2019届高考数学二轮复习高考大题专项练二数列b理 附答案

二数列(B)1.(2018·醴陵模拟)已知正项等比数列{a n}中,a1+a2=6,a3+a4=24.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b n=log2a n,求数列{a n+b n}的前n项和T n.2.(2018·银川模拟)设{a n}是公比不为1的等比数列,其前n项和为S n,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列{a n}的公比;(2)证明:对任意k∈N*,S k+2,S k,S k+1成等差数列.3.(2018·益阳模拟)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,数列{}的前n项和T n,求证T n<.4.(2018·深圳模拟)已知数列{a n}满足a1=1,且a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*),(1)求证:数列{}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)设数列{a n}的前n项之和为S n,求证:>2n-3.1.解:(1)设数列{a n}的首项为a1,公比为q(q>0).则解得所以a n=2×2n-1=2n.(2)由(1)得b n=log22n=n,设{a n+b n}的前n项和为S n,则S n=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a n+b n)=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=+=2n+1-2+n2+n.2.(1)解:设数列{a n}的公比为q(q≠0,q≠1),由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4,即2a1q2=a1q4+a1q3,由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.(2)证明:法一对任意k∈N*,S k+2+S k+1-2S k=(S k+2-S k)+(S k+1-S k)=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(-2)=0,所以,对任意k∈N*,S k+2,S k,S k+1成等差数列.法二对任意k∈N*,2S k=,S k+2+S k+1=+=,2S k-(S k+2+S k+1)=-=[2(1-q k)-(2-q k+2-q k+1)]=(q2+q-2)=0,因此,对任意k∈N*,S k+2,S k,S k+1成等差数列.3.(1)解:由{a n}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*, 当n=1时,可得==, ①当n=2时,可得+==, ②②-①得=,所以a1·(a1+d)=6, ③(a1+d)(a1+2d)=12. ④由③④解得所以数列{a n}的通项公式为a n=n+1.(2)证明:由(1)可得S n=,那么==(-).所以数列{}的前n项和T n=(1-+-+-+-+…+-)=(1++---)=(---)=-(++),n∈N*,所以T n<.4.(1)证明:因为a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*),所以=+1,即-=1(n≥2,且n∈N*),所以数列{}是等差数列,公差d=1,首项为=.(2)解:由(1)得=+(n-1)×1=n-,所以a n=(n-)·2n.(3)证明:因为S n=·21+·22+·23+…+(n-)·2n, ①所以2S n=·22+·23+·24+…+(n-)·2n+1, ②①-②得-S n=1+22+23+…+2n-(n-)·2n+1=2+22+23+…+2n-(n-)·2n+1-1=-(n-)·2n+1-1=(3-2n)·2n-3. S n=(2n-3)·2n+3,则=(2n-3)+>2n-3,所以>2n-3.。

高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）数列1、已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为（ ） A ．18 B ．14 C ．12 D ．1 【答案】B2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ）(A)49(B)50(C)51 (D)52 【答案】D 3、已知数列{}n a 的通项公式是()()11n n a n =-+，则12310a a a a ++++= ()A ．55-B ．5-C ．5D ．57【答案】C4、已知数列{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S <的n 的最小值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21【答案】C5、设等比数列｛a n ｝中,每项均为正数,且a 3·a 8=81,log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于A.5B.10C.20D.40【答案】C【解析】根据等比数列，可得选C 。

6、数列1111424816，8，16，32，，的前n 项和为（） A ．1221n n +---B ．2223n n +--- C ．1221n n +-+- D ．11221n n +---- 【答案】B【解析】解：因为数列的前n 项和为可以运用分组求和得到结果为2n+2-2-n -3,选B7、如果有穷数列{}n a 满足条件:n a a =1,12-=n a a ,……,1a a n =,即1+-=i n i a a ,我们称其为“对称数列”,例如数列1,2,3,4,3,2,1就是“对称数列”.已知数列{}n b 是项数不超过2m ()*,1N m m ∈>的“对称数列”,并使得1,2,22,23,……,2m ﹣1依次为该数列中连续的前m 项,则数列{}n b 前2010项和2010S 可以是:①122010-;②222011-;③1223201121--⋅--m m ;④122201021---+m m .其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1【答案】B8、已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（ ）项。

专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y32.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为()A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}3.不等式组--的解集为()A.(0,)B.(,2)C.(D.(2,4)4.若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.95.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是()A.--B.-C.--D.-6.已知实数x,y满足则的取值范围是()A. B.[3,11]C. D.[1,11]7.已知变量x,y满足约束条件--若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.28.已知变量x,y满足约束条件-若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)9.(2018全国Ⅱ,理14)若x,y满足约束条件---则z=x+y的最大值为.10.(2018浙江,12)若x,y满足约束条件-则z=x+3y的最小值是,最大值是.11.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.12.设不等式组---表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.二、思维提升训练13.已知x,y满足约束条件----若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.或-1B.或2C.1或2D.-1或214.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为()A.B.C.D.15.设x,y满足约束条件---若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为.16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=,则的最小值为.17.若函数f(x)=-·lg x的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.18.已知存在实数x,y满足约束条件----则R的最小值是.专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.D解析由a x<a y(0<a<1)知,x>y,故x3>y3,选D.2.C解析∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴a>0.由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.3.C解析由|x-2|<2,得0<x<4;由x2-1>2,得x>或x<-,取交集得<x<4,故选C.4.D解析由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值z max=3+2×3=9.故选D.5.A解析由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0.∵其解集是(-1,3),∴a<0,且---解得a=-1或a=(舍去),∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.6.C解析=1+其中表示两点(x,y)与(-1,-1)所确定直线的斜率,由图知,k min=k PB=----,k max=k PA=----=5,所以的取值范围是的取值范围是故选C.7.C解析画出约束条件-的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.8.C解析设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由--解得--即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y≥-5恒成立,则-1≤a≤1,故选C.9.9解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,z max=9.10.-2 8 解析 由约束条件 -画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y , 可知y=-x+由题意可知,当目标函数的图象经过点B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点C 时,z 取得最小值.由 得此时z 最大=2+3×2=8, 由 得 - 此时z 最小=4+3×(-2)=-2.11.216 000 解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,由题意得∈即∈目标函数z=2 100x+900y ,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由解得所以z max=2 100×60+900×100=216 000.12.1<a≤3解析作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=a x的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是1<a≤3.二、思维提升训练13.D解析在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的△ABC,目标函数z=y-ax可变形为y=ax+z,z的几何意义为直线y=ax+z在y轴上的截距.因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z与边线x-2y-2=0平行时,a=不符合题意;当直线y=ax+z与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实数a的值为-1或2.故选D.14.A解析原不等式可化为(a-1)x-+2ay≥0,两边同除以y,得(a-1)+2a≥0,令t=,则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a,a min=,故选A.15.2解析画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.3解析由2x-3=,得x+y=3,故(x+y)(5+4)=3,当且仅当即(x,y∈(0,+∞))时等号成立.17.-2解析函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由>0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对-∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x-在定义域内恒成立,而-x-<-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满18.2解析根据前三个约束条件---足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.。

