【5月宁德质检理数】2020届宁德市5月普通高中毕业班质量检查理科数学试卷及答案解析评分标准(5.4)

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷3至5页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ABCD ．22．设集合201x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B I = A ．{}21x x -≤<- B ．{}11x x -<≤ C ．{}21x x -≤< D ．{}11x x -≤<3．已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =A ．14±B ．14C ．116±D ．1164．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最大值为A ．2B ．5C ．6D ．7 5．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A ．53π B ．7π C ．323π D ．13π 6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个， 大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法．执行右图的程序框图，则输出的n = A ．25 B ．45 C ．60 D ．757．若a ，b 为空间两条不同的直线，α，β则a α⊥的一个充分条件是A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ 8．若实数x ，y ，满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，的大小关系是A ．<y <B ．x <<yC ．<x <yD ．<y <x9．已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为A ．3或13B ．0C ．13D ．310．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为 A B ． C ．4 D ．811．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，则A 的值为A ．3B ．2 CD12．已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a =+-∈R ，以下四个命题： ①当e a ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为 A ．②③ B ．①④ C ．①② D ．③④2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m m =-b ，若//a b ，则⋅a b = ．14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则1115f f +()()= ．15．若sin()2cos )4αααπ++，则sin2α= ．16．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =， 23πEBC?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．19．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．20．（12分）已知椭圆222210:()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．21．（12分）已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R ．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求的最小值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<，直线l 交圆C 于A ，B 两点，P 为AB 中点．（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅α的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11212x x m ++-?在R 上恒成立． （1）求的最大值M ． （2）若a ，b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围．2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17． 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分 所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分所以123n n T b b b b =++++L11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+L ]………………………………10分122(1)11nn n =-=++．………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分 所以//AF MN ，……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ， 矩形I ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥ 所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量，y因为(0,2,0)u u u r AD =，1,1)u u u rAE =--，所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分 解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ． 又矩形ABCD 中，M 为AB 中点， 所以//,AM DF AM DF =， 所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ， 所以//MF 平面AED ．………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ， 所以//FN 平面AED ．……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分 又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ， 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形I ABCD 平面EBC BC =所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =I ，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分 因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠=………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（1cos c C -=⋅，由正弦定理，得sin cos B C A C -……………1分又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos A =0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r………………………………9分所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--⋅……………………1分整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分 又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分 所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE .则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分 即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。

