最新数学北师版初中七年级上册3.5探索与表达规律精选习题

探索与表达规律练习一、选择题1. 一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n 个数为57，则n =( )A. 50B. 60C. 62D. 712. 已知有理数a ≠1，我们把11−a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12.如果a 1=−2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+⋯+a 100的值是( )A. −7.5B. 7.5C. 5.5D. −5.53. 观察以下一列数的特点：0，1，−4，9，−16，25，…，则第11个数是( )A. −121B. −100C. 100D. 1214. 观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是( )A. 399B. 400C. 401D. 4025. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )A. 11B. 13C. 15D. 176. 仔细观察下列数字排列规律，则a =( )A. 206B. 216C. 226D. 2367.按一定规律排列的单项式：x3，−x5，x7，−x9，x11，……，第n个单项式是()A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)n x2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)n x2n+18.求1+2+22+23+⋯+22016的值，可设S=1+2+22+23+⋯+22016，于是2S=2+22+23+⋯+22017，因此2S−S=22017−1，所以S=22017−1.我们把这种求和方法叫错位相减法．仿照上述的思路方法，计算出1+5+52+53+⋯+ 52016的值为()A. 52017−1B. 52016−1C. 52017−14D. 52016−149.在下列数字宝塔中，从上往下数，2018在_____层等式的______边．1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+1516+17+18+19+20=21+22+23+24正确的答案是()A. 44，左B. 44，右C. 45，左D. 45，右10.观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为()．A. 49B. 50C. 53D. 5611.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，那么：71+72+73+⋅⋅⋅+72021的末位数字是()A. 9B. 7C. 6D. 012.观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…若第ｎ个相同的数是103，则ｎ等于()A. 18B. 19C. 20D. 2113.计算9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=()A. 9a7b B. a97bC. 9ab7D. a9b714.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题15.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成：……，按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________．16.如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中图①有4根火柴棍，图②有12根火柴棍，图③有24根火柴棍……以此类推，则图⑩中火柴棍的根数是_____________．17.已知a1=t1+t ，a2=11−a1，a3=11−a2，…，a n+1=11−an(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016=______(用含有t的代数式表示)．18.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2020次输出的结果为______________．19.如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是______，______．三、解答题20.观察下列关于自然数的等式：2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；…利用等式的规律，解答下列问题：(1)若等式8×10−a2+1=b(a,b都为自然数)具有以上规律，则a=_________，a+b=_________．(2)写出第n个等式(用含n的代数式表示)．21.请观察下列算式，找出规律并填空：①11×2=1−12；②11×3=12×(1−13)；③11×4=13×(1−14)；④11×5=14×(1−15)……(1)第6个算式是__________________，第n(n为正整数)个算式是_________________；(2)从以上规律你可以得到哪些启示？根据你的启示，试解答下列问题：若有理数a，b满足|a−1|+(b−4)2=0，求1ab+1(a+3)(b+3)+1(a+6)(b+6)+1(a+9)(b+9)+⋯+1(a+30)(b+30)的值．22. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24… (1)利用以上运算的规律写出f(n)=______；(n 为正整数) (2)计算：f(1)⋅f(2)⋅f(3)…f(100)的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，可写为：11，(12,21)，(13,22,31)，(14,23,32,41)，…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为111,210,39,48,57,66,75,84,93,102,111，∴第n 个数为57，则n =1+2+3+4+⋯+10+5=60，2.【答案】A【解答】 解：∵a 1=−2， ∴a 2=11−(−2)=13，a 3=11−13=32，a 4=11−32=−2，…… ∴这个数列以−2，13，32依次循环，且−2+13+32=−16， ∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+⋯+a 100=33×(−16)−2=−152=−7.5，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：0=−(1−1)2，1=(2−1)2，−4=−(3−1)2，9=(4−1)2，−16=−(5−1)2，∴第11个数是−(11−1)2=−100，4.【答案】C【解析】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1=5个， 第2个图形中小黑点个数为1+4×2=9个， 第3个图形中小黑点个数为1+4×3=13个，…∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100=401个，5.【答案】B【解答】 解：观察图形知：第①个图形有3个正方形，第②个有5=3+2×1(个)，第③个图形有7=3+2×2(个)，…故第⑥个图形有3+2×5=13(个)，故选B．6.【答案】C【解答】解：观察发现：2=1×2−0；10=3×4−2；26=5×6−4；50=7×8−6；…a=15×16−14=226，故选C．