2.数 列1.在等差数列{a n }中，a 1＝－2，a 12＝20.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，求数列{3b n }的前n 项和S n . 解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3， 所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. (1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n＝2＋(n －1)×2＝2n ， 故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ， 解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)， 当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式， 所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1.(1)求b 1，b 14，b 61；(2)求数列{b n }的前200项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81， ∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项； 当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项； 当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项； 当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项. ∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.。

中档大题满分练4.数列(B组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a2=1,6S n=3a n+1-1.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=a2n,数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n,求R n与T n. 【解析】(1)因为6S n=3a n+1-1,所以6S n-1=3a n-1 (n≥2),两式相减,得6a n=3a n+1-3a n (n≥2),所以a n+1=3a n (n≥2),又a2=1,所以当n≥2时,{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,a n=a2·3n-2=3n-2,由6a1=3a2-1得a1=,满足上式,所以通项公式为a n=3n-2 (n∈N*).(2)b n=a2n=32n-2=9n-1,得b1=1,公比为9,R n==,T n=b1·b2·b3·…·b n=1·91·92·…·9n-1=91+2+…+n-1==3n(n-1).2.已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+a n=1(n∈N*).数列{b n}是公差d不等于0的等差数列,且满足b1=a1,b2,b5,b14成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)设c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)n=1时,a1+a1=1,a1=.n≥2时,S n-S n-1=(a n-1-a n),所以a n=a n-1(n≥2).{a n}是以为首项,为公比的等比数列,a n=×=2×.b1=1,又=b2b14得:(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d2-2d=0,因为d≠0,解得d=2,b n=2n-1.(2)c n=,T n=+++…+,T n=+++…++,T n=+4-,T n=+4×-,T n=--,所以T n=2-.。

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分大专题综合测3 数列（含解析）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(xx·北京西城区二模)数列{a n}为等差数列，满足a2＋a4＋…＋a20＝10，则数列{a n}前21项的和等于( )A.212B．21C．42 D．84[答案] B[解析] 由a2＋a4＋…＋a20＝10a11＝10得a11＝1，所以等差数列{a n}的前21项和S21＝21a11＝21，故选B．(理)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝⎠⎛3(1＋2x)d x，S20＝17，则S30为( ) A．15 B．20C．25 D．30[答案] A[解析] S10＝⎠⎛3(1＋2x)d x＝(x＋x2)|30＝12.又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15.2．(文)(xx·北京东城练习)已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4·a8＝4，则a5·a6·a7＝( )A．4 B．8C．16 D．64[答案] B[解析] 由题意得a4a8＝a26＝4，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以a6＝2，则a5a6a7＝a36＝8，故选B．(理)(xx·河北衡水中学二调)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝( )A．27 B．81C． 243 D．729[答案] C[解析] ∵a1a2a3＝a32＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a 2＝4a 1，∴a 2＝3a 1＝3，∴a 1＝1，∴q ＝a 2a 1＝3，∴a 6＝a 1q 5＝35＝243.3．(xx·杭州第二次质检)设等比数列{a n }的各项均为正数，若a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5＝( ) A ．24 2 B ．8 C ．8 2 D ．16[答案] C[解析] 利用等比数列的通项公式求解．设此正项等比数列的公比为q ，q >0，则由a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2得a 1＋a 22＝2a 1＋a 2a 1a 2，a 1a 2＝4，同理由a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4得a 3a 4＝16，则q 4＝a 3a 4a 1a 2＝4，q ＝2，a 1a 2＝2a 21＝4，a 21＝22，所以a 1a 5＝a 21q 4＝82，故选C. 4．(文)(xx·青岛市质检)“∀n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查等差数列的定义以及充要条件的判断，难度较小．由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，可得a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，由n 的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n }为等差数列，反之，若数列{a n }为等差数列，易得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，故“∀n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2”是“数列{a n }为等差数列”的充要条件，故选C.(理)“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] “lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”⇔2lg y ＝lg x ＋lg z ⇒y 2＝xz ，但y 2＝xz ⇒/ 2lg y ＝lg x ＋lg z ，∴选A.5．(文)(xx·福州质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝2a 6＋a 4，则a 5的值为( ) A ．－5 B ．－12C ．12 D ．52[答案] B[解析] 本题考查等差数列的通项公式，难度中等．设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 8＝2a 6＋a 4，故a 2＋6d ＝2a 2＋8d ＋a 2＋2d ，解得d ＝－12，故a 5＝a 2＋3d ＝1－32＝－12，故选B ． (理)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在[答案] A [解析] ∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．6．(文)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限内的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 由等差、等比数列的性质，可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴P 1(2,2)，P 2(3,4)，∴S △OP 1P 2＝1.(理)(xx·长沙市一模)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 5a 4＝52，a n ＝a 4q n －4＝2×(52)n －4，则lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，数列{lg a n }成等差数列，所以前8项和等于8lg a 1＋lg a 82＝4(lg2－3lg 52＋lg2＋4lg 52)＝4，故选C.7．