15-1 压杆稳定(10年)解析

定义
稳定平衡：去掉干扰后，能恢复到原直线形式的平 衡位置。 不稳定平衡：去掉干扰后，不能恢复到原直线形式平 衡位置。 临界力：压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡轴线压力 的临界值。 Pcr: 临界载荷（critical load)——压杆破坏载荷
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理想压杆：
1）杆件轴线是理想直线；
2）无初弯曲； 3）载荷沿轴线方向作用，无偏心； 4）材料均匀。
2 EI
(2l )
2
Pcr
2 EI
l2
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长度系数μ
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
支承对压杆临界载荷的影响
各种支承压杆临界载荷的通用公式
P cr =
( l)2
2EI
一端自由，一端固定 ＝2.0
一端铰支，一端固定 ＝0.7 两端固定 两端铰支
＝0.5 ＝1.0
P Pcr
实际压杆实验曲线
O
ymax
24
讨论
4. 精确微分方程 P
P Pcr
P Pcr
精确微分方程
P 1.015 Pcr
M 3 2 2 EI (1 y )
y
B
近似微分方程
实际压杆实验曲线
5. 欧拉公式的应用条件：
o
1.理想压杆；
2.线弹性、比例极限以内； 3. 平面弯曲。
边界条件为: x 0, y y 0; x l , y y 0
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P
M0
P
M0
M0 c , P
d 0,
kl 2n 并 kl n
kl 2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
n 1, kl 2
4 2 EI 2 EI 所以，临界力为： Pcr 2 l ( l / 2) 2
二.两端铰支细长压杆的临界力、欧拉公式
临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。 从挠曲线入手，求临界力。 y
P cr
① 弯矩： M ( x , y ) Py
P cr ② 挠曲线近似微分方程：
x
P cr
x
x y M
P cr
M P y y EI EI P y k 2 y 0 y y0 EI
9
工程事故2
2004.5.23清晨7点左右， 法国戴高乐机场的候机楼发 生屋顶坍塌事故，造成至少6 人死亡，3人受伤。 该候机楼2003年的6月17日 举办了落成典礼，但直到11 月份才正式投入使用。
法国巴黎郊外戴高乐机场的候机厅
戴高乐机场坍塌事故现场
就地展开医疗救助
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工程背景
1983年10月4日, 高54.2m、长 17.25m、总重 565.4kN大型脚手
P
P
100
40
2）中小柔度杆的临界应力计算
P —中小柔度杆 中柔度杆: o P
① P<<S
p， 欧拉公式不适用。
强度、稳定兼而有之
— 经验公式
a. 直线型经验公式
cr a b
cr a1 b2
a s ( b ) o b
四.压杆的临界应力
1.临界应力概念 压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
Pcr A
Pcr 2E 2 EI 2 E cr 2 2 A ( l ) A ( l / i ) 2
i I — —惯性半径。 A
cr
临界应力的欧拉公式
2E 即： cr 2
B0 A 0 A sin kl 0 sin kl 0
P 由于 : k EI
2
2 2 n 2 Pcr EIk EI 2 l
kl n
n k l ( n 1,2,3...)
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讨论
1. 临界力 Pcr 是微弯下的最小载荷，故：取
n=1 ，I＝Imin。
P 其 中: k EI
2
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考虑x段平衡：
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y A sin kx B cos kx y ( 0) y ( l源自) 0y k 2 y 0
0 1 A A 0 B 0 0 即: sin kl cos kl B A sin kl B cos kl 0
凝土空 心板现场浇筑施工时， 发生模板支撑体系坍塌 事故，造成 8 人死亡、 21 人受伤的重大伤亡事故。
事故现场120救护车在出口等候救援 民工们守候在事故现场外等候消息 7
工程事故1 一个班组的人掉了下来， 在6层打灰的四十多人全都不见了。 由于工作业面距地面20多米，发生坍塌 后，工人被砸、埋其中。
材料性质 元件性质
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2.临界应力曲线
1）欧拉公式适用范围（大柔度杆的分界） 欧拉公式应用条件：比例极限以内；平面弯曲。
E cr 2 P
2
P 当： P — —大柔度杆（或细长杆 ）， 求临界力— —欧拉公式。
E

