专题22+三角函数的图像和性质的“磨合”-备战2019年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

第一讲三角函数的图象与性质函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与变换授课提示：对应学生用书第19页[悟通——方法结论]函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sin x――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)――→纵坐标变为原来的A(A>0)倍横坐标不变y＝A sin(ωx＋φ)．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D2．(2018·南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x2的图象( ) A ．向右平移π3个单位长度得到B ．向右平移2π3个单位长度得到C ．向左平移π3个单位长度得到D ．向左平移2π3个单位长度得到解析：由y ＝cos x2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由y ＝cos x 2的图象向右平移2π3个单位长度得到．答案：B3．(2018·益阳、湘潭联考)若将函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝7π24C ．x ＝7π12D ．x ＝7π6解析：将函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π12的图象．令12x －π12＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝7π6＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，函数g (x )图象的一条对称轴的方程为x ＝7π6，故选D.答案：D4．(2018·唐山模拟)将函数y ＝3cos 2x －sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝( )A ．2sin 2xB ．－2sin 2xC ．2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：因为y ＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 将其图象向右平移π3个单位长度得到g (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝2sin 2x 的图象． 答案：A在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式授课提示：对应学生用书第20页[悟通——方法结论]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.[全练——快速解答]1．(2018·郑州模拟)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R ) B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R ) C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R ) D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R ) 解析：依题意，设g (x )＝sin(ωx ＋θ)，其中ω>0，|θ|<π2，则有T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，ω＝2，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋θ＝1，则θ＝π6，因此g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案：A2．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22D ．－24解析：依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. 答案：D3．(2018·山西八校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π6(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－5π6.答案：－5π6用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.三角函数的性质授课提示：对应学生用书第20页[悟通——方法结论]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 2．三角函数奇偶性判断y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[全练——快速解答]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π解析：ƒ(x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减．∵函数ƒ(x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，34π， ∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π4.故选A. 答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35D.15解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.又函数f (x )在(π8，5π36)上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B.答案：B1．三角函数单调性的求法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．2．三角函数的最值问题注意判断类型，尤其是可化为A sin(ωx ＋φ)型的值求解时注意x 的范围对ωx ＋φ范围的影响．[练通——即学即用]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确； f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎡⎭⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确． 答案：D2．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎝⎛⎦⎤43，73 C.⎝⎛⎦⎤73，103D.⎝⎛⎦⎤103，133解析：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t<ωπ－π3，因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤73，故选B.答案：B3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x )＝2sin x ＋sin 2x ，则ƒ(x )的最小值是________． 解析：ƒ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，ƒ′(x )＜0，ƒ(x )单调递减；当cos x ＞12时，ƒ′(x )＞0，ƒ(x )单调递增．∴当cos x ＝12，ƒ(x )有最小值．又ƒ(x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，ƒ(x )有最小值， 即ƒ(x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案：－332授课提示：对应学生用书第122页一、选择题1．(2018·湖北七校联考)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 答案：A2．(2018·宝鸡模拟)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需要平移⎝⎛⎭⎫x －π6－⎝⎛⎭⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4>0，所以应向左平移，故选A. 