(xx·河南商丘市二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和为S n ＝42，则n ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] D[解析] 由已知得a 1＋a 1qn －1＝34，a 21qn －1＝64，∴a 1＋64a 1＝34，解得：a 1＝32或a 1＝2，当a 1＝32时，q n －1<1不适合题意，故a 1＝2，q n －1＝16，又S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－16q1－q＝42，解得q ＝4，∴4n －1＝16，n －1＝2，n ＝3.8．(文)两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B ．152C ．13D ．133[答案] D[解析] 由已知可得a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3(舍去)．则c ＝a 2＋b 2＝13，故e ＝c a＝133. (理)△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，若b 既是a 、c 的等差中项，又是a 、c 的等比中项，则△ABC 是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形[答案] C[解析] ∵b 是a 、c 的等差中项，∴b ＝a ＋c2.又∵b 是a 、c 的等比中项，∴b ＝ac ，∴(a ＋c2)2＝ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴b ＝a ＋c2＝a ，故△ABC 是等边三角形．9．(xx·天津十二区县联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2015等于( )A.40282015 B ．20142015 C.20151008D ．20152016[答案] C[解析] 本题考查数列的递推公式、裂项法求和，难度中等．依题意a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故a n ＋1－a n ＝n ＋1，由累加法可得a n －a 1＝n 2＋n －22，a n ＝n 2＋n2，故1a n ＝2n 2＋n ＝2(1n －1n ＋1)，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2015＝2(1－12＋12－13＋…＋12015－12016)＝40302016＝20151008，故选C. 10．(文)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝( )A ．9B ．10C ．18D ．27[答案] D[解析] 由条件知a 5＝3，∴S 9＝9a 5＝27.(理)(xx·郑州市质检)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.306 B ．7 C.306或7 D ．56或7 [答案] C[解析] 由题意知m 2＝36，m ＝±6，当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，e ＝7，故选C.11．(文)(xx·重庆市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝7，a 6＋a 8＝－6，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] a 7＝12(a 6＋a 8)＝－3，公差d ＝a 7－a 27－2＝－2，a n ＝a 2－2(n －2)＝11－2n ，因此在等差数列{a n }中，前5项均为正，从第6项起以后各项均为负，当S n 取最大值时，n 的值为5，故选C.(理)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 依题意，当d >|a 1|时，数列{a n }是递增的数列，无论a 1的取值如何，S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值；反过来，当S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值时，如当a 1＝1，d ＝13时，此时S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值，但不满足d >|a 1|.综上所述，“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的充分不必要条件．12．(文)已知数列{a n }的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k ＝4时，输出S ＝13，则a xx ＝( ) A ．xx B ．xx C ．xx D ．xx[答案] D[解析] 由程序框图可知，{a n }是公差为1的等差数列， 且1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＝13， ∴1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＝1a 1－1a 5＝13， ∴1a 1－1a 1＋4＝13，解得a 1＝2，∴a xx ＝a 1＋xx d ＝2＋xx ＝xx. (理)已知曲线C ：y ＝1x(x >0)上两点A 1(x 1，y 1)和A 2(x 2，y 2)，其中x 2>x 1.过A 1、A 2的直线l 与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列 [答案] A[解析] 直线A 1A 2的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1x 2－1x 1x 2－x 1＝－1x 1x 2，所以直线A 1A 2的方程为y －1x 1＝－1x 1x 2(x －x 1)，令y ＝0解得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，故x 1，x 32，x 2成等差数列，故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(xx·海口市调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋1π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S xx ＝________.[答案] 1008[解析] 由a n ＋1－a n ＝sinn ＋1π2⇒a n ＋1＝a n ＋sinn ＋1π2，∴a 2＝a 1＋sinπ＝1＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝0＋1＝1，∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而xx ＝4×503＋2，因此S xx ＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.14．(文)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－x x ＋3图象的顶点坐标是(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r 的值为________．[答案] －9[解析] f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7的顶点坐标为(－2，－7)， ∵m ＝－2，n ＝－7，∴k ＋r ＝m ＋n ＝－9.(理)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }、{b n }中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．[答案] 961[解析] 设数列{a n }中的第n 项是数列{b n }中的第m 项，则m 2＝7n ＋2，m 、n ∈N *.令m ＝7k ＋i ，i ＝0,1,2，…，6，k ∈Z ，则i 2除以7的余数是2，则i ＝3或4，所以数列{c n }中的项依次是{b n }中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c 9＝b 31＝312＝961.15．(xx·辽宁省协作校联考)若数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－1)n ＋1，b n ＝3＋－1n －12，n ∈N ＋，且a 1＝2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 63＝________.[答案] 560[解析] ∵b n ＝3＋－1n －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 为奇数1n 为偶数，又a 1＝2，∴a 2＝－1，a 3＝4，a 4＝－2，a 5＝6，a 6＝－3，…，∴S 63＝a 1＋a 2＋a 3＋…a 63＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 63)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.16．(xx·山西大学附中月考)已知无穷数列{a n }具有如下性质：①a 1为正整数；②对于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n ＋1＝a n 2；当a n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋12.在数列{a n }中，若当n ≥k 时，a n ＝1，当1≤n <k 时，a n >1(k ≥2，k ∈N *)，则首项a 1可取数值的个数为________(用k 表示)．[答案] 2k －2[解析] 当n ≥k 时，a n ＝1，∴a k ＝1，当n <k 时，若a k ＝a k －1＋12，则a k －1＝1这与a k －1>1矛盾，∴a k ＝a k －12，∴a k －1＝2，同理可得a k －2＝3或4，a k －3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵k －(k －2)＝2，∴倒推(k －2)步可求得a 1，∴a 1有2k －2个可能取值．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)(xx·江苏宿迁摸底)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n ＝12(a n －1)(a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)na n a n ＋1，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝12(a 1－1)(a 1＋2)＝a 1，解得a 1＝－1或a 1＝2， 因为a 1>0，所以a 1＝2.当n ≥2时，S n ＝12(a n －1)(a n ＋2)，S n －1＝12(a n －1－1)(a n －1＋2)，两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1， 所以{a n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n ＋1.(2)T 2n ＝－a 1a 2＋a 2a 3－a 3a 4＋a 4a 5－a 5a 6＋…＋a 2n －2a 2n －1－a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1＝2(a 2＋a 4＋…＋a 2n )，又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，故T 2n ＝2n 2＋4n .