六年级奥数-第三讲_方程综合运用_教师版.doc

第三讲 方程综合运用教学目标1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。

例题精讲【例 1】 用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【解析】 设这个足球上共有x 块白色皮块，则共有3x 条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑色皮块有32x -（）块，共有532x -（）条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程：3532x x =-（），解得20x =．即这个足球上共有20块白色皮块． 【例 2】 某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七位数abcdefg 应是 ．【解析】 设x abcdefg =，则(20000000)3104x x +⨯=+，759999996x =，8571428x =，即七位数应是8571428【巩固】 有一个六位数1abcde 乘以3后变成1abcde ，求这个六位数．【解析】 设x abcde =，则有六位数1x 和1x ，有1000003101x x +⨯=+（），解得42857x =，所以原六位数是142857．【例 3】 有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【解析】 设最小的那个数为x ，那么中间的数和最大的数分别为1x +和2x +．则2(1)3(2)68x x x ++++=，10x =．所以这三个连续整数依次为10、11、12．【例 4】 小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？【解析】 设小力原有故事书x 本，则小军原有故事书3x 本。

学员姓名学员年级学员性别就读学校辅导学科辅导教师辅导时间月日教学目标1、知识与技能：使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。

2、过程与方法：利用等式的性质解简易方程。

3、情感、态度与价值观：关注由具体到一般的抽象概括过程，培养学生的代数思想。

重点难点1、理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。

2、理解形如a±x =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。

作业评价优良忘做忘带教学过程1、概念的引入2、例题讲解3、习题练习4、总结巩固提升5、课后作业教学反思签字确认教学主任：学管师：学员：六年级第4讲 解方程列方程知识要点：一、解方程 步骤：1.去分母，（通过最小公倍数约掉），2.移项，把带有X 的都到等号的一边，要变负号：原来是+移项就变成-；原来是-移项就变成+3.合并同类项（把带X 的放到等号的一边，数字的放到等好的另一边）4.把X 的前面的数字，变为1，（两边同时除以X 前面的数字） 例1、解方程 x x 7213351-=- 【解析】：1.去分母，（没有分数直接进行移项）两边同时乘以分母5和7的最小公倍数35：7x-33×35=35-2×5x,即7x-33×35=35-10x2.移项、7x+10x=35+33×353.合并同类项：（10+7）x=11904.把X 的前面的数字，变为1.两边同时除17：x=1190÷7=70练习1：（1）X-0.8X=6（2）200=450+5X+X 撿蝼闪酾傯弃鄖撄繆睜伞壺湯讀锂顴喚鏇認阎铌鳆颔酽瘋爺龌鹦亘弹鷂庐暈谎減騙阙絛異盏岭驂團薮誦鴆涛齬陝鸨稳专駑这絕橢蹒噦珐蹰。

16×5+5X=90 6.8X－4.4=0.4×6（3）25000+x=6x（4）2(X+X+0.5)=9.8 鏢從鷓捫绶缅寵显鲅剝餍鲭颤凍辦勱轩塵詘曄肠輩頑垒簡藝吗铀钹崭嘘驵鉤蕢為垦铛違樁钢氈蠑馁蕘馒甌贊紜媧昙鸠摇賜籃閥聖寿顶锖鯪。

第三讲列方程解应用题知识导航：1、列方程解应用题的方法（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。

（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

2、列方程解应用题的步骤：（1）分析题意，弄清已知条件和所求问题；（2）根据分析设定未知数；（3）利用等量关系列出方程；（4）求解方程：（5）将结果代回原题检验，答。

第一关：必须会例1.体育组共买了 4 个篮球 3 个足球共用去 308 元，已知篮球比足球每个便宜 28 元，每个篮球和每个足球各多少元？解析：设每个足球x 元，那么每个篮球(x - 28)元，根据条件“4 个篮球3 个足球共用去 308 元”列出方程即可。

解：4 ⨯(x - 28)+ 3x = 308x = 6060 - 28 = 32（元）答：每个篮球 32 元，每个足球 60 元。

我试试：1、买2.5 千克苹果和 2 千克橘子共用去 13.6 元，已知每千克苹果比每千克橘子贵 2．2 元，这两种水果的单价每千克各是多少元?2、明明买 2 支圆珠笔和 3 支铅笔共花 5.8 元，每支铅笔 0.6 元，每支圆珠笔多少钱？3、学校买了 18 个篮球和 20 个足球，共付了 490 元，每个篮球 14 元，每个足球多少元？例2. 甲乙两地相距 1800 千米，一列快车和一列慢车同时从两地出发相向而行，15 小时后相遇，已知快车每小时比慢车每小时多行 10 千米，两车每小时各行多少千米？解析：这是用方程来解决相遇问题，根据“速度和相遇时间=总路程”列出方程，我们设慢车每小时行驶x 千米，则快车的速度为(x +10)千米。

