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信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题

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信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析

信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析

c1
e2 t
e
t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
e 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解： 矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g

信号与系统3.5 连续时间LTI系统零状态响应

信号与系统3.5 连续时间LTI系统零状态响应

3. 卷积积分的性质
※ 等效特性：
x1(t) x2(t)

x1(1) (t) x2 '(t)

x1
'(t)

x ( 1) 2
(t
)
※ 平移特性： x(t) * (t－T) = x(t－T)
若x1(t) * x2(t) = y(t)，则 x1(t－t1) * x2(t－t2)= y(t－t1－t2)
t
3t
t 0 123
两个不等宽矩形脉冲的卷积为一个等腰梯形信号
两个信号的卷积，卷积结果仍为一个信号。该信号的起点等 于那两个信号起点之和，终点等于那两个信号的终点之和。
3. 卷积积分的性质
(1) 交换律： x1(t) *x2(t) = x2(t) * x1(t) (2) 分配律： [ x1(t) + x2(t) ] * x3(t) = x1(t) * x3(t) + x2(t) * x3(t) (3) 结合律 ： [ x1(t) * x2(t) ] * x3(t) = x1(t) *[ x2(t) * x3(t) ]
23
t
y(t)
1
t
2 1 0
12
[例] 如下图x(t)，计算三角波x1(t)与周期~x2(冲t) 激串信号~x2 (t)的卷积。
1
(1)
T=1
1 0
1
t
三角波
t
-1 0
1
周期冲激串信号
解： T=1时，周期冲激串信号 ~x2(t) (t 1) (t) (t 1)
图形法计算卷积积分的步骤：
(1)将x(t)和h(t)中的自变量由t改为； (2)将其中一个信号翻转得h(－)，再平移t得到h(t－) ；

34连续时间LTI系统的冲激响应

34连续时间LTI系统的冲激响应

=

3u(
)

2e
3(t

)u
(t


)d

详细求解见后
= 2(1 e3t )u(t)
卷积法求解yzs (t)的思路
(1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 (2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 单位冲激响应h(t) (3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励
1. 冲激响应的定义
若描述连续时间LTI系统的常系数线性微分方程为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y '(t) a0 y(t)

bm x(m)
(t)

b x(m1) m1
(t)
L
b1x ' (t) b0x(t)
则连续时间LTI系统的冲激响应h(t)应满足
北京交通大学 信号处理课程组
连续时间LTI系统的冲激响应
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
系统的零状态响应 当系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，
由系统的外部激励 x(t) 而产生的响应，用表示yzs (t)。
连续时间LTI系统的冲激响应
假设单位冲激信号d (t)作用在系统上的冲激响应为h(t)
d (t)
系统
h(t)
零状态
而任意信号x(t) 都可以分解为单位冲激信号的线性组合，
即

