大庆市实验中学2019-2020学年上期高二数学理科期中试卷附答案解析

大庆实验中学2019－2020学年度第二学期实验三部期中考试高二数学理科试题 第Ⅰ卷(选择题)一、单选题 1.设1i2i 1iz -=++,则||z = A.0B.12C.12【参考答案】C 【试题解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数z ,然后求解复数的模. 详解:()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=,则1z =,故选c.:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分. 2.极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.两条直线 D.一个圆和一条直线 【参考答案】D 【试题解析】分析:2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=,然后化为直角坐标方程即可得结论.详解:2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=,因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-30ρ-=表示圆229x y +=,所以,极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线,故选D.:本题主要考查极坐标方程的应用,属于中档题.极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【参考答案】B 【试题解析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解.由题意,现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=, 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==,故选B. 本题主要考查了排列组合的应用,以及古典概型及其概率的计算问题,其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数,利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 4.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y (其中1,2,,300i =),求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+,则下列说法正确的是( )A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上,则变量同的相关系数为1 C.对所有的解释变量i x (1,2,,300i =),ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >,则变量x 与y 正相关 【参考答案】D 【试题解析】对每一个选项逐一分析判断得解.回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上,则变量间的相关系数为1±,故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,则ˆˆbx a +的值与y i 相等,故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同,若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >,则0r >,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x 与y 正相关,故D 正确. 故选D.本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.某人连续投篮5次,其中3次命中,2次未命中,则他第2次,第3次两次均命中的概率是()A.310B.25C.12D.35【参考答案】A 【试题解析】基本事件总数3252n C C 10==,他第2次,第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==,由此能求出他第2次,第3次两次均命中的概率,得到答案.由题意某人连续投篮5次,其中3次命中,2次未命中,因为基本事件总数3252n C C 10==,他第2次,第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==,所以他第2次,第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==. 故选A.本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及排列、组合等知识的应用,其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6.某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是 A .24B.16C.8D.12【参考答案】B 【试题解析】根据题意,可分三步进行分析:(1)要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序；(2)将这个整体与英语全排列,排好后,有3个空位；(3)数学课不排第一行,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个,得数学、物理的安排方法,最后利用分步计数原理,即可求解.根据题意,可分三步进行分析:(1)要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有222A =种情况； (2)将这个整体与英语全排列,有222A =中顺序,排好后,有3个空位；(3)数学课不排第一行,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个, 安排物理,有2中情况,则数学、物理的安排方法有224⨯=种, 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种,故选B.本题主要考查了排列、组合的综合应用,其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 7.若()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++,则01910a a a a ++⋯++的值为( )A.192B.191020122C -C.191020122C +D.1910202C +【参考答案】C 【试题解析】计算20nn a C =,根据对称性得到答案.()201x +展开式的通项为:120r r r T C x +=,故20nn a C =,()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++,根据对称性知:10200110191020019102020202021 (2222)C a a a a C C C C ++⋯++=+++=+=+. 故选:C.本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=,且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ,则n S 的最小值为( ) A.–10 B.14-C.–18D.–20【参考答案】D 【试题解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得n S ,再利用二次函数的性质,可得当4n =或5时,n S 取到最小值.根据题意,可知{}n a 为等差数列,公差2d =,由134,,a a a 成等比数列,可得2314a a a =,∴1112()4(6)a a a ++=,解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--.根据单调性,可知当4n =或5时,n S 取到最小值,最小值为20-. 故选:D.本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当4n =或5时同时取到最值.9.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 是棱AB 的中点,F 是侧面AA 1D 1D 内一点,若EF ∥平面BB 1D 1D ,则EF 长度的范围为()A.[2,3]B.[2,5]C.[2,6]D.[2,7]【参考答案】C 【试题解析】过F 作1//FG DD ,交AD 于点G ,交11A D 于H ,根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系,利用面面平行性质可证得G 为AD 中点,从而得到AF 最小值为,F G 重合,最大值为,F H 重合,计算可得结果. 过F 作1//FG DD ,交AD 于点G ,交11A D 于H ,则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ,//FG 平面11BDD B ,EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ,又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD平面11BDD B BD =,GE平面ABCD //GE BD ∴E 为AB 中点 G ∴为AD 中点,则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==,max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+=,max 156EF =+= 则线段EF 长度的取值范围为:2,6⎡⎤⎣⎦本题正确选项:C本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解,关键是能够确定动点的具体位置,从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用. 10.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有五种不同的颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有( )A.180B.192C.420D.480【参考答案】C 【试题解析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 相邻的区域不能用同一种颜色,则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色,则颜色的选法有35C ,相对的两个直角三角形必同色,此时共有不同的涂色方案数为335360C A =(种).若5块区域只用4种颜色涂色,则颜色的选法有45C ,相对的两个直角三角形必同色,余下两个直角三角形不同色,此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =(种).若5块区域只用5种颜色涂色,则每块区域涂色均不同,此时共有不同的涂色方案数为55120A =(种).综上,共有不同的涂色方案数为420(种). 故选:C.本题考查排列组合的应用,注意根据题设要求合理分类分步,此类问题属于中档题.11.已知函数()()2cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω的最大值为( ). A.1B.65C.43D.32【参考答案】C 【试题解析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭需满足22T π≥,根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,所以求3x πω+的范围,且是[]0,π的子集,最后求ω的范围.()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=-2cos 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ,当[0,]2x π∈时,[,]3323x ππωπωπ+∈+, ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴23ωπππ+≤, 403ω∴<≤ ,综上可知403ω<≤.故选C本题考查三角函数的恒等变形,以及根据区间的单调性求参数的取值范围,属于中档题型,利用三角函数的奇偶性,周期性,对称性求解参数的值或范围是一个重点题型,首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++,或()cos y A x b ωϕ=++,()tan y A x b ωϕ=++的形式,然后利用三角函数的性质,借助公式,区间范围关系等将参数表示出来,得到函数参数的等式或不等式,求解.12.如图,点F 是抛物线2:4C x y =的焦点,点A ,B 分别在抛物线C 和圆()2214x y +-=的实线部分上运动,且AB 总是平行于y 轴,则AFB ∆周长的取值范围是( )A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)【参考答案】B 【试题解析】圆(y ﹣1)2+x 2＝4的圆心为(0,1),半径r ＝2,与抛物线的焦点重合,可得|FB |＝2,|AF |＝y A +1,|AB |＝y B ﹣y A ,即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3,利用1＜y B ＜3,即可得出.抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1),准线方程为y ＝﹣1, 圆(y ﹣1)2+x 2＝4的圆心为(0,1), 与抛物线的焦点重合,且半径r ＝2, ∴|FB |＝2,|AF |＝y A +1,|AB |＝y B ﹣y A ,∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3, ∵1＜y B ＜3,∴三角形ABF 的周长的取值范围是(4,6).故选B .本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则x y +的值为_______.【参考答案】13 【试题解析】根据平均数的算法,可得x ,将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序,以及中位数的概念,可得结果.观察茎叶图,甲班学生成绩的平均分是86,故8x =； 乙班学生成绩的中位数是83,故5y =. ∴13x y +=. 故答案为:13本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数,属基础题.14.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A =“三个点数之和等于15”,B =“至少出现一个5点”,则概率(A |B)P 等于______. 【参考答案】113【试题解析】本题利用条件概率公式()(|)()n AB P A B n B =求解. 至少出现一个5点的情况有:336591-=,至少出现一个5点的情况下,三个点数之和等于15有一下两类:①恰好一个5点,则另两个点数只能是4和6,共有11326C C ⨯=；②恰好出现两个5点,则另一个点数也只能是5点,共有1种情况.()611(|)()9113n AB P A B n B +∴===, 故答案为:113. 本题考查条件概率的公式,需要求出基本事件的个数,运用正难则反的思想.15.过椭圆C:2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的右焦点F 作直线l :交C 于M ,N 两点,MF m =,NF n =,则11m n+的值为______. 【参考答案】43【试题解析】椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)的普通方程为22143x y +=,利用特殊位置进行求解即可.椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)的普通方程为22143x y +=,当直线l 的斜率不存在时,直线:1l x =,代入22143x y +=,可得32y =±32m n ∴==, ∴1143m n +=. 故答案为:43本题考查椭圆参数方程与普通方程互化,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用特殊化进行求解,可简化解题过程.16.若函数()()1xf x x e a =--在()1,-+∞上只有一个零点,则a 的取值范围为__________.【参考答案】{}21,e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 【试题解析】分析:先利用导数研究()f x 单调性,确定函数图像,根据图像确定a 的取值范围.详解:因为()()1xf x x e a =--,所以()00,xf x xe x ==∴='当0x >时,()0()(1,)f x f x a >∴∈--+∞' 当10x -<<时,2()0()(1,)f x f x a a e-<∴∈---' 因此要使函数()()1xf x x e a =--在()1,-+∞上只有一个零点,需221=001a a a a e e----≤∴=-≥-或或 :对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 三、解答题17.随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据如下表:(1)求ˆy关于t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程,分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入约为多少千元？ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nni ii i tty y t y nt ybt ttnt ====---⋅==--∑∑∑∑,ˆˆay bt =-. 【参考答案】(1)ˆ 1.2 3.6yx =+；(2)12千元. 