第二讲平面向量的解题技巧
【考点透视】
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．
透析高考试题，知命题热点为：
1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．
2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件．
4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．
5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．
6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【知识回顾】
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a（交换律）;
(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;
(3)（a+b）·c= a·c +b·c.
2.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．
不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 3．向量平行的坐标表示
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.
4. a 与b 的数量积(或内积)
a ·
b =|a ||b |cos θ．
5. a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 6.平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r
.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 7.两向量的夹角公式
cos θ=
(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
8.平面两点间的距离公式
,A B d
=||AB =u u u r
=11(,)x y ，B 22(,)x y ).
9.向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 10.线段的定比分公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r
，则
121
211x x x y y y λλ
λλ+⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12
(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （1
1t λ
=+）. 11.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++.
12.点的平移公式
''''
x x h x x h y y k y y k
⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''
OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'
F 上的对应点为'
'
'
(,)P x y ，且'
PP u u u r
的坐
标为(,)h k .
13.“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的方程为
(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 14. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心222
OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .
（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r
.
（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r
.
（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r
.
【例题解析】
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.
例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且
2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r
，那么（ ）