2020届福建省宁德市普通高中高三毕业班5月质量检查数学（理）试题一、单选题1．设集合{|ln 0}A x x =<，{|1}B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|01}x x << C ．{|11}x x -≤< D ．{|1}x x ≥【答案】B【解析】求解对数不等式，再求集合交集和补集即可容易求得. 【详解】因为集合{}|0{|01}A x lnx x x =<=<<，故{}1R C B x x =-， 则R A B =I ð{|01}x x <<. 故选：B. 【点睛】本题考查集合混合运算，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9S =（ ） A ．36 B ．70C ．72D ．144【答案】C【解析】利用等差数列下标和性质，求得5a ；再用等差数列前n 项和性质，即可容易求得. 【详解】根据等差数列的下标和性质，即可求得3752a a a +=，解得58a =； 又95972S a ==. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和的性质，属综合基础题.3．干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）A．己巳B．庚午C．壬戌D．癸亥【答案】A【解析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得. 【详解】模拟执行程序如下所示：====，不满足60429,1,366,2N i x ix≤，x i==，不满足60306,3x≤，==，不满足60246,4x ix≤，186,5==，不满足60x ix≤，==，不满足60126,6x ix≤，==，不满足60x i66,7x≤，x i==，满足606,8x≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.4．()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．50-B ．30-C ．50D ．30【答案】D【解析】根据3x 的产生，结合二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】对二项式()52x -，其通项公式()5152rrr r T C x -+=⋅-⋅，令1r =，可得4x 的系数为10-；令2r =，可得3x 的系数为40.则()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为104030-+=. 故选：D. 【点睛】本题考查通过二项式的通项公式求指定项的系数，属基础题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【答案】A【解析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得. 【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积211343V r h ππ=⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.6．已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭2cos21θθ=+，则cos θ=（ ）A ．0B ．12C D ．0【答案】A【解析】利用倍角公式，化简求得 【详解】2cos21θθ=+2cos cos θθθ=，即)0cos cos θθθ-=，因为,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故可得0cos θ=，或3tan θ=（舍）.故0cos θ=. 故选：A. 【点睛】本题考查正余弦的二倍角公式，涉及三角函数在每个象限的正负，属综合基础题.7．在复平面内O 为坐标原点，复数12),z i i z ==对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π12【答案】B【解析】利用复数运算，化简复数12,z z ，再求得对应点的坐标，利用勾股定理即可判断. 【详解】因为)11z ii ==-+，故(1Z =-，12z =；因为2122z i ===+，故2122Z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.容易知12122,1,OZ OZ Z Z === 满足勾股定理，故可得122Z OZ π∠=.故选：B. 【点睛】本题考查向量运算法则，复数模长的求解，复数对应点的坐标，属综合基础题. 8．函数()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,a ∈+∞C ．[)1,a ∈+∞D ．(,]a e ∈-∞【答案】C【解析】利用导数研究恒成立问题对应参数的范围，再根据充分性的要求，选取结果. 【详解】若()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立，等价于lnxa x≥恒成立. 令()lnx h x x =，故可得()21lnx h x x-'=， 故()h x 在区间()0,e 单调递增，在区间(),e +∞单调递减； 故()()1max h x h e e==. 故要满足()0f x ≥恒成立，只需1a e≥即可. 则()0f x ≥恒成立的一个充分不必要条件是集合1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的非真子集. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的充分不必要条件的判断，涉及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题. 9．已知O 为坐标原点，AB 是:C e 22(3)(4)1x y -+-=的直径.若点Q 满足2OQ =u u u r ，则QA QB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．15【答案】C【解析】求得点Q 的轨迹方程，利用向量运算，将问题转化为求圆外一定点到圆上一动点之间距离的最小值，则问题得解. 【详解】因为点Q 满足2OQ =u u u r，故Q 点是圆224x y +=上的一个动点； 故QA QB ⋅u u u r u u u r()()()2QC CA QC CB QC QC CA CB CA CB =+⋅+=+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21QC =-u u u r .又因为C 点坐标为()3,4是圆224x y +=外一点，而Q 为该圆上任意一点.故23minQC==u u u r .故21QC -u u u r 得最小值为8，即QA QB ⋅u u u r u u u r的最小值为8.故选：C . 【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求解，圆外一点到圆上任意一点距离的最值，向量的数量积运算，属综合中档题.10．方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】根据曲线的表达式，结合选项，研究其对称性，函数图像，则容易进行判断. 【详解】因为曲线方程为()222(1)(3)x x x x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点.事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质.故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性、函数图像的研究，属综合中档题11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．16πB．12πC．8πD．6π【答案】B【解析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得,a b等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接,AC BD交于M点，过M作MN//DE交EF于N点，交BE于O，连接OC.因为四边形ABCD 是正方形，故可得AC BD ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面EFBD ，且交线为BD ，又AC ⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面EFBD ，不妨设,CD a DE b ==， 故可得多面体ABCDEF 的体积211222333EFBD V S AC ab a a b =⨯==； 则221633a b =，解得28b a=； 又容易知多面体外接球的球心在四边形ABCD 外心的垂线上，且为MN 的中点O ，设外接球半径为R ，则222222221211224R OC OM MC b a b ⎫⎛⎫==+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 将28b a =代入可得2241162R a a=+，不妨令2,(0)a t t =>，则221162y R t t ==+，则31322y t=-'，容易知y '是关于t 的单调增函数，且当4t =时，0y '=，故可得221162y R t t==+在()0,4上单调递减，在()4,+∞单调递减.故211643216min min y R ==⨯+=. 则外接球表面积的最小值2412min min S R ππ==.故选：B. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 为曲线C 右支上的点，点M 在12F PF ∠外角平分线上，且20F M PM ⋅=uuuu r uuu r.若2OF M △恰为顶角为120o 的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．