【试题解析】(1)结合所给数据和相关公式,算出ˆˆ,ab 这两个系数即可得回归直线方程； (2)把7x =代入回归方程算出ˆy即可得解. (1)由所给数据计算得,1234535t ++++==,5678107.25y ++++==, 521()4101410ii tt =-=++++=∑,51()()(2)( 2.2)(1)( 1.2)0(0.2)10.82 2.812ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑,所以121()()12ˆ 1.210()nii i nii tt y y btt ==--===-∑∑,ˆˆ7.2 1.23 3.6a y bt=-=-⨯=. 故所求的回归方程为ˆ 1.2 3.6yx =+. (2)由(1)可知,ˆ 1.20b=>,故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加1.2千元.当7x =时,ˆ 1.27 3.612y=⨯+=. 故预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为12千元.本题考查最小二乘法求回归直线方程,考查运算求解能力,求解时注意回归直线必过样本点的中心的运用.18.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=,点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭.(1)求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离； (2)若直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,求PMN 的面积. 【参考答案】(1)()3θρπ=∈R(2)2【试题解析】(1)由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ,得到y =,再利用sin ,cos y x ρθρθ==,求得极坐标方程.然后利用直线的极坐标方程求点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离.(2)由曲线C 的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到220ρρ--=,再将韦达定理代入12||MN ρρ=-,求得||MN ,再由1||2PMN S MN d =⨯△求解. (1)由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ,得到y =,则sin cos ρθθ=,∴tan θ=3πθ∴=,所以直线l 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . 所以点2152,3P π⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离为21522153sin 533d ππ⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭. (2)由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩,得220ρρ--=, 所以121ρρ+=,122ρρ=-, 所以()2121212||43MN ρρρρρρ=-=+-=,所以PMN 的面积为1135||35222PMN S MN d =⨯=⨯⨯=△. 本题主要考查参数方程,直角坐标方程,极坐标方程的转化,点到直线的距离以及三角形的面积,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.如图,在四棱锥P −ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A −PB −C 的余弦值.【参考答案】(1)见解析；(2)3【试题解析】(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面PAD .又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF AD⊥,垂足为F,由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB PF⊥,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-.由(1)及已知可得22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭,20,0,2P⎛⎫⎪⎪⎝⎭,2,1,02B⎛⎫⎪⎪⎝⎭,22C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.所以22PC⎛=-⎝⎭,()2,0,0CB=,22PA⎛=⎝⎭,()0,1,0AB=.设(),,n x y z=是平面PCB的法向量,则0,0,n PCn CB⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x y zx⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n=--.设(),,m x y z=是平面PAB的法向量,则0,0,m PAm AB⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x zy-=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m=.则3cos ,3n m n m n m ⋅==-, 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【名师】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面: ①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.为庆祝党的98岁生日,某高校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”为主题的党史知识竞赛.从参加竞赛的学生中,随机抽取40名学生,将其成绩分为六段[)70,75,[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100,到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值及样本的中位数与众数；(2)若从竞赛成绩在[)70,75与[]95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生,设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率.(3)为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在[]95,100内的为一等奖,得分在[)90,95内的为二等奖, 得分在[)85,90内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设ξ为获得三等奖的人数,求ξ的分布列与数学期望. 【参考答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)715；(3)详见解析 【试题解析】(1)根据小矩形的面积之和等于1,列出方程,求得a 的值,根据中位数定义估计中位数的范围,在列出方程求解中位数,再根据众数的定义,即可求解.(2)计算两组的人数,再计算抽取的两人在同一组的概率,即可求解；(3)根据题意,得到随机变量服从二项分布,再利用二项分布的期望公式,即可求解. (1)由频率分布直方图可知(0.050.0420.020.01)51a +++⨯+⨯=,解得0.06a =, 可知样本的中位数在第4组中,不妨设为x ,则(0.010.020.04)5(85)0.050.5x ++⨯+-⨯=,解得87.5x =, 即样本的中位数为87.5,由频率分布直方图可知,样本的众数为859087.52+=. (2)由频率分布直方图可知,在[)70,75与[]95,100两个分数段的学生人数分别为2和4,设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,则事件M 发生的概率为222426715C C C +=,即事件M 发生的概率为715. (3)从考生中随机抽取三名,则随机变量ξ为获得三等奖的人数,则0,1,2,3ξ=, 由频率分布直方图知,从考升中任抽取1人,此生获得三等奖的概率为0.0650.3⨯=, 所以随机变量服从二项分布(3,0.3)B ,则3123(0)(10.3)0.343,(1)0.3(10.3)0.441P P C ξξ==-===⨯⨯-=,2233(2)0.3(10.3)0.189,(3)0.30.027P C P ξξ==⨯⨯-====,所以随机变量的分布列为所以()30.30.9E ξ=⨯=.本题主要考查了频率分布直方图的应用,以及随机变量的分布列及其数学期望的求解,其中解答中认真审题,熟练频率分布直方图的性质,正确确定随机变量的取值,求得相应的概率,得出随机变量的分布列是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到焦点的最大距离为3,离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线:10l x my -+=与椭圆C 交于不同两点,A B ,与x 轴交于点D ,且满足DA DB λ=,若1123λ-≤<-,求实数m 的取值范围.【参考答案】(1) 22143x y +=(2) 5m ≥,或5m ≤- 【试题解析】(1)由椭圆的性质可知:312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得a 和c 的值,即可求得椭圆C 的标准方程；(2)将直线方程代入椭圆方程,由韦达定理求得:122634m y y m +=+,122934y y m =-+,DA =λDB ,根据向量的坐标坐标,(x 1+1,y 1)＝λ(x 2+1,y 2),求得2241234m m λλ-=+++,由1123λ-≤-＜,代入即可求得实数m 的取值范围. (1)由已知312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得21a c =⎧⎨=⎩,所以222413b a c =-=-= 413=-=,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由已知()1,0D -,设()()1122,,,A x y B x y ,联立方程组2210143x my x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,消x 得()2234690m y my +--=,由韦达定理得122634m y y m +=+ ①122934y y m =-+② 因为DA DB λ=,所以()()11221,1,x y x y λ+=+,所以12y y λ=③,将③代入①②()226134m y m λ+=+,222934y m λ=-+, 消去2y 得()2221434m m λλ+=-+,所以2241234m m λλ-=+++.因为1123λ-≤≤-,所以411232λλ-<++≤-, 即224413342m m -<-≤-+,解得245m ≥,所以m ≥,或m ≤本题考查椭圆的标准方程及简单性质,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量的坐标表示,不等式的解法,考查计算能力,属于中档题.22.已知()ln xe f x a x ax x=+-.(1)若0a <,讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =-时,若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立,求b 的取值范围.【参考答案】(1)见解析；(2)1[,)e+∞. 【试题解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞,且()()()21x x e ax f x x --'=,据此确定函数的单调性即可；(2)由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立,分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. (1)()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=,0a <,∴当()0,1x ∈时,()0f x '<；()1,x ∈+∞时,()0f x '>∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.(2)当1a =-时,()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ ()1x b x e lnx =-- 由题意,()10x b x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立 ①若0b ≤,当1x ≥时,显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意. ②若0b >,记()()1x h x b x e lnx =--,则()1x h x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增,(i )当1b e≥时,当1x ≥时,()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时,()()10h x h ≥= (ii )当10b e <<,()110h be -'=<,1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >,使()0h x '=.当()01,x x ∈时,()0h x '<,()0,x x ∈+∞时,()0h x '>∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增∴当()01,x x ∈时,()()10h x h <=,不符合题意综上所述,所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭本题主要考查导数研究函数的单调性,导数研究恒成立问题,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知命题:0p x ∀>，(1)0ln x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝2．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．24．已知a b 与均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|(a b += )A B C D ．45．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,2)2 B ．(1,)+∞ C ．(1,2) D ．1(,1)26．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3(v = ) A ．2-B ．1-C ．0D ．17．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥8．不等式22253x x a a -+-…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，4]B ．(-∞，2][5-，)+∞C ．(-∞，1][4-，)+∞D ．[2-，5]9．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为ABC ∆重心，则MN 等于( ) A ．111333OA OB OC -++B ．111644OA OB OC -++C ．1166OB OC -D ．1166OB OC +10．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“0x R ∃∈，2000x x -…”的否定为“x R ∃∈，20x x ->”B ．命题“在ABC ∆中，30A >︒，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a 、b 满足||||||a b a b +=-，则a 与b 共线D ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件 11．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．312．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为( )AB C D二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．将二进制数(2)11000111转化为八进制数为 ． 14．下列命题中，不正确的是 ． （1）已知a ，b ，c R ∈，则2a cb +=是a ，b ，c 成等差数列的必要不充分条件； （2）10x y +≠是5x ≠或5y ≠的充分不必要条件；（3）若//a b ，//b c ，则//a c ； （4）若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题．15．已知点P 是抛物线216y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的取值范围为 ．16．已知O 为坐标原点，椭圆方程为22194x y +=．以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线0x x =与圆在x 轴上方的部分和椭圆在x 轴上方的部分分别交于P 、Q 两点，则OPQ ∆面积的最大值为 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知1:|1|23x p --…；22:210(0)q x x m m -+->…，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知双曲线22:14y C x -=，P 为C 上任意一点； （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点(4,0)A ，求||PA 的最小值．