MATLAb连续时间傅里叶变换

s
s o m s 2
4 X j 2 4 4 1 4 s 63.2 rad s 作为 2 2 4 1000 0 4 2
2 Ts 0.0497 2 63.2
Ts
T N
T N 1 N
对于某个给定的频率，即可以用上式求得其频谱密度值。 如果给出一个频率范围，即可以选取一些间隔上的点求出 其取值。
问题：Ts如何选取？频谱特点？
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8.2 连续时间信号的采样
如果一个连续时间信号x t 每隔Ts秒采样一次，那么信 号的采样值就构成了离散时间序列x n x nTs 。
Ts 0 n 0 N 1
得出 X=Ts*fft(x) （可计算某些频率点上的频谱）
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fft函数
FFT Discrete Fourier transform. FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector Fra Baidu bibliotek. For matrices, the FFT operation is applied to each column. For N-D arrays, the FFT operation operates on the first non-singleton dimension. FFT(X,N) is the N-point FFT, padded with zeros if X has less than N points and truncated if it has more. FFT实现的是DTFT的一个周期的抽样，实际的频谱 近似为
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s
o m s
s m s m m
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抽样定理
(1)一个频带受限的信号 x ( t )，若频谱只占据 m ~ m 的范围; 带宽为 m (2)信号 x t 可用等间隔的抽样值来惟一地表示。其抽样 1 1 间隔必须不大于 ，即T m 2πfm ; 2 fm 2 fm (3)可以使用一个理想低通滤波器从x s t 中恢复出x t 。理想低通滤波器的 增益为T，截止频率为 m c s m。
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频谱计算中的问题
X (j ) x ( t )e j t d t


连续→离散（抽样，抽样间隔如何选取？） 无穷积分→有限长（截断）
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8.1 连续时间傅里叶变换的数值近似
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利用快速傅里叶变换计算频谱
MATLAB中提供了fft/ifft函数，可以方便地求出有限长信号 的频谱。具体原理在数字信号处理课程中会详细讨论。 fft实现的是DTFT的一个周期的抽样，所以，对某些频率点 的傅里叶变换，可以用下面的方法求出： 利用
X j lim x nTs e j nTs Ts （可计算任意频率点）
N 1 N s
k
s 频率间隔： N
s 频率位置：k N
k 0,1,2 N 1
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例题
(a) 求 x t e2 t CTFT的解析表达式。
解：
x t x1 t x1 t 其中 x1 t =e2 t u t
0 t /s
1
2
3
4
5
1
0.8
0.6
X(j )
0.4 0.2 0 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
rad/s
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画图（利用解析式）
% ss8_2.m and double_side_exp_spectrum.m
Ts=0.05;
h=plot(t,x); N=256;

s
o
s

卷 积

X s 1 Ts

离散时间信号 的傅里叶变换 DTFT就是抽样 信号的傅立叶 变换。
Ts

o T S x( n)

t
s
o m s
X e j 1 Ts


o 1
n
2
o m 2


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1 Ts

X
Ts
s


s
o m s
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m C s m
8.4 DTFT的引出（利用时移性质）
DTFT:Discrete-time Fourier transform x t 为研究离散时间系统的频 率响应作准备，从抽样信 号的傅里叶变换引出： F x ( t )δT ( t ) T T O x n F x ( nTs )δ( t nTs ) n


xs ( t ) x ( t ) T ( t )
x( nT ) ( t nT )
s s

n
s
X s F X t T t
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1 1 X T X n s 2π Ts n
fs fs 1 1 频域均匀抽样,频率间隔: (Hz)或2 2 2 (rad/s) N N NTs T
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补充说明
1 与抽样相对应，Ts即为抽样间隔，则 f s ,2 f s s Ts 即为抽样角频率。
X k
0 0
第八章 连续时间傅里叶变换
尹霄丽
Electronic Engineer School of BUPT
连续时间傅里叶变换（CTFT）
1 x(t ) 2


