考研数学三概率论04-15年真题

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和．f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )．A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度正确答案：B解析：解一由命题3．2．1．2知，仅(B)入选．解二F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x，X2≤x)．取X=max{X1，X2)，并由于P(X1≤x，X2≤x)=P(max{X1，X2)≤x)，则由定义可知，F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1，X2}的分布函数．仅(B)入选．解三因故(A)不正确．又故(C)错误．取Xi在区间[0，2]上服从均匀分布，则于是有因而(D)也不成立．仅(B)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计2．[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．A．f1(x)f2(x)B．2f2(x)F1(x)C．f1(x)F2(x)D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)正确答案：D解析：解一因f1(x)，f2(x)，F1(x)，F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f1(x)≥0，f2(x)≥0，0≤F1(x)≤1，0≤F2(x)≤1，所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0．而故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度．仅(D)入选．解二由题设有则f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=F1’(x)F2(x)+F1(x)F2’(x)=(F1(x)F2(x))’．因F1(x)F2(x)为随机变量max{X1，X2)的分布函数(见命题3．2．1．2)，故其导数f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为随机变量max{X1，X2}的概率密度．仅(D)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计3．[2018年] 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1－x)，且则P{X ≤0}=( ).A．0．2B．0．3C．0.4D．0.5正确答案：A解析：因为f(1+x)=f(1－x)，所以f(x)的图形关于x=1对称，因此P(x≤0)=P(x≥2)．又因为所以P(x≤0)+P(x≥2)=2P(x≤0)=1－0．6=0．4，从而P(x≤0)=0．2，故选(A)．知识模块：概率论与数理统计4．[2010年] 设随机变量X的分布函数则P(X=1)=( )．A．0B．1／2C．1／2－e-1D．1－e－1正确答案：C解析：因P(X=1)=P(X≤1)－P(X＜1)=F(1)－F(1－0)，而故P(X=1)=1－e－1－1／2=1／2－e-1．仅(C)入选．知识模块：概率论与数理统计5．[2013年] 设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，pi=P{－2≤Xi≤2)(i=1，2，3)，则( )．A．p1＞p2＞p3B．p2＞p1＞p3。