[易错分析] 本题有两个易错点：一是数列{a n }的通项公式求解错误或者不认真审题导致求解过程出现增根；二是在数列求和时，不能够合理地分类与整合．(理)(xx·临沂三校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝32，a 2＋a 3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n.(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n，S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1.18．(本题满分12分)(文)已知数列{a n }的首项为1，对任意的n ∈N *，定义b n ＝a n ＋1－a n .(1)若b n ＝n ＋1，①求a 3的值和数列{a n }的通项公式； ②求数列{1a n}的前n 项和S n ；(2)若b n ＋1＝b n ＋2b n (n ∈N *)，且b 1＝2，b 2＝3，求数列{b n }的前3n 项的和． [解析] (1)①a 1＝1，a 2＝a 1＋b 1＝1＋2＝3，a 3＝a 2＋b 2＝3＋3＝6 当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝n ＋1得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n n ＋12而a 1＝1适合上式，所以a n ＝n n ＋12(n ∈N *)．②由①得：1a n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＝2(1－12)＋2(12－13)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.(2)因为对任意的n ∈N *有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝b n ＋4b n ＋3b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ， 所以数列{b n }为周期数列，周期为6.又数列{b n }的前6项分别为2,3，32，12，13，23，且这六个数的和为8.设数列{b n }的前n 项和为S n ，则 当n ＝2k (k ∈N *)时，S 3n ＝S 6k ＝k (b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6)＝8k ，当n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，S 3n ＝S 6k ＋3＝k (b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6)＋b 6k ＋1＋b 6k ＋2＋b 6k ＋3＝8k ＋b 1＋b 2＋b 3＝8k ＋132，当n ＝1时，S 3＝132所以，当n 为偶数时，S 3n ＝4n ； 当n 为奇数时，S 3n ＝4n ＋52.(理)(xx·郑州市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．[解析] (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，因为S n ＝2a n －2， 所以，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1, 即：a na n －1＝2. 数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以，a n ＝2n(n ∈N *)． (2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…log 2a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立，等价于n －8n ＋12≥k 对n ∈N *恒成立；设c n ＝12(n －8)(n ＋1)，则当n ＝3或4时，c n 取得最小值为－10，所以k ≤－10.19．(本题满分12分)(文)(xx·河北衡水中学三调)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明S n <34. [解析] (1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.即a n ＋1－1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0,1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0.即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项，以－1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)， ∴a n ＝nn ＋1(2)由(1)可得a n ＝nn ＋1.∵b n ＝a n ＋1a n －1＝n ＋12n n ＋2－1＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34.(理)已知数列{a n }具有性质：①a 1为整数；②对于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n＋1＝a n 2；当a n 为奇数时，a n ＋1＝a n －12； (1)若a 1为偶数，且a 1，a 2，a 3成等差数列，求a 1的值；(2)设a 1＝2m＋3(m >3且m ∈N )，数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n ≤2m ＋1＋3；(3)若a n 为正整数，求证：当n >1＋log 2a 1(n ∈N )时，都有a n ＝0. [解析] (1)设a 1＝2k ，则a 2＝k ， 由条件知2k ＋a 3＝2k ，∴a 3＝0. 分两种情况讨论： 若k 是奇数，则a 3＝a 2－12＝k －12＝0，∴k ＝1，a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，若k 是偶数，则a 3＝a 22＝k2＝0，∴k ＝0，a 1＝0，a 2＝0，a 3＝0，∴a 1的值为2或0.(2)当m >3时，a 1＝2m＋3，a 2＝2m －1＋1，a 3＝2m －2，a 4＝2m －3，a 5＝2m －4，…，a m ＝2，a m ＋1＝1，a m ＋2＝…＝a n ＝0，∴S n ≤S m ＋1＝1＋2＋ (2)＋4＝2m ＋1＋3.(3)∵n >1＋log 2a 1，∴n －1>log 2a 1，∴2n －1>a 1，由定义可知：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n2，a n是偶数a n－12，a n是奇数，∴a n ＋1≤a n 2，∴a n ＋1a n ≤12.∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1≤12n －1a 1， ∴a n <12n －1·2n －1＝1，∵a n ∈N ，∴a n ＝0，综上可知：当n >1＋log 2a 1(n ∈N )时，都有a n ＝0.20．(本题满分12分)(文)(xx·江西八校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝4，前n 项和为S n ，且S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f (x )＝a n x ＋a n －1x 2＋a n －2x 3＋…＋a 1x n，f ′(x )是函数f (x )的导函数，令b n＝f ′(1)，求数列{b n }的通项公式，并研究其单调性．[解析] (1)由S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N *)得S n －3S n －1－2n ＋2－4＝0(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－3a n －2＝0，可得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)(n ≥2)，又由已知a 2＝14，所以a 2＋1＝3(a 1＋1)，即{a n ＋1}是一个首项为5，公比q ＝3的等比数列，所以a n ＝5×3n －1－1(n ∈N *)．(2)因为f ′(x )＝a n ＋2a n －1x ＋…＋na 1x n －1，所以f ′(1)＝a n ＋2a n －1＋…＋na 1 ＝(5×3n －1－1)＋2(5×3n －2－1)＋…＋n (5×30－1) ＝5[3n －1＋2×3n －2＋3×3n －3＋…＋n ×30]－n n ＋12令S ＝3n －1＋2×3n －2＋3×3n －3＋…＋n ×30，则3S ＝3n ＋2×3n －1＋3×3n －2＋…＋n ×31，作差得S ＝－n 2－3－3n ＋14，所以f ′(1)＝5×3n ＋1－154－n n ＋62，即b n ＝5×3n ＋1－154－nn ＋62，而b n ＋1＝5×3n ＋2－154－n ＋1n ＋72，作差得b n ＋1－b n ＝15×3n2－n －72>0，所以{b n }是单调递增数列．(理)已知数列{a n }的首项a 1＝5，且a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，求数列f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n，∴a n ＝3·2n－1.(2)∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， ∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n xn －1，∴f ′(1)＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝(3·21－1)＋2(3·22－1)＋3(3·23－1)＋…＋n (3·2n－1) ＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)－(1＋2＋3＋…＋n )， 令T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴f ′(1)＝3(n －1)·2n ＋1－n n ＋12＋6.21．(本题满分12分)(文)(xx·广东文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．[分析] 考查：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等差数列的通项公式． (1)令n ＝2可得a 4的值；(2)先利用a n ＝S n －S n －1将4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)转化为4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，再利用等比数列的定义可证⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是等比数列；(3)由(2)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 的通项公式，再将数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 的通项公式转化为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是等差数列，进而可得数列{a n }的通项公式．[解析] (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得：a 4＝78.(2)因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)， 因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，对于n ＝1成立． 