别是第一类Hankel函数和第二类Hankel函数。

第一类Hankel函数在所有实参数和x > 0的非零虚参数上定义。

它表示沿着传播方向传播的波，或者向内散射电子的电子波函数。

第二类Hankel函数在所有实参数和x > 0的虚参数上定义。

它表示反向传播的波，或者向外散射电子的电子波函数。

Hankel函数在物理上非常有用，在数学中的应用也非常广泛。

它们用于计算各种无限长圆柱坐标系内的问题，从电磁波到量子力学，再到声学和弹性力学。

在科学和工程中，Hankel函数也是解决复杂问题的一种重要数学工具。

总之，Hankel函数是一种非常有用的特殊函数。

他们在物理和工程领域中的应用非常广泛，可以帮助工程师和科学家更好地理解和解决一系列的问题。

第一类汉克尔函数第一类汉克尔函数(Hankel function of the first kind)又称为最小孪生函数是非常重要的一类特殊函数，在数学物理中都有广泛应用，常常被用来解决圆形和柱状边界问题，以及电磁学、声学、流体力学等领域中的波动方程问题的解。

一、引言汉克尔函数是独立于表达式的特殊函数，它的表示形式比较复杂。

在当今科学中有广泛的应用。

它们在某些物理问题中，比如圆形微分方程的求解，波动方程的解等方面具有很大的价值。

二、背景Hankel 发现了汉克尔函数，他是工程师，是一位研究纺织品工业的专家，在处理声波方程时通过研究贝塞尔函数，推导出了汉克尔函数，尤其是第一类汉克尔函数。

在物理学、天文学、化学工程和某些应用程序中广泛应用。

三、定义第一类汉克尔函数是描述波前膨胀与射线传播的一种函数，它和贝塞尔函数有等价性。

它之所以能应用于很多领域如天文、电磁场等领域中波的解析，就是因为它满足贝塞尔方程的性质。

四、数学性质第一类汉克尔函数具有以下性质：1. 是比较复杂的函数，它是贝塞尔函数的线性组合。

2. 具有动态标度协变性，即在Lorentz群作用下不变。

3. 具有跨越谐振器、缝隙、对涡流和电流的适应性、4. 满足某些数值变换的关系式。

例如四叶草变换。

5. 对于一些数值变换，具有晶格结构称为轮廓。

其中空间群以I4_1/amd为代表。

6. 具有渐进性。

存在无穷个相邻的实零点和无穷多的相邻实极大值。

7. 具有一阶和二阶导数的渐近行为。

8. 可以表示波数字，这种数字是圆形或柱状边界中波的特征性质。

五、应用1. 电场和磁场的输运理论，尤其是在人造孔道中的应用。

2. 偏微分方程英语解析。

3. 在量子力学中描述波列。

4. 圆形和柱状边界问题的求解。

5. 感应送水系统中模拟声波的传播。

6. 声、光、电磁学等领域中波动方程问题的求解。

7. 在业务任务中，应用第一类汉克尔函数求解特定傅立叶变换。

六、结论第一类汉克尔函数是非常重要的特殊函数，具有许多优秀的数学性质和广泛的应用价值。

Toeplitz定理高数导言Toeplitz定理是高等数学中的重要定理之一，它在矩阵论和线性代数中扮演着重要的角色。

本文将深入探讨Toeplitz定理的定义、性质以及应用。

定义Toeplitz矩阵是一种特殊的方阵，其每一条对角线上的元素都相同。

具体来说，一个n阶Toeplitz矩阵可以表示为：A=[a0a−1a−2…a−(n−1) a1a0a−1…a−(n−2) a2a1a0…a−(n−3)⋮⋮⋮⋱⋮a n−1a n−2a n−3…a0]其中a i表示矩阵A的第i条对角线上的元素。

性质Toeplitz矩阵具有许多有趣的性质，下面我们将逐一介绍这些性质。

性质1：Toeplitz矩阵的转置仍为Toeplitz矩阵证明：设A为一个Toeplitz矩阵，其对角线元素为a i，则A的转置矩阵为：A T=[a0a1a2…a n−1 a−1a0a1…a n−2 a−2a−1a0…a n−3⋮⋮⋮⋱⋮a−(n−1)a−(n−2)a−(n−3)…a0]可以看出，A的转置矩阵仍然满足对角线上元素相同的条件，因此A的转置矩阵也是一个Toeplitz矩阵。