3【答案】D【解析】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，根据几何关系，求得P 点坐标，代入双曲线方程可得,a c 齐次式，则问题得解. 【详解】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，连接OM ，过P 作12PH F F ⊥，如下所示：不妨设12,PF m PF n ==，因为2PM MF ⊥，且PM 为2F PQ ∠的角平分线，故可得2F PM QPM ≅n n ， 故可得2PQ PF n ==，且M 为2F Q 的中点；因为2OF M n 为顶角120︒的等腰三角形，故可得22OF F M c ==， 由余弦定理可得22222221203OM OF F M OF F M cos c =+-⨯⨯⨯︒=， 在12F F Q n 中，因为,O M 分别为122,F F F Q 的中点，故1223FQ OM c ==； 根据双曲线定义可知：122PF PF a -=，即2m n a -=； 又121223PF PF PF PQ OM m n c +=+==+=； 联立可得3;3m a c n c a ==-； 因为2OF M n 为顶角120︒的等腰三角形故在直角三角形1PF H 中，1230PF H MOF ∠=∠=︒则11122PH PF m ==，由勾股定理可得1F H = 故可得P点坐标为1,2c m ⎫-⎪⎪⎝⎭，即⎝⎭，代入双曲线方程可得：())()()2222222244c a c aaa c a +-⨯-⨯=-，整理得：323250c a c +--=， 同除3a可得3250e e +--=，分解因式可得()240e e++=，解得e =e =（舍去负根），则e =故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义，属综合困难题.二、填空题13．若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y =【解析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =， 则抛物线方程为：22x y =. 故答案为：22x y =. 【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14．记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，212n n n a a a ++=⋅.若11a =，37S =，则5a =___________.【答案】16【解析】由等比数列的基本量，列出方程，求得首项和公比，则问题得解.【详解】因为212n n n a a a ++=⋅，故可得数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则由11a =，37S =可得：21117a a q a q ++=，解得3q =-（舍）或2q =；故可得45116a a q ==.故答案为：16.【点睛】本题考查等比中项的应用，等比数列基本量的计算，属基础题.15．宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染(分别用,m n 标注).目前得 知这组数据的平均值为58，则方差2S 最大时m n -的值为_________.【答案】8-【解析】根据平均数求得,m n 之间的关系，利用线性规划，即可容易求得最值.【详解】 由题可知()15853535556506064658m n =+++++++++， 解得8m n +=. 故其方程()()2222222221553282678S m n ⎡⎤=++++-++++⎣⎦， 故要使得其最大，只需()()2282z m n =-++最大即可.又因为8,,,08,08m n m n Z m n +=∈≤≤≤≤，故用线性规划的思路，求目标函数()()2282z m n =-++的最大值.而目标函数表示点(),m n 到点()8,2-距离的平方，数形结合可知，当且仅当目标函数过点()0,8时取得最大值.即当0,8m n ==时，2S 取得最大值.此时8m n -=-.故答案为：8-.【点睛】本题平均数和方差的计算，涉及非线性目标函数最值的求解，属综合中档题.16．已知函数12,0,()2,0.1x x e x f x x x x +⎧⋅⎪=⎨>⎪+⎩… 若关于x 的不等式2()2()20f x af x a -++≤的解集非空，且为有限集，则实数a 的取值集合为___________.【答案】{1,3}-【解析】利用导数，研究()f x 的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合()f x 的函数图像，即可分类讨论求得.【详解】当0x ≤时，1x y xe+=，则()11x y e x +'=+，令0y '=，解得1x =-， 容易得1x y xe +=在区间(),1-∞-单调递减，在区间()1,0-单调递增，且在1x =-时，取得极小值，即1y =-；且0x ≤时，0y ≤；当0x >时，221x y x =+，则()()()22111x x y x -+-'=+，令0y '=，解得1x =， 容易得221x y x =+在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减，且在1x =时，取得极大值，即1y =；且0x >时，0y >；故()f x 的模拟图像如下所示：综上所述：()f x 的值域为[]1,1-.令()f x t =，则2220t at a -++≤，其2448a a =--n ，对称轴为t a =： 当0<n 时，显然关于t 的二次不等式解集为空集，不满足题意；当0=n ，即2a =或1a =-时，若2a =，显然关于t 的二次不等式的解集为2t =，又()2f x t ==，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为空集，不满足题意；若1a =-，关于t 的二次不等式的解集为1t =-，又()1f x t ==-，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为{}1-，满足题意；当0>n ，即1a <-或2a >时，令2220t at a -++=，解得22122,2x a a a x a a a =--=--显然12x x <，故此时关于t 的不等式的解集为[]12,x x ，数形结合可知，要满足题意，只需11x =或21x =-. 即221a a a --=，解得3a =，满足1a <-或2a >； 或221a a a --=-，解得1a =-，不满足1a <-或2a >，舍去；综上所述，要满足题意，则1a =-或3a =.故答案为：{}1,3-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.三、解答题 17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，33AB =3CD =，1cos 7BDC ∠=-，3C π∠=.（1）求sin DBC ∠；（2）求AD 的长.【答案】（1）3314.（2）7 【解析】（1）利用sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠，结合已知，即可容易求得； （2）在BDC ∆中，由正弦定理求得BD ；再在ABD ∆，由余弦定理求解AD .【详解】（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =∠在BDC ∆中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=，所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅431133327-= （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C=∠， 333=，解得7BD = 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=， 在ABD ∆中，33AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2233(33)7233749=+-⋅= 解得7AD =【点睛】本小题主要考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想､函数与方程思想等.18．如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4,DD CD '== 2AD =，3BAD π∠=，且D ¢在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）过D H '作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）若点P 满足D P D C λ'''=u u u u r u u u u u r ，试求λ的值，使二面角P BH A --为34π. 【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析（2）1【解析】（1）根据题意，取BC 中点为N ，只需HN BC ⊥即可，结合已知，即可容易说明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角大小，从而求得λ的方程，解方程即可求得结果.【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '.在HNC ∆中，222cos 33NH NC CH NC CH π=+-⋅⋅=所以222HC NC HN =+，因此2HNC π∠=，即NH BC ⊥，因为'D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，所以D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以D H BC '⊥，又NH BC ⊥，D H NH H '=I ，,D H NH '⊂平面D HN '，所以BC ⊥平面D HN '，因此，点N 即为所求，平面D HN '即为α（2）证明：由题（1）知可得HN BC ⊥，//HN DB ，//AD BC ，所以AD BD ⊥分别以,DA DB u u u r u u u r 为,x y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 23HD '=，(0,0,0)D ，(1,3,0)H -， (0,23,0)B ，(1,3,23)D '-，(2,23,0)C -，(3,33,23)C '-，所以 (2,23,0)(2,23,0)D P D C λλλλ'''==-=-u u u u r u u u u r易得平面AHB 的一个法向量为()0,0,1m =r3,0),3)HB HD u u u r u u u u r '==，(2,23,23)HP HD D P λλ''=+=-u u u r u u u u r u u u u r设n =r(,,)x y z 为平面PBH 的一个法向量，则： 00n HB n HP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即得30223230x x y z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩， 令3x =3,1,2)n λ=-，因为二面角P BH A --为34π， 所以3|cos ,||cos |4m n π<>=u r r ，即||2||||||m n m n ⋅=⋅u r r u r r ，2=，又因为二面角P BH A--的大小为钝角，故1λ=【点睛】本题主要考查空间直线与直线､直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等. 19．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，12,F F分别为椭圆的左､右焦点，点P为椭圆C上的一动点，12PF F△面积的最大值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）直线2PF与椭圆C的另一个交点为Q，点()A，证明：直线PA与直线QA 关于x轴对称.【答案】（1）22142x y+=.（2）证明见解析【解析】（1）根据离心率和12PF F△面积的最大值为2，即可列出,,a b c方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QAk k=-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，所以2cea==，即222c a=，又222a b c=+，所以b c=，因为12MF F∆面积的最大值为2，所以1222c b⋅⋅=，即2c b⋅=，又因为b c=，所以b c==24a=，故椭圆C的方程为22142x y+=（2）由（1）得2F，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则1212222y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩，记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力， 20．已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =-+-(a R ∈). （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证： 3226(1ln )23501x x x x x-+--<-. 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数正负，即可判断函数单调性；（2）构造函数32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，利用导数判断其单调性和最值，即可容易证明.【详解】（1）定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x---+-'=-+-=-=- 当0a ≥时，10ax +>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞；当0a <时，令()0f x '=，得1x =或1x a=-， 当1a =-时，2(1)()0x f x x-=≥'恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；所以函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，11a->， 所以函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞； 当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，22()666ln 666(ln )h x x x x x x x '=--+-=--+，由（1）可知，当2a =时，2()ln f x x x x =-+， 且()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，所以()h x '的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，故()(1)0h x h ''≥=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增又(1)6(1ln1)2350h =-+--=，所以当01x <<时，()0h x <，1x >时，()0h x >；又当01x <<时，210x ->，1x >时，210x -<所以3226(1ln )23501x x x x x -+--<- 【点睛】本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想､数形结合思想等. 21．某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布2(,3.2)N μ，其中μ近似为样本平均数x (同一组数据用该组区间的中点值作代表). （1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2） 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若n P 表示A 的概率，1231(3,,4n n n n P aP P bP n a b ---=++≥为常数)，且0121P P P ===. （ⅰ）求3P ，4P 及a ，b ；（ⅱ）判断并证明数列{}n P 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义. (参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】（1）11.4万.（2）（ⅰ）378P =，41316P =，12a =，18=b .（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析【解析】（1）由直方图求得x 的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于1820元的概率，再乘以500即可；（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得34,P P ，再列出,a b 方程，即可求得；（ⅱ）根据递推公式计算1n n P P +-，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释.【详解】（1）直方图可得()0.012540.0580.1375120.375160.12520411.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∵11.8x μ==， 3.2σ=，218.2μσ+=∴旅游费用支出不低于1820元的概率为1(22)10.9544(2)0.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===， ∴5000.022811.4⨯=，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元.