高二上学期期末测试题

高二数学上学期期末考试试卷 高二年级数学试题（理）命题人：江国新一、选择题（5分×10=50分）1．已知α，β，γ是两两相交的三个平面，则α∩β∩γ等于A ．一个点B ．一条直线C ．φD ．以上三种情况均有可能2．空间四边形ABCD 中，AB=CD ，AB 与CD 成30°角，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 和AB 所成角为A ．15°B ．75°C ．15°或75°D ．30° 3．给出以下四个命题①过空间一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行②过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行 ③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线垂直 ④与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 其中真命题的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 4．已知A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC 是A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 5．关于直线m ，n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m//α，n//β且α//β，则m//n ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ③若m ⊥α，n//β且α//β，则m ⊥n ④若m//α，n ⊥β且α⊥β，则n//m 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若)21,1,2(),,,1(2=-=b a λλλ，且b a 与的夹角为锐角，则λ的取值范围为A ．－1<λ<4B ．－1<λ<21 C ．21<λ<4 D ．－1<λ<21或21<λ<47．双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l ：mx+ny+t=0的公共点个数可能为①0个 ②1个 ③2个 ④3个 ⑤4个 其中命题正确的个数为A ．2B ．3C ．4D ．58．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上的任一点，则直线OP 与AM 所成角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内的一动点，P 到点B 的距离与P 到直线DD 1的距离之比为e(0<e<1)，则点P 的轨迹是A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．圆的一部分D ．线段 二、填空题（5分×5=25分）11．过点P(1,2)且在两坐标轴上的横纵截距互为相反数的直线方程为____________.12．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则(x －6)2+y 2的最小值为_______________.13．已知)2,0,1(),1,1,1(-==b a ，则b a 在方向上的正射影为_______________.14．设矩形ABCD(AB>AD)的周长为12，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P ，则△ADP 的最大面积为______________.15．已知四面体PABC 中，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB=∠BPC=∠APC=60°，则AP 与平面PBC 所成角为_______________，||PC PB PA ++=____________.高二数学上学期期末考试试卷 高二年级数学试题（理）答题卷二、填空题答题卡11．_________________ 12．________________ 13．________________ 14．________________ 15．________________ ___________________三、解答题 16．（本小题12分）已知空间四边形OABC 中，OA=OB ，CA=CB ，E 、F 分别为OA 、OB的中点（1）若G 、H 分别为BC 、AC 的中点，求证：四边形EFGH 是矩形； （2）若G 、H 分别为BC 、AC 上的点，且32==CA CH CB CG ，求证三条直线FG 、HE 、OC 交于一点.17．（本小题12分）已知关于x 的不等式2222+-+>++-x x ax x x a x （1）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a 使不等式的解集为(－1,1)？18．（本小题12分）在矩形ABCD 中，AB=3，BC=1，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C '点，且C '点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上（1）求证：B C '⊥平面A C 'D ；（2）求直线AB 与平面B C 'D 所成角的大小.19．（本小题12分）已知圆C的方程为x2+y2－2(t+3)x+2(1－4t2)y+16t4+9=0(t∈R) （1）求圆C的面积的取值范围；（2）过点P(3,4t2)的直线l与圆C的公共点的个数为0或1或2，求t的取值范围.20．（本小题13分）已知矩形ABCD中，AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=1 （1）若M、N分别为BC、PD的中点，求证：MN//平面PAB；（2）若BC边上有且只有一个点Q，使PQ⊥DQ，试求异面直线QN与CD所成的角.21．（本小题14分）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如：原来问题是“在平面直角坐标系xOy中，求点P(2,1)到直线3x+4y=0的距离”，求出距离2后，它的一个“逆向”问题可以是“求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程”；也可以是“若点P(2,1)到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程.”试给出问题“过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的一条直线与抛物线C交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：MQ//x轴”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.。

成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。

高二上学期数学期末考试试卷(时间：120分钟满分：150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.82.等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.43.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于()A. 1B.2C.4D.84.若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2，则a2等于()A.4B.2C.1D.－26.等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和是()A.81B.120C.168D.1927.设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值8.已知数列{a n}满足递推关系：a n＋1＝a na n＋1，a1＝12，则a2 017＝()A.12 016 B.12 017 C.12 018 D.12 019二、多选题。

（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.(多选)若椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则m的值可以为()A.14B.12C.2D.4 10.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( ) A.(－∞，－2)B.(3，＋∞)C.(－6，－2)D.(－3，＋∞) 11.（多选）已知数列{a n }的通项公式为n a =11-2n,则下列各数中是数列{a n }中的项的是（ ）A.0B.3C.6D.712.（多选）设等差数列{a n }的前n 项和为S n 。

高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分 当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。

四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测
试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A ．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B ．若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r
C ．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D ．若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 为空间的一组基底，且OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，
D 四点共面
10．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（ ）.
A ．这组数据是近似对称的
B ．数据中可能有极端大的值
C ．数据中可能有异常值
D ．数据中众数可能和中位数相同
11．某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100
名，并对其性别（M （男）、F （女））及消费金额（A （消费金额
>400），B （200<消费金额≤400），
C （
0<消费金额≤200）进行调查分析，得到如
人数统计表，则下列选项正确的是（ ）
）得曲线M 的方程为24y x =.设(),A x y ，(),B x y .。

2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“00x ∃>，200x x >”的否定是（）A ．0x ∀>，2x x ≤B ．00x ∃>，200x x ≤C ．00x x ∃≤，200x x ≤D ．0x ∀≤，2x x ≤2．抛物线2y x =-的焦点坐标为（） A ．()1,0-B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭3．已知a ，b ∈R ，则“0a b >>”是方程“22220x y ax b +++=表示圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在空间直角坐标系中，点A 、B 坐标分别为()3,0,1A -，()2,3,3B -．则A 、B 两点的距离为（） A ．25B ．2C ．10D ．5055A ．22123x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．22132y x -=6．P 是椭圆22143x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，O 是坐标原点，已知点M 是线段PF 的中点，且34OM =，则PF =（） A ．54B ．32C ．52D ．1347．已知圆O ：224x y +=与圆22260x y x +--=交于A 、B 两点，则AB =（） A ．23B 3C ．2D ．48．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虛轴长相等9．M 是椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，若122MF MF =，且12MF MF ⊥，则椭圆Γ的离心率为（）A ．12B 3C 25D 510．已知命题p ：椭圆()22210,1x y a a a +=>≠的离心率为e ，若2a >．则230,4e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；命题q ：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线的夹角为θ，若a b =，则90θ=︒．下列命题正确的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝11．M 、N 是双曲线2213y x -=上关于原点O 对称的两点，1F 、2F 是左、右焦点．若12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是（） A ．23B ．3C ．4D ．612．在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ．以下各曲线：①22132x y +=；②()2222x y ++=；③22y x =；④221x y -=中，存在两个不同的点M 、N ，使得MA MB =且NA NB =的曲线是（） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．以双曲线22135x y -=的焦点为顶点，以双曲线22135x y -=的顶点为焦点的椭圆方程为______．14．抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离为6，则点M 到抛物线焦点的距离为______．15．在平面直角坐标系中，过()1,3P -作圆O ：221x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为______．16．设1F 、2F 为椭圆Γ：2212521x y +=的两个焦点，P 为Γ上一点且在第二象限．若112PF F F =，则点P的坐标为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知圆C 过()4,3A ，()0,1B -，且圆心C 在直线l ：10x y --=上．经过点()4,0M 的直线m 交圆C 于P 、Q 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）若CP CQ ⊥，求直线m 的方程．18．（12分）抛物线()220y px p =>的准线被圆22230x y y +--=截得的弦长为23（1）求p 的值；（2）过点()4,0M 的直线交抛物线于点A 、B ，证明：OA OB ⊥．19．（12分）已知椭圆Γ的对称中心为原点O ，焦点在y 3 （1）求椭圆Γ的离心率；（2）若椭圆Γ的一个焦点为()0,2F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆于两点A 、B ．求椭圆的标准方程并求AOB △的面积．20．（12分）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,0A -，()1,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为2． （1）求M 的轨迹方程；（2）记M 的轨迹为曲线Γ，过点()1,1P 能否作一条直线l ，与曲线Γ交于两点D 、E ，使得点P 是线段DE 的中点？21．（12分）已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>左右焦点分别为1F 、2F 3k 的直线l 交椭圆于两点A 、B ，当直线l 过1F 时，2AF B △的周长为8． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设OA 、OB 斜率分别为1k 、2k ，若12k =，求证：1214k k ⋅=，并求当AOB △面积为74时，直线l的方程．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos cos 2x y m ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）当0m =时，求曲线C 与x 轴交点的直角坐标； （2）直线l 与曲线C 有唯一公共点，求实数m 的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知x 、y 、z 均为正实数，且22243x y z ++=． （1）求2x y z ++的最大值； （2）若2y x =，证明：113x z+≥． 2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷文科数学参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题13．22185x y +=14．10 15．310x y -+=16．5372⎛-⎝⎭三、解答题17．解：（1）直线AB 的垂直平分线方程为3y x =-+ 与10x y --=联立得，2x =，1y =，即()2,1C 圆C 半径22R CA ==所以，圆C 的标准方程为()()22218x y -+-=．（2）∵22CP CQ ==，CP CQ ⊥∴圆心C 到直线m 的距离2d = 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为()4y k x =- 由22121k d k +==+得34k =当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为4x =，C 到m 距离为2 综上可得，直线m 方程为34120x y --=或40x -=． 18．解：（1）圆22230x y y +--=的圆心()0,1C ，半径为2；所以C 到准线距离为1，所以准线方程为1x =- 所以2p =．（2）由（1）得，抛物线标准方程为24y x =． 设直线AB 方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y4x my =+与24y x =联立得24160y my --=216640m =+>∆，由韦达定理1216y y ⋅=-，2212121644y y x x ⋅=⋅=12120OA OB x x y y ⋅=+=，即以线段AB 为直径的圆过点M ．19．解：（1）设椭圆标准方程为()222210y x a b a b+=>>则有232a b =，因为222c a b =- 所以椭圆离心率63c e a ==． （2）椭圆标准方程为22162y x +=，直线l 的方程为2y x =+设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 方程代入椭圆方程得22210x x +-=． 解得1,2132x -±=所以AOB △的面积12132S OF x x =⋅⋅-= 20．解：（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM yk x =-由2AM AN k k ⋅=得211y yx x ⋅=+-整理得()22221y x x =-≠±所以，点M 得轨迹方程为()22112y x x -=≠．（可以不化为标准方程的形式，限制条件也可以为0y ≠）（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，可得221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 由题意，122x x +=，122y y +=，所以12122AB y y k x x -==-直线AB 方程为21y x =-代入()22112y x x -=≠±得，22430x x -+=．∵80∆=-<，∴不存在这样的直线l ． 21．解：（1）由题意，48a =，3c e a ==5c =1b = 椭圆Γ的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为()10,12y x m m m =+≠≠±，()11,A x y ，()22,B x y ， 与椭圆方程联立得，222220x mx m ++-=122x x m +=-，21222x x m =-可得2121211112222y y x m x m m ⎛⎫⎛⎫=++=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以12121214y y k k x x == ()2222121621115222m AB k x m -⎛⎫=+-=+=- ⎪⎝⎭O 到直线AB 得距离25m d =OAB 的面积()2272S m m =-=解得12m =±，或7m =所以直线l 方程为1122y x =±，或172y x =±． 22．解：（1）2cos 2cos 10y ϕϕ==-=，得2cos ϕ= 所以曲线C 与x 轴交点得坐标为2,02⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． （2）cos cossin sin244ππρθρθ+=得22222x y +=2x y +=为直线l 的方程 曲线C 的普通方程为221y x m =+-方程221y x m =+-与2x y +=联立得2230x x m ++-=()1830m ∆=--=得258m =． 23．解：（1）由柯西不等式()()()222211142x y zx y z ++++≥++所以23x y x ++≤，当且仅当21x y z ===时等号成立． （2）证明：因为2y x =，0x >，0y >，0z >， 由（1）得243x y z x z ++=+≤ 即043x z <+≤，所以1143x z ≥+因为()114445529z x z x x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当4x zz x=，即21z x ==时，等号成立． 因为043x z <+≤，所以11934x z x z +≥≥+，即113x z+≥．。

