2021届云南省保山市第九中学高三第三次月考数学试题(理)(解析版)

2021年高三上学期第三次月考数学（理）试卷 Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、复数（i是虚数单位），则=( )A． B． C． D．22、已知集合则( )A． B． C． D．3、已知命题则命题p的否定形式是( )A． B．C. D．4、设为正实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5、为了得到的图象，只需将的图象（）A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位6、若函数、分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则（）A． B．C． D．7、已知变量满足约束条件则的取值范围是（）A．[95，6] B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C．（－∞，3]∪[6，＋∞） D.[3，6] 8、下列四个图中，函数的图象可能是（）A． B．C． D．9、由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）A. B. 4 C. D. 510、函数y=sin（ωx+φ）的部分图像如图，则=( )A． B． C． D．11、设数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知函数=，其中e为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．以上都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13、已知函数，且，则．14、设θ为第二象限角，若，则=_________.15、设函数，，若，，使，则实数的取值范围为．16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）。

2021年高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{5,log (3)},{,},A a B a b =+=集合若AB={2},则b-a=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.“”是方程表示椭圆的（ ）A. 充分必要条件B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.项数大于3的等差数列中，各项均不为零，公差为1，且则其通项公式为（ ）A ．n-3B ．nC ．n+1D ．2n-34.要得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．方向上的投影为 B ．C ．D ．6.满足条件的点构成的区域的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．7.已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则等于（ ）A.2B.3C.-2D.-38.在平面直角坐标系中，定义为点到点的一个变换——“一中变换”．已知1222111(01)()()()n n n n n n P P x y P x y P x y +++，，，，，，，，是经过“一中变换”得到的一列点，设，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9.设函数，曲线处的切线方程为，则曲线处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10.若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 （ ）A ．点B ．线段C ．圆弧D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.函数的零点有 个12.在中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式 的解集为，则 ．13.已知取最大值时，a 的最小值为 。

侧视图正视图 俯视图2021年高三上学期第三次（12月）月考数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q ：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A． B． C．2 D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且，则=（）A．B． C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) 已知 ，， 记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a ＝2c sin A,c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 平面ABCD ，EF//AB ，,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P在棱DF 上．（1）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．20 (本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21. (本小题满分12分) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）试讨论函数极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点. （1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.AEODC B23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知，的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于的不等式.第三次模拟考试 数学（理）参考答案1～12 ABCC BCDC DBAA 13. 14. 15.36 16.4517【解析】（1）由题意，得)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=•=x x x x f ,当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为．（2）由a ＝2c sin A 及正弦定理得，sin A ＝2cos C sin A. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝，∴C ＝π3.∵△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18【解析】（1）25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵ ∴ 甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为 ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～ ∴(运算式子形式表示也可) 因此，的分布列如下：OBAC DE FPzyxPFEDCAB∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF // 平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以121212||cos,||||(n nn nn n⋅<>===⋅-解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以， 所以．由，得（判别式）， 得，，即． 设， 则中点坐标为，因为，关于直线对称， 所以的中点在直线上， 所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直， 所以 ，解得． 21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++ 则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有 即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴， ∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO23解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分) 24【解析】（Ⅰ），① 而 ② ③当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立； 则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，， 解得原不等式的解集为.22246 56E6 囦 39744 9B40 魀327604 6BD4 比21076 5254 剔37427 9233 鈳t32962 80C2 胂330478117 脗ob8v'。

2021年高三上学期第三次月考数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分）1、设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛4｝D. ｛｝2、若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）3.已知向量，，若与共线，则的值为( )A. B. C. D.4.对于函数，下列选项中正确的是( )A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为25.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.3006．已知为等差数列，若，则的值为( )A. B. C. D.7.给出下列命题：①若直线与平面内的一条直线平行，则；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③，；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④ D．②③8.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.若实数，满足不等式组，目标函数的最大值为，则实数的值是（）A． B． C． D．10.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A． B． C． D．11.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．12.设定义在（0，）上的函数f(x), 其导数函数为，若恒成立，则第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题513.．14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．15．已知为三角形的边的中点，点满足，，则实数的值为16．数列的通项，其前项和为，则为．17．（本小题满分12分）设的内角所对的边为，（1）求角的大小；（2）若，，为的中点，求的长。