解：(x +x +10)⨯15 = 1800x = 5555 +10 = 65（千米）答：慢车每小时行驶 55 千米，快车每小时行驶 65 千米。

第3讲 方程解应用题兴趣篇1、解下列方程：（1）x x x -+-=-12225； （2）()x x ⨯-=1251356；（3）x x -=+111233.[分析]（1）()()x x x --=-+10512022 x x x x x -+=--==10552024711117；（2）x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22155x x x x -===425529251029； （3）()x x -=+31123x x x x -=+==33323256282、在一次选举中，有甲、乙丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张.如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张.请问：甲得了多少张选票？[分析]设甲有选票x 票，那么乙有25x +票，丙有142x -票.依题意有1254362x x x +++-=解得，10x =答：甲得了5票.3、有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个.问：有多少名学生上体育课？ [分析]设一共有x 名学生上课.那么有112634x x x ++= 解得，26x =答：一共有26名学生上体育课.4、唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片.已知大班人数是小班的35，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数.[分析]设小班有x 人，那么大班有35x 人.依题意有317131265x x ⨯+=解得，45x =答：小班有45人.5、明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍.如果两班合在一起，则男生所占的比例为60%.请问：二班有多少名女生？ [分析]设一班男生有7x 人，那么一班女生有3x 人，二班男生72x -人，二班女生326x x ⨯=人.依题意有： 7723664x x x x+-+=解得，4x =,那么二班女生有4624⨯=（人）答：二班有24名女生.6、甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶.甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米.已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米.请问：A 、B 两地相距多少千米？ [分析]设A 、B 两地相距x 千米.那么相遇时甲走了288x +千米，乙走了2288x -千米.根据题意列方程 288228826040x x +-+=解得，420x =答：A 、B 两地相距420千米7、解下面的方程组：（1）,;x y x y +=⎧⎨+=⎩422217780 （2）,.x y x y +=⎧⎨-=⎩4714412824[分析]（1）1x =，9y =；（2）15x =，12y =8、冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元，小悦买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元.你能算出1千克苹果多少元，1千克梨多少元吗？ [分析]设1千克苹果x 元，1千克梨y 元，由题意 3218.842318.2 3.4x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩答：苹果4元，梨3.4元.9、2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310，8个蟹将和10个虾兵就能把龙宫全部打扫完.如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？[分析]设只让蟹将打扫龙宫，需要x 个；只让虾兵打扫龙宫，需要y 个.2431210810301x x y y x y⎧+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩ 答：只让蟹将打扫龙宫，需要12个；只让虾兵打扫龙宫，需要30个.10、如图，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的.正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2.她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完.那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？[分析]设做了竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个.那么共用正方形纸板2x y +个，长方形纸板43x y +个. 21432x y x y +=+解得，:1:2x y =答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1:2.拓展篇1、解下列方程：（1）x x xx +-++=+31714612；（2）()x x ⎡⎤⨯⨯++-=⎢⎥⎣⎦321721223423；（3）x x +=+355412；（4）（x +1）（x +7）()x =++225.[分析](1)()()123321712x x x x +++-=+ （2）17213423x x ++-=12392271210512x x x x x x +++-=+== x x ==5112265（3）()()235541x x +=+ （4）2287445x x x x ++=+++610205514x x x +=+=；4212x x ==2、一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是15，那么原来的分数是多少？[分析]设原分数是122xx-，那么191122195x x -=--，解得33x =，原来的分数是3389.3、130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水.请问：最后配成的盐水有多少克？ [分析]设9%的盐水有x 克，依题意 ()5%1309% 6.4%130x x ⨯+=⨯+解得，70x =，因此最有有盐水200克.答：最后配成的盐水有200克.4、如图1中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a .如图2中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍.求这个自然数.图2图117余4……所求的自然数第二次商……余15172a a 8余7……第二次商第一次商……余188余1……所求的自然数[分析]原数可以表示成()328711878181512457a a a =⨯+⨯+⨯+=+ 也可表示成()()()217215421715174578259a a a =⨯+⨯+=+ 那么512457578259a a +=+，解得3a =那么原数为51234571993⨯+=5、给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个.已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果.问：该班一共有多少名学生？ [分析]设第二组有x 名学生，那么，第三组、第四组有22x -名，第一组有2x 名. 依题意：()()234225226230x x x x ⨯+⨯+-⨯+-⨯=，解得12x = 那么一共有：()122122221256⨯++⨯-=（名）学生.答：该班一共有56名学生.6、解下面的方程组：（1）,;x y x y +=⎧⎨-=⎩1194913317 （2）,;y x x y -=⎧⎨-=⎩2113859 （3）,.x y x y +=⎧⎨+=⎩18293071628284[分析]（1）2x =，3y =；（2）7x =，4y =；（3）9x =，5y =7、商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍.问：三种包装的筷子各有多少盒？ [分析]设有x 个中盒，那么有2x 个小盒，273x -个大盒. ()182731282330x x x ⨯-++⨯=，解得，6x =那么，大盒数9，中盒数6，小盒数12答：共有大盒9个，中盒6个，小盒12个.8、甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时候相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时候后相遇.问：甲、乙两人每小时各走多少千米？[分析]设甲速每小时x 千米，乙速每小时y 千米.那么依据题意列方程组： 4.5 2.53663536 3.6x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米.9、一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡.如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡.如果从右盘两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡.问：白球、黑球每个各重多少克？ [分析]设白球重xg ，黑球重yg ，因为，原来天平是平衡的，在进行调整后天平重新达到平衡，但总重量增加了一个砝码的重量.对于第一次调整，增加了20g ，对于第二次调整，增加了50g .那么实际上，第一次调整，天平两边各重了10g ，第二次调整各重了25g . 通过天平一侧的重量变化建立方程：2102022515y x x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩所以，白球重20g ，黑球重15g .[分析]白球20克，黑球15克10、奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种.