答案：A3．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值是( ) A ．1 B.1＋32C ．1＋ 3D.32解析：f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，因为π4≤x ≤π2，所以π3≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 取得最小值，且最小值为12＋12＝1.答案：A4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：由已知得ƒ(x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋(sin x cos x )2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以ƒ(x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C5．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π6解析：由题意，得T 2＝π3＋π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3，故选B. 答案：B6．(2018·湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z )，故选B.答案：B7．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的值为( )A ．－1B ．－12C ．12D ．2解析：(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ＝2，∴|BC →|＝1，所求值为2.答案：D8．(2018·成都模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若x 1x 2<0，且f (x 1)＋f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫π6，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫π3，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫2π3，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫4π3，＋∞ 解析：f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔f (x 1)＝－f (x 2)，|x 2－x 1|可视为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象如图所示，设A ，B 分别为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的两个相邻交点，因为x 1x 2<0，且当直线y ＝m 过y ＝f (x )的图象与y 轴的交点⎝⎛⎭⎫0，32时，直线为y ＝32，|AB |＝π3，所以当直线y ＝m 向上移动时，线段AB 的长度会增加，当直线y ＝m 向下移动时，线段AB 的长度也会增加，所以|x 2－x 1|>π3.答案：B9．已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2cos(x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝π对称，则cos 2φ＝( )A.35 B ．－35C.45D ．－45解析：由题意可得f (x )＝5sin(x ＋φ－γ)，其中sin γ＝255，cos γ＝55.当x ＝π时，由π＋φ－γ＝k π＋π2，得2φ＝2k π－π＋2γ，则cos 2φ＝cos(2k π－π＋2γ)＝－cos 2γ＝sin 2γ－cos 2γ＝35.故选A. 答案：A10．(2018·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2D ．－ 3解析：∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴， ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即φ＝π6＋k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 又∵－π4≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋5π6≤7π6，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6≤2. ∴g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为－1. 答案：B11．已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π12，0 D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤0，π2 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3有增有减，故D 错误．故选C. 答案：C12．(2018·肇庆一模)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2D ．4解析：由题意，设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，点Q 的坐标为(x ，y )， 则OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，0≤2x －π3≤π3⇒12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4.答案：D 二、填空题13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫π3，－1，则f (x )＝________.解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵sin φ＝12，0<φ<π2，∴φ＝π6.∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 14．(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 答案： 315．若存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，解得－3≤x ≤3， 由题意可得：T ＝2ππk ＝2k ，T ≤23＜2T ，解得正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3.答案：⎝⎛⎦⎤32，3 16．(2018·武汉调研)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ， 则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，n ∈Z ， 即φ＝(m ＋n －k )π－π4，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π4三、解答题17．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解析：f (x )＝2sin x cos x (2sin 2x －1)－12cos 4x＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x＝－12sin 4x －12cos 4x＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4.此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤12， 即－22≤f (x )≤12. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22. 18．(2018·汕头模拟)已知函数f (x )＝cos 2ωx cos φ＋sin ωx cos ωx sin φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求ω，φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上的各点向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π12上的最值及取最值时对应的x 的值． 