2022—2023学年度上学期期末考试高二语文试卷一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成第1~5题。

材料一：核心价值观是社会积极心态的重要组成部分，核心价值观的出现以社会共有意识的形态引领社会心态。

因此，核心价值观引领是社会积极健康心态培育的基础。

而流行语作为一种社会心态反映，可依靠核心价值观引领，在网络情感宣泄情景中构建良好的网络文化氛围，在潜移默化中影响网民的价值意识，帮助网民塑造正确的人生观、价值观、世界观，从而培育积极的社会心态。

首先，要发挥核心价值观的包容作用，给予网民正确的价值培育，帮助其找准个人的价值定位，坚定目标，寻求个人价值与社会价值的统一。

其次，使用核心价值观弥补社会个体与群体共同价值方面的心理缺失，通过引导反映社会积极心态的流行语传播，发挥核心价值观的正向引导作用，使核心价值观凝聚共识、塑造价值，在快速的网络化传播中消解消极的社会心态。

最后，使用流行语以接地气的方式向人民群众传递社会正能量，弘扬社会主义核心价值观，取代了传统固化、呆板、说教的价值观传播形式，有助于塑造网民正能量的社会心态。

（摘编自《流行语的传播生态与价值引领》）材料二：新与旧，小与大，变与不变，道出了流行语背后的辩证法。

语言是社会生活的符号，流行语则反映着时代的侧面。

2019 年底，经过公开征集、专家评选、媒体投票等环节，《咬文嚼字》编辑部公布了“2019 年十大流行语”，“文明互鉴”“区块链”等热词榜上有名，引发网友广泛关注。

“岁月不居，时节如流”，时间在语言上不断留下“辙痕”。

新表达、新句式、新修辞为开放的语言系统注入生命力，有的甚至沉淀为常用语。

有的则因内涵有限，在网络空间、娱乐文化中热闹一时后，无法逃脱“来也匆匆，去也匆匆”的命运。

沉淀与流失，是语言流变的自然过程。

流行语是一个语言现象，更是一个社会现象，其中既有个人表达，也有宏大叙事。

从更大层面看，正如“区块链”成为技术创新的重要突破口、“文明互鉴”向世界宣示交流对话的中国主张，流行语的变化与国家发展、社会进步的步伐相一致。

高二上学期期末考试英语试题第一部分听力(共两节, 满分30 分)做题时, 先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5 小题;每小题1. 5 分，满分7. 5 分)听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A. B. C 三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Where does this conversation most probably take place?A.At a hairdresser’s.B. At a tailor’s.C. At a phot ographer’s.2.What docs the woman ask John to do?A.Get something to c at.B.Have a discussion with Peter.C.Leave the room for a moment.3.Why did Tom visit Tracy?A.To s ay s orry t o h er.B. T o b orrow s ome m ilk.C. To help cook the meal.4.How does the woman feel when hearing the man’s words?B. S ensitive.C. Surprised.A.Angry.5.What does Anne suggest?A.The shopping should be done first.B.They s hould g o t o t he c oncert f irst.C. They should do shopping after the concert.第二节(共15 小题;每小题 1.5 分，满分22.5 分)听下面5 段对话或独白。

2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二上学期期末考试语文试题阅读下面的文字，完成下面小题。

谣言自古以来就有，其破坏力相当强大。

随着网络时代的到来，谣言的传播又多了一个更加开放也更难以监控的高度技术化的途径——互联网。

网络谣言的实质也是谣言的一种，本质来看它并非一种新生事物，只是其传播途径和技术手段同以往的谣言传播有所不同。

互联网技术的发展为人类的交流带来了极大的便利，同时也为网络谣言的散布和传播提供了非常便利的条件。

在互联网时代，网络谣言的大肆传播直接导致社会信任度的快速下降，以致引发社会信任危机。

就目前而言，许多网络谣言的内容都带有谣言生产者和传播者对社会的各种负面情绪，而这些未经求证的言论经过网络的广泛传播，直接导致人们对于社会的不满情绪被无限放大，进而引发社会的信任危机。

我们正处于社会转型期，原有的信仰体系和价值体系出现断裂，而新的价值体系尚未完全建立起来，人们因此而时常陷入一种精神迷茫。

现代社会发展使得人类的物质生活发生了翻天覆地的变化，与此同时市场经济带来的利己主义、功利主义等价值取向让我们不得不面对现代化所带来的诸种困惑，社会价值迷失、精神困顿等问题也成为我们不得不面对的难题。