19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，11AA AB ==． （Ⅰ）求证：1//A C 平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角1B AB D --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1AB D 的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点1F ，2F 为顶点的三角形周长是4+，且126BF F π∠=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，求弦AB 所在的直线方程．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点p 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为4的等边三角形．（1）求C 的方程；（2）过点F 作抛物线互相垂直的两条弦AB 、DE ，求四边形ADBE 面积的取值范围．2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知命题:0p x ∀>，(1)0ln x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【解答】解：命题:0p x ∀>，(1)0ln x +>，则命题p 为真命题，则p ⌝为假命题； 取1a =-，2b =-，a b >，但22a b <，则命题q 是假命题，则q ⌝是真命题． p q ∴∧是假命题，p q ∧⌝是真命题，p q ⌝∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题．故选：B ．2．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：321a b x x =-+=-，若a 与b 同向共线， 则b a λ=，0λ>， 则32x λλ-=⎧⎨=⎩，得5x =，当5x =时，满足1x >，但此时两个向量关系，夹角为0︒，则a 与b 夹角为锐角不成立， 若a 与b 夹角为锐角，则10a b x =->，则1x >，成立， 即“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：A ．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件， 当2n =时，454a =，8b =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358a =，16b =满足进行循环的条件， 当4n =时，40516a =，32b =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ．4．已知a b 与均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|(a b += )A BCD ．4【解答】解：a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，∴222|3|(3)69196a b a b a a b b +=+=++=++⨯=． 故选：C ．5．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,2)2 B ．(1,)+∞ C ．(1,2) D ．1(,1)2【解答】解：方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴20210221k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解之得12k << 实数k 的取值范围是(1,2) 故选：C ．6．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3(v = ) A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：用秦九韶算法计算函数42()21((()2)1)1f x x x x x x x x =-+-=-+-， 当1x =时的值，则01v =，11v =，2121v =-=-，3110v =-+=． 故选：C ．7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥【解答】解：A ．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； B ．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C ．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；D ．正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥．故选：D ．8．不等式22253x x a a -+-…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，4]B ．(-∞，2][5-，)+∞C ．(-∞，1][4-，)+∞D ．[2-，5]【解答】解：令22()25(1)4f x x x x =-+=-+，()4f x ∴=最小值，若不等式22253x x a a -+-…对任意实数x 恒成立，只需234a a -…，解得：14a -剟， 故选：A ．9．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为ABC ∆重心，则MN 等于( ) A ．111333OA OB OC -++B ．111644OA OB OC -++C ．1166OB OC -D ．1166OB OC +【解答】解：如图： 取BC 的中点D ，因为点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为ABC ∆重心， 所以MN MA AN =+ 1233OA AD =+ 12()33OA OD OA =+- 121[()]332OA OB OC OA =++- 111333OA OB OC =-++，故选：A ．10．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“0x R ∃∈，2000x x -…”的否定为“x R ∃∈，20x x ->”B ．命题“在ABC ∆中，30A >︒，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a 、b 满足||||||a b a b +=-，则a 与b 共线D ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件 【解答】解：对于A ，命题“0x R ∃∈，2000x x -…”的否定为“x R ∀∈，20x x ->”，故A 错；对于B ，命题“在ABC ∆中，30A >︒，则1sin 2A >”若150A =︒，则1sin 2A =，原命题错， 则其逆否命题为假命题，故B 错；对于C ，若非零向量a 、b 满足||||||a b a b +=-，则a 与b 反向共线，且||||a b …，故C 对； 对于D ，设{}n a 是公比为q 的等比数列，则若10a <，1q >，则{}n a 为递减数列，故D 错． 故选：C ．11．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-， 直线(2)y k x =+恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1， ||6AM ∴=，∴点A 到抛物线的准线的距离为6故选：A ．12．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为( )A B C D 【解答】解：P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，连接1PF ，2PF ，可得12PF PF ⊥，设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 且2224m n c +=，21tan 3mPF F n∠==， 则3m a =，n a =，22294a a c +=，即有2252c a =，c e a ==． 故选：B ．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．将二进制数(2)11000111转化为八进制数为 (8)307 ．【解答】解：二进制数(2)11000111化为十进制数是，234567(2)11000111112120202021212199=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；219970838=+⨯+⨯，所以化为八进制数是(8)307． 故答案为：(8)307．14．下列命题中，不正确的是 （1）（3）（4） ． （1）已知a ，b ，c R ∈，则2a cb +=是a ，b ，c 成等差数列的必要不充分条件； （2）10x y +≠是5x ≠或5y ≠的充分不必要条件；（3）若//a b ，//b c ，则//a c ； （4）若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题． 【解答】解：（1）2a cb +=是a ，b ，c 成等差数列的充要条件，故（1）错． （2）等价于判断5x =且5y =是10x y +=的充分不必要条件 的真假． 显然5x =且5y =是10x y +=的充分不必要条件，故（2）对． （3）当0b =，不成立，故（3）错．（4）当p 为真命题，q 为假命题，p q ∨为真命题，p ⌝与q 都是假命题，故（4）错． 故答案为（1）（3）（4）．15．已知点P 是抛物线216y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的取值范围为 )+∞ ． 【解答】解：根据图象，设P 到准线的距离为d ，d PA AP PF AF +=+…，因为(0,2)A ，(4,0)F ，所以AF ==故答案为：)+∞．16．已知O 为坐标原点，椭圆方程为22194x y +=．以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线0x x =与圆在x 轴上方的部分和椭圆在x 轴上方的部分分别交于P 、Q 两点，则OPQ ∆面积的最大值为4． 【解答】解：由题可设，0(P x ，)P y ，0(Q x ，)Q y ，则有 ()22220022220099,491994P P Q Q x y y x y x y x ⎧+=⎧=-⎪⎪⎨⎨=-+=⎪⎪⎩⎩即． ∴2249Q P y y =，即23Q P y y =． 又220000011111193(9)22366624OPQ P Q P P S x y y x y x y x x ∆=-===-⨯=…． 当且仅当0,x =等号成立． 故答案为：34． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知1:|1|23x p --…；22:210(0)q x x m m -+->…，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【解答】解：由1|1|23x --…，得4||23x -…，即4223x --剟，解得210x -剟， 记[2A =-，10]；22{|210B x x x m =-+-…，0}{|[(1)][(1)]0m x x m x m >=---+…，0}[1m m >=-，1]m +，0m >．p 是q 的充分不必要条件，∴012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+⎩……，解得9m …（检验：当9m =时，[8B =-，10]，满足题意）．故所求的m 的取值范围是[9，)+∞．18．已知双曲线22:14y C x -=，P 为C 上任意一点； （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点(4,0)A ，求||PA 的最小值．【解答】（1）证明：双曲线的渐近线方程为：2y x =±，设(,)P x y ，则2214y x -=， P ∴到两条渐近线的距离乘积22|4|4555x y -===；（2）解：||PA ===1x …或1x -…∴当1x =时，||3min PA =．19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，11AA AB ==． （Ⅰ）求证：1//A C 平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角1B AB D --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1AB D 的距离．【解答】解法一()I 证明：连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．111ABC A B C -是正三棱柱，且1AA AB =，∴四边形11A ABB 是正方形，E ∴是1A B 的中点，又D 是BC 的中点， 1//DE A C ∴．⋯（3分）DE ⊂平面1AB D ，1A C ⊂/平面1AB D ， 1//A C ∴平面1AB D ．⋯（4分）()II 解：在面ABC 内作DF AB ⊥于点F ，在面11A ABB 内作1FG AB ⊥于点G ，连接DG ． 平面11A ABB ⊥平面ABC ，DF ∴⊥平面11A ABB ， FG ∴是DG 在平面11A ABB 上的射影，1FG AB ⊥，1DG AB ∴⊥FGD ∴∠是二面角1B AB D --的平面角⋯（7分）设11A A AB ==，在正ABC ∆中，DF =． 在ABE ∆中，3324FG BE ==在RtDFG ∆中，tan DF FGD FG ==所以，二面角1B ABD --的大小为⋯（9分） ()III 解：平面11B BCC ⊥平面ABC ，且AD BC ⊥，AD ∴⊥平面11B BCC ，又AD ⊂平面1AB D ， ∴平面11B BCC ⊥平面1AB D ．在平面11B BCC 内作1CH B D ⊥交1B D 的延长线于点H ， 则CH 的长度就是点C 到平面1AB D 的距离．⋯ 由CDH ∆∽△1B DB ，得115BB CD CH B D ==．即点C 到平面1AB D．⋯（14分） 解法二：建立空间直角坐标系D xyz -，如图()I 证明：连接1A B ，设11A B AB E =，连接DE ．设11A A AB ==，则1111(0,0,0),(),(,0,0)422D A E C -．∴11311(,,1),(,)242A C DE =--=-，∴12A C DE =-， 1//A C DE ∴．⋯（3分）DE ⊂平面1AB D ，1A C ⊂/平面1AB D ，1//A C ∴平面1AB D ．⋯（4分）()II 解：11(,0,1)2A B -， ∴131(0,,0),(,0,1)2AD B D ==-， 设1(n p =，q ，)r 是平面1AB D的法向量， 则1110,0n AD n B D ⋅=⋅=且， 故()110,01,2,0,12p r r n =-=⋅==取得； 同理，可求得平面1AB B 的法向量是21,0)n =-．⋯（7分） 设二面角1B AB D --的大小为θ，121215cos ||||n n n n θ==，∴二面角1B AB D --的大小为⋯（9分） ()III 解由()II 得平面1AB D 的法向量为1(2n =，0，1)， 取其单位法向量1,,0,02n DC ⎛⎫== ⎪⎝⎭又． ∴点C 到平面1AB D 的距离5||d DC n ==．⋯（14分） 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点1F ，2F 为顶点的三角形周长是4+，且126BF F π∠=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，求弦AB 所在的直线方程．【解答】解：（1）以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点1F ，2F 为顶点的三角形周长是4+126BF F π∠=．224a c ∴+=+c =，2a ∴=，c =∴1b ==∴椭圆方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 不被点Q 平分；当直线l 的斜率为k 时，1:(1)2l y k x -=-与椭圆方程联立，消元可得222(14)4(21)(12)40k x k k x k +--+--=过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，∴24(21)214k k k -=+，∴解得12k =-．11144+< ∴点Q 在椭圆内∴直线11:(1)22l y x-=--，即1:12l y x=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，AD CD⊥，//AD BC，2PA AD CD===，3BC=．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F AE P--的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD，PA CD∴⊥，AD CD⊥，PA AD A=，CD∴⊥平面PAD．解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，(0A，0，0)，(0E，1，1)，2(3F，23，4)3，(0P，0，2)，(2B，1-，0)，(0AE =，1，1)，224(,,)333 AF =，平面AEP的法向量(1n =，0，0)，设平面AEF的法向量(m x=，y，)z，则224333m AE y zm AF x y z⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，取1x=，得(1m=，1，1)-，设二面角F AE P--的平面角为θ，则||cos||||3m nm nθ===∴二面角F AE P --． （Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下： 点G 在PB 上，且23PG PB =．4(3G ∴，23-，2)3， ∴4(3AG =，23-，2)3，平面AEF 的法向量(1m =，1，1)-， 4220333m AG =--=， 故直线AG 在平面AEF 内．22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点p 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为4的等边三角形．（1）求C 的方程；（2）过点F 作抛物线互相垂直的两条弦AB 、DE ，求四边形ADBE 面积的取值范围． 【解答】解：（1）由PEF ∆是边长为4的等边三角形，得||||||4PE PF EF ===， 又由抛物线的定义可得PE l ⊥．设准线l 与y 轴交于D ，则//PE DF ，从而60PEF EFD ∠=∠=︒， 在Rt EDF ∆中，1||||cos 422DF EF EFD =∠=⨯=，即2p =． 所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）依题意可知，两条直线的斜率存在且均不为0，故设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得，2440x kx --=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-．所以22222121212||||1()4116164(1)AB x x k x x x x k k k =-=++-=++=+，将上式中的k 换为1k -，可得21||4(1)DE k=+；四边形ADBE 的面积22221111||||4(1)4(1)8(2)22S AB DE k k k k==⨯++=⨯++， 由2212k k+…，当且仅当21k =，即1k =±时等号成立， 所以四边形ADBE 面积S 的最小值为32，所以四边形ADBE 面积S 的取值范围为[32，)+∞．。