（2）（ⅰ）317188P =-=， 4211311616P +=-=， 所以321043211,41,4P aP P bP P aP P bP ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩即71,841371,1684a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 解得1,21.8a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减123111(3)248n n n n P P P P n ---=++≥， 故1n n P P +-12123111111248248n n n n n n P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12311112488n n n n P P P P ---=---12312311111112248488n n n n n n P P P P P P ------⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭3116n P -=- 又0n P >，所以31016n P --<， 即从第三项起数列{}n P 单调递减.由此，可知随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ” 的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)【点睛】本小题主要考查频率分布直方图､平均数､正态分布､随机事件的概率､数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查分类与整合思想､统计思想､化归与转化思想.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=.（1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2曲线2C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y ，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos2sinxθθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cosxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为P为AB中点，所以cosθ⎛⎝⎭P，则点P到直线l72sinπθ⎛⎫-+⎪=当sin16πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭时，72sin6πθ⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值5，故AB中点P到直线l【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.23．已知函数()1,f x x m x m N*=-++∈. 若存在实数x使得()3f x<成立.（1）求m的值；（2）若,0αβ>，()()411mαβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94【解析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x使得()3f x<成立等价于存在实数x使得12-++<x m x成立，而111x m x x m x m-++≥---=+，当且仅当()()10x m x-+≤时取得.故存在实数x使得()3f x<成立等价于13m+<，解得42m-<<，又因为*m N∈，则1m=（2）由（1）得1m=，故()()4111αβ--=，所以1141βα=+-，由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17． 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分 所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分 所以//AF MN ，……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ， 矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量， 因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--， 所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ． 又矩形ABCD 中，M 为AB 中点， 所以//,AM DF AM DF =， 所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ， 所以//MF 平面AED ．………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ， 所以//FN 平面AED ．……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分 又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ， 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分 因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -……………1分 又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE . 则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分 即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。

1
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13．22x y = 14．16 15．-8 16．{1,3}-
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换
等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、
函数与方程思想等．满分12分．
解：（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =
∠.……………………………………2分 在BDC ∆中，,3C DBC C BDC π∠∠+∠+∠=π=， 所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠…………………………………………………………3分 sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅……………………………………………………4分 431133327=
⋅-⋅=. …………………………………………………………5分 （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠，…………………………………6分 即33
3=，解得7BD =.…………………………………………………………8分 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=，……………9分。

1绝密★启用前福建省宁德市普通高中2020届高三毕业班下学期5月质量检查数学(理)试题2020年5月4日本试卷共23题，共150分，共6页． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|ln 0}A x x =<,{|1}B x x =≤-,则A B R I ð=A ．{|11}x x -<< B. {|01}x x << C. {|11}x x -≤< D. {|1}x x ≥ 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33a =,713a =,则9S =A ．36B ．70C ．72D ．1443．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称,“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元1988年,即输入1988N =,执行 该程序框图,运行相应的程序,输出5x =,从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年,2则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥4． ()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中,3x 的系数是A ．50-B ．30-C ．50D ．305．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π 6．已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,2cos21θθ=+,则cos θ=A ．0B ．12CD ．07．在复平面内O 为坐标原点,复数1i)z =,2z =对应的点分别为1Z ,2Z ,则12Z OZ ∠的大小为 A ．512π B ．12π C ．712π D ．1112π 8．函数()ln 0f x ax x =-≥ ()a ÎR 恒成立的一个充分不必要条件是A ．1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,a ∈+∞C ．[)1,a ∈+∞D ．(,e]a ∈-∞9．已知O 为坐标原点,AB 是:C e 22(3)(4)1x y -+-=的直径．若点Q 满足2OQ u u u v=,则QA QB ⋅u u u v u u u v的最小值为A ．2B ．3C ．8D ．15 10．方程()22:2(1)(3)e e x x x x y ----=+的曲线有下列说法：六十干支表（部分）正视图侧视图俯视图。