这在一定程度上导致了人们对现有生活的不满，为了发泄心中的负面情绪，有一部分人选择在网络上散布各种谣言。

而网络谣言的大肆传播又在一定程度上加剧了社会价值迷失和精神困顿。

一些对社会抱有负面情绪、对现实生活不满的网民，将自身境遇归结于社会的不公，而忽视了诸如自强不息、厚德载物这样的中国传统美德。

长此以往，受社会负面情绪控制的这些网民往往容易丧失了正确的道德判断能力，造成精神的困顿。

诚然谣言对社会具有极大危害，但不能否认其也具有正面效应。

网络谣言如同社会的一面镜子，是社会现实问题和民众社会诉求的反映。

“谣言．．．．．=．（问题的）重要性．．．．．．．．”，网络谣言所涉及的问题一般都与人们的生活密切相关但同．．．．．+．（事实的）模糊性时又不是特别明确。

2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设正项等比数列{}n a 满足4336a a -=，26a =，则1a =（）A ．3B ．12C ．2D ．13【正确答案】C【分析】本题可设公比为q ，然后根据4336a a -=得出26q q -=，通过计算求出3q =，最后通过21aa q=即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4336a a -=，26a =，所以22236a q a q -=，即26636q q -=，26q q -=，解得3q =或2-（舍去），3q =，则21623a a q ===，故选：C.2．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴“k 是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选：A ．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3．如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【正确答案】D【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D4．过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】B【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A ，B 坐标，即可由抛物线定义求得,AF BF ，得出所求.【详解】由题可得()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，（12x x >），直线l 的倾斜角为60 ，∴则直线l 的方程为)1y x =-，联立)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，由抛物线的定义可得12414,13AF x BF x =+==+=，则||3||AF BF =.故选：B.5．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．0C ．1D ．2π【正确答案】A【分析】先利用诱导公式把()f x 化简为()cos f x x x =，再利用常见函数的导数公式和函数乘积的导数的运算法则求出()f x '，代入2π可得所求的导数值.【详解】()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()cos sin f x x x x '=-，所以22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：A.本题考查诱导公式及导数的运算，注意函数乘积的导数的运算法则的正确应用，本题属于基础题.6．若2()24ln f x x x x =--,则()0f x ¢>的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【正确答案】C【详解】()242220,0,x x f x x x x --'=-->()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值为10，则=a （）A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【正确答案】C【分析】根据函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，可知f '（1）0=和f （1）10=，可求出a .【详解】由322()f x x ax bx a =+++，得2()32f x x ax b '=++，函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，∴411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-，∴在1x =处不存在极值；当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11(3x ∴∈-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴符合题意.故选：C本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，则BF =（）A ．9或6B ．6或3C ．9D ．3【正确答案】D设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，进而可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，由韦达定理可求得点B 的横坐标，进而可求得BF .【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，10y >，则由题意可得：点()2,0F ，126AF x =+=，则14x =，由2118y x =，得1y =，所以42AB k ==-AB 方程为)2y x =-，将直线AB 的方程代入28y x =化简得2540x x -+=，所以21x =，所以223F x B =+=，故选：D ．结论点睛：过抛物线()220y px p =>焦点F 的弦AB ，点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ.（1）1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+；（2）22sin pAB θ=；（3）112AF BF p+=.二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线【正确答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.【详解】A.当π4α=时，ππsin cos 44=22x y +=，即为圆的方程，故A 错误；B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；D.当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是（）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+-【正确答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项；对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-，即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对；对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++，即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++，故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ++=，公比为2的等比数列，故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【正确答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A 正确；证明平面11//AB D 平面1BDC ，即知//DP 平面11AB D ，B 正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C 错误D 正确即可.【详解】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，由选项A 知，1//BC 平面11AB D ，同理//DB 平面11AB D ，而1BC BD B = ，1,BC BD ⊂平面1BDC ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B正确；对于C ，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =---，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=-不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= --⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c =，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（）A ．()()1e 0f f <B ．()()1e 0f f >C ．()()e ln 221f f <D ．()()e ln 221f f >【正确答案】BC 【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2ln e 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错.故选：BC.三、填空题13．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x =-，则()f x 的单调递增区间为______．【正确答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出()0f x ¢>的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x =-,则()2cos f x x '=令()2cos 0f x x '=>,即cos x <且()0,πx ∈所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为___________．【分析】取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，证得1//CC 平面1D EF ，把1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，利用面面垂直的性质定理，证得1C M ⊥平面1D EF ，过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，得到1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，证得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，求得1C M 的值，即可求解.【详解】解：如图所示，取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，所以1//CC EF ，又EF ⊂平面1D EF ，1CC ⊄平面1D EF ，所以1//CC 平面1D EF ，所以直线1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，因为平面1D EF ⊥平面1111D C B A ，且1C M ⊂平面1111D C B A ，所以1C M ⊥平面1D EF ．过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，则1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，则四边形1MPNC 是矩形，可得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，由11111C MD F D C C F ⋅=⋅，所以1111111·2D C C F C M D F ⨯===故点P 到直线1CC15．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是__________【正确答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到1111(1)n n n a na +-=+，利用等差数列的通项公式化简得1(1)n a n n =+，把不等式2410nta n n++≥，转化(4)(1)n n t n ++≥-恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，可得1111(1)n n n a na +-=+，且112a =，所以数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，所以111=+(1)1n n n na a -=+，所以1(1)n a n n =+，又由2410n ta n n++≥恒成立，即(4)(1)n n t n ++≥-对n N *∈恒成立，因为(4)(1)44(5)(25)9n n n n n n n++-=-++≤-⋅+=-，当且仅当2n =时取等号，所以9t ≥-，即实数t 的取值范围是[9,)-+∞.16．已知正项数列{}n a 满足递推关系11(2)21n n n a a n a --=+，且114a =，数列{}n b 满足21n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12231n b b bn ++⋅⋅⋅+=+________.【正确答案】226n n +【分析】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项114a =，公差为2的等差数列，可求14(1)222n n n a =+-⨯=+，继而求出4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，这说明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，又首项114a =，公差为2，所以14(1)222nn n a =+-⨯=+，于是2214(1)n n b n a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，于是4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，故212(1)84262312n b b b n n n n n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=++.故答案为.226n n+本题考查等差数列的推导证明以及等差数列的求和问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最大值．【正确答案】(1)215n a n =-+(2)49【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式；（2）由113a =，2d =-，利用等差数列的求和公式，化简得到2(7)49n S n =--+，结合二次函数的性质，即可得到答案.【详解】（1）解：选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.（2）解：由113a =，2d =-，所以2213(215)14(7)492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值为49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)()()221225x y -+-=；(2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=．（2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N ===，则3d =．当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=，所以3d =，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=．综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n n S ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32n a n =-，3n n b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;(2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可.【详解】（1）因为232-=n n n S ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为nc 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332n n c n =--，则()()()122313132333333143213222n n n n n n n n T n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=--所以123332n n n n T +-+-=．20．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠====== ，平面1CC D ⊥平面11ACC A （1）求证：1AC DC ⊥；（2）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，易得1CC AC ⊥，又平面1CC D ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的性质定理证明即可；（2）由1AA ⊥平面111A B C ，且90BAC ∠= ，建立空间直角坐标系，求得平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，证明AM n ⊥ 即可；【详解】（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，∴1CC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ,且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，又AC ⊂ 平面11ACC A ,∴AC ⊥平面1CC D ，又1DC ⊂平面1CC D ，∴1AC DC ⊥（2）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，而1111,A B A C ⊂平面111A B C ∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥，又90BAC ∠= ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,,,2,0,1,0,0,1,2A C C B B D ，所以()()12,0,0,1,1BB BD =-=- ，设平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,n = ，∵M 为1DC的中点，则12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0AM n ⋅= ，所以AM n ⊥ ，又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB .方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．21．已知函数32()f x x ax x b =-++在1x =处取得极值.（1）当2b =-时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数b 的取值范围.【正确答案】（1）20x y --=（2）4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】先对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处取得极值，求出a ；（1）将2b =-代入()f x 解析式，再由导数的方法求出其在0x =处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数()f x 有三个零点，等价于方程322x x x b -+=-有三个不等实根，也即是函数()322g x x x x =-+与直线y b =-有三个不同的交点，由导数的方法研究函数()322g x x x x =-+的极值，即可得出结果.【详解】解：()2'321f x x ax =-+，由题意知()'10f =，所以3210a -+=，即2a =.所以()322f x x x x b =-++.（1）当2b =-时，()3222f x x x x =-+-，()2'341f x x x =-+，所以()'01f =，()02f =-，所以()f x 在0x =处的切线方程为()20y x --=-，即20x y --=.（2）令()0f x =，则322x x x b -+=-.设()322g x x x x =-+，则()y g x =与y b =-的图象有三个交点.()()()2'341311g x x x x x =-+=--，所以当x 变化时，()g x ，()'g x 的变化情况为x 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()'g x +0-0+()g x 增函数极大值减函数极小值增函数所以14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =.又当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞，所以4027b <-<，即4027b -<<.所以b 的取值范围是4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.22．如图，在六面体PABCD 中，PAB 是等边三角形，二面角P AB D --的平面角为30°，4PC AB ====.(1)证明：AB PD ⊥；(2)若点E 为线段BD 上一动点，求直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面θ，满足sin θ=利用换元法结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,PM DM ，因为,PA PB DA DB ==，所以,PM AB DM AB ⊥⊥，且PM DM M = ，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB PD ⊥.（2）连接CM ，则CM AB ⊥，由4AC BC AB ===，可得2CM =，于是22216CM PM PC +==，所以PM CM ⊥，又,PM AB AB CM M ⊥⋂=，所以PM ⊥平面ABC ，以M 为原点，,,MC MB MP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,M C B P ，由120CMD ∠= ，可得(D -，平面PAB 的法向量为()1,0,0n = ，设([]1,,0,1BE BD λλλ==--∈，则()2,22,CE CB BE λλ=+=--- ，设CE 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,n CE θ=令[]2,2,3t t λ+=∈，则sin θ令()[]248368,2,3f t t t t=-+∈，由对称轴138t =知，当138t =，即23λ=时，min 5()4f t =，max (sin )5θ==，于是max (tan ) 2.θ=直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值为2.。