黑龙江省大庆市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分）(2017·自贡模拟) 已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为________．2. （1分）“若x、y全为零，则xy=0”的否命题为________．3. （2分） (2015高二下·湖州期中) 已知直线y=kx与函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数）的图像相切，则实数k的值为________；切点坐标为________．4. （1分） (2018高二上·江苏月考) 双曲线的渐近线为，一个焦点为，则 ________.5. （1分）(2013·江西理) 设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex ，则f′（1）=________．6. （1分）(2017·山东模拟) 已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣a）（a＞0）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，a），连接BP，BQ．且QB，QP与x轴分别交于M，N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为﹣3，则∠PBQ=________．7. （1分）已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是________8. （1分） (2017高二上·莆田期末) 双曲线的渐近线方程为________9. （1分） (2016高二上·邗江期中) 设f（x）= ，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是________．10. （1分）函数的单调递增区间是________11. （1分）(2018高二下·河北期中) 已知实数，满足，，则的最小值为________．12. （1分） (2016高二上·温州期末) 已知动圆过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2 ， Z的最小值是________．13. （1分）(2017·南通模拟) 设实数n≤6，若不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则的最小值为________14. （1分） (2016高二上·鹤岗期中) 已知点P（2，1），若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （15分）(2017·奉贤模拟) 过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B 两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．16. （10分） (2015高二上·天水期末) 已知函数，f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若F（x）=f（x）+b，函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y﹣1=0，求a，b的值；（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，求实数a的取值范围．17. （10分） (2017高二下·上饶期中) 设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．（1）若a=3，求A∪B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知过点的动直线与抛物线：相交于两点．当直线的斜率是时， .（1）求抛物线的方程；（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．19. （10分）(2017·莆田模拟) 已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1 ， PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20. （10分）(2020·榆林模拟) 函数 .（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；（2）设，若，满足，求证： .参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

2019-2020学年黑龙江省大庆市实验中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．抛物线24y x =-的准线方程为（ ） A ．1y =- B ．1y =C ．1x =-D ．1x =【答案】D【解析】试题分析：24p =，2p =，焦点在x 轴负半轴上，准线方程为1x =． 【考点】抛物线的性质．2．以221412x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A ．221? 1216x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=【答案】B【解析】由原方程可得221124y x -=，其焦点为()0,4±，顶点为(0,±，据此可写出所求椭圆方程. 【详解】由原方程可得221124y x -=，所以双曲线的焦点为()0,4±，顶点为(0,±椭圆的顶点为()0,4±，焦点为(0,±，即4c a ==，所以2224b a c =-=所求的椭圆方程为221164y x +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.3．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22122y x -=B ．221412y x -=C ．22144y x -=D ．22142y x -=【答案】C【解析】试题分析：∵双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，∴2,a c ==∴2b ==，∴双曲线C 的方程为22144y x-=.【考点】1.双曲线的标准方程；2.双曲线的焦点、顶点.4．已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12【答案】C【解析】椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，进而可得△ABC 的周长 【详解】椭圆2213x y += ，2a=设直线BC 过椭圆的右焦点F 2，根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF 2|=2a=|AC|+|F 2C|=2a=∴三角形的周长为：|AB|+|BF 2|+|AC|+|F 2C|=4a=．故选：C【点睛】椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的常用结论有：①|PF 1|+|PF 2|=2a ；②当点P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大；③焦点三角形的周长为2（a+c ）.5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若FB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(1,3]D ．)+∞【答案】A【解析】试题分析：设(c,0)F ，(0,)B b ，一条渐近线的方程为0bx ay +=，则d b ==，FB =因为FB ≥≥，所以22222c c a ≥-，所以222a c ≥，所以1e <≤A ．【考点】双曲线的简单性质．6．椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点是()A ．()5,0和()5,0-B ．5,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和5,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．()0,3和()0,3-【答案】D【解析】设()5cos ,3sin P θθ，利用两点间距离公式表示出到两焦点的距离，将距离之积的最大值转化为关于2cos θ的二次函数的最大值的求解问题，通过确定二次函数取最大值时2cos θ的取值可进一步求得P 点坐标. 【详解】由标准方程可知两焦点为：()14,0F -，()24,0F 设()5cos ,3sin P θθ1PF ∴=2PF =12PF PF ∴===[]2cos 0,1θ∈ ∴当2cos 0θ=时，12PF PF 取最大值m此时sin 1θ=± ()0,3P ∴或()0,3- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求解距离之积的最值的问题，关键是能够将问题转化为二次函数的最值求解问题，易错点是忽略了余弦函数的范围，造成最值求解错误.7．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（） A ．y =B ．y =C ．2y x =D ．4y x =【答案】C【解析】试题分析：根据题意，三角形F 1F 2P 是以F 1F 2为斜边的直角三角形，设|F 2P|=m ，|F 1P|=2m ，则由双曲线定义可得m=2a ，所以222(2)(4)(2)a a c +=，即225a c=，则2b a ===，故一条渐近线方程是2by x x a ==． 【考点】双曲线的几何性质．8． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】 D【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D ．9．过双曲线的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l 有 A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．无数条【答案】B【解析】试题分析：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有2312y -=，∴2y =±，∴直线AB 的长度是4，综上可知有三条直线满足|AB|=4， 故选B ．【考点】圆锥曲线综合应用.10．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）A B C ．6332D ．94【答案】D【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.11．下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（）A ．e 1＞e 2＞e 3B ．e 1＜e 2＜e 3C ．e 1=e 3＜e 2D ．e 1=e 3＞e 2【答案】D【解析】根据正三角形、正方形、正六边形的边长和角度关系可求解出12,MF MF ，根据双曲线定义可求解出离心率，再比较出大小关系. 【详解】在①中，连接2MF ，设12122F F MF c ==123MF F π∠=2M F c∴= )2121MF MF a c c ∴-==-=11c e a ∴=== 在②中，连接2MF ，12F F ，设122F F c =()()22221112224MF MF F F c ∴+==，解得：1MF =又124MF F π∠=2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F ∴=+-⋅∠，解得：22MF c =2122MF MF a ∴-==-=2c e a ∴===在③中，连接2MF ，12F F ，设12122F F MF c ==123MF F π∠=2M F c∴= )2121MF MF a c c ∴-==-=31c e a ∴=== 132e e e ∴=>本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够熟练应用双曲线的定义构造关于,a c 的齐次方程.12．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1,F 2,点P 是两曲线的一个公共点,12,e e 又分别是两曲线的离心率,若PF 1⊥PF 2,则22124e e +的最小值为()A ．52 B ．4C ．92D ．9【答案】C【解析】根据双曲线和椭圆的定义，结合勾股定理可整理得到222122a a c +=，代入22124e e +可整理得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由双曲线和椭圆定义可得：1212+=PF PF a ，1222PF PF a -=12PF PF ⊥ 222124PF PF c ∴+=又()22221212244PF PF aa +=+ 22212224a a c ∴+=，即222122a a c +=2222222222121221122222221212122224559422222a a a a a a c c e e a a a a a a ++∴+=+=+=++≥+=当且仅当2221221222a a a a =，即12a 时取等号 22124e e ∴+的最小值为92本题正确选项：C 【点睛】本题考查与椭圆和双曲线离心率相关的最值问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义得到等量关系，从而将所求项化为符号基本不等式的形式.二、填空题 13．椭圆(x ≥0,y ≥0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________．【答案】【解析】画出椭圆的图形以及直线的方程，找出曲线上的点与直线x ﹣y ﹣5=0的距离的最小值即可. 【详解】在坐标系中画出椭圆（x≥0，y≥0）与直线x ﹣y ﹣5=0的图形，如图：可知（3，0）到直线x ﹣y+5=0的距离最小，d=．故答案为：．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意x ，y 的范围，利用数形结合找出点的位置，再利用点到直线的距离公式解出即可．14．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则k 的取值范围__________【答案】1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】将2y kx =+代入双曲线方程整理可得：()2214100k x kx ---=设直线与双曲线右支交于两点()()1122,,,x y x y()222122122101640104011001k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪∴⎨+=>⎪-⎪⎪=->-⎩，解得：1k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭本题正确结果：1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.15．过椭圆22221x y a b+=(a >b >0)上的点P 作PM ⊥x 轴于M (M 、P 不重合)，A 1A 2是椭圆的长轴，则122MA MA MP⋅的值是___________.【答案】22a b【解析】设(),P x y ，则(),0M x ，分别表示出12MA MA ⋅和2MP ，利用P 满足椭圆方程代入整理消元可得结果. 【详解】设(),P x y ，则(),0M x()()2212MA MA x a a x a x ∴⋅=+-=-，22MP y =22222122222222MA MA a x a x a b y b MPb x a⋅--∴===- 本题正确结果：22a b【点睛】本题考查椭圆中的定值求解问题，关键是能够准确表示出所需的线段长度，利用点在椭圆上这一位置关系来进行化简.16．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，B 为椭圆右顶点，若12PF F ∠平分线与2PF B ∠的平分线交于点(6,6)Q ，则12F BQ F BQ S S ∆∆+= .【答案】36【解析】试题分析：由题意可知，(6,6)Q 是三角形的旁心，可以判断出(6,6)Q 点在直线x a =上，故6a =，1212111126266362222F BQ F BQ Q Q S S F B y F B y a ∆∆+=+=⨯⨯=⨯⨯⨯=.【考点】椭圆焦三角的性质.三、解答题17．已知椭圆方程22143x y +=,左右焦点分别为12,F F(1)求椭圆焦点坐标及离心率;(2)过2F 的直线与椭圆交于两点,A B ,若223AF F B =，求直线AB 方程.【答案】（1）()11,0F -，()21,0F ；离心率12e =；（2）0y = 【解析】（1）根据椭圆标准方程可得,,a b c ，进而得到焦点和离心率；（2）当直线AB 斜率0k =时，易知满足题意；设直线AB 方程：1x my =+，代入椭圆方程整理可得韦达定理形式；将向量的比例关系转化为两点纵坐标的关系，从而构造方程求得结果. 