X j e j t d
X (j ) x ( t )e j t d t


将连续时间傅里叶级数(CTFS)推广到既能对周期连 续时间信号，又能对非周期连续时间信号进行频谱分析。 这是一种重要而强有力的方法，因为有很多信号当从时 域来看时呈现出很复杂的结构，但从频域来看却很简单。 另外，许多LTI系统的特性行为在频域要比在时域容易 理解得多。为了更有效地应用频域方法，重要的是要将 信号的时域特性是如何与它的频域特性联系起来的建立 直观的认识。
Ts 称为采样间隔 1 f s 称为采样频率 Ts 代表模拟角频率 s 2 f s
Ts
xs t x t T t
O
Ts
2Ts
3Ts
t
代表数字角频率
f Ts 2 fs fs
1
x n
O
1
2
3
n
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X=Ts*fft(x)
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fft函数的使用说明
x nTs
T N 1 Ts
结果希望保留红色部分， 可以使用fftshift函数。
0 Ts X k
t
0
fs
N 1
k
时域：N 个值 频域：N 个值
时域离散 频域为周期性的,
subplot(2,1,2); set(h,'linewidth',2); xlabel('\omega rad/s');ylabel('X(j\omega)');
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抽样间隔如何选取？
X
s


1 s 2 f s 2 Ts 2 Ts s
若信号x t 对于t 0和t T 为零，那么这个近似就可以写成 X (j ) x( t )e j t d t
0 T
x t
0 T t
lim x nTs e j nTs Ts
Ts 0 n 0
N 1
T NTs , N 为一整数。
8.3 理想抽样信号的傅里叶变换（利用卷积定理）
连续信号
x t

抽样信号
xs t
x t X ( m m )
pt T t
抽样脉冲
T (t )
n
(t nT ) ( n )
s s n
比较
利用时域卷积定理 1 Xs X n s Ts n 说明抽样后信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓。 利用时移性质（DTFT） X e
x(n)e
jω n

j nω
得到了工程中可以用来计算频谱的方法。
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说明
1
1 n 0时, X s X , 包 Ts

X
含原信号的全部信息, 幅度 差Ts倍。
1 Ts
s


2 X s 以 s为周期的连续谱 , 有 新的频率成分 ,即 X 的周期
性延拓。
其增益 3 若接一个理想低通滤波器， 为 Ts 截止频率 m c s m 滤除高频成分，即可重现原信号。
傅里叶变换实际是一个积分变换，求变换时就是对信号 x ( t )e j t 求积分，可以利用矩形近似来求此积分。只要将 时间间隔Ts取得非常小，就可以利用求和来近似求积分。
lim x nTs e j nTs Ts X (j ) x( t )e j t d t T 0

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F x ( t )δT ( t )
x(t)
n


x( n)e j nω DTFT x n X e j ω
1
X
o p(t)
(1)
t
mo m

P
E

s


o
TS xS(t )
t 相 乘
已知e
t
1 u t j
且x t X
1 1 X j 2 j 2 j 4 2 4
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1
0.8
exp(-2|t|)
0.6
0.4
0.2
0 -5
-4
-3
-2
-1
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冲激抽样信号的频谱
x(t ) 1
X
o p(t )
(1)
t
mo m

P
E

s


o
TS xS(t )
t 相 乘

s
o
1 Ts
s

卷 积

X s


o T S
t
s
o m s

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s

x t e jt
n -
x nTs e j nTs

O Ts 2Ts 3Ts
nTs n 1 Ts
t
t nT s dt Ts
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傅里叶变换的近似表示
s s s
2Ts
3Ts
t

n
x(nT )e
s

j nΩTs
令 x ( nTs ) x ( n ), Ω Ts ω

1
O
1
2
3
n
MATLAB在信号与系统课程中的应用 n
x ( n) e j nω F x n X e jω F x ( t )δT ( t )＝
t=-5:Ts:5;
subplot(2,1,1); set(h,'linewidth',2);
x=exp(-2*abs(t));
xlabel('t /s'); ylabel('exp(-2|t|)'); w=-pi/Ts+(0:N-1)/N*(2*pi/Ts); h=plot(w,X);
X=4./(w.*w+4);