7.【答案】C【解答】解：∵第1个式子：x3=(−1)1+1x2×1+1，第2个式子：−x5=(−1)2+1x2×2+1，第3个式子：x7=(−1)3+1x2×3+1，第4个式子：−x9=(−1)4+1x2×4+1，第5个式子：x11=(−1)5+1x2×5+1，……∴由上可知，第n个单项式是：(−1)n+1x2n+1，故选C．8.【答案】C【解析】解：设S=1+5+52+53+⋯+52016，则5S=5+52+53+⋯+52017，∴5S−S=52017−1，∴S=52017−1．49.【答案】B【解答】解：第1层等式左右两边共3个数，第2层等式左右两边共5个数，第3层等式左右两边共7个数，第4层等式左右两边共9个数，…，第n层等式左右两边共2n+1个数，3+5+7+9+⋯+2n+1=n(n+2)，当n=43时，n(n+2)=1935，当n=44时，n(n+2)=2024，∵1935<2018<2024，∴2018在第44层，又∵2018−1935=83，83>44+1，∴2018在第44层的右边．故选：B．10.【答案】B【解答】解：根据题意分析可得：第1个图形中小圆点的个数为10=(1+2)2+1；第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1；第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1；…；，第n个图形中小圆点的个数为(n+2)2+1，∴第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50．故第5个图形中小圆点的个数为50．故选B．11.【答案】B【解答】解：由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，...可知；个位数字的变化规律为：7，9，3，1，所以2021÷4=505...1，所以72021的末位数字为7，∴所有数的个位数之和为：(7+9+3+1)×505+7=10107， 所以71+72+73+⋯+72021的末位数字是7． 故选B ．12.【答案】A【解答】解：第1个相同的数是1=0×6+1， 第2个相同的数是7=1×6+1， 第3个相同的数是13=2×6+1， 第4个相同的数是19=3×6+1， …，第n 个相同的数是6(n −1)+1=6n −5， 所以6n −5=103，解得n =18． 故选A ．13.【答案】C【解析】解：9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=9ab 7，14.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k =12k(k +1)，应停在第12k(k +1)−7p 格，这时P 是整数，且使0≤12k(k +1)−7p ≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7时，12k(k +1)−7p =1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k ≤2020，设k =7+t(t =1,2，3)代入可得，12k(k +1)−7p =7m +12t(t +1)， 由此可知，停棋的情形与k =t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．15.【答案】9n +3【解析】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．16.【答案】220【解答】解：设摆出第n个图案用火柴棍为S n．①图，S1=4；②图，S2=4+3×4−(1+3)=4+2×4=4×(1+2)；③图，S3=4(1+2)+5×4−(3+5)=4×(1+2+3)；…；图⑩火柴棍的根数是：S10=4×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=220，故答案为220．17.【答案】−1t【解答】解：根据题意得：a1=t1+t ，a2=11−t1+t=1+t，a3=11−1−t=−1t，a4=11+1t=tt+1⋯2016÷3=672，∴a2016的值为−1t，故答案为−1t．18.【答案】3【解答】解：∵第二次输出的结果为12，∴第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，…，∴从第三次开始，第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，∴第2020次输出的结果为3．故答案为3．19.【答案】10×(12)n−1； 5×(12)n−1【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，∠D =∠C =90°∵M 为CD 的中点，∴DM =CM ，∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴AM =BM ，∵AM ⊥MB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠MAB =∠MBA =45°，∴∠DAM =∠CBM =45°，∴∠DAM =∠DMA ，∴AD =MD =12CD ，∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD =10，AD =5，∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点，∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，在△ABM 中，PQ =5，则宽为52，同理可得：第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2，则可得：第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1，5×(12)n−1． 20.【答案】解：(1)7，39；(2)由已知的等式可得：第n 个等式为(n +1)(n +3)−n 2+1=4(n +1)．【解答】解：(1)∵2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；....∴第7个等式为8×10−72+1=4×(7+1)，故a =7，b =32，∴a +b =7+32=39，故答案为7，39；(2)见答案．21.【答案】解：(1)11×7=16×(1−17)，11×(n+1)=1n ×(1−1n+1)；(2)∵|a −1|+(b −4)2=0，∴a −1=0，b −4=0，∴a =1，b =4，∴原式=11×4+14×7+17×10+110×13+···+131×34，=13×(1−14)+13×(14−17)+⋯+13×(131−134)，=13×(1−14+14−17+⋯+131−134)，=13×(1−134)，=1134．22.【答案】解：(1)1+2n ；(2)f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)=(1+21)(1+22)(1+23)(1+24)…(1+2100) =31×42×53×64×…×102100 =101×1021×2=5151．(1)根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法，写出f(n)的表达式即可．(2)根据(1)中求出的f(n)的表达式，求出f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)的值是多少即可．【解答】解：(1)∵f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24…∴f(n)=1+2n ．。