【详解】（1）由椭圆方程知：2a =，b =1c =∴焦点坐标()11,0F -，()21,0F ；离心率12c e a == （2）①当直线AB 斜率0k =时，23AF =，21F B =，满足题意，此时直线为：0y = ②设直线AB 方程：1x my =+将1x my =+代入椭圆方程可得：()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又223AF F B = 123y y ∴=- ()212121221423y y y y y y y y +∴=++=- 即：22264349334m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=--+，方程无解综上所述：直线AB 的方程为：0y = 【点睛】本题考查椭圆焦点、离心率等定义、焦点分弦成比例的问题的求解，关键是能够根据将向量之间的比例关系转化为交点纵坐标之间的比例关系，从而结合韦达定理构造出方程，解方程求得结果.18．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F ，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12【解析】（1）由2PF x ⊥轴可得21b a=，结合焦点坐标可得c =,a b 的值，得到所求标准方程；（2）根据双曲线渐近线倾斜角可知,A B 均在双曲线右支上，根据双曲线定义可知所求周长等于42AB +，将直线方程代入双曲线方程，利用弦长公式求得AB ，代入得到结果. 【详解】（1）()22,0F ，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB 方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+= 4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、双曲线中的三角形周长的求解问题；关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为弦长的求解，利用弦长公式求得结果.19．已知两点()()5,0,5,0A B -，直线AM 和直线BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是49-(1)求动点M 的轨迹方程; (2)求AMB ∠最大值时的正切值.【答案】（1）()2291525100x y x +=≠±；（2）125- 【解析】（1）设动点(),M x y ，利用斜率乘积为定值可构造出方程，整理可得轨迹方程；（2）利用倾斜角与斜率关系、两角和差正切公式可得94tan 159AM BM AM AM BM AMk k AMB k k k k ⎛⎫-∠=-=-⨯+⎪+⎝⎭，利用基本不等式可得到所求正切值. 【详解】（1）设(),M x y ，则5AM y k x =+，5BM yk x =- 22455259AM BMy y y k k x x x ∴⋅=⋅==-+--，整理得：229125100x y += 又M 与,A B 不重合 5x ∴≠±∴点M 的轨迹方程为：()2291525100x y x +=≠±（2）在AMB ∆中，AMB MAB MBA π∠=-∠-∠则tan AM MAB k ∠=，tan BM MBA k ∠=-且49AM BM k k ⋅=- 设0AMk >，则409BM AMk k =-<()tan tan tan tan 1tan tan 1AMBM AM BMk k MAB MBAAMB MAB MBA MAB MBA k k -∠+∠∴∠=-∠+∠=-=--∠⋅∠+949125955AM AMk k ⎛⎫=-⨯+≤-⨯=- ⎪⎝⎭ （当且仅当49AM AM k k =，即23AM k =时等号成立） tan AMB ∴∠最大值为125-()0,AMB π∠∈且正切函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增AMB ∴∠取最大值时的正切值为125-由椭圆对称性可知，当0AM k <时，结论依然成立 综上所述，AMB ∠取最大值时的正切值为125- 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、椭圆中的最值问题的求解；求解椭圆中最值问题的关键是能够用某一个变量表示出所求量，从而配凑出关于该变量的函数的形式，利用函数值域或基本不等式的方式求得最值.20．已知椭圆C :2222x y a b +=1(a>b>0)F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF 1F 2的周长是8+(1)求椭圆C 的方程; (2)设圆T :(x-2)2+y 2=49,过椭圆的上顶点M 作圆T 的两条切线交椭圆于E ,F 两点,求直线EF 的斜率.【答案】(1)216x +y 2=1. (2)34.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为4可得a=4b ，，然后根据△PF 1F 2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M 与圆T 相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k 2+36k+5=0，从而得到1298k k +=-，12532k k =．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标E x 和F x ，最后根据斜率公式求解即可．试题解析：(1)由题意得e=c a ==， ∴a=4b ， ∴．∵△PF 1F 2的周长是8+∴2a+2c=(24b =8+∴b=1, ∴a=4．∴椭圆C 的方程为216x +y 2=1．(2)由（1）得椭圆的上顶点为M (0,1)，又由题意知过点M 与圆T 相切的直线存在斜率，设其方程为l ：y=kx+1， ∵直线y=kx+1与圆T 相切，23=， 整理得32k 2+36k+5=0，∴121295,832k k k k +=-=由1221116y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(1+1621k )x 2+32k 1x=0， ∴12132116E k x k -=+．同理可得22232116F k x k -=+,∴1212129385116411632E F E F EF E F E F y y k x k x k k k x x x x k k ---+=====----⨯．故直线EF 的斜率为34． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左．右焦点为12,F F ，离心率为e .直线:l y ex a =+与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点1F 关于直线l 的对称点，设AM AB λ=. （1）证明：21e λ=-； （2）若34λ=，12MF F ∆的周长为6；写出椭圆C 的方程； （3）确定λ的值，使得12PF F ∆是等腰三角形.【答案】（1）证明见解析；（2）22143x y +=；（3）当23λ=时，12PF F ∆是等腰三角形 【解析】（1）分别求出,,A B M 坐标，利用向量共线的坐标运算可构造关于λ的方程，整理即可证得结果；（2）利用（1）的结论求得e ，根据焦点三角形周长为22a c +可得到关于,a c 方程，求得,a c 后，根据222b a c =-求得2b ，进而得到椭圆方程；（3）根据1PF l ⊥可知若12PF F ∆为等腰三角形，则需1122PF F F c ==，即点1F 到直线l 距离d c =，利用点到直线距离公式构造方程可求得2e ，根据（1）的结论得到结果. 【详解】 （1）,A B 为l 与,x y 轴的交点 ,0a A e ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()0,B a由22221y ex a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,a b AM c e a ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，,a AB a e ⎛⎫= ⎪⎝⎭AM AB λ= 2a a c e eb a aλλ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，整理可得：21e λ=- （2）由（1）得：2314e -=，解得：12c e a ==，即2a c =12MF F ∆周长为226a c +=，即3a c += 2a ∴=，1c = 2223b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：22143x y +=（3）1PF l ⊥ 12190PF F BAF ∴∠=+∠为钝角 若12PF F ∆是等腰三角形，则1122PF F F c == 设()1,0F c -到直线l 距离为d ，则需d c =2ec d e -=c=e =，解得：213e =由（1）得：2213e λ=-=∴当23λ=时，12PF F ∆是等腰三角形 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及到椭圆中的证明问题、椭圆标准方程的求解、存在性问题的求解；解决存在性问题的基本步骤是假定存在，进而得到所需的等量关系，利用等量关系建立方程求得结果即可.22．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆，短轴长是1，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.（1）求椭圆，的方程；（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意结合“相似”的定义设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由a,b,c的关系可得：椭圆的方程为，椭圆的方程是；(2)由题意可得三角形面积的表达式，结合均值不等式的结论可得的面积的最大值为.试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由已知，，，∵椭圆与椭圆的离心率相等，即，∴，即，∴，即，∴，∴椭圆的方程为，椭圆的方程是；（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.联立：，得，即，∴，设，，则，，∴，的高即为点到直线：的距离，∴的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即的面积的最大值为.。

2019-2020学年黑龙江省大庆市大庆实验中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ）A ．22B ．8C ．9D ．64【答案】B【解析】因为双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，所以21(3)98m m +=-=⇒= ，故选B.2．在直角坐标系xOy 中，点(3,1)M --.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（02θπ≤<），则点M 的极坐标为（ ） A ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4 2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据极坐标与直角坐标的转化公式求解. 【详解】因为222x y ρ=+，所以2ρ=；因为3tan 3y x θ==且(3,1)M --在第三象限， 所以76θπ=，故选C. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式222x y ρ=+可得ρ，利用公式tan yxθ=及点的位置可得θ；极坐标化为直角坐标时一般利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩来实现.3．设12,F F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且123||5||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于( ) A ．22 B ．43C ．6D ．10【答案】C【解析】根据双曲线的定义1222PF PF a -==，联立1235PF PF =解得125,3PF PF ==，由于24c =，故12PF F ∆为直角三角形，故面积为13462⨯⨯=.4．若直线2y kx =+和椭圆2221(0)9x y b b+=>恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[2,)+∞B ．[2,3)(3,)⋃+∞C ．[2,3)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】根据椭圆2229x y b+=1（b ＞0）得出b ≠3，运用直线恒过（0，2），得出24b ≤1，即可求解答案． 【详解】椭圆2229x y b+=1（b ＞0）得出b ≠3，∵若直线2y kx =+ ∴直线恒过（0，2）， ∴24b≤1,解得2b ≥ ，故实数b 的取值范围是[2,3)(3,)⋃+∞ 故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，若3FA =，1FB =，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3【答案】C【解析】设直线：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得2220p y y p k --=，所以122122p y y k y y p ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， ()1222113111FA y k FB y k ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯-=⎪⎩，得123y y =-，所以()212121*********y y y y y y y y y y +-+==-， 得3k =，所以32p =。

2019-2020学年大庆实验中学高二(下)期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实数集R”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽取容量为30的样本，则抽取的初级职称的人数为()A. 30B. 18C. 9D. 33.假设某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(元)呈线性相关关系，且有如下的统计资料：使用年限x(年)23456维修费用y(元) 2.2 3.8 5.5 6.57则x和y之间的线性回归方程为()A. y=2.04x−0.57B. y=2x−1.8C. y=x+1.5D. y=1.23x+0.084.下图是某人在5天中每天加工零件个数的茎叶图，则该组数据的方差为()A. √2B. 2C. √10D. 105.执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是()A. 6B. 12C. 22D. 246. 执行如图的程序框图，若输出的S 是127，则判断框内应该是( )A. n ≤5B. n ≤6C. n ≤7D. n ≤87. 下列说法错误的是( )A. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B. “x >1”是“|x|>1”的充分不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”，则¬p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”8. 同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A. 118B. 112C. 19D. 169. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果大正方形的面积为50，直角三角形中较小的锐角为θ，sin θ2+cosθ2cos θ2−sinθ2=2，在大正方形内取点，则此点取自中间小正方形的概率为( )A. 125B. √225C. 150D. 7√25010. 分别在区间[0, ]和[0,1]内任取两个实数x ，y ，则不等式y ≤cosx 恒成立的概率为A.B.C.D.11. 对于函数y =f(x)(x ∈I)，y =g(x)(x ∈I)，若对于任意x ∈I ，存在x 0，使得f(x)≥f(x 0)，g(x)≥g(x 0)且f(x 0)=g(x 0)，则称f(x)，g(x)为“兄弟函数”.已知函数f(x)=x 2+px +q(p,q ∈R),g(x)=x 2−x+1x是定义在区间x ∈[12,2]上的“兄弟函数”，那么函数f(x)在区间x ∈[12,2]上的最大值为( )A. 32B. 2C. 4D. 5412. 函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前n 项和为，则A. 1B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知复数z =1+1−i1+i ，则|z|= ______ ．14. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A +∠B +∠C =90°+90°+∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A =∠B =90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A =∠B =90°． 正确顺序的序号排列为________．15. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为__________．16. 在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB <90°的概率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)=1． (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求|MA||MB|的值．