云南省保山市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=402．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “AB AC =u u u r u u u r ”；故“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 4．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10 B ．14- C ．–18 D ．–20【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值. 【详解】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.6．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】D 【解析】 【分析】由题知cos 5α=，又2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得.【详解】由题知cos α=，又23sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.7．已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos 3α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号. 8．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．725【答案】D 【解析】 【分析】用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．9．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y=则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+=⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos 33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题. 10．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】因为两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切3=，即229a b +=()2222222298192499a a a ab a b ⎛⎫--+⎪-⎝⎭==+当292a =时，2222a b a b+取最大值8119494⨯= 故选：A 【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.11．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值. 【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=，即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n mm n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 12．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即122+=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三上学期第三次月考数学（理）试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=yC．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3．“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β5．若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A． B． C． D．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]8．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B． C． D．10．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上）11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．12．如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于．13．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC 的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．19．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（3）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当0＜a≤1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．xx学年山东省临沂市山大华特卧龙学校高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=yC．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y考点：恒过定点的直线．分析：直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程．解答：解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）=0，对于a为任意实数时，此式恒成立有得，依题意抛物线为 y2=﹣2px和x2=2py当y2=﹣2px时得9=4p，所以p=，此时抛物线方程为 y2=﹣x；当x2=2py时，4=6p，所以p=，此时抛物线方程为 x2=y．则过点P的抛物线的标准方程是：y2=﹣x 和x2=y．故选A．点评：本题考查直线系方程和抛物线的标准方程，直线系过定点的求法要当心，抛物线的四种形式不可混淆．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：证明题；反证法．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．3．“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先将“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”求出其等价命题，然后判断．解答：解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．点评：在充要条件判断时，抓住“小能推大，大不能推小”，认真判断，不可出错．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n， m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．解答：解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．5．若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A． B． C． D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由图象可知对数的底数满足0＜a＜1，且0＜f（0）＜1，再根据指数函数g（x）=a x+b 的性质即可推得．解答：解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x轴上方．故选：B．点评：本小题主要考查对数函数的图象、指数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．专题：综合题；压轴题；空间角；空间向量及应用．分析：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．解答：解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选A．点评：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围．解答：解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．8．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x 轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．9．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B． C． D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；压轴题．分析：求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．解答：解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．点评：正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．10．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数恒成立问题；导数的运算．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．解答：解：当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立等价于当|m|≤2时，mx＞x2﹣3恒成立．当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．当x＞0，x﹣＜m∵m的最小值是﹣2，∴x﹣＜﹣2，从而解得0＜x＜1；当x＜0，x﹣＞m∵m的最大值是2，∴x﹣＞2，从而解得﹣1＜x＜0．综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2故选B．点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上）11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22 ．