因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列．(3)由(2)知：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝4，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(理)(xx·辽宁葫芦岛市一模)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝5，a 4＋a 8＝22； (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ； (2)令b n ＝n ＋1S n S n ＋2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <516. [解析] (1)由a 4＋a 8＝22得：a 6＝11，又a 3＝5，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，S n ＝n a 1＋a n 2＝n 1＋2n －12＝n 2.(2)b n ＝n ＋1S n S n ＋2＝n ＋1n 2·n ＋22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1n ＋22当n ＝1时，b 1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝29<516，原不等式成立；当n ≥2时，b 1＋b 2＋…＋b n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫112－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142－162＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －22－1n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －12－1n ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1n 2－1n ＋22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122－1n ＋12－1n ＋22<14⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＝516∴b 1＋b 2＋…＋b n <516(n ∈N *)22．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1a n ＋2，a 1＝－12. (1)求证{1a n ＋1}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝－1a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝－1a n ＋2＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2， 由于a n ＋1≠0，∴1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1，∴{1a n ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)题结论知：1a n ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝1n ＋1－1＝－n n ＋1(n ∈N *)． (3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥p －n ， ∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥p ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立， 而1＋a n ＝1n ＋1， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)， ∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故p ≤12.∴p 的最大值为12.反馈练习一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则a 6＋a 8等于( ) A ．80 B ．96 C ．160 D ．320[答案] C [解析] ∵a 2＋a 4a 1＋a 3＝q a 1＋a 3a 1＋a 3＝q ＝105＝2， ∴a 6＋a 8＝(a 2＋a 4)q 4＝10×24＝160.2．(xx·广州二测)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[答案] A[解析] 设这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[易错分析] 考生不会利用奇数项和与偶数项和的关系去求解数列的项数，导致无法解题．3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1，a 5，a 17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )A ．4B ．3C ．2D ．12[答案] B[解析] 解法1：由条件知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，得a 1＝2d ，a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴q ＝a 5a 1＝6d2d＝3，故选B ．解法2：q ＝a 5a 1＝a 17a 5＝a 17－a 5a 5－a 1＝12d4d＝3，故选B ． 4．以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( ) A ．2a 3>3a 4 B ．5a 5>a 1＋6a 6 C ．a 5＋a 4－a 3<0 D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[答案] D[解析] 依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述知选D ．5．(文)在等差数列{a n }中，7a 5＋5a 9＝0，且a 5<a 9，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] ∵7a 5＋5a 9＝0，a 5<a 9， ∴d >0，且a 1＝－173d ，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－173nd ＋n n －12d ＝d 2(n 2－37n 3)，∴当n ＝6时，S n 取到最小值．(理)(xx·辽宁理，8)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0[答案] C[解析] 数列{2a 1a n }递减，∴{a 1a n }递减． ∴a 1a n －a 1a n －1＝a 1(a n －a n －1)＝a 1d <0.6．(文)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且a 1>0，若S 2>2a 3，则q 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0，12)B ．(－12，0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(12，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵S 2>2a 3，∴a 1＋a 1q >2a 1q 2， ∵a 1>0，∴2q 2－q －1<0， ∴－12<q <1且q ≠0，故选B ．(理)已知公差不等于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S 3＝－21，a 7是a 1与a 5的等比中项，那么在数列{na n }中，数值最小的项是( )A ．第4项B ．第3项C ．第2项D ．第1项[答案] B[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－21，得a 2＝－7，又由a 7是a 1与a 5的等比中项，得a 27＝a 1·a 5，即(a 2＋5d )2＝(a 2－d )(a 2＋3d )，将a 2＝－7代入，结合d ≠0，解得d ＝2，则na n ＝n [a 2＋(n －2)·d ]＝2n 2－11n ，对称轴方程n ＝234，又n ∈N *，结合二次函数的图象知，当n ＝3时，na n 取最小值，即在数列{na n }中数值最小的项是第3项．7．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10为( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40[答案] C[解析] 由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，得 a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 则有a n n －a n －1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，a n －1n －1－a n －2n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1，……a 22－a 11＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12，累加得a n n －a 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . ∵a 1＝2，∴a n ＝4n －2，∴a 10＝38.8．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则2a 1，22a 2，…，29a 9中最大的是( )A.2a 1B ．25a 5C ．26a 6D ．29a 9[答案] B[解析] ∵S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5>0，∴a 5>0.又∵S 10＝102(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)<0，∴a 5＋a 6<0，即得a 6<0，且|a 6|>a 5，则数列{a n }的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n ≤5时，数列{2na n}是递增的正数项数列，其最大项为25a 5，当n >6时，各项均为负数，即可得25a 5最大，故应选B ．(理)等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，这个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2[答案] D[解析] 由题意知S 奇－2＝S 偶·q ，S 奇＝8532，S 偶＝2116，∴q ＝12，∵a 1＝2，q ＝12，∴{T n }为递减数列且a 2＝1，a k <1(k >2)， ∴T 2＝a 1a 2＝2为最大值．9．(xx·南昌市二模)已知{a n }是等差数列，a 1＝5，a 8＝18，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26[答案] A[解析] 由题意得：a 8＝a 1＋7d ＝5＋7d ＝18，∴d ＝137，∴a m ＝5＋137(m －1)，又S n ＝3n，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12·3n －1，n ≥2，∴5＋137(m －1)＝3＋2·33＝57，解得m ＝29.10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．