人教版高中数学不等式试题及答案

高中数学必修5第三章不等式练习题含答案解析人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x 的解集是( )A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确的是( )A ．a >b ?ac 2>bc 2B ．a >b ?a 2>b 2C ．a >b ?a 3>b 3D ．a 2>b 2?a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2) ·4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<1}<="" p="">C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <="" d="" p="" ≤n="" ．m="">2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件?x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3.8．若关于x 的函数y ＝x ＋m 2x 在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )A ．m >2B ．m <－2或m >2C ．－2<2<="" p="">D ．m <－2 9．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有( )A ．f (x )<－1B ．－1<0<="" p="">C ．f (x )>1D ．0<1<="" p="">10．若x ＋23x －5<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3的结果为( )A ．y ＝－4xB ．y ＝2－xC ．y ＝3x －4D ．y ＝5－x二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 【11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分) "16．(12分)已知a >b >0，c <="" －c="">b －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0.18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.、19．(12分)已知非负实数x ，y 满足?2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．%20．(13分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；…(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<="">必修5第三章《不等式》单元测试题（1．解析：原不等式化为x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A4．解析：x －1x ＋2>1?x －1x ＋2－1>0?－3x ＋2>0?x ＋2<0?x <－2.答案：A -5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC . 答案：A7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组?x ＋y －3＝0，x －2y ＝0.得A (2,1)．由图知，当直线y＝x －z 过A 时，－z 最大，即z 最小，则z 的最小值为2－1＝1.>答案：A8．解析：∵x ＋m 2x ≥2|m |，∴2|m |>4. ∴m >2或m <－2. 答案：B9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2(0)，若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾．∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，、故f (x )＝1f (－x ).∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0<="">10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<5<="" p="">3.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x－2－3＝－4x .∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是__________．；解析：式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，即kx 2＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2－4k <0，∴00恒成立，故0≤k <4，选C.答案：C12．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．解析：求原函数定义域等价于解不等式组x －2≥0，x －3≠0，4－x >0，解得2≤x <3或3<4.<="" p="">∴定义域为[2,3)∪(3,4)．答案：[2,3)∪(3,4)13．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． &解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB .可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋42f (x )＋f (y )≤0，f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )所形成区域14．已知函数f (x )＝x 2－2x ，则满足条件的面积为__________．解析：化简原不等式组(x －1)2＋(y －1)2≤2，(x －y )(x ＋y －2)≥0，…所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积．答案：π 15．(2010·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625≥0，即? ????t ＋115? ??t －65≥0.又∵t ＋115≥0，∴t ≥65，∴1＋x %≥65，∴x %≥，∴x ≥20.故x 的最小值是20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分) }16．(12分)已知a >b >0，c <="" －c="">b －d的大小．解：e a －c －eb －d ＝e (b －d )－e (a －c )(a －c )(b －d )＝(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )e .∵a >b >0，c <0，<="" p="">∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.又e <0，∴e a －c －e b －d >0.∴e a －c >eb －d.17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. ；解：(1)－x 2＋2x －23>0?x 2－2x ＋23<0?3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式解集为{x |1－33<1＋3<="" p="">3}． (2)9x 2－6x ＋1≥0?(3x －1)2≥0. ∴x ∈R .∴不等式解集为R .18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1；当－3<=""－m ]>0，得x >1或x <m< p="">m ＋3；当m <－3时，得1<m<="" p="">m ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<="" －∞，m="" m="" p="" ＋3∪(1，＋∞)；当m="">1，m m ＋3.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足?2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．;解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．(2)作出直线l ：x ＋3y ＝0，将直线l 向上平移至l 1与y 轴的交点M 位置时，此时可行域内M 点与直线l 的距离最大，而直线x ＋y －3＝0与y 轴交于点M (0,3)．∴z max ＝0＋3×3＝9. 20．(13分)(2009·江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解：(1)y ＝g (t )·f (t ) #＝(80－2t )·(20－12|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|)＝(30＋t )(40－t )，0≤t <10，(40－t )(50－t )，10≤t ≤20.(2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1200,1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：￥(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<="">解：方案①：修旧墙费用为ax4(元)，拆旧墙造新墙费用为(14－x )a2(元)，其余新墙费用为(2x ＋2×126x －14)a (元)，则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x －1)(0<="" 4＋36x=""x ＝6，∴当且仅当x 4＝36x 即x ＝12时，y min ＝35a ，方案②：利用旧墙费用为14×a 4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x －14)a (元)，则总费用为y ＝7a 2＋(2x ＋252x －14)a ＝2a (x ＋126x )－21 2a (x ≥14)，可以证明函数x ＋126x 在[14，＋∞)上为增函数，∴当x ＝14时，y min ＝. ∴采用方案①更好些．</m<>。