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．12．如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2，做出四棱锥的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，∴底面面积是2×2=4四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2∴四棱锥的体积是=．故答案为：．点评：本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出这是一个底面垂直于底面的四棱锥．13．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．解答：解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣1，即可得到f（1）=0；②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），从而可判断②；③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，可判断③；④，由②知y=f（x）关于x=﹣2对称，从而可判断④．解答：解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答：证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值．解答：解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x﹣=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+由2x+∈（﹣+2kπ，+2kπ），可得函数f（x）的单调递增区间（﹣+kπ，+kπ）（k∈Z）；（Ⅱ）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴A=；在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos =（b+c）2﹣3bc=3，∵S△ABC==bc•，∴bc=2∴b+c=3．点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC 的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．19．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题20．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（3）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当0＜a≤1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求函数f（x）的导数，对a讨论，分当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）对F（x）=f（x）﹣xlnx进行化简，构造函数h（x）=﹣xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（3）由（1）知，当0＜a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f （x），只要证明g（x）＜x即可．解答：解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=（e x﹣ax﹣1）′=e x﹣a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）在R上递增；当a＞0时，由f′（x）＜0，得e x﹣a＜0，e x＜a，∴x＜lna，由f′（x）＞0，得e x﹣a＞0，e x＞a，∴x＞lna，所以函数的单调减区间为（﹣∞，lna），单调增区间是（lna，+∞）．（2）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a时，函数F（x）没有零点；（3）由（1）知，当0＜a≤1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞ax；故对任意x＞0，ln（e x﹣1）﹣ln（ax）＞g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f[g（x）]＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0，xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0，令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0，故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增．∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f[g（x）]＜f（x）．点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．v33513 82E9 苩40295 9D67 鵧20734 50FE 僾32789 8015 耕26985 6969 楩@,37616 92F0 鋰.29048 7178 煸38063 94AF 钯21542 5426 否23413 5B75 孵。

云南省保山市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos cos cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.2．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围.由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x =， 则()21ln xg x x -'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1ea e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 3．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x=（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】 由题意cos 3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】 由题意21cos32a b π⋅===，所以0x >，且2x =2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 5．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．221⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，()2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =，(1,3)b =，则()22,0a =，所以()2=1-3a b -，，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，则2201y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -共线的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛-⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.6．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以1141451014()7()772a a S a a +==+=，故选C ． 8．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y +=B ．221916x y -=C ．221916x y -=（0x <）D ．221916x y -=（0x >）【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为221916x y -=.故选：B .本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.11．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集. 【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)4B． C．3)4D． 【答案】C 【解析】 【分析】求导，先求出()f x在(x ∈单增，在)x ∈+∞单减，且max 1()2f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意，2432ln (12ln )()e x xe xe x xf x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2x =，x =x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞，()0f x '<，且12f ==， 故方程2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3,)24m ∈. 故选：C. 【点睛】(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三数学上学期第三次月考试卷（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合A={x|2x＞}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=( )A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（0，2）D．（﹣1，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：2x＞=2﹣1，即x＞﹣1，∴A=（﹣1，+∞）；由B中log2x＜1=log22，得到0＜x＜2，即B=（0，2），则A∩B=（0，2）．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．解答：解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a＜c＜b故选C．点评：本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．3．已知向量，，，若∥，则k=( )A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的加减运算可得的坐标，然后由向量平行的充要条件可得关于k的方程，解之即可．