- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
氢原子能量E＝-13.606eV，和Bohr理论中的基态能量一致。
a0 4m e022 52.9pm
a0值和玻尔理论中基态轨道半径完全一致，习惯上称之为 Bohr半径。
n＝1，l＝0
3/2
Z
R1,0(r)2a0
er/a0
ψ1s是球形对称的，与角度θ和φ无关
2.2 单电子原子的状态与量子数
r2
两边同乘以
，整理得：
R(r) Y ( , )
R1 rrr2rRr2m2r2E4 2m Z 0e2 2r
Y1,sin 1sinsin1222Y,
只含r R1 (r)r(r2R (rr))2m 0 Z 22re2m 2 r2E ＝常数k
电子概率密度的径向分布图
2 r Rr 2 r
0.2
3s
0.1
3p 3d
0
r
电子云：概率密度的径向分布
R2(r)
径向分布图
径向分布函数
D R 2(r)r2dP/dr
半径为r的球面附近单位厚度球 壳内电子出现的概率。
D(r)～r：概率密度随径向r的分布。 每一状态都有一个极大的D(r)，这个极大值D(r) 对应的r就是最概然半径
R2(r)
0.1
0.05
3d
3p
0
3s
r/a0
概率密度（电子云）径向分布图
R(r)
R(r)
原子轨道(波函数)的空间图示与径向分布
1s
3s
0
2s
0.2
0.1
3d
r
0
-0.1
3p
r
3s
2s
2p
3p
3d
4d
节面数（n-l-1）
空间图示与径向分布图的比较
3p概率密度（电子云）图示
2pz
3pz
氢原子轨道的zx等值线图
度ψ2的大小。
1s
2s
3s
1s、2s、3s电子云的剖面示意
f z3 3 zr 2 5
f x 3 3 xr 2 5
f y33 yr2 5
f xyz
f y x2 z2
f x z2 y2
f z x2 y2
f轨道
总节面数目为n－1
角度节面数目为l
原子轨道、电子云的空间图示与径向分布图
径向分布函数 角度分布函数
Rn,l r Yl,m ,
2.2.2 原子轨道与电子云的图形 径向分布图 角度分布图 空间分布图
原子轨道的径向分布图
R(r)
R(r)
0.2
1s
3s
0.1
3d
0
2s
0
r
-0.1
3p
r
3s
节点： Rn,l r0
节面：以节点到原点为半径的球面 节点或节面数为(n-l-1).
ψ=ψ(r,θ,φ)
2.1.2 变量分离
r、θ、φ三个变量是相互独立的，假设：
( r ,,) R ( r ) () ()
径向部分 角度部分
Y (,) () ()
(r ,,) R (r )Y ( ,)
1( r 2 ) 1 ( s i n) 12 2 m ( E Z e 2 ) 0
角度分布图
将 Yl,m(θ,φ) 或 Y2l,m(θ,φ) 作图，称为角度分布 图。
Yl,m(θ,φ)较 Y2l,m(θ,φ)： 无正、负号。 更瘦小。
原 子 轨 道 电 子 云 界 面 p轨道 图 l=1
角度节面数目为l
s轨道
l=0
d轨道
l=2
空分布图
电子云图：以黑点的疏密表示空间各点概率密
ψ由三个量子数n、l、m决定，它们相互制约：
n＝1，2，3，… n≥l＋1 l＝0，1，2，…，n-1 m＝0，±1，±2，…，±l 共有2l＋1个值
氢原子的基态
En8m 0 e2h 4Z 2n228m 02 eh42Z n22
Z1,n1
me4
En802h2 13.606eV
＝
只与角 度有关
Y(1,)[s1in(sin)si12 n22]Y(,)
R(r)方程 R 1 r r r2 r R r 2 m 2 r2E 4 2 m Z 0 e 2 2r
Legendre方程
Y 1 , s in 1 s in s in 1 2 2 2 Y ,
原子的结构--氢原子
2.1 单电子原子的薛定谔方程及其解
氢原子和类氢离子 的Schrödinger方程 变量分离方法 Schrödinger方程的解
2.1.1 氢原子和类氢离子 的Schrödinger方程
