(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

与a可交换的矩阵特点
在线性代数中，矩阵是一个常见且重要的数学概念。

在矩阵运算中，有一种特
殊情况，即与一个特定矩阵a相乘后结果与a交换位置仍然保持不变的矩阵。

这种
矩阵具有一些特点，下面将详细介绍。

首先，我们定义一个n×n的矩阵A，并设一个m×m的矩阵a，其中n>m。

如
果满足以下条件，即Aa = aA成立，那么我们称矩阵A与矩阵a是可交换的。

首先，可交换的矩阵A和a必须具有相同的特征值。

特征值是对于一个矩阵的
线性变换，通过一个标量因子来表示矩阵的性质。

当两个矩阵具有相同的特征值时，它们可以交换位置并保持结果不变。

其次，可交换的矩阵A和a必须具有相同的特征向量。

特征向量是与特征值相
关联的非零向量，通过矩阵的线性变换后，仍在同一方向上。

此外，可交换的矩阵A和a之间必须满足可逆的条件，即它们的乘积和交换位
置后的乘积都是可逆的。

可逆矩阵是指存在一个逆矩阵，乘以该矩阵后得到单位矩阵。

如果A和a不可逆，它们将无法交换位置并保持结果不变。

需要注意的是，矩阵的可交换性并不常见，大多数矩阵在与其他矩阵相乘后无
法交换位置并保持结果不变。

因此，可交换矩阵的特性在某些特定领域和问题中具有重要意义，如量子力学中的观测和测量。

总结起来，与一个特定矩阵a可交换的矩阵具有相同的特征值和特征向量，并
且可逆。

这种可交换矩阵在某些数学和物理领域中具有重要作用，并为我们理解矩阵运算的特殊情况提供了一定的指导。

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

矩阵置换的知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵置换之前，我们首先对矩阵进行定义。

矩阵是一个二维数组，其中元素可以是实数、复数或其他对象。

通常用大写字母表示矩阵，比如A，B，C等。

一个m行n列的矩阵可以用下面的形式来表示：A= [a11, a12, a13, ..., a1n][a21, a22, a23, ..., a2n]...[am1, am2, am3, ..., amn]其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

在矩阵中，行和列的数量分别称为矩阵的行数和列数，用m和n来表示。

二、矩阵置换的概念矩阵置换是指通过交换矩阵的行或列来生成新的矩阵。

当交换行或列时，矩阵中的元素位置也会发生改变。

这种操作可以在一定程度上改变矩阵的性质和结构，对于解决某些问题有着重要的作用。

比如，在计算机科学中，矩阵置换可以被用来进行数据加密和解密操作。

三、矩阵置换的操作矩阵置换可以分为行置换和列置换两种操作。

1. 行置换行置换是指通过交换矩阵的两行来生成新的矩阵。

假设给定一个m行n列的矩阵A，我们可以通过交换第i行和第j行来得到一个新的矩阵。

比如，如果我们交换A的第i行和第j行，得到的新矩阵记为B，那么B中第i行的元素将和A中第j行的元素相同，B中第j行的元素将和A中第i行的元素相同，其它行的元素不发生改变。

行置换的效果是使得矩阵中的元素位置发生了改变，但是矩阵的行数和列数保持不变。

通过行置换，我们可以改变矩阵中元素的排列顺序，但是不会改变矩阵的行数和列数。

2. 列置换列置换是指通过交换矩阵的两列来生成新的矩阵。

与行置换类似，如果我们交换一个m行n列的矩阵A的第i列和第j列，得到一个新矩阵记为C，那么C中第i列的元素将和A中第j列的元素相同，C中第j列的元素将和A中第i列的元素相同，其它列的元素不发生改变。