3.5 探索与表达规律专题一探索规律1．找出一列数2，3，5，8，13，□，34的规律，在□里的数应为（）A．20 B．21 C．22 D．242．在一列数1，2，3，4，…，200中，数字“0”出现的次数是（）A．30 B．31 C．32 D．333．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n4．观察如下图形，按照这种方式摆下去，第（n）个图形需用枚棋子．5．, ……，若符合前面式子的规律，则 a + b = ___ __．6．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想，然后填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为_____块；白色瓷砖为2n（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块．7．实践与探索：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）．（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；（2）十字框框住的5个数之和能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．8．用如图形状的三角形砖，按一定的方式搭起一个金字塔：（1）观察图形，并填空：当金字塔分别搭到3层、4层、5层时，所用三角形砖的块数分别为：、、，又推断，当金字塔搭了n层时共用去三角形砖块；（2）试推断，当金字塔搭到第99层时，底层需要多少三角形砖块；反之，若底层用了99块三角形砖时，则金字塔能搭几层？状元笔记：【知识要点】学会用语言、用符号、用字母表示数和表示规律，并体会字母表示数的意义及获得初步数学建模思想．【温馨提示】通过生活中对日历等情景的观察与分析，从不同角度进行思考，用本章学过的字母表示数、代数式、代数式的值等知识去探索数与数或图形之间的变化规律，再用去括号、合并同类项等知识去验证规律．探索规律的一般步骤：观察特例，猜想规律，表示规律，验证规律．参考答案：1．B2．B 解析：∵100个数字中，只有整十的数字含有0，共11个，101～109中又有9个，110～200中又有11个，∴共11+9+11=31（个）．3．D 解析：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n 个图形中三角形的个数是4n ．４．3n 解析：观察图形，第一个图形有2×3﹣3=3（个），第二个图形有3×3﹣3=6（个），第三个图形有4×3﹣3=9（个），第n 个图形有3（n+1）﹣3=3n （个）．5．109 解析：观察每个等式，可以发现等式左边的“+”后的分数的分母正好是“+”前的整数的平方减1，“+”后的分数的分子正好是“+”前的整数，可猜想其规律为1122-⨯=-+n n n n n n ，由此得出10,991102==-=b a ，因此109=+b a ．6．16 ()n 44+ 解析：图中的黑白瓷砖数见下表：由上表可得当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为16块；当白色瓷砖为2n 块时，黑色瓷砖为()n 44+块．7．解：（1）从表格知道中间的数为a ，上面的为a ﹣12，下面的为a+12，左面的为a ﹣2，右面的为a+2，a+（a ﹣2）+（a+2）+（a ﹣12）+（a+12）=5a ．（2）令5a=2020，a=404，所以可以，５个数分别是392、402、404、406、416．（3）令5a=365，a=73，所以可以，５个数分别是61、71、73、75、85．8．解：（1）9 16 25 n 2（2）①当金字塔搭到共99层时，底层需要的三角形砖块数为：2×99﹣1=197（块）；②若底层用了99块三角形砖时，可设金字塔能搭n 层，则2n ﹣1=99，∴n=50（层）．答：当金字塔搭到共50层时，底层三角形砖块数刚好为99块．。