2n－1 B ．1－2nC ．(12)n－1D ．1－(12)n[答案] D[解析] 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝(12)2，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝(12)3，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n＝(12)n ，∴S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ＝12[1－12n ]1－12＝1－(12)n，故选D ．11．(文)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<122a n－1，12≤a n<1，若a 1＝35，则a xx ＝( )A.15 B ．25 C ．35 D ．45[答案] A[解析] 由题可得a 1＝35，a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，a 6＝15，…，所以数列{a n }是一个周期为4的周期数列，又因为xx ＝503×4＋2，所以a xx ＝a 2＝15，故选A.(理)(xx·山西太原市一模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n(2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120[答案] D[解析] 由a n 的通项公式得：a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 59＝1，当n ＝2p (p 为奇数时)，a n ＝－(2n －1)＋1＝2－2n ；当n ＝2q (q 为偶数时)a n ＝(2n －1)＋1＝2n ，∴S 60＝30×1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×15＋15×142×－8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8×15＋15×142×8＝120. 12．(文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin2n π2，则该数列的前10项和为( )A ．2101B ．1067C ．1012D ．xx[答案] B[解析] 当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，这是一个首项为1，公差为1的等差数列；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ＋1，这是一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 18＝a 1＋a 2＋…＋a 17＋a 18＝(a 1＋a 3＋…＋a 17)＋(a 2＋a 4＋…＋a 18)＝9＋99－12×1＋21－291－2＝9＋36＋1022＝1067.(理)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 2OA →＋a xx OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则下列各式中正确的是( )A ．S xx ＝1B ．S xx ＝20132C ．S xx ＝20152D ．S xx ＝1007[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 共线，且该直线不过O 点，OB →＝a 2OA →＋a xx OC →， ∴OB →－OA →＝(a 2－1)OA →＋a xx OC →，即AB →＝(a 2－1)OA →＋a 2004OC →＝kCA →＝kOA →－kOC →，由共线向量定理得a 2－1＝－a xx ，∴a 2＋a xx ＝1， ∴S xx ＝2015×a 1＋a 20152＝2015×a 2＋a 20142＝20152.二、填空题13．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.[答案] 150[解析] 设每10项一组的和依次组成的数列为{b n }，由已知可得：b 1＝10，b 1＋b 2＋b 3＝70.①设原等比数列{a n }的公比为q ， 则b 2b 1＝a 11＋a 12＋…＋a 20a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10a 1＋a 2＋…＋a 10＝q 10.同理：b 3b 2＝q 10，b 4b 3＝q 10，…，∴{b n }构成等比数列，且公比q ′＝q 10. 由①可得10＋10q ′＋10(q ′)2＝70，即(q ′)2＋q ′－6＝0，解得q ′＝2或q ′＝－3. ∵q ′＝q 10>0，∴q ′＝2.∴{b n }的前4项依次是：10,20,40,80. ∴S 40＝150.14．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 8＝10，a 14＋a 15＝50，则此数列的前15项之和是________． [答案] 180[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 8＝10，a 14＋a 15＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋8d ＝10，2a 1＋27d ＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝180.15．(xx·山东青岛摸底)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log xx x 1＋log xx x 2＋…＋log xx x xx 的值为________．[答案] －1[解析] 因为y ′＝(n ＋1)x n，所以在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， 所以0－1x n －1＝n ＋1，所以x n ＝nn ＋1，所以log xx x 1＋log xx x 2＋…＋log xx x xx ＝log xx (x 1·x 2·…·x xx )＝log xx (12·23·…·20142015)＝log xx 12015＝－1.16．(文)(xx·合肥质检)定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，且称此常数为公积．已知在等积数列{a n }中，a 1＝2，公积为5，当n 为奇数时，这个数列的前n 项和S n ＝________.[答案]9n －14[解析] 由题可知，等积数列{a n }为2，52，2，52，…，当n 为奇数时，其前n 项和S n ，可分两部分组成，n ＋12个2之和与n －12个52之和，所以S n ＝2×n ＋12＋52×n －12＝9n －14. (理)已知数列{a n }满足a 1＝1，11＋a n ＋1＝11＋a n ＋1，则a 10＝________.[答案] －1719[解析] 由11＋a n ＋1＝11＋a n ＋1，得11＋a n ＋1－11＋a n ＝1，又11＋a 1＝12，故数列{11＋a n}是首项为12，公差为1的等差数列，故11＋a 10＝12＋(10－1)×1，得a 10＝－1719.三、解答题17．(文)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－(－12)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.(理)已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝3S 3；等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项； (2)若a 1＝2，设c n ＝2log 2b n ·log 2b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若有f (n )＝log 3T n ，求f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的最大值． [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4＋a 2＝2S 3，得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ， ∴a 1＝d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1，∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1， 等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2， 则b n ＝2a 1·2n －1＝2n·a 1，∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项都是{a n }中的项． (2)当a 1＝2时，b n ＝2n ＋1，c n ＝2n ＋1n ＋2＝2(1n ＋1－1n ＋2) 则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2(12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2)＝2(12－1n ＋2)＝n n ＋2.(3)f (n )＝log 3T n ＝log 3nn ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝log 313＋log 324＋…＋log 3n n ＋2＝log 3(13·24·…·nn ＋2)＝log 32n ＋1n ＋2≤log 321＋11＋2＝－1，即f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的最大值为－1.18．(文)(xx·日照市诊断)已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)通过公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }．若{b n }也是等差数列，求非零常数c ；(3)对于(2)中得到的数列{b n }，求f (n )＝b nn ＋25·b n ＋1(n ∈N *)的最大值．[解析] (1)∵数列{a n }是等差数列． ∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5.∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9. ∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c.∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)． ∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n .显然{b n }成等差数列，符合题意，故c ＝－12.。

2019高三二模分类汇编—数列1. 若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为_____2.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.能说明“设数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*n N ∈，若1n a +>n a ，则1n S +>n S ”为假命题的一个等差数列是 。