第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋ ＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页 共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。

2.2 基本不等式【题组一 公式直接运用】1．（2020·全国高一课时练习）已知3x <,求()43f x x x =+-的最大值 . 【正确答案】1- 【详细解析】3x <,则30x ->,由基本不等式可得()()4433333133f x x x x x ⎡⎤=+-+=-+-+≤-=-⎢⎥--⎣⎦, 当且仅当433x x=--时,即当1x =时,等号成立, 因此,当3x <时,求()43f x x x =+-的最大值为1-. 2．（2020·广西兴宁.南宁三中高一期末）已知0a >,0b >,1ab =,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【详细解析】由1ab =知,12m b b a =+=,12n a a b=+=,∴()24m n a b +=+≥=, 当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选:B4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若0a b +≠,则()2221a b a b +++的最小值为________.【详细解析】由题意,222222222()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==,当且仅当a b =时等号成立,所以222221()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++当且仅当22()12()a b a b +=+时取等号,所以当342a b -==时,2221()a b a b +++5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >,求()123f x x x=+的最小值;（2）已知3x <,求()43f x x x =+-的最大值. 【正确答案】（1）12;（2）1-. 【详细解析】（1）0x ,()12312f x x x ∴=+≥=, 当且仅当1232x x x=⇒=时取等号; 所以()f x 的最小值为12; （2）330x x <⇒->,()4433333133f x x x x x ⎛⎫=+-+=-+-+≤-=- ⎪--⎝⎭, 当且仅当4313x x x=-⇒=-时取等号,所以()f x 的最大值为1-. 5．（2020·全国高三课时练习（理））设0,0,25x y x y >>+=,______.【正确答案】【详细解析】(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥=当且仅当3xy =,即3,1x y ==时成立,故所求的最小值为 【题组二 条件型】1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若0,0a b >>,且1a b +=,则11a b+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【详细解析】因为1a b +=,所以()11112b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.因为0,0a b >>,所以0b a >,0ab>. 所以2b a b aa b a b +=≥,当且仅当b a a b =,即12a b ==时等号成立. 所以11222=4b a a b a b +=+++≥,即11a b+的最小值为4. 2．（2020·上海高一开学考试）正实数,x y 满足:21x y +=,则21x y+的最小值为_____. 【正确答案】9【详细解析】()21212225559y x x y x y x y x y +=++=++⎛⎫≥++ ⎝⎭=⎪,当且仅当13x y == 时取等号．故正确答案为:9．3．（2020·全国高一）已知不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数m 的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【正确答案】B【详细解析】不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意的正实数x ,y 恒成立, 则xy +my x +1+m ≥9对任意的正实数x ,y 恒成立,又x y +my x≥2√m ,∴2√m +1+m ≥9,解得√m ≥2或√m ≤−4(不合题意,舍去),∴m ≥4,即正实数m 的最小值是4．故选:B ． 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知0,0a b >>,且1ab =,则11822a b a b+++的最小值为_________． 【正确答案】4 【详细解析】0,0,0a b a b >>∴+>,1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+,当且仅当a b +=4时取等号,结合1ab =,解得22a b ==+,或22a b =+=-,等号成立. 故正确答案为:45．（2020·甘肃城关.兰州一中高三二模（文））设m ,n 为正数,且2m n +=,则1312n m n ++++的最小值为__________. 【正确答案】95【详细解析】令1,2a m b n =+=+,则5a b +=,且13a <<,24b <<, 又1311112n m n a b++=++++, 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭, 当且仅当52a b ==时等号成立, 故1312n m n ++++的最小值为95. 故正确答案为:95.【题组三 配凑型】1．（2019·湖南高新技术产业园区 衡阳市一中高二开学考试）已知x≥52,则f （x ）＝24524x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值54C ．最小值54D ．最大值1【正确答案】A【详细解析】()()()2221451111212422222x x x f x x x x x -+-+⎡⎤==⨯=-+≥⨯=⎢⎥---⎣⎦,当且仅当122x x -=-即3x =时等号成立 2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知0x >,1y >-,且1x y +=,则2231x y x y +++最小值为__________．【正确答案】2+【详细解析】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 结合1x y +=可知原式311x y =++,且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-+.即2231x y xy +++最小值为2+. 3．（2020·上海高一开学考试）函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【正确答案】(),161667,⎡-∞-++∞⎣【详细解析】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++,当0t >时,()16g t ≥,当且仅当6t x ==时等号成立;同理当0t <时,()16gt ≤-,当且仅当6t x =-=-时等号成立; 所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣.故正确答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 4（2019·江苏东海.高二期中）函数()()2411x x f x x x -+=>-的最小值为______.【正确答案】5【详细解析】()()()()221144411111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---. 1x >,10x ∴->,()4141x x ∴-+≥=-（当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号）,()min 415f x ∴=+=.故正确答案为:5. 【题组四 换元法】1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数,x y 满足0xy >,则的最大值为（ ）A．2B．2+C．4+D．4-【正确答案】D【详细解析】由实数,x y 满足0xy >,,设{2m x y n x y=+=+,解得2{x m ny n m =-=-,则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++,当且仅当2n m m n =,及2n m =时等号成立,所以的最大值为422-,故选D.2．（2020·浙江高三月考）已知x 、y 为正实数,满足427x y xy ++=,则2x y +的最小值为______. 【正确答案】3【详细解析】由427x y xy ++=可得出()92217492212121x x y x x x -+-===-+++, 由于x 、y 为正实数,则074021x xy x >⎧⎪-⎨=>⎪+⎩,可得704x <<, ()99222213332121x y x x x x ∴+=+-=++-≥=++, 当且仅当92121x x +=+时,即当1x =时,等号成立, 因此,2x y +的最小值为3. 故正确答案为:3.3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数x ,y 满足2210y xy +-=,则2x y +的最小值为______.