和行置换类似，列置换也可以改变矩阵中元素的排列顺序，但是不会改变矩阵的行数和列数。

列置换和行置换一样，有着重要的应用价值。

财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师：容提要矩阵是高等数学中一个重要的容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude-mathematics,it has a greattheoretic significance in the aspect of both mathematics and other sciencefields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could notsatisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix BAcould satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many specialproperties and important effections. This paper discusses some conditions ofthe matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix ,and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of theseare discussed from the concept of exchangeable matrix and relativeinformation.Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix目录引言 (1)一可交换矩阵及相关定义 (1)(一)矩阵 (1)(二)可交换矩阵 (3)二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)(一)可交换矩阵成立的条件 (3)(二)相关结论 (5)(三)可交换矩阵的性质 (7)三几类常用的可交换矩阵 (7)四可交换矩阵的应用 (8)五总结 (10)参考文献 (10)致 (10)可交换矩阵成立的条件与性质引 言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵 1、矩阵的定义由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ()1称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵. 2、矩阵的运算()1加减法设()()n m ij nm ijb B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则()n m ij ij b a B A ⨯+=+ ()2这里若设B -为B 的负矩阵，即()nm ijb B ⨯-=-，则可以定义减法运算()n m ij ij b a B A ⨯-=- ()3()2数与矩阵的乘积设()R k a A nm ij∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且()n m ij ka kA ⨯= ()4即给A 的每个元素均乘以数k .()3矩阵的乘积设()()n ij m ijb B a A ⨯⨯==55,，则()n m ij c C AB ⨯== ()5称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．()4对称矩阵在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：1,0,-<<=n j i A A ji ij ()6则称A 为对称矩阵.()5反对称矩阵设A 是一个n 阶方阵，如果A A T -= ()7则称A 为反对称矩阵. ㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点： 1.AB 有意义时，BA 不一定有意义.2.AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BA AB ≠. 因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵B A ,满足：BA AB = ()8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若BA AB =成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设()01111a x a x a x a x f m m m m ++++=-- ()9系数m a a a ,,,10 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记()E a A a A a A a a f m m m m 0111++++=--容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵*A 是可交换的，且二者的乘积为n AI ;对于任何方阵A ，()I a A a A a x f p P P +++=- 110与()I b A b A b A g q q q +++=- 110可交换. (一) 可交换矩阵成立的条件定理1[1] 设n 阶方阵B A ,满足条件AB B A =+.则B A ,可交换. 证明 由条件AB B A =+,[]I e e diag n = ,1，变形可得)()(A I B I A AB B I A I -+-=-+-=-))((I B I A ---=即I I B I A =--))((，所以I A -为可逆矩阵，其逆矩阵为I B -，有I I A I B I B I A =--=--))(())((即I A B BA I B A AB +--=+--，从而可得BA AB =.定理2[3] 设B A ,均为对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明 设B A ,均为对称矩阵，由于BA AB =，故()AB BA A B AB T T T===所以AB 是对称的.反之，由于()AB AB T=，所以()BA A B AB AB T T T===，因此，B A ,可交换.推论 设A 为n 阶对称矩阵，则T A A ,都可交换.定理3[3] 设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证明 设A A T -=，B B T -=,由于BA AB =,所以()()AB BA A B AB T T T -=-== ()10所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵,则()11从而BA AB =.定理4[3] 设B A ,均为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵． 证明 因B A ,均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -=，又因为B A ,可交换，故有BA AB =成立.从而()()()BA AB A B A B AB T T T ==--== ()12反之，若AB 为对称矩阵，则()()()AB BA A B A B AB AB T T T==--=== ()13所以B A ,是可交换矩阵.定理５[3] 若B A ,为同阶可逆矩阵，则B A ,可交换的充要条件是11,--B A 可交换. 证明 因BA AB =,故有()14即1-A 与1-B 是可交换的.反之，因1-A ，1-B 可交换，故有()15两边求逆得到BA AB =.推论 可逆矩阵B A ,可交换的充要条件是()111---=A B AB .定理6[3] 若B A ,为n 阶方阵，则AB 可交换的条件是()T T TB A AB =证明 如果BA AB =，那么()()T T TTB A BA AB ==反之，若()T T TA B AB =，则()()TT T TBA A B AB ==，即BA AB =.定理7[5] 矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵. 证明 若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵.设()()()BA A B AB AB T T T-===-()()111111------===B A BA AB A B ()()111111------===AB A B B A BA⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d A ..21 取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..00.....0....0..001..11B代入条件BA AB =,得n d d d === 21，所以A 是一个数量矩阵. 反之，设aI A =,B 为任意n 阶矩阵，则()()()BA Ia B a BI Ba aB B aI AB ====== ()16 引理1 (1)0=A 时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵.(2)A 的幂矩阵总是与A 可交换.定理8[ 7 ] 与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1-n 次的多项式矩阵. 定理9[ 7 ] 一个矩阵A 化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的1-n 次多项式.定理10[7] 下列均是A ,B 可交换的充要条件: (1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=- (2)()'''B A AB =定理11[5] 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：()B A AB ⨯=．定理12[7] (1)设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．