18.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图：(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2008km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数解析式．19.州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如图所示的茎叶图(单位：百人).其中一个数字被污损．(1)求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间y(单位：小时)与年龄x(单位：岁)的关系，如表所示：根据表中的数据，试求线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间． (参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −)20. 某球迷为了解A ，B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛．两队所得分数分别如下：A 球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100 114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B 球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 106 91 81 107 112 107 101 106 120 107 79(1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)； (2)现将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：根据两支球队所得分数，估计哪一支球队的攻击能力等级为较弱的概率更大一些，并说明理由．21. 已知椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)，定义椭圆C 上的点M(x 0,y 0)的“伴随点”为N(x 0a ,yb )．(Ⅰ)求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； (Ⅱ)如果椭圆C 上的点(1,32)的“伴随点”为(12,32b)，对于椭圆C 上的任意点M 及它的“伴随点”N ，求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (Ⅲ)当a =2，b =√3时，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求ΔOAB 的面积．22. 已知函数f(x)=1−x e x．(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)的零点和极值；(3)若对任意x 1，x 2∈[a,+∞)，都有f(x 1)−f(x 2)≥−1e 2成立，求实数a 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：当a=0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2+2ax+1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．2.答案：B解析：解：每个个体被抽到的概率等于30150=15，由于初级职称90人，故初级职称90人应抽取的人数为90×15=18，故选：B．先求出每个个体被抽到的概率，用初级职称的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得初级职称应抽取人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题3.答案：D解析：解：∵x=15(2+3+4+5+6)=4，y=15(2.2+3.8+5.5+6.5+7)=5，∴这组数据的样本中心点是(4,5)代入验证，可得A满足．故选：D．根据所给的数据，做出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到结果．本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．4.答案：B(18+19+20+21+22)=20解析：解：该组数据的平均数为15[(18−20)2+(19−20)2+(20−20)2+(21−20)2+(22−20)2]=2，样本方差为15故选：B根据该组数据，结合方差计算公式算出该组数据的平均数以及方差，即得正确答案．本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，属于基础题．5.答案：C解析：解：由程序框图知：第一次循环i=1，x=0.5x−1；第二次循环i=2，x=0.5×(0.5x−1)−2；∵输出的i=2，∴跳出循环的i值为2，此时0.5×(0.5x−1)−1≤3⇒x≤22．∴输出x的最大值为22．故选：C．根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出i=2时确定输出x的式子，根据满足的条件求x的最大值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定输出x的式子是关键．6.答案：B解析：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1满足条件，S=3，n=2满足条件，S=7，n=3满足条件，S=15，n=4满足条件，S=31，n=5满足条件，S=63，n=6满足条件，S=127，n=7由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为127，故判断框内应该是：n≤6．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=127，n=7时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为127，故判断框内应该是：n≤6．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7.答案：C解析：试题分析：A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”对，逆否命题知识将原命题条件与结论交换并加以否定；B.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，对，由x>1可得|x|>1，但由|x|>1得到的是x>1或x<−1;C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题，不对，因为，p且q为假命题时，p，q有一为假命题，其即为假命题；D.命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”对，因为存在性命题的否定是全称命题。

黑龙江省大庆市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·林芝期末) 过点且斜率为的直线方程为（）A .B .C .D .2. （2分）抛物线x=﹣8y2的焦点坐标是（）A . （﹣，0）B . （﹣2，0）C . （，0）D . （0，﹣2）3. （2分）(2020·随县模拟) 已知复数，则复数在复平面内对应的点，到点的距离为（）A . 2B . 4C .D .4. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·安平期末) 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A .B . 2C .D . 26. （2分） (2015高三上·石家庄期中) 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A . 对任意x∈R，都有x2＜0B . 不存在x∈R，都有x2＜0C . 存在x0∈R，使得x02≥0D . 存在x0∈R，使得x02＜07. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知抛物线C：y2=4x，则该抛物线的准线方程为（）A . y=﹣1B . y=1C . x=﹣1D . x=18. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离为2，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A . 2B . 4C . 6D . 89. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，且PF1⊥x轴，直线AP交y轴于点Q，若 =3 ，则椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A . [﹣， ]B . [﹣2，2]C . [﹣1，1]D . [﹣4，4]11. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 设曲线C：﹣ =1，则“m＞3”是“曲线C为双曲线”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知椭圆C： + =1的左右焦点分别为F1 ， F2 ，则在椭圆C上满足∠F1PF2= 的点P的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2 个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线（2+λ）x+（λ﹣1）y﹣2λ﹣1=0经过的定点坐标为________ ．14. （1分） (2018高二上·遂宁期末) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且，则线段BQ的长度的最大值为________.15. （1分）(2017·青岛模拟) 已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|=________．16. （1分） (2020高二下·上海期中) 已知异面直线a，b所成角为，直线与a，b均垂直，且垂足分别是点A，B,若动点，，，则线段中点M的轨迹围成的区域的面积是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2020·泰州模拟) 如图，在三棱锥中，平面，，点D、E、F分別是、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．18. （10分）如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证：（1）；（2）∥平面。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案第I卷（共72分）一、选择题（本大题20小题，每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.如图是一款遥控救生圈，当精疲力尽或不懂水性的落水者在水中存在危险时，救援人员可依靠遥控器控制救生圈的运动方向和速度，准确到达指定区域，它解决了手抛救生圈落点较近或落点不准确的问题，可大大提高救援的效率。

关于这款产品的设计，以下说法正确的是( )A．体现了技术具有保护人作用B．在救援过程中，被救人员自身素质得以提升C．要提高救援效率，救援人员越多越好D．有了该技术，可完全避免溺水事故的发生2．哈佛大学家研制的80毫克“蜜蜂机器人”，成功完成首次受控飞行。

经过半个世纪的飞速发展，机器人的种类和功能越来越多，在社会的各个领域中起到了重要的作用。

以下说法不正确的是( )A．焊接机器人的使用提高了生产效率和产品质量，促进了社会生产的发展B．排爆机器人能在危险、恶劣的环境下代替人类工作，起到发展人的作用C．娱乐机器人能进行跳舞等娱乐活动，丰富了人们的社会文化内容D．家用机器人能帮助人们做清扫等日常家务，改变了人们的社会生活方式3．如图所示为一款应用了高空风力发电技术的“风筝”式发电装置，与常规风力发电装置相比，建造成本低，生产效率高，为开发新能源提供了新途径。

下列关于该技术的说法中不正确的是（）A．利用高空稳定风力资源体现技术的创新性B．利用风力资源符合可持续发展理念C．开发新能源体现技术的目的性D．建造成本低，生产效率高体现技术的综合性4.纳米技术是指能操作细小到0.1耀100nm物件的一类新发展的高技术，应用研究很广泛。

研发人员利用纳米技术制造出新型的纳米车漆：将纳米级二氧化钛与铝粉混合颜料或纳米二氧化钛包覆的云母珠光颜料添加于涂料中，其涂层能产生神秘而富有变幻的随角异色效应，随观察角度的不同，观察者看见不同颜色。

该案例说明( )A．纳米技术为涂料设计提供了更广的发展空间B．新型的纳米车漆的诞生跟纳米技术无关C．纳米技术不能被应用汽车其它产品中D．新型的纳米车漆促进了纳米技术的发展5．近代，点钞机因点钞速度快，差错率低并具有识别假钞功能，大量应用于银行等金融服务机构，下列关于点钞机的使用说法不恰当的是( ) A．杜绝了假钞的流通B．提高了工作效率C．提高了服务质量D．降低了员工的劳动强度6．某钢铁厂运用新技术，对生产中产生的高温煤气进行循环利用，既减少了对环境的污染，又节约了资源，产生了巨大的经济效益和社会效益。

黑龙江省大庆中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 2．点()00,P x y 是抛物线C ：28y x =上一点，若P 到C 的焦点的距离为8，则（ ） A.08x = B.08y = C.06x = D.06y = 3．直线()120x m y +++=与直线210mx y +-=平行，则m =（ ） A.2-B.1或2-C.1D.2或1-4．已知圆22240x y x my +-+-=上两点M ，N 关于直线20x y +=对称，则圆的半径为（ ） A ．9B ．3C ．23D ．25．椭圆221x ky +=的焦距为2，则k 的值为（ ） A.2B.2或23C.23D.1或236．经过点()2,3P -作圆()22125:C x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为( ) A.50x y --=B.50x y -+=C.50x y ++=D.50x y +-=7．O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x = 的焦点，P 为C 上一点，若 42PF =，则POF ∆ 的面积为( )A ．2B ．2C ．23D ．48．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过1F ，与双曲线的左支交于A B、两点，若5AB =，且双曲线的实轴长为8，则2ABF ∆的周长是（ ） A.16B.18C.21D.269．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A.29y x =B.26y x =C.23y x = D.2y x =10．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =uu r uu r，则AF uuu r ＝( )A.2B.2C.3D.311．已知双曲线()222210,0x y E a b a b-=>>：，222)c a b =+的左，右焦点分别为12,F F . 直线:l x y c +=在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为2QF 的中点，12QF F ∆的面积为4，则双曲线E 的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2212x y -=C ．22144x y -=D ．22143x y -=12．已知椭圆2222:1x y C a b+=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F o∠=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．2,12⎫⎪⎪⎣⎭ B ．20,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知经过椭圆2216416x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则1AF B ∆的周长为_____________．14．已知双曲线C ：22221(0,0x y a b a b-=>>）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距为_____________．15．圆222610x y x y ++-+=与圆2242110x y x y +-+-=的公共弦的长为_____________．16．已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C （点B 在点A ，C 之间），若3BC =BF ，且9AB =，则p =_____________．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22题每小题12分，共70分） 17．（本题10分）已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.18．（本题12分）已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点P (4,)1-，过点P 作直线l .（Ⅰ）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长.19．（本题12）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.20．（本题12分）已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为()11,0F -，离心率为12e =，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程：（Ⅱ）若直线AB 的倾斜角为135度，求AB .21．（本题12分）已知抛物线()2:20G x py p =>上一点(),4R m 到其焦点的距离为174. （Ⅰ）求p 与m 的值；（Ⅱ）若斜率为2-的直线l 与抛物线G 交于P 、Q 两点，点M 为抛物线G 上一点，其横坐标为1，记直线PM 的斜率为1k ，直线QM 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？