【详细解析】由2210y xy +-=可得212y x y-=21111322222222y y y y y y y y x y -+=-+=+≥==+当且仅当3y =时,等号成立.则2x y +故正确答案为【题组五 求参数】1．（2019·山东济宁.高一月考）设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立,则实数a 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【正确答案】B【详细解析】由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭,当且仅当1x y ==时等号成立,而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立,故4a ≤,也即a 的最大值为4.故选B.2．（2020·全国高一）已知0,0a b >>,若不等式212na b a b+≥+恒成立,则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．20【正确答案】A 【详细解析】因为0,0a b >>,所以20a b +>,22121((2))a b n n a b a b a b+≥⇒++≥+,2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时,取等号）,要想不等式212n a b a b+≥+恒成立,只需9n ≤,即n 的最大值为9,故本题选A. 3（2020·黑龙江建华.齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-【正确答案】D【详细解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭,当且仅当4y xx y=,由于0x >,0y >,即当2x y =时,等号成立, 所以,2x y +的最小值为8,由题意可得228m m +<,即2280m m +-<, 解得42m -<<,因此,实数m 的取值范围是()4,2-,故选D. 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,则实数a 的最小值为 （ ） A ．1B ．52C ．2D ．32【正确答案】D【详细解析】设2()2f x x x a=+-,,0x a x a >∴->,227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,需min ()7f x ≥, 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--,当且仅当11x a x a -==-,即1x a =+时等号成立, 3427,2a a ∴+≥≥.故选:D.5．（2020·全国高三课时练习（理））设a 、b 、c 都是正实数,且a 、b 满足191a b+=,则使a b c +≥恒成立的c 的范围是（ ） A ．( 0,8] B ．( 0,10] C ．( 0,12] D ．( 0,16]【正确答案】D【详细解析】∵a 、b 为正实数,191a b+=,∴199()1010b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+ ⎪+⎭=⎝+,当且仅当9b aa b=,即4,12a b ==时等号成立, ∴min 6()1a b =+,要使c a b ≤+恒成立, ∵c 为正实数, ∴016c <≤ . 故选:D.【题组六 实际应用题】1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?【正确答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时,最短篱笆的长度为40m ;（2）当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时,最大面积是281m .【详细解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm 、ym ,篱笆的长度为()2x y m +.（1）由已知得100xy =,由2x y+≥可得20x y +≥=,所以()240x y +≥, 当且仅当10x y ==时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为40m ;（2）由已知得()236x y +=,则18x y +=,矩形菜园的面积为2xym .18922x y +≤==,可得81xy ≤, 当且仅当9x y ==时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是281m .2．（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量( 即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t( t≥0)万元满足421kx t =-+( k 为常数)．如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍( 产品成本包括固定投入和再投入两部分)．( 1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数; ( 2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?【正确答案】（1）()1827021y t t =-≥+;（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大 【详细解析】（1）由题意有141k=-,得3k =故34.21x t =-+∴18912727.5[()]27.521.512122y t t t t =--=-++≤-=++()1827021t t t =--≥+（2）由（1）知:18912727527521512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=⋅-++≤⋅-⋅⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦当且仅当91,122t t =++即25t =⋅时,y 有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大.3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为6400立方米,深度为4米．池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x 米． （Ⅰ）求底面积,并用含x 的表达式表示池壁面积; （Ⅰ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【正确答案】（Ⅰ）见详细解析;（Ⅰ）池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为256000元. 【详细解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S 1,池壁面积为S 2, 则有S 1=64004=1600 ( 平方米)．池底长方形宽为1600x米,则S 2＝8x ＋8×1600x＝8( x ＋1600x)．（Ⅰ）设总造价为y ,则 y ＝120×1 600＋100×8(x ＋1600x)≥192000＋64000＝256000．当且仅当x ＝1600x,即x ＝40时取等号．所以x ＝40时,总造价最低为256000元．答:当池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为256000元．4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?【正确答案】矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .【详细解析】设矩形菜园的长为m x ,宽为m y ,则100xy =,篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=,当且仅当10x y ==时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .5．（2020·山东济宁.高一月考）经观测,某公路段在某时段内的车流量y ( 千辆/小时)与汽车的平均速度v ( 千米/小时)之间有函数关系:()2920031600=>++v y v v v ． ( 1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大?最大车流量为多少?( 精确到0.01) ( 2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?【正确答案】（1）平均速度40v =时,y 最大为11.08; （2）平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内.【详细解析】（1）292031600v y v v =++92016003v v=++,160080v v +≥=,92092011.0816008033y v v∴=≤≈+++ 当且仅当1600v v=,即40v =时,等号成立, ∴平均速度40v =时,y 最大,最大为11.08．（2）由29201031600v v v ≥++,28916000v v ∴-+≤,()()64250v v ∴--≤． 2564v ∴≤≤,∴平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内．。