解答：解：由题意可得=（3，1）﹣（k，7）=（3﹣k，﹣6），由∥可得：3（3﹣k）﹣（﹣6）×1=0，解得k=5，故选B点评：本题考查向量的平行和加减运算，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．4．设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是( ) A．B．C．D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．5．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=( )A．12 B．13 C．14 D．15考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．6．椭圆x2+my2=1的离心率为，则m的值为( )A．2 B．C．2或D．或4考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由x2+my2=1（0＜m＜1），对a进行讨论，利用离心率求出m的值．解答：解：由x2+my2=1（0＜m＜1），如果，∵，∴，∴．如果则可知m=4故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，解题时要注意公式的合理运用．7．设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是( ) A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合线面、面面垂直或平行的有关性质、判定定理，依次对选项进行判断，可得答案．解答：解：根据题意，分析选项可得：A、平行于同一条直线的直线和平面，不一定平行，它们也可能是直线就在此平面内，故错；B、垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，即α与β可能相交，错误；C、平行于同一个平面的两条直线，不一定平行，它们也可能是相交或异面，故错；D、若m⊥α，n∥α，则m⊥n．符合线面垂直的性质，正确；故选D．点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例．8．经过圆x2+（y+1）2=1的圆心C，且与直线2x+3y﹣4=0平行的直线方程为( ) A．2x+3y+3=0 B．2x+3y﹣3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x﹣2y﹣2=0考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：：设所求直线的方程为 2x+3y+c=0，把圆心C（0，﹣1）代入求得 c的值，可得所求的直线的方程．解答：解：设所求直线的方程为 2x+3y+c=0，把圆心C（0，﹣1）代入可得 0﹣3+c=0，求得 c=3，故所求的直线的方程为 2x+3y+3=0，故选：A．点评：本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，利用了和直线ax+by+c=0平行的直线一定是ax+by+c′=0的形式，属于基础题．9．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．2+3π+4B．2+2π+4C．8+5π+2D．6+3π+2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，写出表面积．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，∴组合体的表面积是π+×+2××2+π×2=3π+2+4故选：A．点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题．10．已知a＞0且a≠1，函数f （x）=，满足对任意实数x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，] D．[，2）考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知f（x）在R上为增函数，对各段考虑即有a﹣1＞0，即a＞1，①a＞1，②注意x=0，有（a﹣1）×0+3a﹣4≤a0，即有a≤③，求出三个的交集即可．解答：解：由于f（x）=，又对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则f（x）在R上为增函数．当x≤0时，函数为增，则有a﹣1＞0，即a＞1，①当x＞0时，函数为增，则有a＞1，②由在R上为增函数，则（a﹣1）×0+3a﹣4≤a0，即有a≤③，由①②③可得a的取值范围为：1＜a≤．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于易错题和中档题．11．若曲线y=，与直线y=kx﹣1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( ) A．（3﹣2，3+2）B．（0，3﹣2）C．（﹣∞，0）∪（0，3﹣2）D．（﹣∞，3﹣2）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出曲线y=的图象如图：直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k＜0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k＞0时，直线y=kx﹣1与y=在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，此时=kx﹣1，即kx2+（1+k）x+2=0，判别式△=（1+k）2﹣8k=0，解得k2﹣6k+1=0，解得k==3+2或k==3﹣2（舍去），则此时满足0＜k＜3+2，综上满足条件的k的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，3﹣2），故选：C点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是( )A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g （x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．解答：解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．点评：本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是xx届高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．13．设、分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设==（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．由于|BC|=，|﹣|+|﹣2|=，可知：点A在线段BC上，得到，（x∈[0，1]）．于是|+2|==，利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：设==（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．∵|BC|=，|﹣|+|﹣2|=，∴点A在线段BC上，∴，化为2x+y=2（x∈[0，1]）．∴|+2|====，令f（x）=，∵x∈[0，1]，∴当x=时，f（x）取得最小值，即|+2|取得最小值．又f（0）=，f（1）=3，．∴|+2|的最大值为3．∴|+2|的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了向量的运算法则、模的几何意义、二次函数的单调性，考查了转化思想方法，属于难题．14．已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理和已知条件求得sinA的值，进而求得A解答：解：由正弦定理可知∴sinA==∵0°＜A＜120°∴A=45°故答案为：45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用的方法，故应熟练记忆．15．如图，已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的图象（的部分），则函数的表达式为y=2sin （2x+）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图知A=2，T=π，从而可求得ω=2；又函数y=2sin（2x+φ）经过（，2），可求得φ，从而可得函数的表达式．解答：解：由图知，A=2，T=﹣=，ω＞0，∴T==π，解得ω=2；又函数y=2sin（2x+φ）经过（，2），∴2×+φ=+2kπ，k∈Z．∴φ=+2kπ，k∈Z．∴y=2sin（2x+）．故答案为：y=2sin（2x+）．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，也是难点，考查识图与运算能力，属于中档题．16．已知函数，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为或．考点：分段函数的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：求出函数的最大值为，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|，可得≤|1﹣k|，即可求出实数k的取值范围．解答：解：由题意函数的最大值为，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|，∵对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴≤|1﹣k|，∴或．故答案为：或．点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，确定函数的最值是关键．17．给出下列命题：①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是，则a的值等于；②函数f（x）=cos（2x+）在区间[0，]上单调递减；③若函数的图象向左平移a（a＞0）个单位后得到的图象与原图象关于直线对称，则a的最小值是；④已知函数f（x）=sin（2x+ϕ）（﹣π＜ϕ＜π），若﹣|f（）|≤f（x）对任意x∈R恒成立，则：φ=或﹣．其中正确结论的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的图象和性质即可判断出．解答：解：①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是，则0=，化为，解得a=，因此正确；②函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，∵，∴2x∈[0，π]，因此函数f（x）在区间[0，]上不具有单调性，因此不正确；③若函数的图象向左平移a（a＞0）个单位后得到y==，因为此图象与原图象关于直线对称，∴=f（π﹣x）==，∴=，当k=2n﹣1（n∈Z）时，化为，当n=1时，a取得最小值．