E
P
A3钢，E=200GPa , 比例极限p=200MPa,
不稳定平衡
稳定平衡
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压杆的实验观察
P 测试一 (1) P=0或为拉时: 小的横向干扰不会使杆 离开起初始平衡位置(或失稳); (2)增大P: 小的横向干扰仍不会使杆失稳;
横向扰动
(3)当增大P至某一值 Pcr 时: 小的横向干扰 就会使杆失稳; Pcr: 临界载荷（critical load)
扰动的种类：小的横向力；杆件表面凹坑； 杆件初始曲率等。 扰动是失稳的外因，杆件在外载作用下处于临界状态是内因。
Pcr
2 EI min
l2
y z x
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
在x-y面内失稳！
Imin=Iz
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讨论
2. n=2、3、4 n=2
n y A sin kx A sin x l
n=3
3. y A sin kx曲线
P A
P Pcr
理想压杆曲线 B
P Pcr : OA线 P Pcr : AB线
——长度系数（或约束系数）
L——相当长度。
2 EI min 比较： P cr l2
两端铰支压杆的约束系数
＝1
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1. 一端固定一端自由
相当于长度 为 2l 两端 铰支压杆的临界力
Pcr
EI
2
2l
2
2. 一端固定一端铰支
相当于长度为0.7l 两端铰支压杆的临界力。
Pcr
架屈曲坍塌，5人
死亡、7人受伤 。
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材料力学基本任务 构件的承载能力
问题 ①强度 ②刚度 ③稳定性
分析设计过程
外力—内力—应力—强度条件 外力—变形—刚度条件 外力—?—稳定性条件
失效方式
塑性屈服或脆断
变形过大失去工作能力 失去稳定性 后果更严重!
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稳定性: 指平衡状态的稳定性 1.稳定平衡与不稳定平衡
P 图(b)
L
I min I y 3.89 108 m4
图 (a) ： 一端固支， 一端铰支 (4545 6) 等边角钢
L
y
z
2 I min E Pcr ( 2l ) 2

2 0.389 200
(2 0.5)
2
76.8kN
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图 (b)： 一端固支，一端自由
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例1
试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临 界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P P M0
x L
P
x
M0
EIy M ( x ) Py M 0 P 2 令:k EI 2 2 M0 EIy k y k P M0 y c cos kx d sin kx P
0.7l
EI
2 2
3. 两端固定
相当于长度为0.5l 两端铰支压杆的临界力。
Pcr
0.5l
EI
2 2
支承对压杆临界载荷的影响
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表15–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 另端自由
Pcr
两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
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P
P
压杆的实验观察
测试二
横向扰动
横向扰动
(1)将杆加粗或变短， 杆不容易失稳。 (2)增加杆的约束，
杆也不容易失稳。
压杆的实验观察结论
（1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆端约束有关；
（2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关；
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（2）压杆的平衡状态
P＜ PP ＜ crPcr P≥Pcr
稳定的
不稳定的

l
i
— 杆的柔度（或长细比）
柔度综合反映了：杆端约束、截面几何性质、
杆长对压杆稳定的影响
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cr 与 s的比较
保证强度— — S 1)与 s 相同处： 保证稳定— — cr
S：只同材料有关 2)与 s不同处： cr：同支撑、杆长有关
= 0.5
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x L z
例2
y
求下列细长压杆的临界力。
y z
h
b
EI y b3h 解：①绕 y 轴，两端铰支： =1.0， I y 12 , Pcry (1 L) 2
2
②绕 z 轴，
2 EI z bh3 , Pcrz 下端固定，上端铰支： =0.7 ， I z (0.7 L )2 12