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v ∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x a x a dt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=ba b a dt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图). 【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有 0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3， 其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=． 【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ)1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：YX0 10 132121 61121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：Z 0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】 当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ， 令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ， 解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他 当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α=． When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (97年)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝，P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是【】（A）P(X－Y)＝（B）P(X＝Y)＝1（C）P(X＋Y＝0)＝（D）P(XY＝1)＝2 (98年)设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取【】（A）（B）（C）（D）3 (99年)设随机变量X i～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}，则P{X1＝X2}等于【】（A）0（B）（C）（D）14 (04年)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝a则χ等于【】（A）（B）（C）（D）5 (06年)设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且 P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1} 则必有【】（A）σ1＜σ2．（B）σ1＜σ2．（C）μ1＜μ2．（D）μ1＜μ2．6 (08年)设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z＝max{X，Y}的分布函数为【】（A）F2(χ)（B）F(χ)F(y)（C）1－[1－F(χ)]2（D）[1－F(χ)][1－F(y)]7 (09年)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记F Z(z)为随机变量Z＝Xy的分布函数，则函数F Z(z)的间断点个数为【】（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．8 (10年)设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1)＝【】（A）0．（B）．（C）－e-1．（D）1－e-1．9 (10年) 设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足【】（A）2a＋3b＝4．（B）3a＋2b＝4．（C）a＋b＝1．（D）a＋b＝2．二、填空题10 (00年)设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY ＝_______．11 (02年)设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．12 (03年)设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．13 (04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．14 (08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．15 (11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．16 (13年)设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．17 (15年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y ＜0}＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年考研数学（三）试题答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）B （4）C （5）D （6）A （7）C （8）B 二、填空题（9）12− （10）2 （11）1(d 2d )3x y −+ （12）2e 2e x x −+（13）21 （14）21三、解答题 （15）111,,23a b k =−=−=−. （16）π245−. （17）（Ⅰ）略.（Ⅱ）30p =. （18）8()4f x x=−. （19）（Ⅰ）略.（Ⅱ）121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ （20）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（21）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .（22）（Ⅰ）2217{}(1),2,3,88n P Y n n n −⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）16EY =.（23）（Ⅰ）21X θ=−其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）12min{,,,}n X X X θ=.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D ．【解答】数列收敛，那么它的任意子列都收敛于相同的极限．所以A,C 正确．D 明显是部分子列收敛，并不代表所有子列都收敛于相同的极限，所以D 选项不正确，故选择D ． （2）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0的点或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ． （3）【答案】B ．【解答】如图所示，在极坐标下该区域要分成两部分1π{(,)0,02sin },4D r r θθθ= 2ππ{(,),02cos }42D r r θθθ=． 所以(,)d d Df x y x y ⎰⎰ππ2sin 2cos 42π04(cos ,sin )d d (cos ,sin )d d f r r r r f r r r r θθθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰,故选B ．（4）【答案】C ．【解答】A 为正项级数，因为131331lim 1<=++∞→nn n n n ，所以A 收敛． B 3211)~n n +，故B 选项也是收敛的．而 ∑∞=+−1ln 1)1(n n n ∑∑∞=∞=+−=11ln 1ln )1(n n n n n ，根据莱布尼茨判别法可知∑∞=−1ln )1(n nn 收敛，由∑∞=∞→⇒+∞=1ln 11ln 1lim n n nnn 发散．故选C ．x对于选项D ，利用正项级数的比值审敛法，1(1)!1(1)lim lim 1!1nn n n nn n n n n en +→∞→∞++⎛⎫==< ⎪+⎝⎭，收敛． （5）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b . 由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或且或，故选D ． （6）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫⎪= ⎪⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．（7）【答案】C .【解答】由于,AB A AB B ⊂⊂，所以()(),()()P AB P A P AB P B ，故()()()2P A P B P AB +，因此选C ．（8）【答案】B ．【解答】根据样本方差212)(11∑=−−=ni i X X n S 的性质)1(2θθ−==m DX ES ，从而 )1()1()1(])([221θθ−−=−=−∑=m n ES n X X E ni i ，故选择B ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】12−. 【解答】211cos lim )1cos 1ln(lim cos ln lim 202020−=−=−+=→→→x x x x x x x x x .（10）【答案】2. 【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得1()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =．（11）【答案】1(d 2d )3x y −+.【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+． （12）【答案】2e2e xx −+.【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】21.【解答】由矩阵A 的特征值为2，-2，1，可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ． （14）【答案】21. 【解答】由已知可得)1,0(~),1,1(~N Y N X ,且,X Y 相互独立，故{0}{(1)0}P XY Y P X Y −<=−< {10,0}{10,0}P X Y P X Y =−><+−<>11{10}{0}{10}{0}[{1}{1}]22P X P Y P X P Y P X P X =−><+−<>=>+<=.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=． 要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d DDx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰． 而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（17）（本题满分10分）解：（Ⅰ）由于利润函数()()()()L Q R Q C Q pQ C Q =−=−,两边对Q 求导得d d d ()d d d L p pp Q C Q p Q MC Q Q Q'=+−=+− 当且仅当d 0d L Q = 时，利润最大，又由于d d p pQ Qη=−⋅，所以d 1d p p Q Q η=−⋅， 故当11MCp η=−时，利润最大． （Ⅱ）由于d ()22(40),d 40p Q pMC C Q Q p Q P pη'===−=−⋅=−则带入（I ）中的定价模型，2(40)401p p p P−=−−，得30p =.（18）（本题满分10分）解：设)(x f 在点))(,(00x f x 的切线方程为))(()(000x x x f x f y −'=−． 令0y =，得000(),()f x x x f x =−+'由条件知000()1()42()f x f x f x ⋅='， 可得218y y '=,18xC y =−+.又(0)2f =,有12C =，因此8(),4f x x I x =∈−.解：（I ）[]0()()()()()()limh u x h v x h u x v x u x v x h→++−'=000()()()()()()()()lim()()()()()()()()lim lim h h h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x hu x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h h→→→++−+++−=++−++−=+()()()().u x v x u x v x ''=+（II ）由题意知121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++（20）(本题满分11分)解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以 1212121()()[()()]()−−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A E A A ．