（写出数列的通项公式）4. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，能够说明“若数列{}n a 是递减数列，则数列{}n S 是递减数列”是假命题的数列{}n a 的一个通项公式为____．6.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则7a = A ．32 B ．16 C ．8 D ．1167. （本小题共13分） 在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，n N *∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 的前n 项和为n T ．是否存在正整数n N *∈都成立？若存在，求出,p k8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S = .2019高三二模分类汇编—数列答案部分1. 52.C3.4.C5． 满足12,0,0a a d ><（答案不唯一）6.A7. 解：（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，有22213D =-=，于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=------------------------------------------4分（Ⅱ）设数列是等比数列，所以，（为公比且）则，若为“平方等差数列”，则有2222222422(2)21111(1)n n n n n a a a q a q a q q D -----=-=-=（D 为与无关的常数） 所以21q =， 即或．-------------------------------------8分{}n a 11n n a a q -=q 0q ≠22221n n a a q -={}n a n 1q =1q =-（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>，则4D =，221(1)44(1)4n c c n D n n =+-=+-=∴n c = 所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和 -------------------------------------10分假设存在正整数,p k使不等式112>L 对一切1)++>L 当时，11)>，∴94p k +<又,p k 为正整数， ∴1p k ==．------------------------------------------11分对一切都成立．所以存在1pk ==使不等式1n T>对一切都成立． （注：也可用数学归纳法证明）------------------------------------------13分8. 35n 1...2n T =++*n N ∈1n =...1)++>*n N ∈*)n N =>=∈...1)...1)+>+++=*n N ∈。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x 2)},则A ∩B 等于( ){x ||x -12|≤32}A .(0,2]B .[-1,0)C .[2,4)D .[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y 2=2px (p>0)交于A ,B 两点,若OA ⊥OB ,则△OAB 的面积为( )A .1B .C .D .25253.已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A .2B .4C .6D .85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=( )A.67B.37C.89D.496.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是x 2a 2‒y 2b 2( )A .B .5262C .D .21037.已知函数f (x )=若f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为( ){sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0,A .1B .-C .1,-D .1,2222228.已知实数a ,b ,c.( )A .若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100B .若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100C .若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100D .若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a ,则的值为 . ab 10.在(2x-1)5的展开式中,含x 2的项的系数是 .(用数字填写答案)11.已知两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为 .12.在极坐标系中,直线4ρcos +1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 . (θ-π6)13.设变量x ,y 满足约束条件的最小值是 . {y ≤3x -2,x -2y +1≤0,2x +y ≤8,则yx -114.a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2.B2(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n }中,a 1=2,且a n =2a n-1-n+2(n ≥2,n ∈N *).(1)求a 2,a 3,并证明{a n -n }是等比数列;(2)设b n =,求数列{b n }的前n 项和S n .a n2n -117.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C :=1(a>b>0)的左、右焦点F 1,F 2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的x 2a 2+y 2b 2正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上任意一点P 作椭圆C 的切线与直线F 1P 的垂线F 1M 相交于点M ,求点M 的轨迹方程;(3)若切线MP 与直线x=-2交于点N ,求证:为定值.|NF 1||MF 1|20.(14分)已知函数f (x )=ln(1+x )+x 2-x (a ≥0).a2(1)若f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立,求a 的取值范围;(2)已知e 为自然对数的底数,证明:∀n ∈N *,<e .e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)##综合能力训练1.A 解析 ∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A ∩B=(0,2].故选A .2.B 解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由x+y=1与抛物线y 2=2px ,得y 2+2py-2p=0,解得y 1=-p+,x 1=1+p-,y 2=-p-,x 2=1+p+,p 2+2p p 2+2p p 2+2p p 2+2p 由OA ⊥OB 得,x 1x 2+y 1y 2=0,即[(1+p )2-(p 2+2p )]+[p 2-(p 2+2p )]=0,化简得2p=1,从而A,B ,OA 2==5-2,OB 2==5+2,△OAB 的面积(3-52,-1+52)(3+52,-1-52)x 21+y 215x 22+y 225S=|OA||OB|=故选B .1252.3.C 解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴g (x )=xf (x )是R 上的偶函数.∴g (-log 25.1)=g (log 25.1).∵奇函数f (x )在R 上是增函数,∴当x>0时,f (x )>0,f'(x )>0.∴当x>0时,g'(x )=f (x )+xf'(x )>0恒成立,∴g (x )在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3.结合函数g (x )的性质得b<a<c.故选C .4.C 解析 由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S 底=(1+2)×2=3,h=2,12×∴V=Sh=3×2=6.5.B 解析 由题意得,输出的S 为数列的前3项和,而,{1(2n -1)(2n +1)}1(2n -1)(2n +1)=12(12n -1-12n +1)即S n =故当输入n=3时,S 3=,故选B .12(1-12n +1)=n 2n +1.376.A 解析 设直线l 与双曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则=0,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2‒(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2y 1-y 2x1-x 2=由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x 1+x 2=8,y 1+y 2=2,=1,b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).y 1-y 2x 1-x 2,e 2=1+e=故选A .∴b 2a 2=14b 2a2=54.∴52.7.C 解析 ∵f (1)=e 1-1=1,∴f (a )=1.若a ∈(-1,0),则sin(πa 2)=1,∴a=-若a ∈[0,+∞),则e a-1=1,22.∴a=1.因此a=1或a=-22.8.D 解析 (举反例排除)选项A 中,令a=b=10,c=-110,则|a 2+b+c|+|a+b 2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a 2+b 2+c 2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A 不成立;选项B 中,令a=10,b=-100,c=0,则|a 2+b+c|+|a 2+b-c|=0<1.而a 2+b 2+c 2=100+1002+0>100,故选项B 不成立;选项C 中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c 2|+|a+b-c 2|=0<1.而a 2+b 2+c 2=1002+1002+0>100,故选项C 不成立;故选D .9.2　解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b )i =a ,则所以=2.故答案为2.{1+b =a ,1-b =0,{a =2,b =1,即ab 10.-40　解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x )5-r (-1)r =(-1)r 25-r x 5-r.C r 5C r 5根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x 2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.C 35C 2511.3(2-)π　解析 ∵AO 1=R 1,C 1O 2=R 2,O 1O 2=R 1+R 2,333∴(+1)(R 1+R 2)=,R 1+R 2=,球O 1和O 2的表面积之和为4π()≥4π·23333+1R 21+R 22(R 1+R 22)2=2π(R 1+R 2)2=3(2-)π.312.2　解析 ∵4ρcos +1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2(θ-π6)3ρ3x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.