2005高考试题——数学理(浙江卷)
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2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++++∞→2321lim nnn （ ）A ．2B ．1C ．21D ．0 2．点（1，－1）到直线01=+-y x 的距离是（ ）A ．21B ．23 C ．22 D ．223 3．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则（ ）A ．21 B ．134 C ．59-D ．4125 4．在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A ．74B ．121C ．－74D ．－1216．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,. 有如下两个命 题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题7．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知4-<k ，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ）A ．1B ．－1C ．12+kD ．12+-k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(P n f N n P Q P N n n n f ∈∈===∈+=记， P Q n f N n Q (},)(|{则∈∈= )Q Q ( =)P（ ）A ．{0，3}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则 （ ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e ）C ．e ⊥（a －e ）D ．（a +e ）⊥（a －e ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 11．函数∈+=x x xy (2R ，且)2-≠x 的反函数是 . 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图).现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ， 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于 .13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种 数是 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cos sin sin 3)(2x x x x f +-= （Ⅰ）求)625(πf 的值； （Ⅱ）设ααπαsin ,2341)2(),,0(求-=∈f 的值.NABC16．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式； （Ⅱ）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线x l 与轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q的坐标（用m 表示）.18．如图,在三棱锥P —ABC 中,,,kPA BC AB BC AB ==⊥点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB ； （Ⅱ）当21=k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小; （Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?BCPDAo19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p .（Ⅰ）从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸5次停止的概率; ( ii ) 记5次之内 (含5次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（Ⅱ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是52, 求p 的值.20．设点)2.(),0,(1-n n n n n x P x A 和抛物线),(:2*∈++=N n b x a x y C n n n 其中n n n x n a ,21421----=由以下方法得到：)2,(,1221x P x 点=在抛物线1121:b x a x y C ++=上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上的最短距离，……，点)2,(11n n n x P ++在抛物线上n n n b x a x y C ++=2:上，点1)0,(+n n n P x A 到的距离是A n到C n 上点的最短距离. （Ⅰ）求12C x 及的方程； （Ⅱ）证明}{n x 是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9） A （10）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题４分，满分１６分。
(11))1,(12≠∈-=x R x xxy 且 (12)90° (13) 2 (14) 8424 三．解答题(15)本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力。
满分14分。
解: (I),23625cos ,21625sin==ππ225252525()sin cos 06666f ππππ∴=+=(II).2sin 21232cos 23)(x x x f +-=11()sin 224f ααα∴=+=216sin 4sin 110αα--= 解得8531sin ±=α(0,),απ∈ sin 0,α∴> 故8531sin +=α(16)本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和推理能力。
满分14分。
解：（I ）设函数)(x f y =的图象上任一点),(00y x Q 关于原点的对称点为),(y x P ,则⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.,,02,020000y y x x y x xx 即 )(),(00x f y y x Q =在函数点 的图象上，∴22,y x x -=- 即22,y x x =-+ 故g(x)＝22x x -+.(II)由()()|1|g x f x x ≥--可得。
2|2|1|0x x --≤ 当x ≥1时，0122≤+-x x此时不等式无解。
当1x <时 0122≤-+x x 211≤≤-∴x 因此，原不等式的解集为[－1，21]. （17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
满分14分。
解：（Ｉ）设椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 半焦距为c, 则a c a MA -=21||， c a F A -=||11 由题意，得.1,3,2.,42),(22222===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==-=-c b a c b a a c a a c a故椭圆方程为13422=+y x （II ）设,0,0,1||),,(2100=∠=>PF F y m y m P 时当当∴<∠<∠<≠,20,01210πM PF PF F y 时只需求21tan PF F ∠的最大值即可.设直线PF 1的斜率,1,102201-=+=m yk PF m y k 的斜率直线 .11||12||21||2|1|tan 20202020211221-=⋅-≤+-=+-=∠∴m y m y y m y k k k k PF F 当且仅当2102,||1PF F y m ∠=-时最大，.1||),1,(2>-±∴m m m Q(18) 本题主要考查空间线面关系、空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。
满分14分。
解：方法一：（Ｉ）O 、D 分别为AC 、PC 的中点。
PA OD //∴又PA ⊂平面PAB . ∴OD //平面PAB.(Ⅱ)AB BC ⊥,OA OC = ∴,OA OB OC ==又OP ⊥平面ABC ∴PA PB PC ==. 取BC 中点Ｅ，连结PE ,则BC ⊥平面POE . 作OF PE ⊥于F,连结DF ,则OF ⊥平面PBC , ∴ODF ∠是OD 与平面PBC 所成的角。
又//,OD PAPA ∴与平面PBC 所成角的大小等于ODF ∠。
在ODF Rt ∆中，30210sin ==∠OD OF ODF ∴PA 与平面PBC 所成的角为.30210arcsin（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF ⊥平面PBC ，∴F 是O 在平面PBC 内的射影。
D 是PC 的中点， 若点F 是PBC ∆的重心， 则B 、F 、D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD 。
OB PC ⊥ PC BD ∴⊥ PB BC ∴=，即1K =。
反之，当1K =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， O ∴在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心。
方法二:OP ⊥平面ABC ,,,OA OC AB BC == ,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -(如图)，设a AB =，则)0,0,22(),0,22,0(),0,0,22(a C a B a A -. 设),0,0(,h P h OP 则= (I)D 为PC 的中点，∴OD →＝1(,0,)2h，又,0,)PA h →=-,21-=∴ ∴OD →//PA →∴OD //平面PAB .(Ⅱ)a PA k 2,21==即 a h 27=∴),27,0,22(a a -=∴可求得平面PBC 的法向量),71,1,1(--=.30210==∴ 设PA 与平面PBC 所成的角为θ,则30210|,cos |sin =><=θ PA ∴与平面PBC 所成的角为30210arcsin(Ⅲ)PBC ∆的重心),31,62,62(h a a G - )31,62,62(h a a -=∴ OG ⊥平面.PBC .OG PB ∴⊥ 又),22,0(h a -= .0316122=-=⋅∴h a PB OG .22a h =∴ .1,22==+=∴k a h OA PA 即 反之，当1k =时，三棱椎O PBC -为正三棱锥，O ∴在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心。