2022-2023学年云南省玉溪市高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，()(){}210B x x x =-+<，则A B =（ ） A ．{}1 B ．{}2C ．{}1,2D ．∅【答案】A【分析】求一元二次不等式的解集，再求集合A 与集合B 的交集即可. 【详解】∵{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，∴{1}A B ⋂=. 故选：A. 2．已知复数()21i1i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】C【分析】由复数的运算结合定义求解. 【详解】()2221i1i i i 11i 2i 2i 221i z +++====-+---，即z 的虚部为12. 故选：C3．欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．56【答案】A【分析】运用列举法解决古典概型.【详解】记4部书籍分别为a 、b 、c 、d ，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为ab 、ac 、ad 共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：3162P ==. 故选：A.4．过点()1,0-的直线l 与圆C ：222440x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，弦AB 长的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】判断点(1,0)-在圆C 内，根据当l 垂直于圆心与定点所在直线时，弦长||AB 最短，代入公式||AB =.【详解】∵圆C ：222440x y x y +-+-=，即：22(1)(2)9x y -++=， ∴圆C 的圆心(1,2)C -，半径为3. 又∵22(11)(02)9--++<， ∴点(1,0)M -在圆C 内， ∴当l CM ⊥时，弦长||AB 最短. 又∵||CM ==∴||2AB ===. 故选：C.5．已知等比数列{}n a 满足220n n a a +-=，10n n a a +<，12a =，则6a 的值为（ ） A ．4 B．-C ．8 D．-【答案】D【分析】由10n n a a +<得出0q <，再由通项结合220n n a a +-=得出q ，进而得出6a 的值. 【详解】设公比为q ，110,0n n n na a a q a ++<∴=<. 220n n a a +-=，111120n n a q a q +-∴-=.即()12220n qq--=，解得q =55612(a a q ==⨯=-故选：D6．已知直线1l ：()31302a x y +++=和直线2l ：210x ay ++=，则12l l ∥的充要条件为（ ） A ．2a = B ．3a =- C ．25a =-D ．2a =或3a =-【答案】B【分析】根据两直线平行得出关于实数a 的方程，解出即可. 【详解】∵12//l l ，∴313221a a +=≠，即：2602? a a a ⎧+-=⎨≠⎩，解得：3a =-.故选：B.7．碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是5730012x y A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0A 为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的60%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈）（ ）A ．2292年B ．3580年C ．3820年D ．4728年【答案】C【分析】运用对数运算性质解方程即可.【详解】由题意知，5730001()0.62xA A =，所以16lg lg 5730210x =，即lg 2lg 61lg 2lg310.30.510.25730x -=-=+-≈+-=-， 即：lg 20.25730x-≈-，解得：0.20.2573057303820lg 20.3x ≈⨯≈⨯=（年）. 故选：C.8．若22lg 2lg 5a =+，ln 44b =，ln 55c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据,b c 的形式可构造函数()()ln 3xf x x x=>，利用导数可求得()f x 单调性，由()()45f f >可得,b c 大小关系；根据基本不等式和对数运算可求得12a b >>，由此可得结果. 【详解】令()()ln 3x f x x x =>，则()1ln 0xf x x -'=<，f x 在()3,+∞上单调递减，()()45f f ∴>，即ln 4ln 545>，c b ∴<； ()2222lg 2lg5lg 2lg 5lg 2lg52lg 2lg512lg 2lg5122+⎛⎫+=+-=->-⨯ ⎪⎝⎭111242=-⨯=，12a ∴>， 又2ln 4ln 2111ln 2ln e 44222b ===<=，b a ∴<，c b a ∴<<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据所给数值的共同形式，准确构造函数，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系比较问题，从而利用函数单调性来确定结果.二、多选题9．如图，在ABC 中，若点D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，设AD ，BE ，CF 交于一点O ，则下列结论中成立的是（ ）A ．BC AC AB =- B ．1122AD AC AB =+ C ．2233AO AC AB =+ D ．2233OC AC AB =- 【答案】AB【分析】利用向量的加减法则进行判断.【详解】根据向量减法可得BC AC AB =-，故A 正确； 因为D 是BC 的中点，所以1122AD AC AB =+，故B 正确； 由题意知O 是ABC 的重心， 则()2211133233AO AD AC AB AC AB ==⨯+=+，故C 错误； 221111121()()332333333OC CF CB CA CB CA CA AB CA AC AB =-=-⨯+=--=-+-=-，故D 错误.故选：AB.10．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象关于y 轴对称【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质以及函数图象变换即可求解. 【详解】由题意可知，7πππ2,212122T A ==-=，则2ππT ω==，则2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又因为()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π2π126k k ϕϕ⋅+=⇒=-+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；()5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确； 令πππ2π22π,Z 262k xk k ，解得：ππππ,Z 63k xk k ，令1k =可得：5π4π63x ≤≤，所以C 不正确； 将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，则πππ2sin 22sin 22cos 662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，关于y 轴对称，所以D 正确. 故选：ABD.11．已知双曲线M ：()222108x y a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作M 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，连接2AF ，记e 为双曲线M 的离心率，C 为12AF F △的周长，若直线2AF 与另一条渐近线交于点B ，且2AB BF =，则（ ）A ．e =B ．22eC ．8C =+D ．8C =+【答案】AD【分析】不妨设垂足A 在第二象限，从而可求得1AF ，再根据2AB BF =，可得1OB AF ∕∕，则1AF OB k k =，即可求出a ，进而可得离心率，求出直线1AF 斜率，即可得12AF F ∠，再在12AF F △中，利用余弦定理求得2AF 即可.【详解】双曲线M ：()222108x y a a -=>的渐近线方程为0bx ay ±=，()1,0F c -， 不妨设垂足A 在第二象限，即点A 在直线0bx ay +=上， 则12222bc AF b a b-===+，因为2AB BF =，所以B 为2AF 的中点， 又因O 为12F F 的中点，所以1OB AF ∕∕， 则1AF OB k k =，即a bb a=，所以228a b ==， 故224c a b =+=， 所以2ce a==， 所以11AF OB k k ==，则12πtan 4AF F ∠=， 在12AF F △中，11222,8AF F F ==，则22221121121222cos 8642228402AF AF F F AF F F AF F =+-∠=+-⨯⨯⨯=， 所以2210AF =，所以12AF F △的周长822210C =++.故选：AD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上有一动点G ，则下列说法正确的是（ ）A ．当点G 在线段11A C 上运动时，三棱锥1G ACB -的体积为定值 B ．当点G 在线段AC 上运动时，1B G 与11A C 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得AG 与平面ABCD 所成角为45°的点G 的轨迹长度为π42+D ．若P 是线段1AB 的中点，当点G 在底面ABCD 上运动且满足//PG 平面11B CD 时，线段PG 长的最6【答案】ACD【分析】对于选项A ，运用等体积法转化可得；对于选项B ，通过作平行线研究异面直线所成的角；对于选项C ，通过线面垂直找到线面角，再根据线面角可得点G 的轨迹计算即可.对于选项D ，通过面面平行的判定定理证得面1A BD //面11B CD ，从而得到点G 的轨迹，在PBD △中，运用等面积法求得PG 的最小值.【详解】对于选项A ，因为1CC ⊥面1111D C B A ，11B D ⊂面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥， 当点G 在线段11A C 上运动时， 因为1111B D A C ⊥，111B D CC ⊥，1111AC CC C =，11A C 、1CC ⊂面11ACC A ，所以11B D ⊥面11ACC A ， 又因为11//AC A C ，所以111111111111111422222323223223G ACB B AGC AGC V V S B D AC AA B D --==⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯△.所以三棱锥1G ACB -的体积为定值43，故选项A 正确；对于选项B ，因为11//AC A C ，所以异面直线1B G 与11A C 所成角为1B GC ∠或其补角，在△1AB C 中，1122AB BC AC ===1π3B CG ∠=， 所以1ππ32B GC ≤∠≤，故1B G 与11A C 所成角的取值范围为ππ[,]32，故选项B 错误；对于选项C ，∵1BB ⊥面ABCD ，则145B AB ︒∠=，∴当G 在线段1AB 上时，AG 与面ABCD 所成角为45︒，122AB =， 同理：当G 在线段1AD 上时，AG 与面ABCD 所成角为45︒，122AD =， 若点G 在面1111D C B A 上，∵面ABCD //面1111D C B A ， ∴AG 与面1111D C B A 所成角为45︒，又∵1AA ⊥面1111D C B A ，1AG ⊂面1111D C B A ， ∴11AA A G ⊥，145A GA ︒∠=， ∴112AG AA ==， ∴点G 在以1A 为圆心 ，2为半径的圆上， 又∵点G 在面1111D C B A 上，∴点G 在圆与四边形1111D C B A 的交线11B D 上，∴11B D 的长为12ππ4r ⨯=，∴点G 的轨迹长度为11112222ππ42B D AB AD l ++=++=+， 故选项C 正确；对于选项D ，连接DP 、DB ，取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，则1//PE AA ，1AA ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PE DE ⊥，如图所示，∵11//BB DD 且11=BB DD ， ∴四边形11BDD B 为平行四边形， ∴11//BD B D ，又∵BD ⊄面11B CD ，11B D ⊂面11B CD ，∴//BD 面11B CD ， 同理1//A B 面11B CD ， 又∵1BDA B B =，BD 、1A B ⊂面1A BD ，∴面1A BD //面11B CD ， 又∵//PG 面11B CD ， ∴∈G 面1A BD ，又∵∈G 面ABCD ，面1A BD面ABCD BD =，∴G BD ∈，即：G 的轨迹为线段BD . ∴当PG BD ⊥时，PG 最短.在Rt DAB 中，2AD AB ==，1AE =，所以BD =，DE ，在1Rt A AB △中，112PB A B ==在Rt PED 中，1PE =，所以PD =在PBD △中，因为222PB PD BD +=，所以PB PD ⊥，所以由等面积法得1122PBD S PB PD BD h =⋅=⋅△，即：1122=⨯，解得：h =线段PG 故选项D 正确. 故选:ACD.三、填空题13．为估计某中学高一年级男生的身高情况，随机抽取了25名男生身高的样本数据（单位：cm ），按从小到大排序结果如下164.0164.0165.0165.0166.0167.0167.5168.0168.0170.0170.0170.5171.0171.5172.0172.0172.5172.5173.0174.0174.0175.0175.0176.0176.0据此估计该中学高一年级男生的第75百分位数约为___________. 【答案】173【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由75%2518.75⨯=，所以该中学高一年级男生的第75百分位数为第19个数，即173. 故答案为：17314．若正数x ，y 满足112x y+=，则9x y +的最小值是___________. 