§1离散型随机变量及分布列

离散型随机变量及其分布列一．考点知识总结 １．离散型随机变量随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母,,,X Y ξη，…表示． 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值i x （i ＝１，２，３，…，n ）的概率()=i i P X x p =则表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列有时为了表达简单，也用等式()=i i P X x p =，i ＝１，２，３，…，n 表示X 的分布列（２）离散型随机变量的分布列的性质ａ．0i p ≥（i ＝１，２，３，…，n ） ｂ．=1ni i p ∑＝１３．两点分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中()==1p P X 称为成功概率 ４．超几何分布在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中恰有X 件次品，则事件{}=X k 发生的概率为()--=k n k M N MnNC C P X k C =，k ＝０，１，２，…，ｍ，其中ｍ＝{}min ,M n ，且,,,,n N M N M N n N *≤≤∈,称分布列为超几何分布列二．跟踪练习１．袋中有３个白球和５个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是Ａ．至少取到１个白球 Ｂ．至多取到１个白球 Ｃ．取到白球的个数 Ｄ．取到的球的个数 ２．下列４个表格中，可以作为离散型随机变量的是 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．已知随机变量X 的分布列为：()1==,2kP X k k ＝１，２，…则()2<4P X ≤＝ Ａ．316 Ｂ．14 Ｃ．116 Ｄ．516４．从４名男生和２名女生中任取３人参加演讲比赛，则所选３人中女生人数不超过１人的概率是５．从装有３个红球和２个白球的袋中随机取出２个球，设其中有X 个红球，则随机变量X的概率分布为６．在一个口袋中装有黑白两个球，从中随机取一球，记下他的颜色后放回，再取一球，有记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为 ７．某一随机变量X 的概率分布如下表，且ｍ＋２ｎ＝１．２，则ｍ－2n＝８．设随机变量X 的概率分布表如下：()()=F x P X x ≤，当x 的取值范围是[１,２)时，()F x ＝９．已知随机变量η的分布列为若X ＝２η－３，则()1<X 5P ≤＝１０．在甲乙等６个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采取抽签的方法随机确定各单位的演出顺序（序号１,２,３,４,５,６）求： （１）甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 （２）甲乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列参考答案１—３．ＣＣＡ ４．45５．X ＝０，P ＝０．１；X ＝１，P ＝０．６；X ＝２，P ＝０．３ ６．７． （０．２） ８．56 ９． （０．６） １０． （１）45（２）。

离散型随机变量及其分布列知识点一.随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。

随机变量常用大写字母X,Y …、也可用希腊字母ξ、η等表示，知识点二. 离散型随机变量随机变量X 只能取有限个数值1x ，2x ，…n x 或可列无穷多个数值1x ，2x ，…n x …则称为X 离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量X 取有限个数值的情形.知识点三、 用随机变量表示随机事件例：写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1） 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X 是随机变量． （2） 一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．（3）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：{}4>ξ表示的试验结果是什么？知识点四.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的___________，简称________．有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．2.离散型随机变量的分布列具有的性质：（1） ； （2）题型一 离散型随机变量的分布列的性质例1：一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列。

X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n例2：在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_________．例3：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. 求ξ的分布列；例4：设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎫ξ≥35＝________.1．设随机变量X 的分布列如下：X 12 3 4 P16 13 16p则p ＝________.2.若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P9c 2－c3－8c则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516 5．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pa bc 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.16B.13C.12D.236.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．知识点五：两点分布若随机变量X 的分布列如右表， 则这样的分布列称为 ． 如果随机变量X 的分布列为_ ，就称X 服从两点分布， 而称_ 为成功概率．例1. 在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布.练习：设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．X0 1Pp-1p知识点六：超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．例2.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．变式2. 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取3个球.(1) 求得分X 的分布列； （2）求得分大于4分的概率.例3.已知随机变量ξ的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 112 14 13 112 16 112(1)求112Y X =+1的分布列; (2)求22Y X =-2X 的分布列.§2.1 离散型随机变量的分布列课后巩固1.下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（ ） X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 A BX -1 0 1 P0.30.40.3C D 2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则概率等于6123735C C C 的是( ) ． A.(2)P X = B.(3)P X = C.(2)P X ≤ D.(3)P X ≤3．若()1P X n a ≤=-，()1P X m b ≥=-，其中n m <，则()P m X n ≤≤等于（ ）．A.)1)(1(b a --B.)1(1b a --C.)(1b a +-D.)1(1a b --4．随机变量X 所有可能的取值为1,2,3,4,5,且()P X k ck ==,则常数c = ,(24)P X ≤≤= . 5．随机变量X 的分布列如下： a ，b ，c 成等差数列，则()1P X == ．其中6．已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，…，10，则X 的取值为 ．7．设随机变量X 的分布列P （5kX =）=ak ，（1,234,5k =）（1）求常数a 的值； （2）求P （35X ≥）； （3）求P （171010X <<）；8.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．9.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示分数，求X 的分布列.X 1 2 3 P 0.4 0.7 -0.1 X 1 2 3 P0.20.40.5X －1 0 1 Pabc。

第一节离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量及其分布列：例1.抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，求X的分布列。

演变1.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设4名考生选做这两题的可能性均为1 2 .（1）其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第15题的学生数为X个，求X的分布列。

例2.袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以X表示取出小球的最大号码，求X的分布列演变1.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．演变2.从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数X 的分布列.（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都放回此批产品中，然后再取出一件新产品；（3）每次取出一件产品总把一件合格品放回此批产品中。

2.超几何分布：例1.在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．演变1.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．例2.某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（1）求第一天通过检查的概率；（2）求前两天全部通过检查的概率；（3）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分X 的分布列。