并证明你的结论.22．（本题12分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆22122:10)x y C a b a b +=>>（的长轴长是4，椭圆22222:10)y x C m n m n +=>>（长轴长是2，点1F ，2F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点.（Ⅰ）求椭圆1C ，2C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN ∆面积的最大值.大庆中学2019---2020学年度上学期期中考试高二年级文科数学试题参考答案1．D 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．D 9．C 10．A 11．A 12．D 13．32 14．4. 15．24516．4 17．(1) 3x ＋4y －14＝0；(2) 3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 【详解】（1）由点斜式方程得，()3524y x -=-+，∴34140x y +-=. （2）设m 的方程为340x y c ++=，则由平线间的距离公式得，1435c +=，解得：1c =或29-.∴3410x y ++=或34290x y +-= 18．(1) 4x =或3480x y +-=(2) 22.【解析】(1)当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =； 当斜率存在时，设直线l 的方程为410kx y k ---=，则2234121k k k ---=+，解得34k =-，所以l 的方程为3480x y +-=，所以直线l 的方程为4x =或3480x y +-=.(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-=，23322d +-==，所求弦长为22224222l r d =-=-=.19．（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）122y x =+【详解】（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为AB 的中点的横坐标为32，所以12322x x +=. 根据抛物线定义知125AB AF BF p x x =+=++=.所以35p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >.则由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=. 所以212224k x x k ++=，即22243k k +=，解得2k =.设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩得224(44)0x b x b +-+=.依题知22(44)160b b ∆=--=，解得12b =.故所求的切线方程为122y x =+. 20．（1）22143x y +=（2）247【解析】（1）由条件知，1c =，又由离心率12e =知2a =，b ∴== ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由条件知，直线l 的方程为1y x =-+，联立椭圆方程2234120x y +-=， 得到27880x x +-=，易知>0∆，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则由韦达定理，1287x x +=-，1287x x =-故12AB x =-==247=. 21．（1）12p =，2m =±；（2）12k k +为定值，证明见解析 【详解】（1）根据抛物线定义，点(,4)R m 到焦点的距离等于它到准线的距离， 即17424p +=，解得12p =，∴抛物线方程为2x y =， 点(,4)A m 在抛物线上，得21242m =⋅⋅，∴2m =±。

大庆实验中学2019-2020学年度第二学期实验三部期中考试高二数学理科试题第Ⅰ卷(选择题)一、单选题 1.设1i2i 1iz -=++,则||z = A.0B.12C.12【参考答案】C 【试题解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数z ,然后求解复数的模. 详解:()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=,则1z =,故选c.:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分. 2.极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.两条直线 D.一个圆和一条直线 【参考答案】D 【试题解析】分析:2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=,然后化为直角坐标方程即可得结论.详解:2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=,因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-30ρ-=表示圆229x y +=,所以,极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是一个圆和一条直线,故选D.:本题主要考查极坐标方程的应用,属于中档题.极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【参考答案】B 【试题解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解.由题意,现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=, 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==,故选B. 本题主要考查了排列组合的应用,以及古典概型及其概率的计算问题,其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数,利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 4.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y (其中1,2,,300i =),求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+,则下列说法正确的是( ) A.至少有一个样本点落回归直线ˆˆˆybx a =+上 B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上,则变量同的相关系数为1 C.对所有的解释变量i x (1,2,,300i =),ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D.若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >,则变量x 与y 正相关【参考答案】D 【试题解析】对每一个选项逐一分析判断得解.回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上,则变量间的相关系数为1±,故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,则ˆˆbx a +的值与y i 相等,故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同,若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >,则0r >,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x 与y 正相关,故D 正确. 故选D.本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.某人连续投篮5次,其中3次命中,2次未命中,则他第2次,第3次两次均命中的概率是()A.310B.25C.12D.35【参考答案】A 【试题解析】基本事件总数3252n C C 10==,他第2次,第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==,由此能求出他第2次,第3次两次均命中的概率,得到答案.由题意某人连续投篮5次,其中3次命中,2次未命中,因为基本事件总数3252n C C 10==,他第2次,第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==,所以他第2次,第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==. 故选A.本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及排列、组合等知识的应用,其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6.某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是 A.24B.16C.8D.12【参考答案】B 【试题解析】根据题意,可分三步进行分析:(1)要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序；(2)将这个整体与英语全排列,排好后,有3个空位；(3)数学课不排第一行,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个,得数学、物理的安排方法,最后利用分步计数原理,即可求解.根据题意,可分三步进行分析:(1)要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有222A =种情况； (2)将这个整体与英语全排列,有222A =中顺序,排好后,有3个空位；(3)数学课不排第一行,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个, 安排物理,有2中情况,则数学、物理的安排方法有224⨯=种, 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种,故选B.本题主要考查了排列、组合的综合应用,其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 7.若()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++,则01910a a a a ++⋯++的值为( )A.192B.191020122C -C.191020122C +D.1910202C +【参考答案】C 【试题解析】计算20nn a C =,根据对称性得到答案.()201x +展开式的通项为:120r r r T C x +=,故20nn a C =,()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++,根据对称性知:10200110191020019102020202021 (2222)C a a a a C C C C ++⋯++=+++=+=+. 故选:C.本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=,且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ,则n S 的最小值为( ) A.–10 B.14- C.–18 D.–20【参考答案】D 【试题解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得n S ,再利用二次函数的性质,可得当4n =或5时,n S 取到最小值.根据题意,可知{}n a 为等差数列,公差2d =,由134,,a a a 成等比数列,可得2314a a a =,∴1112()4(6)a a a ++=,解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性,可知当4n =或5时,n S 取到最小值,最小值为20-. 故选:D.本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当4n =或5时同时取到最值.9.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 是棱AB 的中点,F 是侧面AA 1D 1D 内一点,若EF ∥平面BB 1D 1D ,则EF 长度的范围为()A.[2,3]B.[2,5]C.[2,6]D.[2,7]【参考答案】C 【试题解析】过F 作1//FG DD ,交AD 于点G ,交11A D 于H ,根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系,利用面面平行性质可证得G 为AD 中点,从而得到AF 最小值为,F G 重合,最大值为,F H 重合,计算可得结果. 过F 作1//FG DD ,交AD 于点G ,交11A D 于H ,则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ,//FG 平面11BDD B ,EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ,又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD平面11BDD B BD =,GE平面ABCD //GE BD ∴E 为AB 中点 G ∴为AD 中点,则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==,max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+=,max 156EF =+= 则线段EF 长度的取值范围为:2,6⎡⎤⎣⎦本题正确选项:C本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解,关键是能够确定动点的具体位置,从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用. 10.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有五种不同的颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有( )A.180B.192C.420D.480【参考答案】C 【试题解析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 相邻的区域不能用同一种颜色,则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色,则颜色的选法有35C ,相对的两个直角三角形必同色,此时共有不同的涂色方案数为335360C A =(种).若5块区域只用4种颜色涂色,则颜色的选法有45C ,相对的两个直角三角形必同色,余下两个直角三角形不同色,此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =(种).若5块区域只用5种颜色涂色,则每块区域涂色均不同,此时共有不同的涂色方案数为55120A =(种).综上,共有不同的涂色方案数为420(种). 故选:C.本题考查排列组合的应用,注意根据题设要求合理分类分步,此类问题属于中档题.11.已知函数()()2cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω的最大值为( ). A.1B.65C.43D.32【参考答案】C 【试题解析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭需满足22T π≥,根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,所以求3x πω+的范围,且是[]0,π的子集,最后求ω的范围.()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=-2cos 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ,当[0,]2x π∈时,[,]3323x ππωπωπ+∈+, ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴23ωπππ+≤, 403ω∴<≤ ,综上可知403ω<≤.故选C本题考查三角函数的恒等变形,以及根据区间的单调性求参数的取值范围,属于中档题型,利用三角函数的奇偶性,周期性,对称性求解参数的值或范围是一个重点题型,首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++,或()cos y A x b ωϕ=++,()tan y A x b ωϕ=++的形式,然后利用三角函数的性质,借助公式,区间范围关系等将参数表示出来,得到函数参数的等式或不等式,求解.12.如图,点F 是抛物线2:4C x y =的焦点,点A ,B 分别在抛物线C 和圆()2214x y +-=的实线部分上运动,且AB 总是平行于y 轴,则AFB ∆周长的取值范围是( )A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)【参考答案】B 【试题解析】圆(y ﹣1)2+x 2＝4的圆心为(0,1),半径r ＝2,与抛物线的焦点重合,可得|FB |＝2,|AF |＝y A +1,|AB |＝y B ﹣y A ,即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3,利用1＜y B ＜3,即可得出.抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1),准线方程为y ＝﹣1, 圆(y ﹣1)2+x 2＝4的圆心为(0,1), 与抛物线的焦点重合,且半径r ＝2, ∴|FB |＝2,|AF |＝y A +1,|AB |＝y B ﹣y A ,∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3, ∵1＜y B ＜3,∴三角形ABF 的周长的取值范围是(4,6).