2022-2023学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．按一定规律排列的一列数依次为，，……按此规律排列下去，这列数的第9个数是（）A．B．C．D．2．一列数a1，a2，a3，…，a n，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，a n＝，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（）A．1009B．C．D．10083．将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2022应在（）A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处4．观察下列等式：第1层1+2＝3第2层4+5+6＝7+8第3层9+10+11+12＝13+14+15第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2022在第（）层．A．33B．34C．44D．455．已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（）A．10102B．10112C．20202D．202126．小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2022时对应的指头是（）A．无名指B．食指C．中指D．大拇指7．如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九童算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第20行从左边数第19个数是（）A．19B．380C．210D．1908．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98B．100C．102D．1049．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n，m）表示第n排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示2022的有序数对是（）A．（64，6）B．（63，59）C．（63，6）D．（64，59）10．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A．639B．637C．635D．63311．将被3整除余数为1的正整数，按照如图规律排成一个三角形数阵，则第20行第17个数是（）A．619B．622C．625D．62812．根据题目提供的四个数的变化规律，则x的值为（）A．252B．209C．170D．13513．观察“田”字中各数之间的关系：则b的值为（）A．140B．270C．271D．14114．如图所示，正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）A．70B．72C．74D．7615．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1所示，仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为（）A．a+60B．a+50C．a+40D．a+3016．如图1，是11月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数（如图2），下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是（）A．a+d＝b+c B．a﹣d＝b﹣c C．a+c+2＝b+d D．a+b+14＝c+d 17．已知一个由50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和是（）A．80B．148C．180D．332二．填空题18．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．三．解答题19．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．（1）图中圈出的9个数的平均数是多少？直接写结果．（2）若用正方形圈出此日历中的任意9个数中，位于中心位置的数是m，那么这9个数的和是多少？这9个数的平均数是多少？（3）若用正方形圈出此日历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗？试说明理由．20．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x＝17，则a+b+c+d＝；（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系：；（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵＝，＝，，……∴第n个数为：，∴第9个数为：．故选：B．2．解：∵a1＝﹣1，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝，…，∴这列数以﹣1，，2不断循环出现，且﹣1++2＝，∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021＝×673+（﹣1）+＝＝1009．故选：A．3．