【答案】8【分析】利用常数“1”代换结合基本不等式进行求解. 【详解】因为112xy +=，则11112x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()111191999101028222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=⋅++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =，即2,23x y ==时等号成立， 所以9x y +的最小值是8. 故答案为：8.15．已知等腰三角形底角的正切值为52，则顶角的正弦值是___________.【答案】459##459 【分析】由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解.【详解】如下图所示，等腰三角形ABC ，其中A 为顶角，因为5tan 2B =，所以 ()2222sin cos 2tan 545sin sin 2sin 22sin cos 5sin cos tan 1914B B B A B B B B B B B π=-======+++.故答案为：45916．已知函数()f x 的定义域为R ，()32y f x =++是偶函数，当3x ≥时，()2log f x x =，则不等式()()221f x f x +>-的解集为___________.【答案】533x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【分析】运用函数的奇偶性可得()f x 关于3x =对称，再运用函数的单调性、对称性可得|21||4|x x ->-，解绝对值不等式即可.【详解】∵(3)2y f x =++是偶函数，∴(3)2(3)2f x f x ++=-++，即：(3)(3)f x f x +=-+∴()f x 关于3x =对称.∵当3x ≥时，2()log f x x =，∴()f x 在[3,)+∞上单调递增，又∵(22)(1)f x f x +>-，∴|223||13|x x +->--，即：|21||4|x x ->-，∴22(21)(4)x x ->-，即：234150x x +->，解得：3x <-或53x >. 故答案为：{|3x x <-或5}3x >.四、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，满足22a =，37S =(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a -=(2)()12n n n T -=【分析】（1）根据等比数列单调性和通项公式可构造方程求得公比q ，进而得到n a ；（2）利用等差数列求和公式可求得n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，{}n a 为递增的等比数列，220a =>，1q ∴>，23222227a S a a q q q q ∴=++=++=，解得：12q =（舍）或2q ，2122n n n a a q --∴==.（2）由（1）得：12log 21n n b n ，又10b =，11n n b b +-=，∴数列{}n b 是以0为首项，1为公差的等差数列，()()01122n n n n n T +--∴==. 18．已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0c a B b C -+=(1)求ABC ∠；(2)如图，点D 在AC 延长线上，且CD BC =，4AB =，7AD =，求ABC 的面积.【答案】(1)π3. 333 【分析】（1）由正弦定理边化角及和角公式化简可得结果；（2）在△ABC 中应用余弦定理解得BC 的值，代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）∵()2cos cos 0c a B b C -+=，∴由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=，即sin cos 2sin cos sin cos 0C B A B B C -+=，()sin 2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =， ∵ sin 0A ≠，∴ 1cos 2B = 又∵()0,πB ∈，∴ 3B π=. （2）设CD x =，则7AC x =-， 在△ABC 中，()22247π1cos 3242x x x +--==⨯，解得：3310x = 则△ABC 的面积11333333sin 423210ABC S AB BC π=⨯⨯⨯=⨯⨯△19．2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.(1)根据测试得分频率分布直方图，求a 的值；(2)根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；(3)猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由.【答案】(1)0.007a =(2)79.2(3)中位数大于平均数，理由见解析【分析】（1）由频率之和等于1，得出a 的值；（2）由频率分布直方图求平均数的方法求解；（3）观察频率分布直方图数据的分布，得出平均数和中位数的大小关系.【详解】（1）解：()0.0030.0050.0150.02201a ++++⨯=解得0.007a =（2）语文平均分的近似值为()0.003300.005500.015700.02900.00711020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.2=， 所以，语文平均分的近似值为79.2.（3）中位数大于平均数.因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.20．如图，三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，侧面11ABB A 是正方形，2AB AC ==，D 为线段11A B 上的一点（不包括端点）且1AC CD ⊥(1)证明：AC AB ⊥；(2)当点D 为线段11A B 的中点时，求直线1AC 与平面BCD 所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)22【分析】（1）法一：由线面垂直的判定定理证得11A B ⊥平面11AAC C ，则11A B AC ⊥，又11//AB A B ，所以AB AC ⊥.法二：设1B D k AB =，由空间向量基本定理表示出1,AC CD ，由1AC CD ⊥可得10AC CD ⋅=，代入化简即可得出AC AB ⊥.（2）建立空间直角坐标系，分别求出直线1AC 的方向向量和平面BCD 的法向量，由线面角的向量公式求解即可.【详解】（1）法一：证明：连接1A C ，在直三棱柱111ABC A B C 中，∵1AB AC A A ==，∴四边形11ACC A 是正方形，∴11A C AC ⊥，又∵1AC CD ⊥且1CD AC C ⋂=，1,CD AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥平面1A CD ，因为11A B ⊂平面1A CD ，∴111AC A B ⊥，又∵111A B AA ⊥，11,AC AA ⊂平面11AAC C ，11A AC AA ⋂=，∴11A B ⊥平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，∴11A B AC ⊥，又∵11//AB A B ，∴AB AC ⊥，法二：证明：设1B D k AB =，11AC AC AA =+，()()()1111CD CB BD AC BB B B AB D k AB AC B =+=-++=+-+∵1AC CD ⊥，∴10AC CD ⋅=，即()()1111111k AB AC AC AC BB AC k AB AA AC AA BB AA +⋅-⋅+⋅++⋅-⋅+⋅()1400040k AB AC =+⋅-++-+=又∵点D 不与11A B 的端点重合，∴10k +≠，∴0AB AC ⋅=，即AC AB ⊥.（2）由（1）得AC ，AB ，1AA 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()12,0,2C ，()2,0,0C ，()0,2,0B ，()0,1,2D()12,0,2AC =，()0,1,2BD =-，()2,1,2CD =-设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =0202200n BD y z x y z n CD ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩，令2x =，则2,1==y z ， 可求得()2,2,1n =设直线1AC 与平面BCD 所成角为θ， 11162sin cos 62AC nAC n AC n θ⋅=⋅===⋅， ∴直线1AC 与平面BCD 2 21．已知31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0ω>，设()f x a b =⋅ (1)若函数()y f x =图象相邻的两对称轴之间的距离为π，求()f x ；(2)当函数()y f x =在定义域内存在1x ，()212x x x ≠，使()()1212f x f x +=，则称该函数为“互补函数”.若函数()y f x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“互补函数”，求ω的取值范围.【答案】(1)()sin f x x =(2)3ω≥【分析】（1）根据数量积的坐标公式及辅助角公式将函数()f x 化简，再根据()y f x =相邻的对称轴距离为π求出ω，即可得解；（2）分3ππ222T -≥、3ππ22T -<、3ππ222T T ≤-<三种情况讨论，分别求出ω的取值范围，即可得解.【详解】（1）解：因为31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()3π12πcos sin2323f x a b x x ωω⎛⎫⎛⎫=⋅=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π1πππsin sin sin 32333x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为函数()y f x =相邻的对称轴距离为π，所以2πT =，即2π2πω=，解得1ω=，所以()sin f x x =.（2）解：因为函数()sin x y f x ω==在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“互补函数”， 函数()y f x =在定义域内存在1x ，()212x x x ≠使()()1212f x f x +=，即()()122f x f x +=， ①当3ππ222T -≥，即3ππ2π2220ωω⎧-≥⋅⎪⎨⎪>⎩，解得4ω≥，显然成立； ②当3ππ22T -<，即3ππ2π220ωω⎧-<⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<<时，显然不成立； ③当3ππ222T T ≤-<时，即24ω≤<时， 所以ππ223π5π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者π5π223π9π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者π9π223π13π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩， 解得ω的取值范围为34ω≤<，综上所述3ω≥.22．已知曲线C ：()222210x y a b a b +=>>，且点M ⎛ ⎝⎭和点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)若点O 为坐标原点，直线AB 与曲线C 交于A ，B 两点，且满足OA OB ⊥，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值.如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由【答案】(1)2213x y += (2)【分析】（1）方法1：待定系数法（代入曲线的标准方程中）求得椭圆的方程. 方法2：待定系数法（代入曲线的一般式方程中）求得椭圆的方程.（2）分类讨论①若直线AB 斜率存在时，由韦达定理及0OA OB ⋅=可得2k 与2m 的关系式，代入计算点O 到直线AB 的距离即可. ②当直线AB 的斜率不存在时检验也成立.【详解】（1）方法1：由已知M ⎛ ⎝⎭及点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上， 则2222161938199a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：2231a b ⎧=⎨=⎩， 所以曲线C 的方程为2213x y +=. 方法2：由已知可设曲线C 的方程为221mx ny +=，(0)n m >>，因为M ⎛ ⎝⎭及点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上， 则61938199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ， 所以曲线C 的方程为2213x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线AB 斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，则：22330y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去y 后得()222136330k x kmx m +++-=，则222222Δ364(13)(33)3612120k m k m k m =-+-=-+>， 122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 由OA OB ⊥知，()()()()2212121212121210x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=++⋅+=++++=22433m k ⇒=+，此时0∆>，又点O 到直线AB的距离d所以d ==.②当直线AB 的斜率不存在时，A 、B 两点关于x 轴对称， 而且当11x y =时，代入方程2213x y +=，可得1x = 所以直线AB的方程为x =， 此时O 点到直线AB的距离d =. 综上所述，点O 到直线AB。