小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的， 共花了270元；阿奇买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元.请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？ [分析]设大、中、小3种型号的福娃单价分别是,,x y z .那么有 32360802270602230050x y z x x y z y x y z z ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩答：大号80元，中号60元，小号50元11、如图，墙边放着一块木块，一只猫淘气，爬了上去，使得木块向下滑动了一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？[分析]设下滑后，木块低端距离地面x 厘米.那么根据勾股定理可以列式：()22222007090x x +=++，解得150x = 222200150250+=，因此木块长250厘米.答：木块的长度为250厘米12、甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29,23,21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少? [分析]设四个人的年龄分别为,,,a b c d ，那么有293233213173a b cd a b d c a c d b b c d a ++⎧+=⎪⎪++⎪+=⎪⎨++⎪+=⎪⎪++⎪+=⎩四试相加，得()29045a b c d a b c d +++=⇒+++= 把上式代入方程组，有22915143212231581232921156332171523d a c b c b d a ⎧=-=⎪⎪=⎧⎪=-=⎪⎪=⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=-=⎪⎪=⎩⎪⎪=-=⎩，因此，最大与最小之差为18另解：四个人的年龄分别为a b c d >>>，那么29,1733b c d a b ca d +++++=+=，两式相减得：()2121218333b c d a b c a d a d a d +++++--=⇒-=⇒-= 即最大年龄与最小年龄的差是18岁超越篇1、丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：x y x y +=⎧⎨+=⎩2536704 其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了.甲计算得出方程的解是x =7，y =3；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是x =4，y =4.试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？[分析]把x ，y 的值代入方程，以方框为未知数，重新建立方程，得：73253634673704384415364444704132a b a c d b a b c c d d +==⎧⎧⎪⎪+==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎪⎪+==⎩⎩ 最小的是38.2、幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人.老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣.结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣.问：三个班总共分了多少个枣？ [分析]设丙班有x 人，则乙班x +4人，甲班x +8人.丙班每个小孩共分了y 个枣，则乙班分了y -5个枣，甲班分了y -8个枣.则：(8)(8)(4)(5)3434711(4)(5)5452520x y x y y x x x y xy y x y +--+-=-==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+--=-==⎩⎩⎩则三班总共分了(8)(8)(4)(5)191215151120673x y x y xy +-++-+=⨯+⨯+⨯=个枣 答：三个半总共分了673个枣3②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼； ③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼.请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？[分析]设共有x 人参加比赛，则钓到3条及以上的人数为95721x x ---=-，掉到12条及以下的人数为5218x x ---=-.依题意列方程：(21)61527(8)5135142151x x -⨯+⨯+⨯=-⨯+⨯+⨯+⨯ 解得175x =.则共钓鱼：(17521)61527943-⨯+⨯+⨯=条.答：一共有175名选手；一共钓上943条鱼.4、A 、B 两地相距2400米.甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行.两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B 地，乙又继续行进50分钟到达A 地.请问：甲比乙每分钟多走多少米？ [分析]设甲速为x ，乙速为y .那么，甲走乙50分钟的路程和乙走甲18分钟的路程需要的时间相同（都为两者相遇时对方走的路程）.那么可以建立方程： 1850240050501830x y x y xy x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，甲比乙每分钟多走20米.答：甲比乙每分钟 多走20米.5、甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完.问：甲车单独运要几次运完？ [分析]设甲效x ，乙效y ，建立方程 11151011156x y x y x y ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，甲单独运要10次. 答：驾车单独运要10次运完.6、一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2.已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项. [分析]题目出错7、一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管.如果只打开进水管，50分钟可以把水池灌满；如果只打开出水管，60分钟可以把一池水放完.现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果只打开进水管，需要80分钟才能放满一池水，而只打开出水管只需46.5分钟即可放完一池水.请问：裂缝出现在离池底几分之几高度的地方？[分析]设裂缝出现在离池底x 处，裂缝漏水的效率为1y.那么可以建立方程：1180(8050)125051110046.5(46.560)160x y x y x y ⎧⨯--⨯=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=⨯+-⨯=⎩⎪⎩. 答：裂缝出现在离池底25高的地方. 8、“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后.在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔2秒后，再次发出声波.当声波传到“北冰洋号”时，“北冰洋号”会反射声波.已知“太平洋号”的速度是每小时54千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号”反射的回波的间隔时间是2.01秒，声波传播的速度是每秒1185米.请问：“北冰洋号”的速度是每小时多少千米？ONQPME DCB [分析]用上图示意太平洋号、北冰洋号和声波运动的情况：A 、D 分别是第一次发出声波时太平洋号和北冰洋号的位置，M 和Q 分别是第二次发出声波时太平洋好和北冰洋号的位置；C 和E 分别是太平洋好接收到北冰洋号第一次反射声波时太平洋好和北冰洋号的位置，P 和O 分别是太平洋好接收到北冰洋号第二次反射声波是太平洋好和北冰洋号的位置；B 是北冰洋号收到第一次声波时的位置，N 是北冰洋号收到第二次声波时的位置. 太平洋好的速度是54千米/小时，相当于15米/秒.声波的速度是1185米/秒，设北冰洋号的速度为x 米/秒.设0t 为太平洋好第一次发出声波的时刻，02t +为太平洋好第二次发出声波的时刻，设0t t +为太平洋号收到第一次发出声波返回的时刻，0 2.01t t ++是太平洋号收到第二次发出声波返回的时刻.（1）如图，AC 是太平洋号第一次发出声波到接收反射回的声波潜航的距离，15AC t =，AB BC +是第一次声波传导的距离，1185AB BC t +=，他们的和等于21200AC AB BC AB t ++==；（2）类似的，()150.01,MP t MN NP =++是第二次声波传导的距离，()11850.01MN NP t +=+，他们的和等于()212000.01MP MN NP MN t ++==+；（3）由（1），（2）得：6,11850.01MN AB MN AB NP BC -=-+-=⨯，也有611850.01BC NP -=-⨯（4）由于DB 是北冰洋号从太平洋好第一次发出声波到北冰洋号接收到声波时潜航的距离，1185BCDB tv v =-；QN 是北冰洋号从太平洋好第二次发出声波到北冰洋号接收到声波时的潜航距离，()0.011185NPQN t v v =+-；（5）由（3），（4）得到：()0.01611850.011185vQN DB v -=+-⨯⨯.（6）AD 是太平洋好第一次发出声波时两艘潜艇之间的距离，是太平洋好第二次发出声波时两艘潜艇之间的距离，()215MD AD v -=-.因为,AD AB DB MQ MN QN =-=-，所以，()()()660.01611850.01611851185MQ AD MN AB QN DB v v v -=---=---⨯⨯=-于是：()662151185vv -=- 解得211722v =因此北冰洋号潜航的速度是每小时21717642211=千米. 答：北冰洋号潜航的速度是每小时76411千米.。

