第六讲__DEA模型

DEA 评价方法研究DEA 分析的基本模型DEA 是由美国著名运筹学家A.Charnes 和W.W.Cooper ，等学者于1978年提出的一种系统分析方法。

该方法特别适用于对若干同类型的具有多输入、多输出的决策单元进行相对效率与效益的评价。

主要原因在于：第一，DEA 模型是以最优化为工具，以多指标投入和多指标产出的权系数为决策变量，在最优化的意义上进行评价，避免了在统计平均意义上确定指标权系数，具有内在的客观性。

第二，投入和产出之间的相互关系和相互制约，在DEA 方法中不需要确定其关系的任何形式的表达式，具有暗箱类型研究特色。

因此，应用DEA 方法评价投入产出效率，具有独特的优势。

DEA 方法的2C R 模型将一个“可以通过一系列决策，投入一定数量的生产要素，并产出一定数量的产品”的系统称为决策单元DMU 。

假设有n 个DMU ，每个DMU 都有m 类型的投入和s 种产出。

用投入指标向量12(,,,)0T j j mj X X X X => ，产出指标向量12(,,,)0TJ j sj Y Y Y Y => ，分别表示DMU 的输入与输出指标，其中(1,2,,)j n = 。

对于某个选定的DMU 0 ，判断其有效性的2C R 模型的对偶规则可表示为：式中θ为该决策单元DMU 0的有效值（指投入相对产生的有效利用程度），j λ为相对于DMU 0重新构造一个有效DMU 组合中第j 个决策单元DMU j 的组合比例，,s s +-为松弛变量，ε为非阿基米德无穷小量，通常取610ε-=。

DEA 模型有效性判断和经济内涵（1）当θ=1且0s s +-==时，则称决策单元DMU 0为DEA 有效，即在这n 个决策单元组成的系统中，在原投入0X 的基础上所获得的产出0Y 已达到最优；（2）当θ=1且0s +≠或0s -≠时，则称决策单元DMU 0为DEA 弱有效，即在这n 个决策单元组成的系统中，对于投入0X 可减少s -而保持原产出0Y 不变，或在投入0X 不变的情况下可将产出提高s +；（3）当θ<1时，则称决策单元DMU0为DEA 无效，即在这n 个决策单元组成的系统中，可通过组合将投入降至原投入0X 的θ比例而保持原产出0Y 不减。

一、 数据包络分析法数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。

这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。

衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。

但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。

例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。

在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。

1.1数据包络分析法的主要思想一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。

虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。

由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单元”（Decision Making Units ，DMU ）。

可以认为每个DMU 都代表一定的经济含义，它的基本特点是具有一定的输入和输出，并且在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。

1.2数据包络分析法的基本模型我们主要介绍DEA 中最基本的一个模型——2C R 模型。

设有n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ），每个决策单元有相同的 m 项投入（输入），输入向量为()120,1,2,,,,,Tjjj mjj nx xxx=>=每个决策单元有相同的 s 项产出（输出），输出向量为()120,1,2,,,,,Tjjjsjj nyy y y=>=即每个决策单元有m 种类型的“输入”及s 种类型的“输出”。

第一章DEA概念及基本模型1.1 DEA评价模型概念DEA是数据包络分析( Date Envelopment Analysis)的简称，是著名的运筹学家A. Charnes和W.W.cooper等人以相对效率概念为基础发展起来的一种崭新的效率评价方法。

它是使用数学规划模型比较决策单元之间的相对效率，对决策单元作出评价。

DEA评价模型特别适用于具有多个输入变量和输出变量的复杂系统，它对决策单元的规模有效性和技术有效性同时进行评价。

按照多指标输入和多指标输出，并对同类型评价对象（称为决策单元DMU）的相对有效性进行评价、排序。

其特点是在评价各DMU时选择最有利于该DMU的权，而且不需要事先假定输入与输出的函数关系而直接进行包络分析，得到的评价结果不受任何人为因素的影响，趋于客观公正。

该方法由美国著名运筹学家Charnes、Cooper 等人于1978年首先提出，后经国内学者加以改进和发展，目前已成为系统工程和决策分析领域内一种常用的分析工具和手段。