解：由题意得：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D位置的数被4除余1；2022÷4＝505……2，∴2022应在2的位置，也就是在A处．故答案为：A．4．解：由题意可知每行式子的第一个数是n2，∵442＜2022＜452，∴2022在第44层，故选：C．5．解：由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，猜想：1+3+5+•+（2n﹣1）＝n2，验证：当n＝4时，1+3+5+7＝16＝42，当n＝5时，1+3+5+7+9＝25＝52，猜想成立，∴2n﹣1＝2021，解得：n＝1011，∴1+3+5+7+…+2021＝10112．故选：B．6．解：由题图可得，大拇指对应的数列用代数式表示为1+8（n﹣1），当n＝253时，大拇指对应的数为：2025，由题图可得，中指对应的数列为3+4（m﹣1），当m＝506时，中指对应的数为：2023，所以2022对应的手指为：无名指，故选：A．7．解：观察数字的变化发现：第3行的右边起第2个数是2＝3﹣1，第4行的右边第2个数是3＝4﹣1，第5行的右边第2个数是4＝5﹣1，第6行的右边第2个数是5＝6﹣1，…所以第20行的右边第2个数是20﹣1＝19，即第20行从左边数第19个数是19．故选：A．8．解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，∴第9行最后一个数为90，∴第10行第5个数是90+2×5＝100，故选：B．9．解：由图可知，第一排1个数，第二排2个数，数字从大到小排列，第三排3个数，数字从小到大排列，第四排4个数，数字从大到小排列，…，则前n排的数字共有：1+2+3+...+n＝个数，∵当n＝64时，，当n＝63时，，∴2022在第64排，∵2080﹣2022+1＝59，∴表示2022的有序数对是（64，59）．故选：D．10．解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：第一行的第一个数：1×0+1＝1第二行的第一个数：2×1+1＝3第三行的第一个数：3×2+1＝7…第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1∴第25行的第一个数：25×24+1＝601∴第25行的第20个数：601+19×2＝639故选：A．11．解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，∴第20行第17个数是：628﹣3×3＝619，故选：A．12．解：由题可知：n所在位置的数是1，2，3，…的自然数，第一行第二个是2的倍数，∵20＝2×10，∴n＝9，∴m＝n+1＝10，∴x＝20×10+9＝209，故选：B．13．解：a＝28＝256，b＝15+a＝256+15＝271，故选：C．14．解：第一行第二个数是从4开始的偶数，第二行第一个数是从2开始的偶数，∴m＝8×10﹣6＝74，故选：C．15．解：设这个两位数的十位数字为b，由题意得，2ab＝10a，解得b＝5，所以，这个两位数是10×5+a＝a+50．故选：B．16．解：由对角线的角度看，两个数字的和相等，则a+d＝b+c，故A正确；横向来看，左右两个数相差1，得b＝a+1，d＝c+1，则a+c+2＝b+d，故C正确；纵向看，上下两个数字相差7，得a+7＝c，b+7＝d，则a+b+14＝c+d，故D正确；由于a﹣b＝﹣1，d﹣c＝1，则a﹣b≠d﹣c，即a﹣d≠b﹣c，故B错误．故选：B．17．解：设框住四个数中，第一行的第1数为x，则第2个为x+2，第二行的第1数为x+12，则第2个为x+14，这四个数为和为x+x+2+x+12+x+14＝4x+28，若4x+28＝80，解得x＝13，x应为偶数，不合题意；若4x+28＝148，解得x＝30，而30为第三行最后一个数，不合题意；若4x+28＝180，解得x＝38，而30为第四行的第4个数，不合题意；若4x+28＝332，解得x＝76，则四数为76，78，88，90．故选：D．二．填空题18．解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10﹣1＝19个数，∴99的有序数对是（10，18）．故答案为：（10，18）．三．解答题19．解：（1）6+7+8+13+14+15+20+21+22＝126，126÷9＝14．∴圈出的9个数的平均数是14．（2）中间的数为m，则剩下的8个数分别为m﹣1，m+1，m﹣7，m﹣8，m﹣6，m+7，m+6，m+8，∴这9个数之和：m+m﹣1+m+1+m﹣7+m﹣8+m﹣6+m+7+m+6+m+8＝9m，∵9m÷9＝m，∴这9个数的平均数为m．（3）不可能，理由如下；若这9个数的和为225，则9m＝225，解得m＝25，由图可知，25是日历中第4行的最后一个数，∴不可能．20．解：（1）∵x＝17，∴a＝x﹣12＝5，d＝x+12＝29，b＝x﹣2＝15，c＝x+2＝19，∴a+b+c+d＝5+15+19+29＝68．故答案为：68．（2）根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：a＝x﹣12，b＝x﹣2，c＝x+2，d＝x+12．（3）∵a+d＝x﹣12+x+12＝2x，b+c＝x﹣2+x+2＝2x，∴a+b+c+d＝4x．故答案为：a+b+c+d＝4x．（4）不能等于2020，理由如下：∵a+b+c+d＝4x，∴M＝a+b+c+d+x＝5x．当5x＝2020时，x＝404，∵404为偶数，而数表中的所有数为奇数，∴M的值不能等于2020．。