解析：(1)由题意得，f (x )＝1＋cos 2ωx 2cos φ＋12sin 2ωx sin φ－12cos φ＝12cos 2ωx cos φ＋12sin2ωx sin φ＝12()cos 2ωx cos φ＋sin 2ωx sin φ＝12cos(2ωx －φ)．又函数f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π ，所以ω＝1，故f (x )＝12cos(2x －φ)，又x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴，故2×π6－φ＝k π(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )图象上的各点向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，故g (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，因此当2x －π6＝0，即x ＝π12时，g (x )max ＝12；当2x －π6＝2π3，即x ＝5π12时，g (x )min ＝－14.19．(2018·胶州模拟)已知函数f (x )＝cos(2π－x ) ·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝－14，c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．解析：f (x )＝cos(2π－x )sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ＝12cos 2 x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 4－34sin 2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋14. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－2π3≤x ≤k π－π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z . (2)由f (C )＝－14，可得cos ⎝⎛⎭⎫2C ＋π3＝－1，由0<C <π2，得π3<2C ＋π3<4π3，所以2C ＋π3＝π，解得C ＝π3.又c ＝3，根据正弦定理得a sin A ＝b sin B＝3sinπ3＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B . △ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3，因为A ＋B ＝2π3，所以l ＝2sin A ＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋ 3. 因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝2π3－A <π2，即A >π6，所以π6<A <π2，所以π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin(A ＋π6)≤1，所以3＋3<l ≤33，即△ABC 的周长的取值范围是(3＋3，33]．。

2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3]答案 B解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，即f (x )的值域为[－32，3]．3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．[－712π，－π12]B ．[－π，－π2]C ．[－π，－712π]，[－π12，0]D ．[－π，－512π]，[－π12，0]答案 C解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π3)．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递减区间是[－π12＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．因为x ∈[－π，0]，所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π12，0]．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 答案 2或－2解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2017·郑州月考)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π， k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，54]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 [32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π， k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. (2)由题意得，1<πk<2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.命题点2 对称性例4 (2016·西安模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6 (2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ， 故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·朝阳模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．πD ．2π(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.9π5D.12π5答案 B解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2，得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin(2x ＋π6)，于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.7．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________． 答案 [2k π＋π6，2k π＋56π]，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为______________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π (k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．10．(2016·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________． 答案 (0，34]解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