一、单选题1．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ． B ． C ．2 D ．12-1-【答案】A【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A2．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）()222210,0y x a b a b -=>>A． B ．y x =32y x =±C ． D ．23y x =±y =【答案】C 【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，()222210,0y x a b a b -=>>24,26a b ==所以，双曲线焦点在轴上，2,3a b ==y 所以双曲线的渐近线方程为，23y x ab x =±=±故选：C.3．记等差数列的前n 项和为，已知，，则（ ）{}n a n S 515S =735S =1a =A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-【答案】D【分析】利用题给条件列出关于首项公差d 的方程组，解之即可求得的值.1a 1a 【详解】设等差数列的首项为，公差为d ， {}n a 1a 则，解之得11545152767352a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩121d a =⎧⎨=-⎩故选：D4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）()1,1P 224x y +=AB AB A ． B ． C ． D ．20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=【答案】A【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可.【详解】的圆心为,半径，224x y +=(0,0)O 2r =因为为圆的弦的中点，()1,1P 224x y +=AB 所以圆心与点确定的直线斜率为， O P 01101PO k -==-因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，所以弦所在直线的斜率为，AB 1AB k =-所以弦所在直线的方程为：，AB ()1(1)1y x -=-⋅-即.20x y +-=故选：A.5．圆与圆的位置关系为（ ）()221:11O x y -+=()222:39O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.【详解】因为圆 的圆心, 半径为,()221:11O x y -+=(1,0)11r =圆 的圆心, 半径为，,()222:39O x y -+=(3,0)23r =,而，2=122r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.6．已知数列的前n 项和，满足，则＝（ ）{}n a n S 23n n S a =-6a A ．72B ．96C ．108D ．126 【答案】B 【分析】根据得到数列是以3为首项，2为公比的等比数列，从而求出通11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 项公式，得到的值.6a 【详解】当时，，解得：，1n =11123S a a ==-13a =由题意可得，①23n n S a =-当时，，②2n ≥1123n n S a --=-①﹣②得，，即，1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，{}n a 所以，132n n a -=⨯故.563296a =⨯=故选：B.7．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为2222:1(0)x y C a b a b+=>>，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与2222x y a b +=+222:116x y C a +=M M C 该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（ ） ,P Q MPQ A CA ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出PQ 22216x y a +=+，再利用基本不等式即可求即解.222216)4(MP MQ PQ a ++==【详解】椭圆C 因为，所以为蒙日圆的直径，MP MQ ⊥PQ所以，所以. PQ =222216)4(MP MQ PQ a ++==因为，当22216)2(2MP MQMP MQ a ≤++⋅=MP MQ ==所以面积的最大值为：. MPQ A 26121MP MQ a =+⋅由面积的最大值为34，得，得，MPQ A 23416a +=a =故椭圆的长轴长为C 故选：C8．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b-=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F F M N 135MAN ∠=︒离心率为（ ）ABC ．2 D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=b y x a =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线 的一条渐近线的方程为 . C b y x a =由 以及 222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得 或 ,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则 .(),M a b (),N a b --因为 ,(),0,135A a MAN ∠-= 所以 ,45MAO ∠= 又 , tan 2b MAO a ∠=所以 , 12b a=所以,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、多选题9．过点的直线l 与直线平行，则下列说法正确的是（ ）(2,0)P -1:20+-=l x y A ．直线l 的倾斜角为45︒B ．直线l 的方程为：20x y ++=C ．直线l 与直线间的距离为1l D ．过点P 且与直线l 垂直的直线为：20x y -+=【答案】BCD【分析】由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项A ，由直线平行和垂直的斜率关系设出所求方程点代入求得直线方程即可判断B 、D ，由平行直线间的距离公式计算即可判断C 选项.P 【详解】过点的直线l 与直线平行，(2,0)P -1:20+-=l x y 设直线l 方程为，代入可得，解得：,所以直线l 的方程1:0l x y m ++=(2,0)P -200m -++=2m =为：，B 正确，20x y ++=直线l 的斜率，直线l 的倾斜角为，则A 错误，1k =-135︒l 与直线的距离为C 正确，1l d 过点P 且与直线l 垂直的直线可设为：，代入可得，解得：,0x y n -+=(2,0)P -200n --+=2n =则过点P 且与直线l 垂直的直线为：，D 正确.20x y -+=故选：BCD.10．已知等差数列的前n 项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） {}n a n S d 151416S S S <<A ．B ． 0d >0d <C ．D ．当时，取得最小值 300S >15n =n S 【答案】ACD【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根()12n n n a S S n -=-≥150a <15160a a +>160a >据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为，所以，，. 151416S S S <<1515140a S S =-<1616150a S S =->151616140a a S S +=->对于A 、B 选项，因为，，所以，故选项A 正确，选项B 错误； 150a <160a >16150d a a =->对于C ，因为，所以，故选项C 正确； 15160a a +>()()130301516301502a a S a a +==+>对于D ，因为，，可知，，等差数列为递增数列，150a <160a >10a <0d >{}n a当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D 选项正确. 15n ≤0n a <16n ≥0n a >15n =n S 故选：ACD.11．如图，在正方体中，为的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 1AAA ．平面11//A D BEC B ．平面1AB ⊥BEC C ．平面平面11AA B B ⊥BECD ．直线与平面1DD BEC 【答案】ACD【分析】对于ABC ，由正方体特征判断即可；对于D ，取的中点，连接，得AB F 1B F 1B F BE ⊥，由，得平面，因为，所以与平面所成角即为与平面1BC B F ⊥1B F ⊥BEC 11//DD BB 1DD BEC 1BB 所成角，大小为，即可判断.BEC 1B BE ∠【详解】由题知，A 选项：因为，平面，平面，11//A D BC BC ⊂BEC 11A D ⊄BEC 所以平面，故A 正确；11//A D BEC B 选项：显然与不垂直，故B 错误；1AB BE C 选项：因为平面，平面，BC ⊥11AA B B BC ⊂BEC 所以平面平面，故C 正确；11AA B B ⊥BEC D 选项：如图，取的中点，连接，易证，AB F 1B F 1B BF BAE △≌△所以，1BB F ABE ∠=∠因为，1190BB F B FB ∠+∠=︒所以，即，190ABE B FB ∠+∠=︒1B F BE ⊥因为平面，平面，BC ⊥11AA B B 1B F ⊂11AA B B 所以，1BC B F ⊥因为，平面BE BC B = ,BE BC ⊂BEC 所以平面，1B F ⊥BEC 因为，11//DD BB 所以与平面所成角即为与平面所成角，大小为，1DD BEC 1BB BEC 1B BE ∠所以，故D 正确， 11cos sin B BE BB F ∠=∠故选：ACD.12．已知点F 是抛物线的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且，直线AB 的斜率为24y x =AB CD ⊥k ，且，C ，A 两点在x 轴上方，则（ ）0k >A ． B ．四边形ABCD 面积最小值为643OC OD ⋅=-C ．D ．若，则直线CD 的斜率为1114AB CD +=16AF BF ⋅=【答案】ACD【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根F AB 之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长，同理可得的值，由均值不等式可得四边形||AB ||CD 的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【详解】由抛物线的方程可得焦点，，由题意可得直线，的斜率存在且不为0， (1F 0)AB CD 设直线 的方程为：，设，，，，CD 1(0)x my m =+<1(C x 1)y 2(D x 2)y 联立，整理可得：， 214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=显然，，，0∆>124y y m +=124y y =-，， 21212()242x x m y y m +=++=+21212()116y y x x ==所以，所以A 正确；12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=- 由于 , , 21244CD x x p m =++=+1AB CDk k =-所以将中的换成代入中得 , CD m 1m -CD 2144AB m =+，当且仅当时()()22222411114182823222ACBD m S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形…1m =-等号成立，所以四边形的最小面积为，所以B 不正确；32设,，,，3(A x 3)y 4(B x 4)y 若，即，||||16AF BF ⋅=343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=整理可得，4343()116x x x x +++=即，解得，即的斜率， 21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭213m =m =CD 10k m =<所以直线的斜率为D 正确；CD 可得弦长,， ()2||41CD m =+21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，所以C 正确； 2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++故选：ACD三、填空题13．已知空间向量，若，则实数的值为__________.()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a c ⊥ x 【答案】 103【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为，所以，解得， a c ⊥ 2(4)(1)230a b x ⋅=⨯-+-⨯+= 103x =故答案为: . 10314．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．【答案】40【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前项，相当于已知，求解1211215.5, 4.5a a ==.5678a a a a +++【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列，设公差为，则所以{}n a d 11215.5, 4.5a a ==，则，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为15.511 4.5d +=1d =-567811.510.59.58.540a a a a +++=+++=故答案为：4015．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值(5,2)A F 24y x =P ||||PA PF +为__．【答案】6【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知，当点、P =1x -E A P 、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可求解.E AP =1x -||||PA PF +【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，24y x =(1,0)F =1x -过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，P =1x -E PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，A P E AP =1x -取得最小值，且最小值为．||||PA PF +516+=故答案为：.6四、双空题16．我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等.已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二4y x=次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.223y x x =--【答案】 81,34⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】结合反比例函数图象的对称轴求得焦距；根据图象变换的知识求得抛物线的焦点坐标.【详解】的图象关于直线对称，即是双曲线的实轴， 4y x =y x =y x =4y x=由解得或， 4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩1122x y =⎧⎨=⎩2222x y =-⎧⎨=-⎩设，所以双曲线的实轴长为()()2,2,2,2A B --=4y x =由于轴和轴是双曲线的渐近线，所以双曲线是等轴双曲线， x y 4y x =4y x =所以双曲线的虚轴长为 4y x =所以双曲线. 4y x=8=二次函数， 2212523248y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎭-⎝可看作的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到. 22y x =14258即，其焦点坐标为， 22y x =212x y =10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭142531,34⎛⎫- ⎪⎝⎭即抛物线的焦点坐标为. 223y x x =--1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：； 81,34⎛⎫- ⎪⎝⎭五、解答题17．在等差数列中，已知 且．{}n a 12318a a a ++=45654a a a =++(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．14n n n b a a +=⋅{}n b n n S 【答案】(1) 42n a n =-(2) 21n n S n =+ 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得{}n a d 13318a d +=131254a d +=,12a =4d =,；∴24(1)42n a n n =+-=-*n ∈N （2）解：，()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭ . 111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，P ABCD -ABCD PB ⊥ABCD 3AB BC ==3BP =，，． 13CF CP =13DE DA =(1)证明：平面；EF P ABP (2)求直线与平面所成角的正弦值．PC ADF 【答案】(1)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线EF ABP 面角即可.【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分BC BA BP B BC BA BP 别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,x y z B xyz -则，，，， ()0,0,0B ()3,0,0C ()2,3,0E ()2,0,1F所以，．()3,0,0BC = ()0,3,1EF =- 底面，底面，PB ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PB BC ∴⊥又，，BC BA ⊥ PB BA B = 且平面,,PB BA ⊂ABP 平面，BC ∴⊥ABP 所以是平面的一个法向量．()3,0,0BC = ABP 因为，()()3,0,00,3,10BC EF ⋅=⋅-= 所以．BC EF ⊥ 又平面，所以平面．EF ⊄ABP EF P ABP （2）因为，，，，，()0,3,0A ()3,0,0C ()3,3,0D ()0,0,3P ()2,0,1F 所以，，，()3,0,0AD = ()2,3,1AF =- ()3,0,3PC =- 设平面的法向量为，则ADF (),,n x y z = 由，解得，令， 30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 03x z y =⎧⎨=⎩1y =得平面的一个法向量为．ADF ()0,1,3n = 设直线与平面所成的角为，PC ADF θ则sin cos<,PCθ= 故：直线与平面． PC ADF 19．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．C ()3,0A ()2,1B 240x y +-=(1)求圆的方程；C(2)从点向圆C 作切线，求切线方程．()3,2【答案】(1)22(2)1x y -+=(2)或3x =3410x y --=【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 10123AB k -==--AB 又因为的中点为， AB 51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段的中垂线的直线方程为， AB 1522y x -=-即， 20x y --=联立 解得 ，所以圆心 240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C 又因为半径等于,所以圆的方程为.1AC =C 22(2)1x y -+=（2）设圆的半径为，则，C r 1r =若直线的斜率不存在，因为直线过点，()3,2所以直线方程为，3x =此时圆心到直线的距离，满足题意;(2,0)C 3x =1d r ==若直线的斜率存在，设斜率为，k 则切线方程为，即，2(3)y k x -=-230kx y k -+-=因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， d 解得， 34k =所以切线方程为，即. 392044x y -+-=3410x y --=所以切线方程为或.3x =3410x y --=20．已知椭圆经过． 2222:1x y E a b +=1(0,1),2⎫⎪⎭(1)求椭圆的方程；E (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．:10l x y --=E A B O OAB A【答案】(1) 2214x y +=(2) 45【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程；a b （2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标l x 1y ，，设直线与轴交于点，利用进行求解． 2y l x P 1212S OP y y =-【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得2222:1x y E a b +=1(0,1),2⎫⎪⎭22213114b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：，， 2a =1b =即椭圆的方程为； E 2214x y +=（2）记，，可设的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y AB 1x y =+由，消去得，解得， 22441x y x y ⎧+=⎨=+⎩x 25230y y +-=1231,5y y =-=直线与轴交于点，则 . l x (1,0)P 12118412255S OP y y =-=⨯⨯=21．已知数列的前n 项和为，且. {}n a n S 2n n S n a +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若恒成立.求实数的最大值.1n na S n n λ-≤-λ【答案】(1)；21n n a =-(2).23【分析】（1）根据给定条件，利用“当时，”探求数列相邻两项的关系，再构2n ≥1n n n S S a --={}n a 造数列求解作答.（2）由已知结合（1）的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答.【详解】（1）依题意，，当时，，解得，2n n S a n =-1n =1121a a =-11a =当时，，，两式相减得，2n ≥2n n S a n =-1121n n S a n --=-+1221n n n a a a -=--因此，则， 121n n a a -=+()1121n n a a -+=+则是以为首项，2为公比的等比数列，有，显然满足上式， {}1n a +11a +12nn a +=11a =所以数列的通项公式为.{}n a 21n n a =-（2）由（1）可知，，因，整理得：， 1222n n n S a n n +=-=--1n na S n n λ-≤-2221n n λ≤--令，则， 2221n n n b =--222111(1)[(1)2]2(21)2121(21)(21)n n n n n n n n n n n b b ++++--⋅++-=-=----显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的， 210b b -<2n ≥10n n b b +->1n n b b +>2n ≥{}n b 于是得，依题意，恒成立，即有， min 22()3n b b ==2221n n λ≤--23λ≤所以实数的最大值为.λ2322．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.2:4C y x =O F l C ,A B (1)记和的面积分别为，若，求直线的方程；AFO A BFO A 12,S S 212S S =l (2)判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.x M OAMB【答案】(1)；440x -=(2)不存在，理由见详解.【分析】（1）设直线方程为，，利用韦达定理及计算可得答l 1x ty =+()()1122,,,A x y B x y 212y y =-案；（2）假设存在点，使得四边形为矩形，根据抛物线的性质推出不成立，则可得M OAMB OA OB ⊥不存在点，使得四边形为矩形.M OAMB 【详解】（1）设直线方程为，l 1x ty =+()()1122,,,A x y B x y 联立，消去得， 241y x x ty ⎧=⎨=+⎩x 2440y ty --=得①，②，124y y t +=124y y =-又因为，则③212S S =212y y =-由①②③解得 t =即直线的方程为，即 l 1x y =+440x -=（2）假设存在点，使得四边形为矩形，M OAMB则互相平分 ,OM AB 所以线段的中点在上，则轴， AB x AB x ⊥此时 ()()1,2,1,2A B - 41OA OB k k ∴=-≠-则不成立.OA OB ⊥故在轴上不存在点，使得四边形为矩形 x M OAMB。

