quiz2solufall99

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18.06 测验2解答1999年11月10日闭卷
1(25分)(a)求过点(t,b)=(0,0),(1,1),(1,3),(2,2)的最佳拟合抛物线方程
,其中C,D,E为系数。


Ax=b无解。

我们需要寻找其最小二乘解和解方程
(b)在解此问题时把向量b=__________________投射到由______________的列向量构成的子空间上。

投影P用C,D,E表示为:______________________
在解此问题时把向量投射到由的列向量构成的子空间上。

投影P用C,D,E表示为:
2(28分)设
(a)求奇异阵A的特征值。

因此A的特征值是0,1,1。

(b)求由A的特征向量构成的的一组基。

有特解
有特解
因此有如下基:
(c)通过把(1,1,1)表示为特征向量的线性组合或由对角化计算
第一种方法:
因此
第二种方法:
因此
3(25分)给定两个向量:
(a)取,求由构成的A的列空间的标准正交基。

(b)在A=QR中,求R的阶数,并证明。

其中Q的列向量为。

计算矩阵。

R是一个2×2的上三角矩阵。

(c)求到A和Q的列空间上的投影矩阵。

由于C(A)=C(Q),得
由的第二个元素均为0,则可以得到到平面的投影矩阵。

这样就
可以不用任何的矩阵乘法就得到答案。

4(22分)(a)若Q是以正交矩阵(列为正交向量的方阵),求证detQ=1或-1。

(b)det(A)的24项中有多少是非零的?并求det(A)。

det(A)的非零项为:
这四项均为-1,故det(A)= -4。