考纲要求 :1．能画出y＝sin x, y ＝ cos x, y ＝ tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等 ) ，理解正切函数在区间(,) 内的单调性．2 2了解函数 y＝Asin (ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin (ω x＋φ)的图像，了解参数 A，ω，φ对函数图像变化的影响．4. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.根底知识回忆:1．“五点法〞作图原理在确定正弦函数y＝ sinx 在 [0,2 π ] 上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0) 、( ,1) 、(π，23, 1) 、(2π，0).0)、(22．三角函数的图像和性质函数y＝ sinx y＝ cosx性质y＝ tanx定R义域图像值[ － 1,1]域π对称轴： x＝ kπ＋2 对( k∈Z) ；称性对称中心： ( kπ，0)( k ∈Z)周2π期增区间R[ － 1,1]对称轴： x ＝kπ( k∈ Z)；对称中心：(k,0)(k Z)22π增区间{ x| x≠kπ＋π2 ( k∈Z)}Rk(,0)k Zπ[ 2k ,2k ]( k Z )[2k ,2k ](k Z)2 2单；调性减区间减区间[ 2k3]( k Z)[2k ,2k ](k Z) ,2k2 2奇奇函数偶函数偶性3．函数y＝Asin ( ωx＋φ ) 的有关概念增区间(k,k)(k Z)2 2奇函数 _y＝Asin (ω x＋相初振幅周期频率φ )( A>0，ω >0) ，x∈位相[0 ，＋∞ ) 表示一个振 f ＝1动量时T＝2 T xA＝2 4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝ Asin (ω x＋φ)的图像的步骤如下应用举例:类型一、求函数【例 1】【湖北省f ( x)＝ Asin (ω x＋φ)的解析式2021 届高三 5 月冲刺】函数〔，〕的局部如下列图，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，那么函数的解析式为〔〕A．B．C．D．【答案】 D点睛：函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法〞中相对应的特殊点求.【例 2】【陕西省咸阳市2021 届高三模拟考试〔三模〕】函数〔，，〕的解析式为〔〕的局部图象如下列图，那么的图象向右平移 2 个单位后，得到的图象，那么A．B．C．D．【答案】 B的图象，故答案为： BA，由点睛：此题主要考查由函数y=Asin 〔ω x+φ〕的局部图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出周期求出ω ，由五点法作图求出φ 的值，函数y=Asin 〔ω x+φ〕的图象变换规律.类型二、函数 f ( x)＝ Asin (ω x＋φ)图象的平移变换2021 届高三第三次全国大联考〔新课标Ⅱ卷〕】函数【例 3 】【2021 年5月的图象过点，那么要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】 A【例4】【2021 年 5 月 2021 届高三第三次全国大联考〔新课标Ⅰ卷〕〕的最小正周期为，且图象过点，要得到函数】函数〔的图象，只需将函数，的图象A．向左平移C．向右平移个单位长度个单位长度B．向左平移D．向右平移个单位长度个单位长度【答案】 B【解析】由函数的最小正周期为，得，解得. 由点在函数的图象上可得，所以〔〕，解得〔〕 .因为，所以，，所以的图象，只需将函数，故要得到函数的图象向左平移个单位长度即可.应选B．类型三、函数 f ( x)＝ Asin (ω x＋φ)图象的对称性【例 5】【湖南省长郡中学2021 届高三下学期第一次模拟考试】单位，得到的图像关于原点对称，那么的最小正值为〔〕将函数的图象向右平移个A．B．C．D．【答案】 A【例6】【安徽省安庆市2021 届高三二模考试】函数图象相邻两条对，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数称轴之间的距离为的图象〔〕A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称A【答案】【解析】由题意得, 因为函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，所以关于轴对称，即，所以关于点对称，选 A.类型四、函数 f ( x)＝ Asin (ω x＋φ)性质的综合应用【例7】【贵州省贵阳市第一中学2021 届高考适应性月考卷〔七〕】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，那么以下对函数的表达正确的选项是〔〕A．函数B．函数的周期为C．函数的一个对称中心点为D．函数在区间上单调递增【答案】 C【例 8】【湖北省荆州市2021 届高三质量检查〔III〕】把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那〔〕么A．图象关于直线对称B．在上单调递减C．图象关于点对称D．在上单调递增【答案】 D类型五、函数 f ( x)＝ Asin (ω x＋φ)的值域与最值问题【例 9】【四川省蓉城名校高中2021 级高三 4 月份联考】函数y 2tan x的最小正周期为，3 2将函数 y 2sin x (0) 的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y f x 的图象，那么函数6 4f x 在,的值域为〔〕4 4A．3,1 B． 1 , 1 C．1,1 D．1,1 2 2 2 2【答案】 D【解析】已知函数 y 2 t a n x3 的最小正周期为，，那么2, 2 ，那么将函数2y 2sin 2x6 ( 0) 的图象沿 x 轴向右平移4个单位，得到函数y f x 2sin 2 x 2sin 2x ，x , , 2x 5 , , 那么函数3 3 64 6 4 4 6f x 在4 , 的值域为1,1.4 2选 D.【例10】【 2021 年普通高校招生全国卷I A 信息卷】函数 f x 2sin x 0 3 的图象关于直线 x 对称，将 f x 的图象向右平移个单位，再向上平移 1 个单位可以得到函数g x 的图象，那么4 3g x 在区间, 上的值域是〔〕3 2A．1, 3 1 B．2, 3 1 C．3 ,1D．0,31 2 2【答案】 A类型六、函数 f ( x)＝ Asin (ω x＋φ)的单调性问题【例 11】【北京师范大学附中2021 届高三下学期第二次模拟】将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍 , 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线, 那么在上的单调递增区间是()A．B．C．D．【答案】 B【解析】由题意，，，时，，应选B．【例 12】【广东省惠州市2021 届高三 4 月模拟考试】将函数y sin x的图象上各点的横坐标变为原6来的1〔纵坐标不变〕，再往上平移 1 个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增〔〕2A．,3 3 C．,3 6 B ．,2 2D ．,26 3【答案】 C点睛：由 y sinx 的图象，利用图象变换作函数y Asin x( A 0, 0) 的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换( 伸缩变换 )，平移的量是个单位；而先周期变换( 伸缩变换 ) 再平移变换，平移的量是个单位．方法、规律归纳:1、两种图像变换的区别由 y＝ sinx 的图像变换到y＝ Asin (ω x＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换( 伸缩变| φ |换 ) ，平移的量是| φ| 个单位长度；而先周期变换( 伸缩变换 ) 再相位变换，平移的量是ω (ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ω x加减多少值．2、确定y＝Asin ( ωx＋φ ) ＋b( A>0，ω >0) 的步骤和方法M－ m M＋ m(1)求 A， b：确定函数的最大值 M和最小值 m，那么 A＝2， b＝2；2π(2) 求ω：确定函数的周期T，那么可得ω＝T；(3) 求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个点代入( 此时，ω，)或代入图象与直线＝的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) ．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法〞中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点〞( 即图象上升时与x 轴的交点) 时ω x＋φ ＝0；“第二点〞( 即图象的“峰点〞) 时ω x ＋φ＝π；“第三23π点〞 ( 即图象下降时与x 轴的交点) 时ωx＋φ＝π；“第四点〞( 即图象的“谷点〞) 时ω x＋φ＝ 2 ；“第五点〞时ω x＋φ ＝2π.实战演练 :1【．山西省榆社中学单位长度后得到A．B．2021 届高三诊断性模拟考试】将函数的图象 . 假设在上单调递减，那么C ．D．的取值范围为〔的图象向左平移〕个【答案】 D2．【宁夏石嘴山市2021 届高三 4 月适应性测试〔一模〕】将函数 f x cos 2x 的图象向左平移个4 8 单位后得到函数g x 的图象，那么g x 〔〕A．