2022—2023学年（上）期末考试 高2024届数学试题（答案在最后） 考试说明：1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：4页一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2040S =，则30S =（ ）． A ．90 B ．80 C ．60D ．30 2．若(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则a b ⋅等于（ ） A ．5 B ．5- C ．7 D ．1-3．已知抛物线214y x =的焦点为F ,()1,0D -则FD 为（ ） A ．B ．2C ．1716D4．已知点,,A B C 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，若,A B 两点关于原点对称，AC 过右焦点F ，且0,3||||FB AC AF CF ⋅==，则双曲线的离心率为（ ） ABCD．15．等比数列{}n a 为递减数列，若7146a a ⋅=，4175a a +=，则518a a =（ ） A ．32B ．23C ．16D ．66．已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为（ ） A ．1＋3 B．12+ CD7．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 7=（ ）A ．110B ．128C ．144D ．898．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．直线l 与OM 一定不垂直；B ．若直线l 方程为22y x =+，则AB =C ．若直线l 方程为1y x =+，则点M 坐标为1233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程l 为230x y --=二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知动直线:10l kx y k --+=与圆22:40C x y y +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 过定点()11，B ．圆C 的圆心坐标为()02-，C ．直线l 与圆 C的相交弦的最小值为 D ．直线l 与圆 C 的相交弦的最大值为410．已知椭圆221:1169x y C +=与双曲线()222:1916169x y C k k k+=<<--，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）A ．1C 的长轴长与2C 的实轴长相等B ．1C 的短轴长与2C 的虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率不相等11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，那么下列选项正确的是（ ） A ．数列{1}n a +是等比数列 B ．数列{}n a 的通项公式为21n n a =- C ．2n n S n =- D ．1n T <12．已知1111ABCD A B C D -为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E ，F 分别为1,1AA BB 的中点．则下列说法错误的是（ ）A ．直线1AD 与平面11DCC DB ．平面11AB D ⊥平面1BDCC ．直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为D ．以D为球心，11BCC B 的交线长为23π 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.以(1,3)为圆心，且与直线x +2y +8=0相切的圆的标准方程是___________________. 14.线段AB ,其中A(2,5),B(5,1)，过定点P(1,2)作直线l 与线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是___________.15.数列{a n }满足下列条件：a 1=1,且∀n ∈N ∗,恒有a 2n =a n +n −1,则a 256=__________. 16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E （如右图）是由椭圆C 1:x 28+y 24=1和双曲线C 2:x 23−y 2=1在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C 1上一点P 0出发，经过点F 2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1,P2,P3,P4,…若P0,P4重合，则光线从P0到P8所经过的路程为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=5，S6=0.（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值.18.（12分）已知点D(−2,2),直线l:ax−2y+3=0圆C:x2+y2−2x−6y+5=0. （1）若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值；（2）若点P为x轴上一动点，求|PC|+|PD|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标.19.（12分）在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M,N,O,P分别为BC,CC′,C′D′,AA′的中点.（1）求证：MO∥平面BDD′（2）求异面直线BN与PB′所成角的余弦值.20.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足条件2S n+3=3a n，其中n∈N∗.（1）求{a n}的通项公式3，又b1b3+b2b4+⋯+（2）设数列满足b n=log anb n b n+2<M，对一切n∈N∗恒成立，求M的取值范围.21.（12分）已知四棱锥P −ABCD （如图），四边形ABCD 为正方形，面PAB ⊥面ABCD,PA =PB =AB =2,M 为AD 中点. （1）求证:PC ⊥BM ;（2）求直线PC 与平面PBM 所成角的余弦值.22.(12分)椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y 轴正半轴交于点2)Q ，122QF F S ∆=. （1）求曲线C 的方程；（2）过椭圆C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆C 交于E G 、两点，求PEG ∆的面积PEG S ∆的取值范围.2022—2023学年（上）期末考试 高2024届数学试题参考答案及评分标准一、1-8单选择题 二、9-12多选题13.()()221+345x y --= 14.[−14,3] 15.248 16.16√2−8√3 四、解答题 17.解： (1)由S 6=0得6(S 1+S 6)2=0, .................1分从而S 1+S 6=0,即2S 1+5S =0, .................3分 又因为S 1=5，所以S =−2,所以S S =5−2(S −1)=7−2S， .................5分 (2)S S =S (S 1+S S )2=S (12−2S )2=−S 2+6S =−(S −3)2+9，.................8分所以S =3时S S 有最大值9，.................10分18.解：（1）圆S :(S −1)2+(S −3)2=5,∴S (1,3),∴S SS =13,S S =S2，.................4分∵S ⊥SS ,∴S SS ∙S S =13∙S2=−1,∴S =−6，.................5分（2）点S (−2,2)关于S 轴的对称点为S ′(−2,−2)，................7分则|SS |+|SS |=|SS |+|SS ′|≥|SS ′|=√(1+2)2+(3+2)2=√34， (9)分当且仅当S、S、S ′三点共线时等号成立，此时，S SS ′=53,则直线方程为：S +2=53(S +2),即S =53S +43，.................11分 令S =0,得S =−45，所以S (−45,0)，.................12分 19.解：（1）取SS 中点S ,连接SS ,SS ′,则SS =12SS ,SS ∥SS ∥SS ′，.................2分 又因为SS ′=12S ′S ′=12SS ，所以SS ∥SS ′,且SS =SS ′， 所以四边形SSS ′S 为平行四边形，所以SS ∥SS ′，.................4分 又因为SS ′⊆平面BDD ′,所以SS ∥平面BDD ′，.................5分（2）以S 为原点，SS、SS、SS ′分别为S、S、S 轴，建立空间直角坐标系 设S (2,2,0),S ′(2,2,2),S (2,0,1),S (0,2,1)，.................7分 设直线SS 与SS ′所成角为S所以SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),，.................9分所以SSSS=|SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5∙√5=15，.................11分所以异面直线SS与SS′所成角的余弦值为15，.................12分20.（1）∵2S S+3=3S S,∴2S S+1+3=3S S+1,两式相减得2S S+1=3S S+1−3S S,∴S S+1=3S S，.................3分又2S1+3=3S1,S1=S1,∴S1=3，.................5分∴数列{S S}是以首项为3，公比为3的等比数列∴S S=3∙3S−1=3S，.................6分（2）由（1）知，S S=logS S 3=1S，.................7分∴S S S S+2=1S(S+2)=12(1S−1S+2)设S S=S1S3+S2S4+⋯+S S S S+2,∴S S=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1S−2−1S)+(1S−1−1S+1)+(1S−1S+2)]，.................9分∴S S=12(1+12−1S+1−1S+2)<12∙(1+12)=34，.................11分又S S<S对一切S∈S∗恒成立∴S≥34,S的取值范围为[34,+∞)，.................12分21.（1）证明：取SS中点S,连接SS,并过点S作SS的平行线SS,交SS于S,则SS⊥SS，.................1分∵SS=SS=SS，∴△SSS为等边三角形，又∵S为SS中点，∴SS⊥SS,，.................2分又∵面SSS⊥面ABCD，面SSS∩面ABCD=AB∴SS⊥面ABCD，∴SS⊥SS，.................3分以S为原点，SS,SS,SS所在直线分别为S,S,S轴建立如图空间直角坐标系，因为SS=SS=2则S(1,0,0),S(0,0,√3),S(−1,1,0),S(1,2,0)SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，.................5分所以SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−2)+2×1+(−√3)×0=0所以SS⊥SS，.................6分（2）SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√3),SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2−√3)设平面SSS的一个法向量为S⃗⃗⃗⃗ =(S,S,S)，则有{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ =0SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ =0,即{−S +S −√3S =0−2S +S =0令S =1,得S ⃗⃗⃗⃗ =(1,2,√33)，.................8分设直线SS 与平面SSS 所成角为S ，则SSSS =|SSS <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,S ⃗⃗⃗⃗ >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|S ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|1×1+2×2+√3×(−√3)|√1+4+13×√1+4+3=√64，.................10分所以直线SS 与平面SSS 所成角的余弦值为√1−(√64)2=√104，.................12分22(1)12222,2,142QF F x y b S bc c a ∆===∴==∴+=椭圆的方程为，.................4分(2)22000000(,),:()()0,1,:1P x y OP x x x y y y O x y CD x x y y -+-=+=+=设以为直径的圆又圆：两式相减，.................5分()0022222222000000002222200014240,164(2)(24)248(412)x x y y x y x x x y x x y y x y y x y +=⎧+-+-=∴=-+-⎨+=⎩=-+由得到2222220000000841(4)24(1),y x x y x EG⎡⎤=-+-=+==⎣⎦22P EG d -=PEG S∆=.................7分)220131PEGt t S t ∆+==+)1t ⎡=∈⎣.................8分21322113313333PEGt t t s t t t t t ∆⎛⎫+⎪⎫=+=+- ⎪⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭.................9分又131s t t⎡=+⎣在上递增，所以4s ⎡∈⎢⎣ 又2+43s y s ⎡=⎢⎣在上递增，所以1321133t t y t t+⎡=+⎣+在上递增所以213221131333PEGt t t s t t t t t ∆⎫+⎪⎫+=+-⎪⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭，在1⎡⎣上递增............10分所以PEG S ∆∈⎣⎭ .................12分。