1. 六年级奥数鸡兔同笼问题（三）教师版2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．一、鸡兔同笼这个问题,是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”．这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1．因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512-=（只）．显然,鸡的只数就是351223-=（只）了。

这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到．解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔,那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡,那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时,脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时,头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法模块一、多个量的“鸡兔同笼”——鸡兔同笼问题【例 1】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿,两对翅膀；蝉6条腿,一对翅膀),求蜻蜓有多少只？例题精讲 知识精讲 教学目标6-1-9.鸡兔同笼问题（三）【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是6条腿,只有蜘蛛8条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿,则总腿数为618108⨯=(条),所差11810810-=(条),必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有(118108)(86)5-÷-=(只)蜘蛛.这样剩下的18513-=(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手,假设13只都是蝉,则总翅膀数11313⨯=(对),比实际数少 20137-=(对),这是由于蜻蜓有两对翅膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻蜓只数可求7(21)7÷-=(只).【答案】7只【巩固】 希望小学的生物标本室里有蜻蜓,蝉,蜘蛛共11只,它们共有74条腿,10对翅膀,由图7知该标本室里有 只蜘蛛。

小学奥数2-3-2列方程组解应用题教师版列方程组解应用题教学目标1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量2、用代数法来表示各个量：利用“”表示出所有未知量或变量3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）知识精讲一、列方程解应用题的主要步骤⒈审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；⒉用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；⒊找到题目中的等量关系，建立方程；⒋解方程；⒌通过求到的关键量求得题目最终答案．二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元．模块一、列方程组解应用题【例1】辆小车和辆卡车一次运货吨，辆小车和辆卡车一次运货吨。

每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设每辆卡车和每辆小车每次各运货吨，根据题意可得：，解得所以，每辆卡车每次运货吨，每辆小车每次运货吨。