H、He+、Li2+、Be3+的核 外只有一个电子，是最简 单的原子。
N
Hˆ
F单电子原子的状态 F原子轨道与电子云 F量子数与力学量
2.2.1 单电子原子的状态
量子数(nml)
主量子数n
1 2 3 4 5 6…
电子层(光谱学符号） K L M N O P…
角量子数l
0，1 ，2，3，…，n-1
电子亚层
s p df …
磁量子数m
0,±1,±2,±3 ，… ±l
能量 波函数,原子轨道与量子数
i1
2m2i i2
V
r x2y2z2
Hˆ
2 2me
2 e
2 2mn
2 n
电子的动能
核的动能
Ze 2
4 0r 核对电子的吸引位能
两项近似 Born － Oppenheimer 近 似 ： mn>>me ， ve>>vn ， 可 假设原子核固定不动，处于坐标的原点。
n1
简并度 g (2l1)n2
l0
结构化学 —— 第二章 原子结构与性质
2.2.2 原子轨道与电子云的图形
n , l , m r ,, R n , l r l , m , m R n , l r Y l , m ,
s in ( ) s in ( ) s in 2 = 1 ( ) 2 2 ( )
Θ(θ)方程 Φ(φ)方程
s( i)n [si n () ] ks2 in m 2
1 2() () 2
d dD r4 a Z 0 32rexp 2 a Z 0r 1Z a0 r 0
1s电子
r a0 Z
Atom H
He Li Be B
C
NOF
Ne
a0/Z(pm) 52.9 26.5 17.6 13.2 10.6 8.82 7.56 6.61 5.88 5.29
40 r
坐标变换
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
r
cos
r x 2 y 2 z 2
球极坐标系及其角度取值
坐标变换
2
2 x2
2 y2
2 z2
2 r 1 2 r(r 2 r) r 2 s 1 i n (s i) n r 2 s 1 2 i n 2 2
H ˆ2 m 2ee 22 m 2nn 24Z 0 2re
Hˆ 2 2 Ze2
2m 40r
r x2y2z2
2 (222 )( x ,y ,z ) Z e 2 ( x ,y ,z ) E ( x ,y ,z )
2 m x 2 y 2 z 2
径向分布函数图示
氢原子中各种原子轨道的径向分布函数D(r)
径向分布特点
1s
D
l相同
2s 3s
1
5
10
r/a0
当l相同时，n越大，峰越多，能量越高，主峰离核越远。 比如， 1s, 2s, 3s, 4s。
D 3d 4d 4p 4s
n相同
r/a0
当n相同时，l越小，峰越多，主峰离核越远，但最小峰(第 一峰)离核越近，这是后面要讲的钻穿效应。
氢原子的1s轨道上的电子的最概然半径为a0 Bohr半径a0, Bohr原子轨道是量子力学结果的极粗略近似。
m2
Schrödinger方程分解为三个只含一个独立变量的 微分方程：R(r)、Θ(θ)和Φ(φ)方程，分别求解后就 可得到波函数。
波函数
n,l,m (r,,)R n,l(r) l,m () m ()
C [n i 1 lC i(Z a0 r)li 1exp(n Z a r0)]P lm(cos)eim
2 2(x ,y ,z)Z 2 e (x ,y ,z) E(x ,y ,z)
2 m
40 r
2 r 1 2 r(r 2 r) r 2 s 1 i n (s i) n r 2 s 1 2 i n 2 2
r 1 2r ( r 2r ) r 2 s 1i( n s) i r n 2 s 1 2 i2 n 2 2 m 2 ( E 4 Z 0 2 r ) e 0
氢原子轨道的zx等值线图
最概然半径
电子出现概率最大的球壳半径
dD 0 dr
求氦离子He+ 1s轨道电子的最概然半径，以及周期表中从H到Ne 原子1s电子的最概然半径．
3
R1,0
2Z
2
a0
2exp(Zr) a0
Dr2
1aZ0 32 exp(Za0r)2