3.5 探索与表达规律1.(8分)如图是用棋子摆成的“T”字图案.从图案中可以看出,第一个“T”字图案需要5枚棋子,第二个“T”字图案需要8枚棋子,第三个“T”字图案需要11枚棋子.(1)照此规律,摆成第四个图案需要几枚棋子?(2)摆成第n个图案需要几枚棋子?(3)摆成第2014个图案需要几枚棋子?2.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第100个数是多少?(3)2013是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?3.(10分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×=×25;②×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b ≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).参考答案与解析1.【解析】(1)9+5=14(枚).故摆成第四个图案需要14枚棋子.(2)因为第①个图案有5枚棋子,第②个图案有(5+3×1)枚棋子,第③个图案有(5+3×2)枚棋子,依此规律可得第n个图案需5+3×(n-1)=5+3n-3=(3n+2)枚棋子.(3)3×2014+2=6044(枚),即第2014个图案需6044枚棋子.2.【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n+1n(n是正整数)表示.(2)它的第100个数是(-1)100+1×100=-100.(3)当n=2013时,(-1)2013+1×2013=2013,所以2013是其中的第2013个数.3.【解析】(1)①因为5+2=7,所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,所以52×275=572×25.②因为左边的三位数是396,所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).。

本套试卷主要考查数的规律，训练学生找规律的方法：标序号，找结构，处理符号，验证．同时训练学生观察特征、猜测、验证的能力．思考问题问题1：学习找规律的方法：①_________；②________；③_________；④__________．问题2：找结构需要考虑：①_________；②________；③_________；④__________．数的规律（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.给定一列按规律排列的数：7，9，11，13，…，则这列数的第100个数为( )A.201B.203C.205D.2072.给定一列按规律排列的数：-9，-6，-3，0，…，则这列数的第50个数为( )A.135B.138C.141D.1443.观察一列有规律的数：4，8，16，32，．．．，它的第2015个数是( )A. B. C. D.4.给定一列按规律排列的数：2，5，10，17，…，则这列数的第30个数为( )A.842B.899C.901D.9625.观察一列有规律的数：2，6，12，20，．．．，它的第20个数是( )A.420B.400C.380D.4406.研究下面的一列数：-3，5，-7，9，…，照此规律，第20个数应该是( )A.-41B.-39C.41D.397.总结规律：-4，8，-16，32，…，照此规律，第n个数应该是( )A. B. C. D.8.给定一列按规律排列的数：根据前四个数的规律，第n个数是( )A. B. C. D.9.给定一列按规律排列的数：1，，，，…，则这列数的第9个数为( )A. B. C. D.10.按一定规律排列的一组数据：，，，，，…，则第n个数据可表示为( )A. B. C. D. CBCCA CDDBA。

3.5 探索与表达规律（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2019应在（）A ．125行，3列B ．125行，2列C ．251行，2列D ．251行，5列2．如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是（)A ．27B ．36C ．40D ．543．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）A ．第504个正方形的左下角B ．第504个正方形的右下角C ．第505个正方形的左上角D ．第505个正方形的右下角4．一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪（n 2）次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是（）A ．4n +1B ．4n +2C ．4n +3D ．4n +55．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是( )A ．3nB ．n (n ＋2)C ．n (n ＋1)D ．2n －16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，……，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，……，这样的数称为“正方形数”；从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和；则下列符合这一规律的等式是（） A ．20=4+16 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．40=12+283 2第1个正方形54 7 6第2个正方形 88 11 10第3个正方形 15 14第4个正方形日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31图 1 图 2 a 图 2 a b7．同用样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A ．15B ．16C ．17D ．188．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A ．50B ．64C ．68D ．729．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需（）根火柴 A ．156 B ．157 C ．158 D ．15910．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（）个正方体叠成； A ．36 B ．37 C ．56 D ．84二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，32019的末位数字是_______；12．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m 为，第n 个正方形的中间数字为；（用含n 的代数式表示）13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： （（14．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有个；15．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体.观察并回答下列问题：（1）其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有______个，各面都没有涂色的小正方体有________个；145 32第1个581376第2个912211110第3个13m第4个图 ① 图 ② 图 ③（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有_________个，各面都没有涂色的有________个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个, 那么应该将此正方体的棱______等分；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）16．观察下面数表：12343456745678 9 10(1)依此规律：第6行最后一个数字是________；第n行最后一个数字是________．(2)其中某一行最后一个数字可能是2019吗？若不可能，请说明理由；若可能，请求出是第几行？17．将连续的奇数1，3，5，7，9，……，排成如图所示的数阵．（1）十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为a，求出十字框中五个数之和；（3）十字框中五个数之和能等于2 015吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．18．如图1是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图2，在分别连接图3中间的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（1（219．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题；（1（2）a n =___________________（用含n的代数式表示）；（3）按照上述方法，能否得到2019个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．20．用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）在第n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________；（3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折；现在需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，参加哪个活动合算？3.5 探索与表达规律参考答案：1~10DCDAB CBDBC11.7；12.29，8n-3；13.24，34，10104；14.1 (2)nn-+；15.（1）8，12，1；（2）8，3(2)n-；（3）7；16.（1）6，3n-2；（2）可能，672行；17.（1）15的5倍；（2）5a；（3）能；18.（1）13，17；（2）4n-3；19.（1）13，16；（2）a n =3n+1；（3）由3n+1=2019得：16723 n=这时，n不是整数，按照上述方法，不能得到2019个正方形；20．（1）（n+3），（n+2）；（2）4n+6；（3）参加活动二合算；。