【答案】每辆卡车每次运货吨，每辆小车每次运货吨【巩固】甲、乙二人时共可加工个零件，甲加工时的零件比乙加工时的零件还多个．问：甲每时加工多少个零件？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件.则根据题目条件有：，解得所以甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件．【答案】甲每小时加工个零件【例2】已知练习本每本元，铅笔每支元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设老师原本打算让小虎买本练习本和支铅笔，则由题意可列方程组：，整理得，即，将两式相加，得，则，⑴⑶，得．所以，老师原打算让小虎买17本练习本．【答案】老师原打算让小虎买17本练习本【巩固】商店有胶鞋、布鞋共双，胶鞋每双元，布鞋每双元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多元．问：两种鞋各多少双？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设布鞋有双，胶鞋有双．，解得所以布鞋有双，胶鞋有双．【答案】布鞋有双，胶鞋有双【例3】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采个，雨天每天可以采个，它一连几天采了个松子，平均每天采个，问这几天当中有几天是下雨天？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采集天数也确定，因此可列方程组来求解．设晴天有天，雨天有天，则可列得方程组：化简为…………用加减法消元：得：解得.所以其中天下雨.【答案】其中天下雨【例4】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设乙车运来箱，每箱装个苹果，根据题意列表如下：车别甲乙丙箱数每箱苹果数根据上表可列出如下方程：，化简为⑴⑵，得：，于是．将代入⑴或⑵，可得：．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：(个)．【答案】三车苹果的总数是：个【例5】有大、中、小三种包装的筷子盒，它们分别装有双、双、双筷子，一共装有双筷子，其中小盒数是中盒数的倍．问：三种盒各有多少盒？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设中盒数为，大盒数为，那么小盒数为，根据题目条件有两个等量关系：该方程组解得，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.【答案】大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个【巩固】用根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有个.其中正方形的个数是三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设三角形的个数为，五边形的个数为，那么正方形的个数为，由此可列得方程组：该方程组解得：，所以，因此三角形、正方形、五边形分别有、、个.【答案】三角形、正方形、五边形分别有、、个【例6】有克、克、克三种砝码共个，总重量为克；如果把克的砝码和克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为克.那么克、克、克的砝码有多少个？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】克砝码比克砝码每多个，对调后总重量将减少克，所以克砝码比克砝码多（个）．在原来的砝码中减掉个克砝码，此时剩下个砝码，且克砝码与克同样多，总重量为克．设剩下1克、5克各个，2克砝码个，则，解得所以原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码个．【答案】原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码个【巩固】某份月刊，全年共出期，每期定价元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有人．【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设订半年的人，订全年的人，则：，得，两式相加，得，所以，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人．【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人【例7】有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出20筐，第二辆卡车转移出30筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的倍，如果第一辆卡车转移出21筐，第二辆卡车转移出25筐，那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上有多少筐水果？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设第一辆卡车上的水果有筐，第二辆卡车上的水果有筐，则有，由⑴得，代入⑵得，解得，所以，原来两辆车上分别装有68筐水果和70筐水果．【答案】两辆车上分别装有68筐水果和70筐水果【巩固】大、小两个水池都未注满水．若从小池抽水将大池注满，则小池还剩吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩吨水．已知大池容量是小池的倍，问：两池中共有多少吨水？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设大池中有吨水，小池中有吨水.则根据题目条件，两池一共有吨水，大池可装吨水，小池可装吨水，所以可列得方程，方程化简为，所以两池中共有吨水．【答案】两池中共有吨水【例8】某公司花了44000元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了480千瓦时，已知，计算机的价格为每台5000元，空调的价格为2000元，计算机每小时用电千瓦时，平均每天使用5小时，空调每小时用电千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计，求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设添置了台计算机，台空调．则有⑵式整理得，则；代入⑴得，解得，则，所以公司一共添置了8台计算机和2台空调．【答案】8台计算机和2台空调【巩固】甲、乙两件商品成本共元，已知甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价；后来甲打折出售，乙打折出售，结果共获利元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲、乙两件商品成本分别为元、元.根据题意，有方程组：，解得所以成本较高的那件商品的成本是元．【答案】成本较高的那件商品的成本是元【巩固】某市现有720万人口，计划一年后城镇人口增涨，农村人口增长，这样全市人口增加，求这个城市现在的城镇人口和农村人口．【解析】假设这个城市现在的城镇人口是万人，农村人口是万人，得：，解得，即这个城市现在的城镇人口有240万，农村人口有480万．【答案】城镇人口有240万，农村人口有480万【例9】某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给分，每答对一题给分，不答题不给分，答错扣分，另一种是先给分，每答对一题给分，不答题不给分，答错扣分，小明在考试中只有道题没有答，以两种方式计分他都得分，求考试一共有多少道题？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设小明答对了道题，答错了道题.由题目条件两种计分方式，他都得分，可得到两条等量关系式：解得，所以考试一共有道题.【答案】考试一共有道题【巩固】某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给分，不答给分，答错不给分；另一种是先给分，答对一题给分，不答不给分，答错扣分．某考生按两种判分方法均得分，这次比赛共多少道题？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设答对道题，未答道题，答错道题，由条件可列方程由式知，是奇数，且小于．式可化简为由式知，大于．综合上面的分析，是大于小于的奇数，所以．再由式得到，．，所以共有道题．【答案】共有道题【巩固】下表是某班名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是分，那么得分和分的各有多少人？分数012345人数4710？8？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意，只要设得分和分的各有多少人，即可利用总人数和总分数而列方程组求解,等量关系有两条：一是各分数段人数之和等于总人数，各分数段所有人得分之和等于总分数.设得3分的人数有人，得分的人数有人,那么：，化简为：，得到，即，再代入，最后得到方程组得解，所以名学生当中得分的有人，得分的有人．【答案】得分的有人，得分的有人【例10】在岛上居住着个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有人回答：“是”；对第二个问题有人回答：“是”；对第三个问题有人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子.每个老实人都只会对一个问题“是”.而每个骗子则都对两个问题答“是”.将老实人的数目计为，将骗子的数目计为.于是．又由于在岛上居住着个人，所以，联立两条方程，解得.所以岛上有个人说的是假话．【答案】个人说的是假话【例11】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，那么10天内共生产了配件个，共生产了配件个．要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则．此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品．【答案】最多能生产出套产品【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数分别为天和天，那么总共生产了上衣件，生产了裤子件．根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即．那么共生产了套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时．故最多可以生产出套衣服．