为奇函数，在0, 上单调递減 B ．最大值为 1，图象关于直线x 对称4 2C．周期为，图象关于点3,0对称 D ．为偶函数，在 3 , 上单调递增8 8 8【答案】 B3．【新疆乌鲁木齐市2021 届高三第三次诊断性测验】单位长度后，所得图象关于轴对称，那么函数在A． B． C． D．将函数上的最小值为〔〕的图象向左平移个【答案】 B【解析】由题意，函数的图象向左平移个单位长度后，得，由的图象关于对称，即为偶函数，那么，又，所以当时，有，即，那么当，，有，所以函数在上的最小值为. 应选B.点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性、最值等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型. 一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的根底上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.4．【宁夏银川市第二中学2021 届高三下学期高考等值卷〔二模〕】将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，那么这个变换可以是( ).A．左移个单位B．右移个单位C．左移个单位D．右移个单位【答案】 C5．【湖南省益阳市2021 届高三 4 月调研考试】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，假设的图象关于直线对称，那么〔〕A．B．C．D．【答案】 A【解析】由题意知，，令，即函数的对称轴为，又，当时，有，解得. 应选 A.点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型 . 一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的根底上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.6．【〔河北省衡水金卷一模〕2021 届高三毕业班模拟演练】函数，将的图象向右平移个单位，所得函数的局部图象如下列图，那么的值为〔〕A．B．C．D．【答案】 A7．【安徽省“皖南八校〞 2021 届高三第三次〔 4 月〕联考】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的〔纵坐标不变〕再把图像向左平移个单位，得到函数的图象，那么函数图象的一个对称中心为〔〕A． B ． C ． D ．【答案】 B【解析】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得函数的解析式为，再把函数图像向左平移个单位，得到函数，令，解得，当时，，所以函数的一个对称中心的坐标为，应选 B.8．【广东省佛山市普通高中2021 届高三教学质量检测〔二〕】函数的图象在区间上不单调 , 那么的取值范围为( )A． B ． C ． D ．【答案】 B9．【黑龙江省齐齐哈尔市2021 届高三第二次模拟】函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，那么函数的图象〔〕A．关于直线对称 B ．关于直线对称C．关于点对称 D ．关于点对称【答案】 D【解析】由题意得，故，∴，∴，∴，∴．∵，，∴选项 A,B 不正确．又，，∴选项 C,不正确，选项 D 正确．选 D ．10．【 2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题】函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数 为奇函数，那么 的最小值为〔〕A ．B ．C ．D ．【答案】 C11．【山东省潍坊市 2021 届高三第二次高考模拟考试】假设将函数y cos x(0) 的图象向右平移个单3位长度后与函数 y sin x 的图象重合，那么 的最小值为〔〕A ．1B ．3C ．5D ．72222【答案】 B12．【广东省肇庆市2021 届高三第三次模拟】假设将函数的图象向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴为〔〕A．B．C．D．【答案】 C【解析】将函数的图象向左平移个单位长度得到13 ．【令辽宁省辽南协作校应选 A.2021-2021学年高三下学期第一次模拟考试】函数的局部图像如下列图，那么关于函数的以下说法正确的是( )A．图像关于点中心对称B．图像关于直线对称C．图像可由的图像向左平移个单位长度得到D．在区间上单调递减【答案】 D14．【辽宁省朝阳市普通高中2021 届高三第三次模拟考试】函数，，且在区间上有最小值，无最大值，那么的值为〔〕A．B．C．D．【答案】 C【解析】分析：首先根据，且在区间内只有最小值，没有最大值，确定函数取最小值时自变量所满足的条件，之后确定的表达式，进而求出的值，得到结果.详解：如下列图，因为，且，又在区间内只有最小值，没有最大值，所以在处取得最小值，所以，所以，当时，，此时函数在区间内存在最大值，故，应选 C.点睛：该题考查的是有关三角函数型的函数解析式中的参数求解问题，在解题的过程中，需要把握题中的条件，两个自变量对应函数值相等的等价条件是什么，从而找出对应的等量关系式，再结合题中的条件在相应区间上没有最大值，对的值进一步确定，求得结果.15．【华大新高考联盟 2021 届高三平移个单位长度后得到点4 月教学质量检测试卷】将函数，假设点在函数的图象上，那么〔〕图象上的点向右A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】 A.。

课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇 偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（ ）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（ ）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（ ）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（ ）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（ ）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为 ；单调减区间为 ．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（ ）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（ ） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（ ）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（ ） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（ ） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（ ） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。

§3.2 三角函数的图象和性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.三角函数的图象及其变换1.由图象求参数2.由表达式确定图象B填空题解答题★★☆2.三角函数的性质及其应用1.判断三角函数的性质2.由性质求相关参数B填空题解答题★★☆分析解读三角函数的图象与性质是研究三角函数的基础,也是江苏高考的热点,考查重点在以下几个方面:函数解析式、函数图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性).五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是.①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;④把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.答案④2.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为.答案y=2sin3.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点向平移个单位长度.