当k=2n（n∈Z）时，化为4x+2a=2nπ，此时不符合题意，应舍去．可知a的最小值是，正确；④∵﹣|f（）|≤f（x）对任意x∈R恒成立，∴==±1．∵﹣π＜ϕ＜π，∴Φ=或﹣．因此正确．综上可知：只有①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了三角函数的图象和性质，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，求△ABC面积的最大值．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）根据三角函数的公式将化简，即可得到结论；（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论．解答：解：（1）∵=．（2）由a2=b2+c2﹣2bccos2A得：，∴bc，∵．∴sinA=，∴△ABC的面积S=．∴△ABC面积的最大值为．点评：本题主要考查三角公式的计算以及三角形面积的计算，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B1﹣A1DC的体积===1点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性21．若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；两点间距离公式的应用；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．解答：解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），∵=，∴a=5，∴=4∴椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5∴|MQ|2=（x﹣2）2+y2=∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣m）直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2﹣50mk2x+25m2k2﹣400=0∴x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2km=﹣，y1y2=∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，∴512﹣800k2=0，解得k=．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．22．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M 处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F （α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值，从而得到f（2）的值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．解答：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2 …（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e …u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t时，y最小=t2﹣t …②当u=≥e即t时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t …③当0＜＜e即时，y最小=y=﹣…（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增…∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），…∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．…②当m≤0时，，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符…③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．…∴综合①、②、③得 m∈（0，1）…说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）23．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（﹣2，﹣3），求|PA|•|PB|的值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把直线的参数方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C，利用韦达定理以及直线标准参数方程下t的几何意义求得|PA|•|PB|的值解答：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程即，所以ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x2+y2﹣4x﹣4y=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．把直线l的参数方程为（t为参数）消去参数，化为普通方程为：．（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0，得，∴，∴t1t2=33．因为点P（﹣2，﹣3）显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33，所以|PA||PB|=33．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．J26475 676B 杫33173 8195 膕36298 8DCA 跊u5'33981 84BD 蒽26922 692A 椪21841 5551 啑36214 8D76 赶31664 7BB0 箰31217 79F1 秱27199 6A3F 樿t。

2021年高三第三次月考理科数学试卷 含答案一选择题（12小题，共60分）１.{2,4}B {1,4}A },4|{*==≤∈=，集合x N x U ，则＝（ A ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4}D ．{2，3，4}2．已知∠A 是△ABC 内角，命题p ：sin A ＝；命题q ：cos A ＝，则p 是q 的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3在中，角A ，B ，Ｃ，对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，若则ｃｏｓＢ＝（ B ）2323.21.21.　Ｄ． --C B A 4．函数f (x )＝＋lg(1＋x )的定义域是( C ) A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)5.已知f (x )为R 上的减函数，则满足>f (1)的实数x 的取值范围是( D )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)6已知函数，则在上零点的个数为 （ C ）A.1B.2C.3D.47正项等比数列中的是函数的极值点，则=（ B ）A.1B.2C.－１D.8．函数f (x )＝是( A )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．函数y ＝(a >1)的图像大致形状是( C )10. 如图，函数的图象经过点.，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ A ）A. B.C. D.11．已知，，、都是锐角，则=( C )A. B. C. D.12已知定义在R 上的偶函数在上单调递减，若不等式+恒成立，则实数的取值范围是 （ D ）]1,.(]3,1.[]1,2723.[]1,2723.[A -∞-D C B 二填空题（4小题，共20分）13．数列中，，则 .14.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为15．函数的值域为___16．已知点Ａ（０，－１），Ｂ（３,０），Ｃ（１，２）平面区域P 是有所有满足的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m+n 的最小值为_________6________三解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |8－2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x －1x ＋3>1}． (1)求集合A 与B ；(2)求A ∩B ，(∁U A )∪B .解（1）A ＝{x |－4<x <2}, B ＝{x |4<x 或x <-3}（2）A ∩B={x |－4<x <-3}(∁U A )∪B ={x |－4或}18、（12分）已知、、分别是的三个内角、、所对的边（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．解：【Ⅰ】，，得 … ……3分由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以…………6分【Ⅱ】由余弦定理得：，所以…………9分在中，，所以…………所以是等腰直角三角形；…………12分19函数f(x)＝(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．解：（1）若f(x)的定义域为R，∴（1-a2）x2+3（1-a）x+6≥0在R上恒成立当a=1时，6≥0恒成立当a=-1时，6x+6≥0在R上不恒成立，故舍去当a≠±1时，，△=9(1-a)2-24(1-a2)≤0，解得：≤a＜1综上所述：≤a≤1（2）∵f（x）的定义域为[-2，1]，∴（1-a2）x2+3（1-a）x+6≥0的解集为[-2，1]，即（1-a2）x2+3（1-a）x+6=0的两个根为-2，1∴解得a=2故a的值为2．20如图，矩形ABCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点A在坐标原点O，B，D分别在x轴，y轴上，AD＝3百米，AB＝a百米（3≤a≤4）观光区中间叶形阴影部分MN是一个人工湖，它的左下方边缘曲线是函数的图象的一段．为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路（宽度不计），要求其与人工湖左下方边缘曲线段MN 相切（切点记为P）且与x轴交于点E，并把该观光区分为两部分，且直路左下部分建设为花圃．设点E到的AD距离为t，f（t）表示花圃的面积．（1）求花圃面积f（t）的表达式；（2）求f（t）的最小值．21 已知数列{}的首项为1，前n 项和为，且数列{}是公差为2的等差数列。