故选B .本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则x y +的值为_______.【参考答案】13 【试题解析】根据平均数的算法,可得x ,将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序,以及中位数的概念,可得结果.观察茎叶图,甲班学生成绩的平均分是86,故8x =； 乙班学生成绩的中位数是83,故5y =. ∴13x y +=. 故答案为:13本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数,属基础题.14.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A =“三个点数之和等于15”,B =“至少出现一个5点”,则概率(A |B)P 等于______. 【参考答案】113【试题解析】本题利用条件概率公式()(|)()n AB P A B n B =求解. 至少出现一个5点的情况有:336591-=,至少出现一个5点的情况下,三个点数之和等于15有一下两类:①恰好一个5点,则另两个点数只能是4和6,共有11326C C ⨯=；②恰好出现两个5点,则另一个点数也只能是5点,共有1种情况.()611(|)()9113n AB P A B n B +∴===, 故答案为:113. 本题考查条件概率的公式,需要求出基本事件的个数,运用正难则反的思想.15.过椭圆C:2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的右焦点F 作直线l :交C 于M ,N 两点,MF m =,NF n =,则11m n+的值为______. 【参考答案】43【试题解析】椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)的普通方程为22143x y +=,利用特殊位置进行求解即可.椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)的普通方程为22143x y +=,当直线l 的斜率不存在时,直线:1l x =,代入22143x y +=,可得32y =±32m n ∴==, ∴1143m n +=. 故答案为:43【】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用特殊化进行求解,可简化解题过程.16.若函数()()1xf x x e a =--在()1,-+∞上只有一个零点,则a 的取值范围为__________.【参考答案】{}21,e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 【试题解析】分析:先利用导数研究()f x 单调性,确定函数图像,根据图像确定a 的取值范围.详解:因为()()1xf x x e a =--,所以()00,xf x xe x ==∴='当0x >时,()0()(1,)f x f x a >∴∈--+∞' 当10x -<<时,2()0()(1,)f x f x a a e-<∴∈---' 因此要使函数()()1xf x x e a =--在()1,-+∞上只有一个零点,需221=001a a a a e e----≤∴=-≥-或或 :对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 三、解答题17.随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据如下表:(1)求ˆy关于t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程,分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入约为多少千元？ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nni ii i tty y t y nt ybt ttnt ====---⋅==--∑∑∑∑,ˆˆay bt =-. 【参考答案】(1)ˆ 1.2 3.6yx =+；(2)12千元. 【试题解析】(1)结合所给数据和相关公式,算出ˆˆ,ab 这两个系数即可得回归直线方程； (2)把7x =代入回归方程算出ˆy即可得解. (1)由所给数据计算得,1234535t ++++==,5678107.25y ++++==, 521()4101410ii tt =-=++++=∑,51()()(2)( 2.2)(1)( 1.2)0(0.2)10.82 2.812ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑,所以121()()12ˆ 1.210()nii i nii tt y y btt ==--===-∑∑,ˆˆ7.2 1.23 3.6a y bt=-=-⨯=. 故所求的回归方程为ˆ 1.2 3.6yx =+. (2)由(1)可知,ˆ 1.20b=>,故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加1.2千元.当7x =时,ˆ 1.27 3.612y=⨯+=. 故预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为12千元.本题考查最小二乘法求回归直线方程,考查运算求解能力,求解时注意回归直线必过样本点的中心的运用.18.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=,点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭.(1)求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离； (2)若直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,求PMN 的面积. 【参考答案】(1)()3θρπ=∈R(2)2【试题解析】(1)由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ,得到y =,再利用sin ,cos y x ρθρθ==,求得极坐标方程.然后利用直线的极坐标方程求点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离.(2)由曲线C 的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到220ρρ--=,再将韦达定理代入12||MN ρρ=-,求得||MN ,再由1||2PMN S MN d =⨯△求解. (1)由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ,得到y =,则sin cos ρθθ=,∴tan θ=3πθ∴=,所以直线l 的极坐标方程为()3θρπ=∈R .所以点2152,3P π⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离为21522153sin 533d ππ⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭. (2)由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩,得220ρρ--=, 所以121ρρ+=,122ρρ=-, 所以()2121212||43MN ρρρρρρ=-=+-=,所以PMN 的面积为1135||35222PMN S MN d =⨯=⨯⨯=△. 本题主要考查参数方程,直角坐标方程,极坐标方程的转化,点到直线的距离以及三角形的面积,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 19.如图,四棱锥P −ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A −PB −C 的余弦值.【参考答案】(1)见解析；(2)3【试题解析】(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面PAD .又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF AD⊥,垂足为F,由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB PF⊥,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-.由(1)及已知可得22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭,20,0,2P⎛⎫⎪⎪⎝⎭,2,1,02B⎛⎫⎪⎪⎝⎭,22C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.所以22PC⎛=-⎝⎭,()2,0,0CB=,22PA⎛=⎝⎭,()0,1,0AB=.设(),,n x y z=是平面PCB的法向量,则0,0,n PCn CB⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x y zx⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n=--.设(),,m x y z=是平面PAB的法向量,则0,0,m PAm AB⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x zy-=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m=.则3cos ,3n m n m n m ⋅==-, 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【名师】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面: ①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.为庆祝党的98岁生日,某高校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”为主题的党史知识竞赛.从参加竞赛的学生中,随机抽取40名学生,将其成绩分为六段[)70,75,[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100,到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值及样本的中位数与众数；(2)若从竞赛成绩在[)70,75与[]95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生,设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率.(3)为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在[]95,100内的为一等奖,得分在[)90,95内的为二等奖, 得分在[)85,90内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设ξ为获得三等奖的人数,求ξ的分布列与数学期望. 【参考答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)715；(3)详见解析 【试题解析】(1)根据小矩形的面积之和等于1,列出方程,求得a 的值,根据中位数定义估计中位数的范围,在列出方程求解中位数,再根据众数的定义,即可求解.(2)计算两组的人数,再计算抽取的两人在同一组的概率,即可求解；(3)根据题意,得到随机变量服从二项分布,再利用二项分布的期望公式,即可求解. (1)由频率分布直方图可知(0.050.0420.020.01)51a +++⨯+⨯=,解得0.06a =, 可知样本的中位数在第4组中,不妨设为x ,则(0.010.020.04)5(85)0.050.5x ++⨯+-⨯=,解得87.5x =, 即样本的中位数为87.5,由频率分布直方图可知,样本的众数为859087.52+=. (2)由频率分布直方图可知,在[)70,75与[]95,100两个分数段的学生人数分别为2和4,设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,则事件M 发生的概率为222426715C C C +=,即事件M 发生的概率为715. (3)从考生中随机抽取三名,则随机变量ξ为获得三等奖的人数,则0,1,2,3ξ=, 由频率分布直方图知,从考升中任抽取1人,此生获得三等奖的概率为0.0650.3⨯=, 所以随机变量服从二项分布(3,0.3)B ,则3123(0)(10.3)0.343,(1)0.3(10.3)0.441P P C ξξ==-===⨯⨯-=,2233(2)0.3(10.3)0.189,(3)0.30.027P C P ξξ==⨯⨯-====,所以随机变量的分布列为所以()30.30.9E ξ=⨯=.本题主要考查了频率分布直方图的应用,以及随机变量的分布列及其数学期望的求解,其中解答中认真审题,熟练频率分布直方图的性质,正确确定随机变量的取值,求得相应的概率,得出随机变量的分布列是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到焦点的最大距离为3,离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线:10l x my -+=与椭圆C 交于不同两点,A B ,与x 轴交于点D ,且满足DA DB λ=,若1123λ-≤≤-,求实数m 的取值范围.【参考答案】(1)22143x y +=；(2)m m ⎧⎪≤⎨⎪⎩或m ≥⎪⎭.【试题解析】(1)根据椭圆上的点到焦点的最大距离为3,则3a c +=,再结合离心率为12求解.(2)由已知得到()1,0D -,联立方程组2210143x my x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,消x 得()2234690m y my +--=,根据DA DB λ=,得到12y y λ=,与韦达定理结合可整理得到2241234m m λλ-=+++,然后由1123λ-≤<-,得到12λλ++的范围求解.(1)由已知312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得21a c =⎧⎨=⎩,所以222413413b a c =-=-==-=,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由已知()1,0D -,设()11,A x y ,()22,B x y ,联立方程组2210143x my x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,消x 得()2234690m y my +--=,易知()()()222643491441440m m m =--+-=+>△恒成立,由韦达定理得122634m y y m +=+①122934y y m =-+② 因为DA DB λ=,所以()()11221,1,x y x y λ+=+, 所以12y y λ=③,将③代入①②()226134m y m λ+=+,222934y m λ=-+, 消去2y 得()222+1434m m λλ=-+,所以2241234m m λλ-=+++.因为1123λ-≤<-,所以411232λλ-<++≤-,即224413342m m -<-≤-+, 解得245m ≥, 所以m的取值范围为m m ⎧⎪≤⎨⎪⎩或5m ≥⎪⎭.本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.22.已知()ln xe f x a x ax x=+-.(1)若0a <,讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =-时,若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立,求b 的取值范围.【参考答案】(1)见解析；(2)1[,)e+∞. 【试题解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞,且()()()21x x e ax f x x --'=,据此确定函数的单调性即可； (2)由题意可知()10x b x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立,分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可.(1)()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x--'=,0a <, ∴当()0,1x ∈时,()0f x '<；()1,x ∈+∞时,()0f x '>∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.(2)当1a =-时,()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ ()1x b x e lnx =--由题意,()10x b x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤,当1x ≥时,显然有()10x b x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >,记()()1x h x b x e lnx =--,则()1x h x bxe x '=-,显然()h x '在[)1,+∞单调递增,(i )当1b e ≥时,当1x ≥时,()()110h x h be ≥=-'≥'∴[)1,x ∈+∞时,()()10h x h ≥=(ii )当10b e <<,()110h be -'=<,1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >,使()0h x '=.当()01,x x ∈时,()0h x '<,()0,x x ∈+∞时,()0h x '>∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增∴当()01,x x ∈时,()()10h x h <=,不符合题意综上所述,所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭本题主要考查导数研究函数的单调性,导数研究恒成立问题,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。