【答案】最多可以生产出套衣服【例12】一片青草，每天长草的速度相等，可供头牛单独吃天，供只羊单独吃天．如果头牛的吃草量等于只羊的吃草量，那么，头牛与只羊一起吃草，这片草可以吃________天．【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】填空【解析】把只羊每天的吃草量当作单位“”，则头牛每天的吃草量为，设原有草量为，每天的长草量为，那么：解得，，如果头牛与只羊一起吃草，这片草可以吃(天)．【答案】【例13】甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反．甲每隔分钟追上丙一次，乙每隔分钟与丙相遇一次．如果甲分钟跑的路程与乙分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度的多少倍？甲与乙多长时间相遇一次？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】把环形操场的周长看作1，设甲每分钟跑的路程为，丙每分钟跑的路程为．根据题意可知乙每分钟跑的路程为．有：，解得．所以甲的速度是丙的速度的倍；甲与乙相遇一次所用的时间为分钟．【答案】甲的速度是丙的速度的倍；甲与乙相遇一次所用的时间为分钟【例14】甲、乙二人从相距千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行，小时后在途中相遇．如果两人每小时所行走的路程各增加千米，则相遇地点距前一次地点差千米.求甲、乙两人的速度．【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲速为每小时千米，乙速为每小时千米.根据第一次相遇的条件，可知：，则，即甲、乙两人的速度和为千米/小时，所以第二次相遇两人的速度和为千米/小时.第二次相遇时，甲走的路程可能比第一次少千米或多千米，即千米，或千米.由此可列第二条方程：或.因此可列的方程组有：解得，或解得.所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为千米/小时和千米/小时．【答案】甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为千米/小时和千米/小时【例15】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶千米，下坡时每小时行驶千米．车从甲地开往乙地需小时，从乙地到甲地需小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，复赛【解析】(法1)从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为千米，下坡路为千米，依题意得：解得，，所以甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路．答：甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路．【答案】甲、乙两地间的公路有千米，从甲地到乙地须行驶千米的上坡路【巩固】从村到村必须经过村，其中村至村为上坡路，村至村为下坡路，村至村的总路程为千米．某人骑自行车从村到村用了小时，再从村返回村又用了小时分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的倍．求、之间的路程及自行车上坡时的速度．【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设、之间的路程为千米，自行车上坡速度为每小时千米，则、之间的路程为千米，自行车下坡速度为每小时千米．依题意得：，两式相加，得：，解得；代入得．故、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米．【答案】、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米【巩固】华医生下午2时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后原路返回，下午6时回到诊所．医生走平路的速度是每小时4千米，上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，华医生这次出诊一共走了千米．【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】填空【关键词】年，南京市，冬令营【解析】设平路长千米，山坡长千米，则共走了千米，根据题意，列方程，，．所以，华医生这次出诊一共走了14千米．【答案】14【例16】小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前时间乘车，后时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多小时．已知小明步行每小时行千米，乘车每小时行千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛【解析】设小明家到奶奶家的路程为千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是小时，那么根据题意有：，解得：答：小明从自己家到奶奶家的路程是千米．【答案】小明从自己家到奶奶家的路程是千米【例17】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从到，唐老鸭从到，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是，如下图所示．是、的中点，离点26千米的点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离点4千米的点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到达，那么与之间的距离是千米．【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】填空【解析】设，米老鼠的行走速度为，则唐老鸭的行走速度为()，如下图，则有米老鼠从到需要时间，唐老鸭从到需要时间．因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程，解得．所以，、两地相距92千米．【答案】、两地相距92千米【例18】甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，小时后相遇在点.如果甲速度不变，乙每小时多行千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇点距点千米．如果乙速度不变，甲每小时多行千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇点距点千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】甲速度不变，乙每小时多行千米，相遇点距点千米，出发后5小时，甲到达，乙到达，因为乙每小时多行千米，所以千米，那么千米，也就是说相遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同，也就是说原来甲比乙每小时多行千米.乙速度不变，甲每小时多行千米，相遇点距点千米，出发后小时乙到达，甲到达,因为甲每小时多行千米，所以千米.那么千米，千米.所以，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的2倍，所以甲每小时多行3千米后，速度是乙的两倍.于是可列得方程组：，解得，所以甲原来每小时千米.【答案】甲原来每小时千米【例19】甲、乙二人共存款元，如果甲取出，乙取出，那么两人存款还剩元.问甲、乙二人各有存款多少元？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲存款元，乙存款元，根据题目条件有两条等量关系,一是两人存款加起来等于元，二是取钱后两人存款加起来有元.由此可列得方程组:方程组最终解得,所以甲存款元，乙存款元．【答案】甲存款元，乙存款元【巩固】甲、乙两个容器共有溶液克,从甲容器取出的溶液，从乙容器取出的溶液，结果两个容器共剩下克.问：两个容器原来各有多少溶液？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲容器有溶液克，乙容器有溶液克，根据题目条件有两条等量关系,一是两容器溶液加起来等于2600克，二是取溶液后两容器加起来有2000克.由此可列得方程组:方程组最终解得，所以甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克．【答案】甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克【例20】某班有名同学，其中有名男生和女生的参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等.问：这个班有多少名男生？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设有名男生和名女生，那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为45人，二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组：该方程组解得，所以这个班有名男生．【答案】这个班有名男生【巩固】甲、乙两班人数都是44人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的，那么共有多少人未参加数学小组？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲、乙两班参加数学小组的人数分别为人、人，未参加人数分别为人、人，由题设已知条件可以得到：，解之得所以未参加兴趣小组的人数人．【答案】未参加兴趣小组的人数人【例21】一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的倍．问：男孩、女孩各有多少人？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设男孩有人，女孩有人．根据条件可列方程：由第一条方程可以得到，代入第二条方程得到.解得，再代入第一条方程．方程解得.所以男孩有人，女孩有人．【答案】男孩有人，女孩有人【巩固】有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的倍.大、小两盘苹果原来各有多少个？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设原来大盘有苹果个，小盘有苹果个.那么可列方程组：，方程组解得，所以大盘原来有苹果个，小盘原来有苹果个．【答案】大盘原来有苹果个，小盘原来有苹果个【巩固】教室里有若干学生，走了名女生后，男生是女生人数的倍，又走了名男生后，女生是男生人数的倍。