第三章整式及其加减5探索与表达规律基础过关全练知识点探索规律的一般方法1.(2022湖北十堰房县一模)将正整数按如图所示的位置顺序排列:根据排列规律,知2021应在()A.A处B.B处C.C处D.D处2.观察下列等式:42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;……则第n(n是正整数)个等式为(n+3)2-n2=.3.(2022山东济宁曲阜模拟)观察下面的变化规律:21×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−1 7,27×9=17−19,……,根据上面的规律计算:21×3+23×5+25×7+27×9+…+22 021×2 023.4.(教材P98变式题)如图为2022年8月的月历.在月历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数.(1)设中间的一个数为a,则另外的两个数为,;(2)这三个数的和为,这三个数的和能为60吗?这三个数都在星期几?日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930315.(教材P103变式题)图①②③是由火柴棒搭成的,按要求回答下列问题:(1)观察图形,并完成下表:图形标号①②③小正方形的个数1火柴棒的根数4(2)按照这种方式搭下去,搭第n个图形中小正方形有个,需要火柴棒根;(3)按照这种方式搭下去,求第50个图形需要的火柴棒根数.能力提升全练6.(2021山东济宁中考,10,)按规律排列的一组数据:12,35,□,717,926,1137,…,其中□内应填的数是()A.23B.511C.59D.127.(2022安徽合肥庐江期中,10,)下列图案是由长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的,图案①需要8根火柴棒,图案②需要15根火柴棒,……,按此规律,图案n需要火柴棒的根数为()A.2+7nB.8+7nC.4+7nD.7n+18.(2022河北石家庄赵县月考,19,)如图,按此规律,第6行最后一个数字是,第行最后一个数是2020.素养探究全练9.[数学运算](2022江苏南京二十九中月考)探究规律,完成相关题目.定义“*”运算:(+2)*(+4)=+(22+42);(-4)*(-7)=+[(-4)2+(-7)2];(-2)*(+4)=-[(-2)2+(+4)2];(+5)*(-7)=-[(+5)2+(-7)2];0*(-5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3)2;0*0=02+02=0.(1)归纳“*”运算的法则:两数进行“*”运算时,(文字语言或符号语言均可).特别地,0和任何数进行“*”运算或任何数和0进行“*”运算,;(2)计算:(+1)*[0*(-2)];(3)是否存在有理数m,n,使得(m-1)*(n+2)=0?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D 因为2021÷4=505……1,所以2021应在1的位置,也就是在D处.故选D.2.3(2n+3)解析第n个等式为(n+3)2-n2=3(2n+3).3.解析原式=1-13+13−15+15−17+17−19+…+12 021−12 023=1−12 023=2 0222 023.4.解析(1)a-7;a+7.(2)这三个数的和为3a,这三个数的和可以为60.因为60÷3=20,所以这三个数都在星期六.5.解析(1)补全题表如下:图形标号①②③小正方形的个数149火柴棒的根数41224(2)第1个图形中小正方形的个数是1=12,需要火柴棒的根数是4=2×1×(1+1);第2个图形中小正方形的个数是4=22,需要火柴棒的根数是12=2×2×(2+1);第3个图形中小正方形的个数是9=32,需要火柴棒的根数是24=2×3×(3+1);……第n个图形中小正方形的个数是n2,需要火柴棒的根数是2n(n+1).故答案为n2;2n(n+1).(3)当n=50时,2n(n+1)=2×50×(50+1)=5100,即第50个图形需要的火柴棒根数为5100.能力提升全练6.D 观察这组数据可知,第n个数据为2n-1n2+1.当n=3时,2n-1n2+1=510=12.所以□内应填的数为12,故选D.7.D 因为图案①需要8根火柴棒;图案②需要8+7=15根火柴棒;图案③需要8+7+7=22根火柴棒;……所以图案n需要8+7(n-1)=(7n+1)根火柴棒.故选D.8.16;674解析因为每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10,…,所以第n行最后一个数字为1+3(n-1)=3n-2,所以第6行最后一个数字为3×6-2=16.当3n-2=2020时,n=674,故答案为16;674.素养探究全练9.解析(1)同号得正,异号得负,并把两数的平方相加;都等于这个数的平方.(2)(+1)*[0*(-2)]=(+1)*(-2)2=(+1)*(+4)=+(12+42)=1+16=17.(3)存在.因为(m-1)*(n+2)=0,所以(m-1)2+(n+2)2=0,所以m-1=0,n+2=0,解得m=1,n=-2.。