高一不等式考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，则A中不含元素（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 对于不等式ax^2 + bx + c > 0，若a < 0，则其解集为（）A. (-∞, -b/2a) ∪ (-b/2a, +∞)B. (-b/2a, +∞)C. (-∞, -b/2a)D. (-b/2a, -∞)答案：A3. 若不等式x^2 - 6x + 8 < 0的解集为B，则B中包含元素（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 对于不等式x^2 - 5x + 6 ≤ 0，其解集为（）A. {x | 2 ≤ x ≤ 3}B. {x | 3 ≤ x ≤ 2}C. {x | 2 < x < 3}D. {x | 3 < x < 2}答案：A5. 若不等式x^2 - 2x - 8 < 0的解集为C，则C中不包含元素（）A. -2C. 4D. 5答案：D6. 对于不等式ax^2 + bx + c < 0，若a > 0，b^2 - 4ac < 0，则其解集为（）A. ∅B. RC. {x | x < -b/2a}D. {x | x > -b/2a}答案：A7. 若不等式x^2 + 4x + 4 ≥ 0的解集为D，则D中包含元素（）A. -2B. 0C. 2答案：B8. 对于不等式x^2 - 8x + 15 ≤ 0，其解集为（）A. {x | 3 ≤ x ≤ 5}B. {x | 5 ≤ x ≤ 3}C. {x | 3 < x < 5}D. {x | 5 < x < 3}答案：A9. 若不等式x^2 - 10x + 21 < 0的解集为E，则E中不包含元素（）A. 3B. 7C. 9D. 11答案：D10. 对于不等式ax^2 + bx + c > 0，若a < 0，b^2 - 4ac > 0，则其解集为（）A. (-b/2a, -b/2a)B. (-∞, -b/2a) ∪ (-b/2a, +∞)C. (-b/2a, -b/2a)D. (-b/2a, +∞) ∪ (-∞, -b/2a)答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 不等式x^2 - 9x + 14 > 0的解集为______。

ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。

如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为4．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.5．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0）∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．已知函数())2log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数 因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5BCD【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式213tan tan ββ≤=+当且仅当tan β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增， 则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】 【分析】由3log (2)1a b +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为33log (2)1loga b ab +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.10．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．13．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．14．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.15．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距 把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y xy =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．16．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.故选：C .本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 【答案】C【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞当43a --≤≤ 时，()21f x -＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤-所以a 的最大值为2-.故选：C.【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.20．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）AB ．8 CD ．163【答案】D【解析】【分析】 222424512x y x y ----=⨯+，而222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.【详解】 因为222424512x y x y ----=⨯+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=的距离的5倍，如图所示，点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+ 所以24x y --1653d =. 故选：D.【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.。