性质2：两个Toeplitz矩阵的和仍为Toeplitz矩阵证明：设A和B分别为两个Toeplitz矩阵，其对角线元素分别为a i和b i，则A和B 的和为：A+B=[a0+b0a−1+b−1a−2+b−2…a−(n−1)+b−(n−1) a1+b1a0+b0a−1+b−1…a−(n−2)+b−(n−2) a2+b2a1+b1a0+b0…a−(n−3)+b−(n−3)⋮⋮⋮⋱⋮a n−1+b n−1a n−2+b n−2a n−3+b n−3…a0+b0]可以看出，A和B的和仍然满足对角线上元素相同的条件，因此A和B的和也是一个Toeplitz矩阵。

性质3：Toeplitz矩阵与向量的乘积仍为Toeplitz矩阵证明：设A为一个Toeplitz矩阵，其对角线元素为a i，设x为一个列向量，其元素为x i，则A和x的乘积为：Ax=[a0x0+a−1x1+a−2x2+⋯+a−(n−1)x n−1 a1x0+a0x1+a−1x2+⋯+a−(n−2)x n−1 a2x0+a1x1+a0x2+⋯+a−(n−3)x n−1⋮a n−1x0+a n−2x1+a n−3x2+⋯+a0x n−1]可以看出，Ax仍然满足对角线上元素相同的条件，因此Ax也是一个Toeplitz矩阵。

多重调和bergman空间上的toeplitz算子和hankel算子在20世纪中期，美国数学家Arne Beurling和瑞典数学家Walter Bergman研究出Bergman空间作为多元函数调和分析的支撑空间。

由于其独特的结构，Bergman空间与其他函数空间的应用领域正在不断扩大。

近年来，Bergman空间中的Toeplitz算子和Hankel算子受到越来越多的关注，这两个算子在数学分析、函数论、概率论的研究中发挥了重要的作用。

本文将主要介绍Bergman空间中的Toeplitz算子和Hankel算子，并讨论其在多元函数调和分析中的应用。

首先，需要了解Bergman空间的定义。

Bergman空间是一种多元函数调和分析中的支撑空间，它是一个几何完备的数学空间，其重要性毋庸置疑，可以用来描述多元函数调和分析中的众多情况。

在Bergman空间中，有一种特殊的算子，即Toeplitz算子。

Toeplitz算子是一种具有下界特性的线性算子。

它通常用来描述矩阵，这些矩阵的每行的元素都是从上一行相同的元素开始的，和上一行相同的元素结束的，因此又称为带核算子。

在Bergman空间中，Toeplitz算子可以用来描述一些特殊函数，它们具有非常好的性质。

例如，它们可以用来计算各种空间上的Fourier系数，这些系数在多元函数调和分析中发挥着重要的作用。

此外，Hankel算子也是Bergman空间中的一种重要的线性算子。

Hankel算子描述的是一种特殊的矩阵，每一行的元素都是按固定的数量从上一行的最后一个元素开始的，这种矩阵具有相同的对角线元素。

在Bergman空间中，Hankel算子可以用来表示某些特殊的函数，它们具有良好的性质，可以满足许多多元函数调和分析中的需求。

例如，它们可以用来求解各种非定向的波形，可以用来求解多元函数的傅立叶变换系数。

此外，Toeplitz算子和Hankel算子在多元函数调和分析中也被广泛应用。

Toeplitz算子的一些性质和应用
孔德尧
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2012(000)017
【摘要】本文给出了Toeplitz算子的一些性质以及Toeplitz算子在不同领域的应用.
【总页数】2页(P97-98)
【作者】孔德尧
【作者单位】淄博师范高等专科学校
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.关于硫酸性质与应用的系列问题(3)——硫酸应用中的一些问题释疑
2.小Hankel 算子和Toeplitz算子乘积的一些代数性质
3.Dirichlet空间上Toeplitz算子的一些性质
4.调和Dirichlet空间上Toeplitz算子与Berezin型变换有关的一些性质
5.电子自旋共振及其在表面活性剂溶液研究中的应用(三)电子自旋共振在表面活性剂体系一些特殊性质研究中的应用
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第一类hankel函数Hankel函数是一类特殊函数，用于解决许多不同的物理问题。