|23×0+2×1+1|(23)2+22=34∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1　解析 由约束条件作出可行域如图,联立解得A (3,2),{y ≤3x -2,x -2y +1≤0,2x +y ≤8{x -2y +1=0,2x +y =8,的几何意义为可行域内的动点与定点P (1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA ==1.y x -12-03-114.②③　解析 由题意,AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由AC ⊥a ,AC ⊥b ,得AC ⊥圆锥底面,在底面内可以过点B ,作BD ∥a ,交底面圆C 于点D ,如图所示,连接DE ,则DE ⊥BD ,∴DE ∥b.连接AD ,在等腰三角形ABD 中,设AB=AD=,当直线AB 与a 成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又22.在Rt △BDE 中,BE=2,∴DE=,过点B 作BF ∥DE ,交圆C 于点F ,连接AF ,由圆的对称性可知2BF=DE=,∴△ABF 为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB 与b 成60°角,②正确,①错误.由最小角定2理可知③正确;很明显,可以满足直线a ⊥平面ABC ,直线AB 与a 所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2,B2故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=得sin B=,1517817故S △ABC =ac sin B=ac.12417又S △ABC =2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2=4.×172×(1+1517)所以b=2.16.解 (1)由已知a n =2a n-1-n+2(n ≥2,n ∈N *)得a 2=4,a 3=7.a n -n=2a n-1-2n+2,即a n -n=2[a n-1-(n-1)].=2(n ≥2,n ∈N *),且a 1-1=1,∵a n -na n -1-(n -1)∴{a n -n }是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n -n=(a 1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n ,∴bn ==1+a n2n -1n2n -1.设c n =,且前n 项和为T n ,n2n -1则T n =+…+,①120+221+322n2n -1T n =+…+,②12121+222+323n2n①-②,得T n =1++…+=2-12(12+122+12312n -1)‒n 2n =1-12n1-12‒n 2n 2+n 2n .故T n =4-,S n =n+4-2+n 2n -12+n 2n -1.17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD 1,由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.当λ=1时,P 是DD 1的中点,又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1,所以BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点,所以EF ∥BD ,且EF=BD.又DP=BQ ,DP ∥12BQ ,所以四边形PQBD 是平行四边形,故PQ ∥BD ,且PQ=BD ,从而EF ∥PQ ,且EF=PQ.12在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ 也是等腰梯形.1+λ2同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形.分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG ,则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO=O ,故∠GOH 是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF=MN 知四边形EFNM 是平行四边形.连接GH ,因为H ,G 是EF ,MN 的中点,所以GH=ME=2.在△GOH 中,GH 2=4,OH 2=1+λ2-=λ2+,OG 2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,(22)212(22)212由OG 2+OH 2=GH 2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,121222故存在λ=1±,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.22解法二 以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).BC 1FP FE (1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).FP 因为=(-2,0,2),BC 1所以=2,即BC 1∥FP.BC 1FP 而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由可得于是可取n =(λ,-λ,1).{FE ·n =0,FP ·n =0{x +y =0,-x +λz =0.同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22.故存在λ=1±,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.218.解 (1)由已知,有P (A )=C 13C 14+C 23C 210=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X=0)=,C 23+C 23+C 24C 210=415P (X=1)=,C 13C 13+C 13C 14C 210=715P (X=2)=C 13C 14C 210=415.所以,随机变量X 的分布列为X 012P 415715415随机变量X 的数学期望E (X )=0+1+2=1.×415×715×41519.(1)解 依题意,2c=a=4,∴c=2,b=23.∴椭圆C 的标准方程为=1.x 216+y 212(2)解 由(1)知F 1(-2,0),设P (x 0,y 0),M (x ,y ),过椭圆C 上点P 的切线方程为=1,①x 0x16+y 0y12直线F 1P 的斜率,则直线MF 1的斜率=-,k F 1P =y 0x 0+2k MF 1x 0+2y 0直线MF 1的方程为y=-(x+2),x 0+2y 0即yy 0=-(x 0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M 的轨迹方程为x=-8.(3)证明 依题意及(2),知点M ,N 的坐标可表示为M (-8,y M ),N (-2,y N ),点N 在切线MP 上,由①式得y N =,3(x 0+8)2y 0点M 在直线MF 1上,由②式得y M =,6(x 0+2)y 0|NF 1|2=,|MF 1|2=[(-2)-(-8)]2+,y 2N=9(x 0+8)24y 20y 2M=36[y 20+(x 0+2)2]y 20故|NF 1|2|MF 1|2=9(x 0+8)24y 20·y 2036[y 20+(x 0+2)2]=,③116·(x 0+8)2y 20+(x 0+2)2注意到点P 在椭圆C 上,即=1,x 2016+y 2012于是,代入③式并整理得,故的值为定值y 20=48-3x 204|NF 1|2|MF 1|2=14|NF 1||MF 1|12.20.(1)解 ∵f (x )=ln(1+x )+x 2-x ,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x )=+ax-1=a211+x x (ax +a -1)1+x.①当a=0时,f'(x )=-,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )<0,x1+x 则f (x )在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f (x )<f (0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=>0,1-aa 当x 时,f'(x )<0,则f (x )在区间内单调递减,∈(0,1-aa)(0,1-aa)此时,f (x )<f (0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x )=,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,x 21+x 则f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f (x )>f (0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=<0,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,1-aa 则f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f (x )>f (0)=0,符合题意.综上所述,a 的取值范围为[1,+∞).(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f (x )<0对x ∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x )<x 对x ∈(0,+∞)都成立,∴ln +ln +…+ln +…+,即ln …(1+1n 2)(1+2n 2)(1+nn 2)<1n2+2n2nn2[(1+1n 2)(1+2n 2)··(1+nn 2)]<1+2+…+nn 2=n +12n .由于n ∈N *,则=1.n +12n =12+12n ≤12+12×1∴ln <1.[(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)]<e .∴(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)由(1)可知,当a=1时,f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立,即x-x 2<ln(1+x )对x ∈(0,+∞)都成立,12+…+<ln +ln +…+ln ,∴(1n 2+2n 2+…+nn 2)‒12(12n 4+22n 4n 2n4)(1+1n 2)(1+2n 2)(1+n n 2)即n (n +1)2n 2‒12[n (n +1)(2n +1)6n 4]<ln ,[(1+1n 2)(1+2n 2) (1)n n 2)]得6n 3+4n 2-3n -112n 3<ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)].由于n ∈N *,则6n 3+4n 2-3n -112n 3=6n 3+(3n 2-3n )+(n 2-1)12n 3≥6n 312n3=12.<ln ∴12[(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)].∴e <(1+1n2)(1+2n2) (1)nn2).<e .∴e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)。