(2)设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵. (二)相关结论定理13[7] 设A ,B 是可交换矩阵，则以下结论成立： (1)()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22 (2)()2222B AB A B A ++=+(3)()2222B AB A B A +-=-(4)()A B AB A B AB m m K K K==,，其中m k ,分别为正整数()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A(5)()k k m mk kmmB AC B A -=∑=+0 证明 (1)因为()()22B BA AB A B A B A --+=-+ ()()22B BA AB A B A B A -+-=-+由已知BA AB =，可得()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()()()222B BA AB A B A B A B A +++=++=+由已知BA AB =，可得()2222B AB A B A ++=+同理可得：()2222B AB A B A +-=-(3)由已知BA AB =,可得()k k kB A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,A B BA BB B BAB B ABB AB m m =====(4)运用数学归纳法①当2=m 时，由（1）等式成立，即()()B A B A B A +-=-22②假设1-=k m 时，等式成立，即有()()23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A③当k m =时，由已知BA AB =，有()()A B B A B A B A B A k k k k k k 1111----+-+-=-()()()A B B A B A B B A A B A k k k k k 12232-----+-++++-=A B B A B A B A B B A B A A k k k k k k k 1133322221------+-----+++=由性质有11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A因此，上式可转化为：A B B A B A B B A B A A B A k k k k k k k k k 1122221-----+----+++=-k k k k k k k k B A B A BA AB B A B A A ----++++=------ 332211221B - ()()121---+++-=k k k B B A A B A()()()B A B B A B A B A A k k k -++-+-=---121即证得()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A同理可证得()()B A B B A A B A m m m m m -+++=----121(5)对m 用数学归纳法同（4）即可得证. (三) 可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质. 性质1[2] 设A ,B 可交换,则有:(1)BA AB =,AB BA =,其中m ,k 都是正整数(2)()()A B f B Af =,其中()B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换(3)()()()()B A B AB A B AB A B A B A -++=++-=-?？(4)()k m mk kmmB AC B A 10-=∑=+ 性质2[4](矩阵二项式定理) 设B A ,可交换,则有： (1)若B A ,均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵(2)若B A ,均为幂等矩阵,则AB B A AB -+,也为幂等矩阵 (3)若B A ,均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵 (4)若B A ,均为幂零矩阵,则B A AB +,均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n 阶实方阵，定理14[7] （1）设B A ,至少有一个为零矩阵,则B A ,可交换 (2)设B A ,至少有一个为单位矩阵, 则B A ,可交换 (3)设B A ,至少有一个为数量矩阵,则B A ,可交换 (4)设B A ,均为对角矩阵,则B A ,可交换 (5)设B A ,均为准对角矩阵,则B A ,可交换 (6)设*A 是A 的伴随矩阵,则*A 与A 可交换 (7)设A 可逆,则A 与A 可交换 (8)设E AB =,则B A ,可交换.定理15[7] (1)设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数,则B A ,可交换 (2)设E AB Am =+α ,其中m 为正整数,α为非零实数,则B A ,可交换. 定理16[7] (1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则B A ,可交换(2)设B A ,均可逆,若对任意实数ｋ,均有()B kE A A -=,则B A ,可交换.四、可交换矩阵的应用例1 设A 与所有的n 阶矩阵均可交换，证明A 一定是数量矩阵. 证明 记()nn ija ⨯，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的n n ⨯矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，因此必与ij E 可交换.由A E AE ij ij =,得()n j i a a jj ii ,,2,1, ==及()n j i j i a ij ,,2,1,,0 =≠=.故A 是数量矩阵.例2 与任意一个n 阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？ 解 不妨设B 为可逆矩阵，由于BA AB =，所以对于任意可逆阵B 都有A AB B =-1即A 的任意线性变换仍是A 自己，这样的矩阵只能是KI ．例3 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即aE A =． 证明 记ij A 用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E 可交换.由A E AE ij ij =得ij ji a a = （n j i ,3,2,1== 及0=ij a i 不等于j ）故A 是数量矩阵．例4 若矩阵21,A A 都与B 可交换，则2121,A A LA KA +也都与B 可交换. 解 由已知11BA B A =，22BA B A =，那么()()21212121LA KA B BLA BKA B LA B KA B LA KA +=+=+=+()()()()2121212121A A B A B A BA A B A A B A A ====．例5 A 与B 可交换（即BA AB =)的充分必要条件是AB 为对称矩阵（即()AB AB T=）．解 题目根本就是错的，A 取单位阵，B 取任意非对称阵，那么AB 非对称但BA AB =．一定要加一个条件A 和B 本身都是对称阵才有结论.若BA AB =，则()()AB B A BA AB T T TT ===.反之，若()AB AB T=，则BA A B AB T T ==．例6 设A ,B 为乘积可交换的n 阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n 阶可逆矩阵P ,使得都为对角矩阵.证明 在V 中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为B A ,,且A ,B 与对角形相似.例7 所有与A 可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解 一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如()⇔+±=±2222B AB A B A A 和B 可交换.()()⇔-=-+22B A B A B A A 和B 可交换.A 和B 可交换⇒(不是⇔!)有二项公式.例8 (1)设矩阵()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵，其中j i ≠时，()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则B A ,可交换的充要条件是B 为对角矩阵.若B A ,均为对角矩阵则，B A ,可交换．若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换，i 不等于j 时，j i a a ≠，（n j i ,2,1,=），证明 设()()()n n ij n n ij nn ijd BA C AB b B ⨯⨯⨯===,,，因为A 为对角矩阵，故()n j i b a d b a c ij j ij ij i ij ,,2,1,, ===由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得()0=-ij j ib a a而j i ≠时，(),,,2,1,0n j i a a j i =≠⋅ 故()n j i j i b ij ,,2,1,,0 =≠=所以B 为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育.2007:181-186.[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，锡英，《可交换矩阵》，工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].瑞娟、厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，大学学报，2010,24(5)[7].锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》，2002 致本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的意.。