第三讲方程、列方程解常规应用题一、课程引入有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。

此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。

利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。

列方程解应用题的一般步骤是：①弄清题意，找出已知条件和所求问题；②依题意确定等量关系，设未知数x；③根据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验，写出答案。

二、基本理论理论点1会用含有字母的式子表示某个量理论点2找到题目中的等量关系式，并根据等量关系式列出含有未知数的等式，即方程理论点3解方程，求出相应的未知数的值，从而得到问题的答案三、例题精析【例题1】【题干】教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。

问：最初有多少个女生？【答案】设最初有x个女生，则男生最初有2（x-10）个。

x-10=[（x-10）×2-9]×5，x-10=（2x-29）×5，x-10=10x-145，9x=135，x=15（个）。

答:最初由15个女生。

【解析】这题用直接设法设最初有x个女生，根据”走了10个女生后，男生是女生人数的2”得到最初的男生人数为2（x-10）个，再“根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍”，得等量关系式，“女生的人数-10=男生的人数-9”可列方程。

【例题2】【题干】商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。

问：胶鞋有多少双？【答案】解：设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。

7.5x-5.9（46-x）=107.5x-271.4+5.9x=1013.4x=281.4x=21答：胶鞋有21双。

【解析】此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。

六年级第三章代数列方程解应用题的初步知识希望我们准备的六年级第三章代数列方程解应用题的
初步知识符合大家的实际需求，愿大家都以优异的成绩考入理想的重点初中院校!
1、列方程解应用题的意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

2、列方程解答应用题的步骤
* 弄清题意，确定未知数并用x表示;
* 找出题中的数量之间的相等关系;
* 列方程，解方程;
* 检查或验算，写出答案。

3、列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。

这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。

* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。

这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

4、列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a、一般应用题;
b、和倍、差倍问题;
c、几何形体的周长、面积、体积计算;
d、分数、百分数应用题;
e、比和比例应用题。