x(t) x( ) d (t )d
零状态响应

yzs (t)
x( ) h(t )d

x(t) h(t)
即 yzs (t)为输入激励 x(t)与系统的冲激响应 h (t)的卷积积分。

2.1 LTI连续系统的响应

2.1 LTI连续系统的响应

1 P= 3
1 t 于是，特解为 e 。 3
3. 全解
完全解 = 齐次解 + 特解 定出齐次解中的待定常数Ci。 由初始值 初始值定出齐次解中的待定常数 • 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或 自由响应； • 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 举例
齐次解举例
d 求微分方程 3 y (t ) + 7 2 y (t ) + 16 y (t ) + 12 y (t ) = f (t ) dt dt dt 的齐次解。 d3 d2
系统的特征方程为 解： 解：系统的特征方程为
λ3 + 7λ2 + 16λ + 12 = 0
特征根
(λ + 2) (λ + 3) = 0
激励ft响应yt的特解ypt常数f常数p的特征根0重为r有0111ptptptptmmmmr???????等于特征单根?r1????e01tptp?mt特征根均不为00111ptptptpmmmm???????t?e不等于特征根??etp???tcos???tsin??????j?sincos21??特征根不等于tptp重特征根r等于?ptptptrrr?e01???2
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 ) y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t (t) )，求y(0+)和y’(0+)。 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=δ’(t (t)
0-和0+初始值举例1
例2：描述某系统的微分方程为 ) y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t (t) )，求y(0+)和y’(0+)。 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=δ’(t (t) )=δ’(t )代入上述微分方程得 解：将输入f(t (t)= (t) y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ” (t) + δ’(t ) （1） (t) 利用系数匹配法分析： )= aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t)， r1(t)中不含冲激 令y”(t (t)= )=a y’(t )= aδ’(t)+bδ(t )+ r2(t)， r2(t)= Cε(t )+ r1(-1)(t) (t)= (t)+ (t)=C (t)+ )= aδ(t )+ r3(t)， r3(t)= bε(t )+ r2(-1)(t) y(t y(t)= (t)+ (t)=b (t)+ 将上述关系代入式（1），并整理得

§4.8 连续信号通过LTI系统的频响分析 《信号与系统》课件

§4.8 连续信号通过LTI系统的频响分析 《信号与系统》课件

在零输入条件下，对上式两边进行傅里叶变换，并
利用傅里叶变换的时域微分特性，可得：
[an ( j)n a1 ( j) a0 ]R() [bm ( j)m b1 ( j) b0 ]E()
H ()
R() E()
bm ( an (
j)m j)n
bm1( j)m1 b1( j) b0 an1( j)n1 a1( j) a0
获得系统的频率响应方法
方法1：从系统微分方程入手，运用傅里叶变换的微分 性质得到 R() 与E() 的关系式，再将两者进行比值运 算，得到系统输出与输入之比，即H() R() E() 方法2：根据基本电路元件R、L、C的频率模型R、jL 1 jC，以及电路的基尔霍夫定律等，再求 H() R() E() 方法3：先求出系统的冲激响应 h(t) ，再用傅里叶变换
（3）输出信号的相位相对于输入信号偏移了0
本章小结
本章讨论了信号的频域分析方法，包括周期信号 的傅里叶级数、非周期信号的傅里叶变换、周期信 号的傅里叶变换。傅里叶变换是构建时域分析到频 域分析的桥梁。还介绍了傅里叶变换的基本性质， 分析了利用傅里叶变换的性质简化了傅里叶变换运 算的过程，也给出了傅里叶变换一些应用的理论依 据。最后，讲述了抽样定理以及信号通过线性系统 的频响特性。抽样定理是连续信号与离散信号的桥 梁，也是对连续信号实现数字处理的理论基础。该 定理要求抽样频率应大于信号最高频率的两倍，在 此条件下，通过理想低通滤波器可以无失真地恢复 被抽样的信号。抽样定理的出现，为信号处理有关 理论的迅速发展奠定了具有历史意义的里程碑。
频域分析法求解系统零状态响应的具体步骤
（1）求激励信号e(t) 分解为正弦分量 E( j) （2）求系统传输特性函数H( j)

信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题

信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) )
Ae 2t

Be 4t

1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)

2A
3 4B

1

2
解得 A=5/2，B= 11/6
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
t 0 t0 t 0 t0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0

LTI连续系统的时域响应


信号与系统
信号与系统
LTI连续系统的时域响应
1.1
微分方程经典解与自由、强迫响应
LTI连续系统的时域响应
1.2
零输入相应、零状态响应分别求法
LTI连续统的时域响应
1.2
零输入相应、零状态响应分别求法
可以看出：系统方程的齐次解就是系统的自由响应（又称固有响应），系统方程的特 解就是系统的强迫响应；系统的自由响应包含着零输入响应的全部及零状态响应中的 一部分;系统的零状态响应包含着系统强迫响应的全部及系统自由响应中的一部分.