矩阵的交换律矩阵的交换律在线性代数中是一个非常基本的性质，是指两个矩阵在相乘的时候可以交换位置而不影响乘积的结果。

具体来说，对于任意两个矩阵A和B，都有AB=BA。

为什么矩阵的交换律成立？要理解矩阵的交换律成立的原因，需要先了解矩阵乘法的本质。

矩阵乘法是一种定义在向量空间上的运算，它的本质是将一个向量通过一个线性变换映射到另一个向量空间中。

矩阵A与矩阵B相乘，实际上是将矩阵B作为变换矩阵，对矩阵A中的每一列向量进行变换，得到新的矩阵C。

由于矩阵乘法的本质是向量空间中的线性变换，而线性变换有一个非常显然的性质——线性性。

具体来说，一个线性变换在加法和数乘运算下满足：1.对于任意向量v，f(v+w)=f(v)+f(w)；2.对于任意向量v和标量k，f(kv)=kf(v)。

这个性质可以被等价地表述为：1.线性变换将向量的线性组合映射到其线性组合的和上；2.线性变换将标量倍数和向量的映射次序进行保持不变。

我们再来看矩阵的乘法。

对于两个矩阵A和B相乘的结果C，假设A有m行n列，B有n行p列，则有：Cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj可以发现这个式子具有线性性质，即Cij的值是aikbkj的线性组合。