福建省宁德市届高三质量检查数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，那么〔〕A．N⊊M B．M∪N=N C．M=N D．M∩N=∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可．解答：解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}，∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣1≤x≤2}=N，应选B．点评：此题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．〔5分〕〔•宁德模拟〕x，y∈R，那么“x=y〞是“|x|=|y|〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：此题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y〞成立，然后判断“|x|=|y|〞是否一定成立；然后假设“|x|=|y|〞成立，再判断“x=y〞是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“x=y〞成立时，“|x|=|y|〞一定成立，即“x=y〞⇒“|x|=|y|〞为真假命题；但当“|x|=|y|〞成立时，x=±y即“x=y〞不一定成立，即“|x|=|y|〞⇒“x=y〞为假命题；故“x=y〞是“|x|=|y|〞的充分不必要条件应选A点评：判断充要条件的方法是：①假设p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的充分不必要条件；②假设p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q 的必要不充分条件；③假设p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q的充要条件；④假设p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分〞的原那么，判断命题p与命题q的关系．3．〔5分〕〔•宁德模拟〕角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边经过点〔，〕，那么tanθ等于〔〕A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，根据三角函数的第二定义，终边过〔x，y〕的点tanθ=，代入可得答案．解答：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，故tanθ==应选B点评：此题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键．4．〔5分〕〔•宁德模拟〕一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如以以下图，那么这个三棱柱的侧视图的面积为〔〕A．4B．2C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积．解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S==1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：1×4=4．应选D．点评：此题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力．5．〔5分〕〔•宁德模拟〕以下函数f〔x〕中，满足“∀x1，x2∈〔0，+∞〕且x1≠x2，〔x1﹣x2〕[f〔x1〕﹣f〔x2〕]＜0“的是〔〕A．f〔x〕=2x B．f〔x〕=|x﹣1| C．f〔x〕=﹣xD．f〔x〕=ln〔x+1〕考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易得所求函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在〔1，+∞〕单调递增；C符合题意；D在〔﹣1，+∞〕上单调递增，可得答案．解答：解：由题意可得函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f〔x〕=，故函数在〔1，+∞〕单调递增，不合题意；选项C，由f′〔x〕=＜0可知函数在〔0，+∞〕上为减函数，符合题意；选项D，函数在〔﹣1，+∞〕上单调递增，故不合题意，应选C点评：此题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属根底题．6．〔5分〕〔•宁德模拟〕曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为〔〕A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数﹣x在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到此题答案．解答：解：∵曲线y2=x和曲线y=x的交点为A〔1，1〕和原点O ∴曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=〔﹣x〕dx=〔﹣x2〕=〔〕﹣〔〕=应选：A点评：此题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于根底题．7．〔5分〕〔•宁德模拟〕m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m．其中正确命题为〔〕A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：结合图形演示判断①是否正确；根据面面垂直的判定定理判断②是否正确；根据线面垂直的性质判断③是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断④是否正确．解答：解：①如图平面α、β的关系不定，故①错误；②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m⊂α∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m⊂α，∴m⊥n，③正确；④α⊥β，n⊥β，∴n⊂α或n∥α．m⊂α，∴m、n的位置关系不确定．应选B点评：此题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系．8．〔5分〕〔•宁德模拟〕平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，那么他的建系方式是〔〕A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项．解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为〔0，〕．所以该同学建系方式是C．应选C．点评：此题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答．9．〔5分〕〔•宁德模拟〕在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC ，且=2，那么AC+2AB的最小值为〔〕A．4B．4C．4D．4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由结合正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A ，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用根本不等式可求解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得，cosA==∴∵=2，由数量积的定义可知，∴bc=4∴AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号应选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及根本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解此题的关键．10．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设函数f〔x〕对于任意x∈[a，b]，恒有|f〔x〕﹣f〔a〕﹣〔x﹣a〕|≤T〔T为常数〕成立，那么称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞．以下函数中：①f〔x〕=2x+1；②f〔x〕=x2；③f〔x〕=；④f〔x〕=x3．