探索与表达规律基础验收题 一、选择题 1．观察下列算式：，，　，　，　，　，　，　，　2562128264232216282422287654321========根据上述算式中的规律，你认为202的末位数字是（）． A.2 B. 4 C. 6 D. 82．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过………………………………( ) A ．1.5小时； B ．2小时； C ．3小时； D ．4小时． 二、填空题1．有一列数：1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n 个数时，共数了________个数；当按顺序从第m 个数数到第n 个数(n >m )时, 共数了________个数。

●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有__________个空心圆。

3．已知 ，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝218737293243381327393337654321推测203的个位数字是_______ .4. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图形： ⑴第4个图形中有白色地面砖块； ⑵第n 个图形中有白色地面砖块．三、解答题 1. 观察下列等式：9-1=4×2 16-4=4×3 25-9=4×4 36-16=4×5 …这些数据反映自然数间的某种规律，设n 是大于零的自然数，用关于n 的一个等式表示出上述规律。

2.树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）（1）用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度a n。

（2）生长了11年的树的高度是多少？3．探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=；（3）请用上述规律．．．．．计算：1+3+5+…+99的值.4．用棋子摆出下列一组图形：① 填写下表：② 照这样的方式摆下去，写出摆第n 个图形棋子的枚数； ③如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？5．从2开始，连续的偶数相加（特别地，把1个2相加也看成和）。

探求与表达规律一、 选择1．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组添加2粒，按此规律，那么请你揣测第n 组该当有种子数（ ）粒。

A 、12+n B 、12-n C 、n 2 D 、2+n【答案】A2. 观察以下各数15，18，( )，24，27……按此规律括号数是（ ）A.20B.21C.22D.23【答案】B3.如图，以下各图形中的三个数之间均具有相反的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是A ． M=mnB ． M=n(m+1)C ．M=mn+1D ．M=m(n+1)【答案】D二、 填空1、图1是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【答案】3n+12、观察以下各数：0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第n 个数是＿＿。

【答案】21n3、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头条拉成了许多细的面条，如下方草图所示。

可拉出64根细面条。

第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合【答案】6三、 解答题1、观察以下关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③图1 (1) (2)(3) ………根据上述规律解决以下成绩：（1）完成第四个等式：92﹣4× 4 2= 17 ；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．【答案】解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左侧=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右侧=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左侧=右侧∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．科学睡眠健康成长——在国旗下的发言各位尊敬的老师、各位亲爱的同学：大家上午好!我是来自预备二班的***。