答案右;4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-co s x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案5.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=.答案6.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间上单调递增.答案(k∈Z)7.(2013湖北理改编,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是.答案教师用书专用(8—9)8.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.所以令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,所以令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.9.(2013福建理,20,14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0), f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由;(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.解析(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω==2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为,φ∈(0,π),故f=sin=0,得φ=,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得到y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x∈时,<sin x<,0<cos 2x<,所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解.设G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈,则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x∈,所以G'(x)>0,G(x)在内单调递增.又G=-<0,G=>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,即存在唯一的x0∈满足题意.(3)依题意得,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-,x≠kπ(k∈Z).现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-的解的情况.令h(x)=-,x∈(0,π)∪(π,2π),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况.h'(x)=,令h'(x)=0,得x=或x=.的变化情况如下表当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞,当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为.答案2.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.答案x=+(k∈Z)3.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;(k∈Z)4.(2014安徽改编,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f=.答案5.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.教师用书专用(6)6.(2013湖南理,17,12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解析f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sin α=.又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g(α)=1-cos α=1-=1-=.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018江苏天一中学调研)将函数y=5sin的图象向左平移φ个单位后,所得函数图象关于直线x=对称,则φ=.答案2.(苏教必4,二,3,变式)函数y=sin x的图象和y=的图象交点的个数是.答案 33.(苏教必4,二,3,变式)定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为.答案4.(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=.答案考点二三角函数的性质及其应用5.(2018江苏徐州铜山中学期中)函数f(x)=2sin的最小正周期为.答案 66.(2018江苏南通中学高三阶段练习)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案7.(2018江苏常熟期中)函数y=sin(2x+φ)图象的一条对称轴是x=,则φ的值是.答案8.(2017江苏南京学情检测,4)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是.答案9.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin的图象与y轴最近的对称轴方程是.答案x=-10.(苏教必4,二,3,变式)已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是.(只填序号)①函数f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)在区间上是增函数;③函数f(x)的图象关于直线x=0对称;④函数f(x)是奇函数.答案④11.(2016江苏如东期中,9)函数f(x)=sin x-cos x(-π≤x≤0)的单调增区间是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=sin,若对任意的实数α∈,都存在实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是.答案2.(2018江苏扬州中学高三月考)已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为.答案3.(2017江苏徐州沛县中学质检,12)若函数y=sin x+mcos x图象的一条对称轴方程为x=,则实数m的值为.答案4.(2016江苏常州武进期中,9)已知函数f(x)=2sin,x∈的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1<x2<x3,那么x1+2x2+x3的值为.答案二、解答题(共15分)5.(2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=-sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析(1)∵f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为,∴f(x)的周期为,∴=,∵a>0,∴a=2,此时f(x)=-sin++b,又∵f(x)的图象与x轴相切,∴=,∵b>0,∴b=-.(2)由(1)可得f(x)=-sin+,∵x∈,∴4x+∈,∴当4x+=,即x=时,f(x)取得最大值;当4x+=,即x=时,f(x)取得最小值0.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数性质1.函数y=3tan的对称中心是.答案(k∈Z)2.函数y=-3sin2x+9sin x+的最大值为.答案方法2 利用三角函数性质求参数3.已知ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx在上是增函数,则ω的取值范围为.答案4.是否存在实数k,使得当x∈时,k+tan的值总不大于零?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.解析假设存在实数k,符合题意,则k≤tan恒成立,∴k≤tan,而当x∈时,0≤2x-≤,0≤tan≤,∴k≤0,所以存在符合条件的实数k,其取值范围为(-∞,0].。