1.2 DEA的基本模型—C2R模型设有n个部门或单位，每个部门都有m种类型的“输人”以及、种类型的“输出”，以如下形式给出：其中，x ij为第j个决策单元对第i种类型输人的投人总量，x ij>0；y rj 为第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量，y rj>0；v i为对第i种类型输人的一种度量(或称权)；u r，为对第r种类型输出的一种度量(或称权)；i=1，2，…，m；r=1，2，…，s；j=l，2，…，n。

每个决策单元都有相应的效率评价指数h j设，对j为0的决策单元进行相对有效性评价，以所有决策单元的效率评价指数小于等于1为约束，构成如下最优化C2R模型：运用Charnes －Cooper 变化，令ω=tV 、μ=tU 、t=1X V T ，则最优化模 型为：1.3 DEA 评价方法的步骤从DEA 以往成功的应用案例可以归纳出应用DEA 方法的一般步骤为：(1)确定评价目标(2)建立评价指标体系(3)选择DMU ，收集和整理相关数据(4)选择合适的DEA 评价模型(5)计算评价，分析评价结果1.确定评价目标为使DEA 方法所提供的信息更具准确性和科学性，这一阶段需要完成以下工作：(1)明确评价的目标，并围绕评价的目标对评价的对象进行分析，包括辨识主目标和子目标，以及影响这些目标的因素，并建立一个层次结构；(2)确定各种因素的性质，例如把因素分为可变的或不变的，可控的或不可控的，以及主要的或次要的等；(3)考虑因素间可能的定性与定量关系；(4)由于有些决策单元是开放性的，因此有时还要辨明决策单元的边界，还应对决策单元的结构、层次进行分析；(5)应对结果进行定性的分析和预测。

DEA模型公式及其含义DEA（Data Envelopment Analysis）是一种非参数效率评价方法，旨在评估不同单位或决策单元（Decision Making Unit，DMU）的相对效率。

它能够分析其输入与输出关系，确定最优配置，并提高单位效率。

DEA模型的基本思想是将DMU转化为一个输入产出转换模型。

具体而言，假设有n个DMU，每个DMU有m个输入变量和s个输出变量。

对于第i个DMU，用X = (xij)表示其输入变量，Y = (yik)表示其输出变量。

Max T=E(λ,θ)=∑_(i=1)^n▒〖θ_i 〗s.t.∑_(j=1)^m▒〖λ_j x_ij ≤ θ_i ，i=1，2，…，n〗∑_(j=1)^m▒〖λ_j x_jk ≥ y_ik ，i=1，2，…，n, k=1,2,…，s〗λ_j≥0，θ_i≥0，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m其中，T表示总效率指标，θ_i表示第i个DMU的效率得分，λ_j表示第j个输入变量在总效率中的权重。

模型的目标是最大化整体效率指标T，即最大化所有DMU的效率得分之和。

约束条件的第一个部分确保每个DMU的输入不超过其效率得分，第二个部分确保每个DMU的输出不小于其效率得分。

1.评价单位效率：DEA模型可以评估每个DMU的相对效率，并将其归为有效或无效。

如果一个DMU的效率得分为1，意味着其进一步优化的潜力很小，已经实现了最佳的输入产出配置。

如果一个DMU的效率得分小于1，那么就可以利用DEA模型找到一种更理想的输入产出配置，从而提高其效率。

2.确定最优配置：DEA模型通过优化每个DMU的输入产出关系，确定最佳的输入产出配置。

通过权衡各个输入与输出变量之间的关系，可以找到一个相对效率最高的配置。

3.提高单位效率：DEA模型可以帮助管理者确定改进单位效率的策略。

对于无效的DMU，可以找出其对应有效的单位作为改进的目标，通过引入更加高效的生产或运营策略来提高单位效率。

DEA（Data Envelopment Analysis）模型是一种用于测量组织的效率的方法。

在以多输人为决策变量的DEA模型中，决策变量表示输入资源，多输人指的是在满足输出资源的要求的前提下，输入资源的最小值。

解法：
首先，确定输入和输出资源的数量，并列出各组织的输入和输出资源的数值。

然后，对于每个组织，设计一个优化模型，使得输出资源达到要求的同时，输入资源的最小值达到最大。

最后，解决这些优化模型，计算出每个组织的效率值。

请注意，这是一种基本的DEA模型解法，实际情况可能更复杂。

你需要根据具体的需求和条件进行调整。