高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。

为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。

1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。

2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。

【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。

因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。

【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。

解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。

所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

基本不等式的应用1.已知,p q R ∈,100pq =,则22p q +的最小值是（ ）A.200B.100C.50D.20【解析】222200p q pq +≥=,当且仅当10p q ==或10p q ==-时,等号成立.【答案】A2.设a ,b 是实数,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是（ ）A.6B.C.D.8【解析】22a b +≥===,当且仅当22a b =,即32a b ==时,等号成立.∴2a +2b 的最小值是故选B.【答案】B3.已知0,0a b ≥≥,且2a b +=,则（ ） A.12ab ≤ B.12ab ≥ C.222a b +≥ D.223a b +≤ 【解析】取1,1a b ==,则1ab =,排除A 项;取0,2a b ==,则0ab =,224a b +=,排除B,D 两项,故选C . 【答案】C4.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为（ ）A.1 000元B.2 000元C.2 720元D.4 720元【解析】设水池底面一边长为x m ,则另一边为4m x, 总造价1644180480320720y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12807202000≥+=, 当且仅当0x >且4x x=,即x=2时,等号成立.∴水池的最低总造价为2000元. 【答案】B5.在三棱锥O ABC -中,OA ,OB ,OC 两两垂直,OC=1,OA=x ,OB=y ,x+y=4,则三棱锥O ABC -体积的最大值是（ ）A.23B.13C.1D.3 【解析】1111111332326OBC V OA S OA OB OC x y xy ∆⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭.因为4,0,0x y x y +=>>,所以4x y =+≥,所以4xy ≤. 所以1263V xy =≤,当且仅当2x y ==时,等号成立.∴积的最大值为23. 【答案】A6.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是（ ）A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】设直角三角形框架的两直角边分别为,a m b m ,则ab=4.所用铁丝长度4 6.828l a b =+++≈,当且仅当a=b=2时取等号.【答案】C7.有一块半径为2 m 的半圆形钢板,裁成矩形的钢板,则矩形钢板的最大面积为 m 2.【解析】设垂直于直径的边长为x m,则另一边长为则2S =()22222244442x x S x x ⎛⎫+-=-≤⨯ ⎪⎝⎭24216=⨯=, 当且仅当224x x =-,即x ,等号成立,故当x =,S=4,即S 的最大值为4.【答案】48.某公司租地建仓库,每月租金1y 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用1y 与2y 分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.【解析】设仓库建在离车站d 千米处,设1122,k y y k d d ==, 由11210k y ==,得120k =,∴ 120y d=. 由22810y k ==,得245k =,∴ 245y d =.∴1220485d y y d +=+≥, 当且仅当2045d d =,即d=5时,两项费用之和最小. 【答案】5 9.一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于220v ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要 小时(不计货车的身长).【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则24001640016208400v v t v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+≥=(小时),当且仅当40016400v v =,即v=100时等号成立,此时t=8小时. 【答案】8 ★10.某种汽车的购车费用为10万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.【解析】设汽车使用x 年时,它的年平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列,因此,汽车使用x 年时总的维修费用为()0.20.22x x +万元.设汽车的年平均费用为y 万元,则()20.20.2100.9100.12x x x x x y x x +++++==10110x x =++13≥+=, 当且仅当1010x x =,即x=10时,y 取得最小值. 故这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.11.(1)已知,,0a b c >,求证:222a b c a b c b c a++≥++; (2)已知0,0a b >>,1a b +=,求证:1118a b ab++≥. 【证明】(1)∵222,,,,,a b c a b c b c a均大于0,∴22a b a b +≥=,当且仅当2a b b=,即a=b 时等号成立; 22b c b c +≥=,当且仅当2b c c=,即b=c 时等号成立; 22c a c a +≥,当且仅当2c a a=,即a=c 时等号成立. 以上三式相加得222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++, 当且仅当a=b=c 时等号成立. ∴222a b c a b c b c a++≥++. (2)11111112a b a b ab a b ab a b +⎛⎫++=++=+ ⎪⎝⎭. ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴112224a b a b a b a b a b b a+++=+=++≥+=, ∴1118a b ab ++≥(当且仅当12a b ==时等号成立).12.如图,公园想建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x 米墙,(1)求x 的取值范围;(2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到0.1米)【解析】(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x 米, 则另一边长为144x 米,则矩形草地所需铁丝网长度为1442y x x =+⨯. 令()1442440y x x x=+⨯≤>,解得836x ≤≤,故x 的取值范围是[8,36].(2)由基本不等式,得288y x x =+≥当且仅当288x x=,即17.0x ≈时,等号成立,则min 34.0y =≈,故最少需要约34.0米铁丝网.。

高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。

A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。

B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。

C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。

D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。