那么在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞的函数的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近〞的定义，从而得出结论．解答：解：f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|0|≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x2 在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|〔x﹣1〕〔x﹣2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣2〕≤，故f〔x〕=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|+﹣|=﹣〔+〕≤﹣2=﹣≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x3在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|x3﹣7x+6|=|〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕，由于﹣〔x3﹣7x+6〕的导数为﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为增函数，同理可得在[，2]上，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为减函数，故﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕的最大值为〔﹣1〕〔3﹣〕〔+2〕＞，故不满足“级线性逼近〞，故不满足条件．应选C．点评：此题主要考查新定义：“T级线性逼近〞的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设〔1+ai〕i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，那么a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值．解答：解：由〔1+ai〕i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，那么a=3．故答案为3．点评：此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是根底题．12．〔4分〕〔•宁德模拟〕运行如以以下图的程序，输入3，4时，那么输出 4 ．考点：伪代码．专题：函数的性质及应用．分析：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案．解答：解：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足a≤b故m=b=4故答案为：4点评：此题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．13．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，那么t的值等于﹣2或6 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化为：〔x﹣1〕2+〔y﹣3〕2=16．圆心到直线的距离为d==4=2，解得t=﹣2或t=6．故答案为：﹣2或6点评：此题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于根底题．14．〔4分〕〔•重庆〕变量x，y满足约束条件．假设目标函数z=ax+y〔其中a＞0〕仅在点〔3，0〕处取得最大值，那么a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：此题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如以以下图，其中B〔3，0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕，假设目标函数z=ax+y仅在点〔3，0〕取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比拟，即可得到目标函数的最优解．15．〔4分〕〔•宁德模拟〕某种平面分形如以以下图，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，依题意a1=3，a2=3+2×3×=3+2，a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+，a4=3+2++，…，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，∴a n==9﹣9•．故答案为：9﹣9•点评：此题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法．数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．〔13分〕〔•宁德模拟〕二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，且f〔﹣1〕=﹣1．〔I〕求函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：〔I〕由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f〔﹣1〕=﹣1，可得a值，进而可得函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，可得区间[﹣2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：〔I〕∵二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，故函数f〔x〕的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f〔﹣1〕=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f〔x〕=﹣2x2+1〔II〕由〔I〕得g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x=﹣2x2+〔2﹣k〕x+1 故函数g〔x〕的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g〔x〕在[，+∞〕上单调递减，又∵函数g〔x〕在区间[﹣2，2]上单调递减，∴≤﹣2解得k≥10故实数k的取值范围为[10，+∞〕点评：此题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．〔13分〕〔•宁德模拟〕函数，f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔I 〕求函数y=f〔x〕的最值及其单调递增区间；〔II 〕函数f〔x〕的图象可以由函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔I〕利用降次升角公式，及和差角公式〔辅助角公式〕，可将函数y=f〔x〕的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f〔x〕的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．〔II〕根据函数图象的变换法那么，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．解答：解：〔I〕∵f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin〔2ωx ﹣〕+1又∵ω＞0，f〔x〕的最小正周期为π故ω=1故f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1∵A=2，B=1故函数y=f〔x〕的最大值为3，最小值为﹣1由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数y=f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，〔k∈Z〕〔II〕将函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象；再将函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1的图象．点评：此题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．18．〔13分〕〔•宁德模拟〕椭圆E：〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．〔I〕假设点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；〔II〕假设0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？