因为 2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得 21312()111211−−⎛⎫⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以 312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ， 得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ， 当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）记p 为观测值大于3的概率，则31{3}2ln 2d 8x p P X x +∞−=>==⎰． 从而Y 的概率分布，,3,2,8781)1()1(}{22211=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−==−−−n n p p p C n Y P n n n（Ⅱ）22227228171(1)(1)888n n n n x EY n n n n x−∞∞−===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.记11,)1()(221<<−−=∑∞=−x xn n x S n n ，则321)1(2)(x x x S n n −="⎪⎭⎫⎝⎛=∑∞=， 322212)1(2)1()1()(x xx n n x xn n x S n n n n −=−=−=∑∑∞=−∞=−，3222223)1(2)1()1()(x x xn n xx n n x S n n n n−=−=−=∑∑∞=−∞=， 所以xx S x S x S x S −=+−=12)()(2)()(321， 故 16)87(==S EY .（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）由-1()d 2EX xf x x X θ+∞∞+===⎰，解得21X θ=−． 所以θ的矩估计量为21X θ=−，其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）设12,,n x x x 为样本观测值，则似然函数);()(1θθ∏==ni i x f L .当1i x θ时，1()1nL θθ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，可得ln ()ln(1)L n θθ=−−，所以，d ln ()d 1L nθθθ=−，关于θ单调增加． 故θ的最大似然估计量12min{,,,}n X X X θ=.。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(16年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝【】A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与Y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－[E(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计2．(94年)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是【】A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计3．(02年)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则【】A．X＋Y服从正态分布．B．X2＋Y2服从Z2分布．C．X2和Y2都服从χ2分布．D．X2／Y2服从F分布．正确答案：C解析：∵X～N(0，1)，Y～N(0，1)∴X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计4．(11年)设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n ≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量T1＝和T2＝，有【】A．ET1＞ET2，DT1＞DT2．B．ET1＞ET2，DT1＜DT2．C．ET1＜ET2，DT1＞DT2．D．ET1＜ET2，DT1＜DT2．正确答案：D解析：由题意知X1，X2，…，Xn独立同分布，EXi＝DXi＝λ，i＝1，2，…，n．故：可见ET1＜ET2，DT1＜DT2，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．(12年)设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为【】A．N(0，1)B．t(1)C．χ2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：由题意得：E(X1－X2)＝EX1－EX2＝1－1＝0，D(X1－X2)＝DX1＋DX2＝σ2＋σ2＝2σ2，∴X1－X2～N(0，2σ2) 同理，E(X3＋E4)＝EX3＋EX4＝1＋1＝2，D(X3＋X4)＝DX3＋DX4＝2σ2，∴X3＋X4～N(2，2σ2) 又∵X1－X2与X3＋X4独立，故知识模块：概率论与数理统计6．(14年)设X1，X2，X3为来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，则统计量S＝服从的分布为【】A．F(1，1)B．F(2，1)C．t(1)D．t(2)正确答案：C解析：由题意可知：X1－X2～N(0，2σ)，∴～N(0，1) 又：～N(0，1)，∴～χ2(1)且X3与X1－X2独立，故～t(1) 即S～t(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计7．(15年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则【】A．(m－1)nθ(1－θ)．B．m(n－1)θ(1－θ)．C．(m－1)(n－1)θ(1－θ)．D．mmθ(1－θ)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计8．(92年)设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则【】A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(05年)设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是【】A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(10年)设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本．记统计量T＝，则ET＝_______．正确答案：σ2＋μ2解析：由题意知EXi＝μ，DXi＝σ2，∴EXi2＝DXi十(EXi)2＝σ2＋μ2，i＝1，2，…，n．故ET＝＝σ2＋μ2．知识模块：概率论与数理统计11．(14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若＝θ2，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：故c＝知识模块：概率论与数理统计12．(93年)设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_______．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计13．(96年)设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588)解析：由题意知X～N(μ，) ∴～N(0，1) 故0．95＝＝P{－0．3×u0．975＜μ＜＋0．3×u0．975 而u0．975＝1．96，＝5，故得μ的置信度为0．95的置信区间为(5－0．3×1．96，5＋0．3×1．96)＝(4．412，5．588) 知识模块：概率论与数理统计14．(02年)设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计15．(06年)设总体X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2＝_______．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(95年)设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(89年)设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设{}n x 是数列，则下列命题中不正确的是（ ）（A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则331lim lim n n n n x x a -→∞→∞== (D) 若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=2．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33．设{}222222(,)|,D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）224204cos sin (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（B ）224204sin cos (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（C）112(,)xdxf x y dy ⎰⎰（D）12(,)xdx f x y dy ⎰4．下列级数发散的是（ ）（A ）13n n n ∞=∑ （B）111)n n ∞=+ （C ）211()ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑５．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D ）2()()()P A P B P AB +≥8．设总体12~(.),,,,n X B m X X X θ为来自总休的简单随机样本，X 为样本均值，则()21ni i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）11()()m n θθ-- （B ）11()()m n θθ-- （C ）111()()()m n θθ--- （D ）1()mn θθ-二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )limx x x →=10．设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．11．若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则00(,)|dz = ．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．13．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值． 16．（本题满分10分） 计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求随意性0()η>．（1）证明定价模型为11MCp η=-； （2）若该商品的成本函数为21600()C Q Q =-，需求函数40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此的价格． 18．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+； （2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．20．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．。

概率与数理统计历届真题第一章 随机事件和概率数学一：1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 A 至多发生一次的概率为 。

2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。

4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件―两数之和小于56‖的概率为。

5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。

6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。

7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）=。

8（91，3分）随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。

则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 。

9（92，3分）已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。

10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。

11（94，3分） 已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）=。