Hankel函数是由Hermann Hankel在19世纪中期引入的。

它们是Bessel函数的近亲，因为它们都是圆形对称的，但Hankel函数是无限平滑的，并且在其他应用中也经常用到。

Hankel函数可以分为两类：第一类Hankel函数和第二类Hankel 函数。

本文将着重讨论第一类Hankel函数。

首先讨论Bessel函数，其中的一些性质对于理解Hankel函数很有帮助。

Bessel函数是一类解决圆对称问题的函数，它由Johann Bessel在19世纪早期引入。

Bessel函数的定义如下：$$J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta $$其中，$n$是整数，$x$为实数。

从这个定义可以看出，Bessel函数是以余弦函数为内核的积分，其参数是阶数$n$和$x$。

Bessel函数有一个重要的性质，即Bessel函数满足Bessel方程：$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0$$其中，$y$是Bessel函数，综上所述，Bessel函数是Bessel方程的解。

与Bessel函数相似，第一类Hankel函数$H_0(x)$是圆对称的。

Hankel函数$H_0(x)$可以用微分方程定义：$$x^2\frac{d^2H_0}{dx^2}+x\frac{dH_0}{dx}+x^2H_0(x) = -1$$Hankel函数$H_0(x)$的重要性质是，它是Bessel函数$J_0(x)$和$Y_0(x)$的线性组合：$$H_0^{(1)}(x) = J_0(x)+iY_0(x)$$$$H_0^{(2)}(x) = J_0(x)-iY_0(x)$$其中，$i$是虚数单位，$H_0^{(1)}(x)$被称为第一类Hankel函数，$H_0^{(2)}(x)$被称为第二类Hankel函数。

hankel函数Hankel函数是数学中的一种特殊函数，它在数学物理和工程领域中具有广泛的应用。

它由德国数学家赫尔曼·汉克尔首次引入，用于解决一类特殊的微分方程问题。

Hankel函数在电磁波传播、声波传播和量子力学中都有重要的应用。

Hankel函数可以分为两类：第一类Hankel函数和第二类Hankel函数。

第一类Hankel函数常用来表示波的出射部分，而第二类Hankel函数则用来表示波的入射部分。

这两类函数都具有特殊的性质，使得它们在物理问题的求解中非常有用。

在电磁波传播问题中，Hankel函数可以用来描述圆柱波的传播。

当电磁波从一个圆柱体中传播到另一个圆柱体中时，Hankel函数可以帮助我们计算出传播波的振幅和相位。

通过对Hankel函数的适当组合，我们可以得到不同频率和角度的电磁波传播的解析解。

在声波传播问题中，Hankel函数也有类似的应用。

声波在水中、空气中或固体中传播时，可以用Hankel函数来描述声波的传播性质。

通过求解Hankel函数的特定形式，我们可以得到声波的传播速度、衰减系数和振幅等重要参数。

在量子力学中，Hankel函数常常用于描述球对称势场中的粒子的波函数。

通过求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在球对称势场中的波函数形式。

而Hankel函数则可以帮助我们计算出波函数的径向部分。

除了以上应用外，Hankel函数还在其他领域中发挥着重要的作用。

例如，在信号处理中，Hankel函数可以用于计算信号的频谱分析。

在图像处理中，Hankel函数可以用于图像的去噪和增强。

在几何光学中，Hankel函数可以用于计算光束的传播和衍射。

Hankel函数作为一种特殊的数学函数，在数学物理和工程领域中发挥着重要的作用。

它不仅可以帮助我们解决一类特殊的微分方程问题，还可以用于描述波的传播、信号处理和图像处理等多个领域。

对于研究者和工程师来说，掌握Hankel函数的性质和应用是非常重要的。