假设存在，求出点P 的个数；假设不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕椭圆的左焦点F在直线l：x﹣y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，那么椭圆E的方程可求；〔Ⅱ〕假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[﹣a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．解答：解：〔Ⅰ〕∵F〔﹣c，0〕在直线l：x﹣y+1=0上，∴﹣c+1=0，即c=1，又，∴a=2c=2，∴b=．从而椭圆E的方程为．〔Ⅱ〕由，得，∴，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A〔a，0〕，假设椭圆E上存在点P〔x0，y0〕〔﹣a≤x0≤a〕，使得，∵点P〔x0，y0〕在椭圆上，∴，由====1．解得：x0=a±2，∵0＜a＜1，∴x0=a±2∉[﹣a，a]，故不存在点P，使得．点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为条件进行推理，得出正确的等式关系那么假设成立，肯定结论，否那么假设不成立，否认结论．此题是中档题．19．〔13分〕〔•宁德模拟〕如图〔1〕，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图〔2〕．〔I〕求证：EA⊥B′B；〔II〕线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；〔III〕求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：〔I〕通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；〔II〕存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；〔III〕通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．解答：解：〔Ⅰ〕证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′⊂平面ABB′，∴EA⊥B′B；〔Ⅱ〕解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD 交于N，连结B′N．∵AB∥DE且AB=DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，又∵EM⊄平面DBB′，B′N⊂平面DBB′，∴EM∥平面DB′B．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E﹣xyz，如以以下图那么D〔1，0，0〕，B′0，，1〕，E〔0，0，0〕，C〔﹣1，0，0〕所以=〔﹣1，，1〕，=〔﹣2，0，0〕设面DCB′的法向量为=〔x，y，z〕，那么，⇒不妨设=〔0，1，〕…〔10分〕设面AB′B的法向量=〔0，1，0〕，所以cos==所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…〔12分〕．点评：此题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．〔14分〕〔•宁德模拟〕一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M 的局部销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台〔t为常数〕，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．〔I〕假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．〔II〕假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：〔I〕由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a n}，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多〔1≤n≤30，n∈N*〕．根据〔I〕前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．解答：解：〔I〕根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t 的等差数列{a n}，∵，∴，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=15×2+=450台．…〔6分〕〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N*由〔I〕，假设商家在11月1日至15日之间未提价，那么这15天家电M的总销售量为450台，而450＞414不符合题意，故n＜15；假设n=5，那么S15=5×2++10×16+=120＜414，也不符合题意，故n＞5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n﹣4，公差为﹣2的等差数列．…〔10分〕∴S15=[2n+]+[〔15﹣n〕〔4n﹣4〕+]=﹣3n2+93n﹣270由条件，得S15=414，即﹣3n2+93n﹣270=414解之得n=15或n=19〔舍去19〕∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．点评：此题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的根本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．21．〔14分〕〔•宁德模拟〕函数f1〔x〕=x2，f2〔x〕=alnx〔a∈R〕•〔I〕当a＞0时，求函数．f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕的极值；〔II〕假设存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，求实数a的取值范围；〔III〕求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．〔说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…〕考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：〔I〕求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么问题转化为g〔x〕min≤0即可，再利用导数工具得出g′〔x〕，对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的范围，最后综上得到实数a的取值范围即可；〔III〕问题等价于x2lnx＞，构造函数h〔x〕=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f〔x〕min＞h〔x〕max，即可证得结论．解答：解：〔I〕f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕=x2alnx，∴f′〔x〕=axlnx+ax=ax〔2lnx+1〕，〔x＞0，a＞0〕，由f′〔x〕＞0，得x＞e，由f′〔x〕＜0，得0＜x＜e．∴函数f〔x〕在〔0，e〕上是增函数，在〔e，+∞〕上是减函数，∴f〔x〕的极小值为f〔e〕=﹣，无极大值．〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么g〔x〕min≤0即可，又g′〔x〕=x+﹣〔a+1〕=，①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，e]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔1〕=﹣〔a+1〕≤0，得﹣≤a≤1．②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，a]上是减函数，由x∈[a，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，a]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔a〕=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a〔1﹣lna〕≤0恒成立，得1＜a＜e．③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，e]上是减函数，∴g〔x〕min=g〔e〕=〕=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．综上，实数a的取值范围a．〔III〕问题等价于x2lnx＞，由〔I〕知，f〔x〕=x2lnx的最小值为﹣，设h〔x〕=，h′〔x〕=﹣得，函数h〔x〕在〔0，2〕上增，在〔2，+∞〕减，∴h〔x〕max=h〔2〕=，因﹣＞0，∴f〔x〕min＞h〔x〕max，∴x2lnx＞，∴lnx﹣〔〕＞0，∴lnx+﹣＞0．点评：此题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．。