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方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.一、 列方程解应用题的要点（1） 设出用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数. 如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个. （2） 翻译用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量. （3） 等量按照题目所述，找出并构建等量关系.等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方 程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.二、 列方程解应用题的优势和局限性关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.（1） 重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找（2） 难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论重难点知识框架列方程解应用题15一、 列一般方程解应用题【例 1】 已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？【考点】列方程解应用题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 设每个排球x 元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：x+x+8+x+10=35×3， 解得x=29.所以每个篮球x+10=29+10=39元.【答案】29【巩固】 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设开始共有x 人，5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，所以这些糖共有12×5+10=70块．【答案】70【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那么原来的分数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：设这个分数为122aa-，则分子、分母都减去19为19191==(122)191035a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数是3389方法二：设这个分数为变化后为5a a ，那么原来这个分数为19519a a ++，并且有例题精讲(19)(519)a a +++=122, ，解得.=14．所以原来的分数是3389． 【答案】3389【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a ．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a 的2倍．求这个自然数．【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由题意知()()878181172174,a a +⨯+⨯+=+++⎡⎤⎣⎦整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．【答案】1993【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时.问：甲、乙两港相距多少千米？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲、乙两港相距x 千米，原来水流速度为a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2，于是有8+a=2(8-a),解得a=38再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时，则有92828=-++axa x把a=38代入，得938283828=⨯-+⨯+x x解得x=20.【答案】20【巩固】如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米.当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设追上甲时乙走了x分.依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x＝65x+270.解得7270=x.在这段时间内乙走了712777727072=⨯（米）.由于正方形边长为90米，共四条边，故由，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上.【答案】DA边上二、列一般方程组解应用题【例4】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底.⎩⎨⎧=⨯=+yxyx43216150解得xy==⎧⎨⎩8664所以86张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底.【答案】86；64【巩固】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设乙车运x箱，每箱装y个苹果，列表如下：车别 甲 乙 丙 箱数 x ＋4 x x －4 每箱苹果数y －3yy ＋5根据上表可列出如下方程组： （x+4）（y-3）-xy=3 xy-（x-4）（y+5）=5化简为： 4y-3x=15, ① 5x-4y=15, ② ①+②，得：2x=30，于是x=15． 将x=15代人①或②，可得：y=15．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个． 三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×11=673(个)．【答案】673【例 5】 有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l 和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这些人中的年龄从大到小依次为x 、y 、z 、w ，①+②+③十④得：2(x +y+z+w )=90， 则3x y z w+++=15…………………………………………⑤①-⑤得：2143x = , x =21； ④-⑤得：223z =， z=3； ⎧⎨⎩所以最大年龄与最小年龄的差为x w - =21—3=18(岁) 【答案】18三、 列不定方程或不定方程组解应用题【例 6】 新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张.问：其中三种面值的邮票各多少张？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据题意，设面值20分的x 张，面值40分的y 张，面值50分的z 张，可列方程得152********x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得672x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以20分的6张，40分的7张，50分的2张【答案】6；7；2【巩固】 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支.后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设一等奖x 人，二等奖y 人，三等奖z 人，可列方程得632229422x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得125x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，一等奖1人，二等奖2人，三等奖5人.【答案】1；2；5【例 7】 工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子.问：可以有多少种不同取法？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设3米管子x 根，5米管子y 根，可列方程得3578x y +=解得260x y =⎧⎨=⎩或213x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或119x y =⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩所以共有6种取法.【答案】6【巩固】 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ 【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设5分有x 个，2分有y 个，1分有z 个，可列方程得52100x y z ++=5分取20个，有1种.5分取19个，2分有3种取法（2个、1个、0个），共3种. 5分取18个，共6种.（同上） 5分取17个，共8种. 5分取16个，共11种. ......根据规律不难求出共有1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541【答案】541【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足．那么男职工数只能为12名.【答案】12【巩固】一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设0.7米，0.8米两种木条分别x，y根，则0.7x+0.8y=3.4，3.6……，即7x+8y=34，36，37，38，39. 将系数，常数对7取模，有y≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是y最小分别取6,1,2，3，4．但是当y取6时，8×6=48超过34，x无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．【答案】3.4【例9】某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得由①、②，得将③代入①，得x＝4.8所以汽车站每隔4.8分钟发一班车【答案】4.8【巩固】某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，因为3元3角既不是5角的整数倍，也不是8角的整数倍.所以甲用的电超过50千瓦时，乙用的电没有超过50千瓦时，设甲用的电超过50千瓦时的部分为x 千瓦时电，乙用的电与50千瓦时相差y 千瓦时电，可列方程得8533x y +=解得15x y =⎧⎨=⎩所以甲用了50+1=51（千瓦时）的电，乙用了50-5=45（千万时）的电.【答案】51；45【例 10】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l ＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元．【答案】3【巩固】 一次数学竞赛中共有A 、B 、C 三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A ．请问有多少学生只答对B?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设不只答对A 的为x 人，仅答对B 的为y 人，没有答对A 但答对B 与C 的为z 人．解得：253233x y z x-⎧=⎪⎨⎪=-⎩，,6,y z x ≥≥x =7时，y 、z 都是正整数，所以7,6,2x y z ===.故只答对B 的有6人． 【答案】6【随练1】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ）解得x ＝500所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）【答案】600【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）.男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分.如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该班有x 个男生和y 个女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y ），化简后得8x=7y.从而全班共有学生在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以推知x ＝21，y=24. 【答案】21；24【随练3】 (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?课堂检测【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等．欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31．又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．【答案】31；7【随练4】 在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?【考点】经济问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a ，b ，c ，d ，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y ．有(①+③)×2一(②+④)，得310()x c d =+，即10()3x c d =+ 设骑自行车的在t 时遇见骑助力车的，则(12)(),x t c d =-⨯+即10123t -=，所以1153t =．所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的．【答案】15时20分【作业1】 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设x 年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.【答案】6【作业2】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这列火车的速度是x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26.解得x=14.所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）.【答案】286【作业3】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次.根据得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y ）=61，家庭作业化简后得7x=41－3y.显然y 越小，x 越大.将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5.【答案】5【作业4】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设摸出标有数字2的x 个，摸出标有数字3的y 个，摸出标有数字5的z 个，可列方程得23543x y z ++=，x 最大为所求.解得2010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，摸出标有数字2的最多为20个.【答案】20【作业5】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设白天见面的次数为x ，晚上见面的次数为y ，可列方程得3561x y +=白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即x 最大为所求.解得125x y =⎧⎨=⎩所以，波斯猫至少叫125327+⨯=（声）. 【答案】27【作业6】 小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．【答案】13学生对本次课的评价○特别满意 ○满意 ○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。