§2.2 LTI连续系统的响应

§2.2 LTI连续系统的响应通信与信息工程学院 江帆一．物理系统的模型•许多实际系统可以用线性系统来模拟。

•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。

二．微分方程的列写•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。

•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。

元件特性约束：表征元件特性的关系式。

例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.三．n阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号e(t )与响应信号r (t )之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述d n r (t ) d n −1 r ( t ) d r (t ) + C1 + L + C n −1 + C nr (t ) C0 n n −1 dt dt dt d m e( t ) d m −1 e ( t ) d e( t ) = E0 + E1 + L + E m −1 + E m e( t ) m m −1 dt dt dt若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。

阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。

四．求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。

y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

信号与系统 连续时间LTI系统的频率响应


( ) ( )
信号与系统
二、频率响应的性质
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实 现系统。(物理可实现性)。 佩利—维纳准则： 幅频响应为 H ( ) 的系统可实现的必要条件为
ln H ( ) 1
2



d
而且幅频特性必须平方可积，即

y (t ) 1 j j t e e H ( ) e j e j t H () 2
1 j j t e e H ( ) e j e j e j t H ( ) e j 2


H () cos t
H(ω) 称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为
H () H () e
j
H () 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应 或幅频特性。
( ) 称为系统的相频响应特性，简称相频响应 或相频特性.
信号与系统
§ 4.6 连续时间LTI系统的频率响应（1）
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统，即
d n y(t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t )=bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt 由傅立叶变换及其性质可得：
。
I (t )

I j

R
e(t )

u o (t )
C

信号与系统 2.1 LTI连续系统的响应

解：系统的特征方程为 特征根
4 4 0
2
2 0 1 2 重根
2
对应的齐次解为
yh t C1t C2 e2t
2. 特解
特解的形式和激励的形式有关，由激励的形式定。
激励f(t) 响应y(t)的特解yp(t)
F (常数 )
tm
P(常数)
三.零输入响应和零状态响应
1 、零输入响应
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)} 所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分 方程等号右端为零，化为齐次方程，即：
( a j yzij ) (t ) 0 j 0 n
对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)= y(j)(0-) 注意：零输入响应的这个性质
第二章 连续系统的时域分析
本章主要研究线性时不变（LTI）连续系统的时域 分析方法，即对于给定的激励，根据激励和响应之间 关系的微分方程求响应的方法。
第二章 连续系统的时域分析
本章重点：
微分方程的经典求解方法
关于0-和0+初始值 零输入响应和零状态响应
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
全响应
如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下， LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状 态响应之和，即： y(t)=yzi(t)+yzs(t) 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j=0,1,2，…,n-1)的计算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零状态响应，在t=0-时激励尚未接入，因此 yzs(j)(0-)=0 因而零输入响应的0+值 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-)= y(j)(0-)
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连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
y'(t) + 3y(t) = 2f(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e3t u(t), f(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yf (t)。
解：y f (t) f (t) h(t) f ( ) h(t )d = 3u( ) 2e3(t )u(t )d
= 0t 3 2e 3(t )d
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t) 0
求解方法： ✓ 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式 ✓ 再由初始条件确定待定系数。
[例1] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+5y ' (t) +6y (t) =4f(t), t>0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
由时不变特性 (t ) h(t )
由均匀特性 f ( ) (t ) f ( )h(t
f
(
)
(t
)d
y f (t) f ( ) h(t )d
y f (t) f ( ) h(t )d f (t) h(t)
[例] 已知某LTI系统的动态方程式为：
2
6
3
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 2.系统的零状态响应
当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t) 产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。
求解系统的零状态响应yf (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
0 2(1 e3t ) = 0 = 2(1 e3t )u(t)
t 0 t0 t 0 t0
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
解得 K1= 6，K2= 5
yx (t) 6e2t 5e3t , t 0
[例2] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。
系统的初始状态为y(0) = 1，y' (0) = 3， 求系统的零输入响应yx(t)。
解: 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
y x (t) K1e2t K 2e3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3