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

四川省内江市2023-2024学年高二上学期期末检测物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于下列四幅图中的现象或原理解释合理的是（）A．图甲中人接触带电金属球，头发散开属于感应起电B．图乙中用酒精灯给串联接入电路的灯丝加热，发现小灯泡L变亮C．图丙中相互靠近的两导线中通有异向电流D．图丁中磁电式电流表的工作原理是磁场对线框的安培力作用2．一个标有“220V 、60W”的白炽灯泡，两端的电压由零逐渐增大到220V。

在此过程中，灯泡两端的电压U和通过灯泡的电流I的关系图线是图中的哪一个？（）A．B．C．D．3．关于电场和磁场，下列说法正确的是（）A．同一正电荷在电势越高的地方电势能越大B．电荷在同一匀强磁场中，速度越大，受到的洛伦兹力一定越大C．通电导线在同一磁场中，电流越大，受到的安培力一定越大D．在同一匀强电场中两点间距越大，电势差一定越大4．如图所示，在甲图竖直向上的匀强电场中，旋置一带正电的点电荷，a、b、c、d是以点电荷为圆心的同一圆周上的四点；在乙图的竖直向上的匀强磁场中，水平放置着一根长直导线，电流方向垂直纸面向里，a、b、c、d是以直导线为圆心的同一圆周上的四点，下列说法正确的是（ ）A ．甲图中b 点电场强度最大，乙图中b 点磁感应强度最大B ．甲图中b 、d 两点电场强度相同，乙图中a 、c 两点磁感应强度相同C ．甲图中c 点电场强度可能为零，乙图中d 点磁感应强度可能为零D ．甲图中a 点电场强度方向竖直向上，乙图中a 点磁感应强度方向竖直向上 5．如图所示，一直流电动机M 与阻值04R =Ω的电阻串联在电源两端，电源的电动势10V =E ，内阻1r =Ω，用理想电压表测出电动机两端的电压5V U =，已知电动机线圈的电阻M 1R =Ω。

则下列说法中正确的是（ ）A ．通过电动机的电流为5AB ．电源内阻的电功率为2WC ．电动机线圈电阻的电功率为1WD ．电动机的输出功率为5W6．在地球表面附近周围空间不仅存在着磁场，还存在着电场。

语言文字运用Ⅰ浙江省台州市2023-2024学年第一学期高二年级期末质量评估语文试题(一) 语言文字运用Ⅰ (本题共3 小题, 11分)阅读下面的文字，完成18～20题。

兰科是古老的大家族，达尔文曾说“兰花是我这辈子遇见的最好玩的东西”。

温润的太平洋季风和印度洋季风的吹拂下，植被茂密、流水潺潺的森林幽谷之间，是①，多种多样的兰花在此繁衍生息。

有一种烟火柏拉索兰，看到过它的人总会发出“这是兰花? ”的惊讶感叹。

它非常瘦长，但能开出绚丽的大花。

叶子为圆柱形，像铅笔一样笔直下垂，且非常薄。

花色一般为白色，其独特之处在于流苏般的唇瓣和长而锥形的尖端，也呈下垂状。

它喜温暖和阳光充足的环境，夏季开花，夜间会散发出浓烈的麝香肥皂味道。

这股强烈的味道并不是为了吸引人们循香觅踪，②。

据说，这股气味可以弥漫到附近500 米的空间。

为了传宗接代，烟火柏拉索兰可谓使尽了浑身解数。

兰花的芳香虽然并不是为了人类而传播，但诗人们却常被兰花的芬芳深深陶醉。

“兰为王者香，芬馥清风里。

”“幽兰香风远，蕙草流芳根。

”孔子说“芝兰生于深林，不以无人而不芳”，兰花在林下静静生长，吐露芬芳，不管是否有欣赏者，这都是一株兰草面对成长的态度、信念和行动。

18.请在文中空缺处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过 12个字。

(4分)①②19.文中画横线的部分有三处表述不当，请进行修改，使语言表达准确流畅。

可增删少量词语，但不得改变原意。

(3 分)20.文中画波浪线的句子如改成：“不管是否有欣赏者，兰花都在林下静静生长，吐露芬芳，这是一株兰草面对成长的态度、信念和行动。

”语义基本相同，但原句表达效果更好，为什么? (4分)浙江省杭州市萧山区等5地2023-2024学年高二上学期期末学业水平测试语文试题阅读下面的文字，完成17-19题。

夜幕落下，华灯初上，结束白天的工作后来到学校，舞动水袖唱昆曲、踮起脚尖跳芭蕾……如今，“夜校热”已然成为一种文化现象。

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。