因此，矩阵乘法实际上是把B看成了一个线性变换，将A中的各列向量映射到新的向量C中。

既然矩阵乘法是一个线性变换，那么两个矩阵是否具有交换律就取决于它们对应的变换是否具有交换律了。

如果两个变换是可交换的，那么它们所对应的矩阵也具有交换律。

对于线性变换的交换律，我们可以通过证明它们对矩阵的乘法是否具有交换律来证明。

假设有两个线性变换f和g，分别对应两个矩阵A和B，那么它们的相乘结果可以表示为：fg(x)=f(g(x))，其中x是一个向量。

换句话说，先进行g变换再进行f变换，等价于先进行f变换再进行g变换。

这告诉我们，如果f和g是可交换的，它们对应的矩阵A 和B也是可交换的。

因此，我们可以得出结论：只要两个矩阵对应的线性变换是可交换的，这两个矩阵就满足乘法交换律。

矩阵交换律那点事儿：啥时候能“你换我，我换你”？嘿，各位数学爱好者们，今天咱们来聊聊矩阵世界里的一个有趣话题——矩阵交换律的条件。

别一听这名字就觉得头疼，其实咱们用接地气的语言来聊聊，这事儿也挺有意思的。

首先，咱们得明白啥是矩阵交换律。

简单来说，就是两个矩阵相乘的时候，能不能先换个位置再乘，结果还跟原来一样。

就像是你和朋友交换礼物，你送我个苹果，我送你个橙子，不管谁先给谁，最后你手里还是橙子，我手里还是苹果，这就是交换律。

但在矩阵的世界里，可不是所有时候都能这么“随便换”的。

那么，啥条件下矩阵才能愉快地交换位置相乘呢？这里得提到一个关键概念——矩阵乘法满足交换律的特殊情况。

简单来说，就是当这两个矩阵满足某些特定条件时，它们就可以“你换我，我换你”，结果不变。

具体来说，有这么几种情况：单位矩阵：任何矩阵和单位矩阵相乘（不管是左乘还是右乘），结果都还是原矩阵。

这时候，你可以把单位矩阵想象成一个“超级变变变”的道具，它能让矩阵保持原样，所以交换位置当然没问题。

方阵且可交换：如果两个矩阵都是方阵（就是行数和列数相等的矩阵），并且它们相乘的结果与相乘的顺序无关，那么这两个矩阵就可以交换位置相乘。

这种情况比较少见，就像是在茫茫人海中找到两个能“互相理解”的朋友一样难得。

特殊矩阵：还有一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、数量矩阵（所有元素都是同一个数的矩阵）等，它们在某些情况下也满足交换律。

这些矩阵就像是数学里的“明星”，有着自己独特的性质和规则。

总之啊，矩阵交换律可不是随便就能用的。

你得先看看这两个矩阵是不是满足上面提到的那些条件。

如果满足了，那你就可以放心大胆地“换位置”相乘了；如果不满足嘛，那就得老老实实按照矩阵乘法的规则来算了。

希望今天的分享能让大家对矩阵交换律的条件有更清晰的认识。

记得哦，学数学就像是在探索一个奇妙的世界，只要保持好奇心和耐心，你一定能发现更多有趣的秘密！。

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称:指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正,能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范.但对参考书目及参考文献的依赖性太大,应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师:内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容,在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义。

众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下，BAAB≠。

但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。

本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude—mathematics，it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields。

As far as we have concerned， the multiplication of matrix could not satisfy the exchange ruleAB≠. Whereas, in some certain under the normal condition, that is to say, normally，BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections。

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。