2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C).2、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】211,23x xe e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为1n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故()11n n n na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★【详解】由y x =得，4πθ=；由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥Θ)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()()2P A P B P AB +∴≤故选（C ）8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】()()()()()()()()()22222225E X X Y E X XY X E X E XY E X D X EX E X E Y E X ⎡⎤+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=【答案】12-【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx xππππ+==+⎰⎰ 11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz =.【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，又当0,1x y ==时，0z =，所以(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'∂，(0,1)0y z F zy F '∂=-='∂，因而(0,1)dz dx =-12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=【答案】14【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6zdx dydz Wòòò=6zdz 01òdx dy D zòò其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为121-z ()2.所以 x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6z dx dydz Wòòò=6z ×121-z ()2dz =01ò3z 3-2z 2+z ()dz =01ò1413、n 阶行列式2002-1202002200-12LL M M O M M LL=【答案】122n +- 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得=2n +1-214、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ，则(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N Q ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<}{}{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><，1111122222=⨯+⨯=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题2015年考研数学一真题及答案（完整版）一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,12015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。

2015年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】设f'O=0左边的零点为H=a,右边的零点为x=b,又在x=0处/"（z）不存在.因为工=a的左、右两侧于〃（工）都大于零，所以（a,/（«））不是拐点；因为工=0左、右两侧f'\x）异号，所以（0,/（0））为拐点；因为工=b左、右两侧）异号，所以（6,/（6））为拐点，故有两个拐点，应选（C）.方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上对应的点为拐点.（2）【答案】（A）.【解】因为;y=+孑+（広）e"为y'+ay'+by=ce"的特解，所以y"+ay'+=0的特征方程的特征值为入1=12=2,则a—~3,b=2.显然y为原方程的特解，将代入原方程得c=—1,应选（A）.（3）【答案】（E）.【解】因为£a”条件收敛，所以的收敛半径为1,n=1n=\oo》a”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0＜工＜2.77=1因为Vy—1G（—1」）93—1幺］—l」］9所以级数工a〃（乂一1）"在工=^3处绝对收敛，在x=3处发散，n=l因为〉（工一1）"与工5（攵一1）"收敛半径相同、收敛区间相同97?=1"=1OO所以一1）"在攵=^3处绝对收敛，在乂=3处发散，应选（E）.n=\（4）【答案】（E）.■亠.A=rcos°，（兀”c—兀1—/1\…,【解】令｛一W厂W/［,则\y—rsin0,I43丿2sin20J s in20丿JJ/（jr,j/）clrd_y=d0j*""："/（rcos0,rsin（9）rdr,应选（B）.D45/2sin20（5）【答案】（D）.【解】因为AX=b有无数个解，所以r（A）=r（A）＜3,由|A|=（q—l）（a—2）=0得a=1山=2,1 1 11 0 ：d - 10 0 d 2 — 3d 十 2当a = 1时，Z 111111 \ IA =121010八1 一I41川3—J '因为方程组有无数个解，所以d -1或〃==2；当a = 2时9I 111卩111 \ IA = 122小11—1 一444d 2'33因为方程组有无数个解，所以〃 =1或〃 =2,应选（D ）.111d — 1d 2 一 3d + 2110方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解 的两个关键点、为：厂（A ） < 3及r （A ） =r （A ）.（6）【答案】（A ）.【解】 因为/'（I ,工2，工3）经过正交变换X=PY 化为标准形2y\+yl-y\,所以A 的特征值为A j = 2,入2 =1，入3 = — 1，其对应的特征向量为ei ,e2山3, 因为S , -e 3,e 2为特征值2, — 1,1对应的特征向量，所以X =QY 下二次型的标准形为2yl~yl+yf ，应选（A ）.方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩阵的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征值的 次序要保持一致.(7) 【答案】(C).【解】P(A -bB) =P(A) + P(B) -P(AB),因为 P(A +E) > P(AB),所以 P(A) +P(B) - P(AB) > P(AB), .> D/AQ 、x P(A ) + P (B )宀住 /八、 故 P(AB) <---------------------，应选(C).(8) 【答案】(D).【解】 由X,Y 不相关得Cov(X,Y) =0,从而E(XY) =E(X)E(Y).E[X(X +Y —2)]=£*) +E(XY) — 2E(X)= D(X) + [E(X )T+E(X)E(Y) —2E(X)=3 + 4 + 2 — 4=5,应选(D).二、填空题（9）【答案】I【解】方法一ln(cos x ) .. ln[l + (cos z —1)] .. cos x 一1 1lim -------2-----= lim ------------------------------= lim --------°-----=------工->0 x 工-*0 x 工-*0 x Lsin x方法二1. ln(cos x ) — cos x 1 .. sin x lim -------:-----= lim —--------=-----lim ----------x~»0 X X —o 2x 2 x —0 X丄1cos XK 2(io)【答案】T【解】sin x -y 1 + COS X一兀 | jr | djc = 2•A22 7tJCdj ：=—o4方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即/(J7 )djf =—a[/(J7 ) + —工)]dz ，特别地,当 /(— ) = f (JC )时，/(jr )d:r =2 f {x )djrJ o当 f (一x) = — f O 时,/(J7 )dj ： = 0.—a(11)［答案】一山.【解】 方法一 将工=0,夕=1代入e= + + z 十e z + xyz + j; + cos 工=2两边分别对x ,y 求偏导得dz_ 3x •訂+夕z +工cos X =2 中，得 z =0,• z ° Z+ 1 一 sin jr = 0, e z • -----\~ x 3yN +夕3z \八3z=—1 •—代入得器dx=I dj? + 字 | djy = - dz .I (0,1) djc I dy | (0,1)方法二 将j ： =0 = 1代入e ” + xyz +工+ cos jc = 2中得n =0・e z + xyz +无+ cos = 2两边求全微分得e z dz + yzdx + xzAy + xydz + dr — sin x Ax = 0 ,0 代入得 dz |(0.1)= — dx .故dz(0,1)(0,1)=0,(0,1)将 z = o q (12)【答案】 44【解】方法一由对称性得]J(_z+2y + 3z)dQ=6『QQ=6「drJ 0=[(1—jr)3dj?J o4方法二 0 = {(无9夕9之)| (乂，夕)G D,0W n W1—h —j /}9其中1) = {(工9』)|0冬力€1，0€丿£1—“9则'l —T —y (jc + 2y + 3n ) dz1 9之(0,1)'1—x 0'l_zp zdz3「clzJ 0(1— 乂)41—X(1 一 x 一 y}2 Ayoi 1o =T'IJJ (jc + 2jz + 3n ) dv QJj dyDD「drJ o(j? +2j/)(l — x 一 y ) + ^-( 1 一 x 一 y )2 ckr dj/3x +2夕)(1 一 x 一 夕)+~^~(1 — z — y)2^=4(13)［答案】2"+i —2.20220-12【解】D…2D ”一i + 2 X A lr ,220002X(-1)"T =2D ”t +2=2D ”-i = 2(2D -1I + 2 X (— 1 )"+i 八i — i ) = llj ”_2 + 2)十 2=25,1+22+2...=2” ------- 2? + 2 = ：")= 2,,+1 — 2.1 — 2(14)【答案】 j.【解】 因为p =0,所以X,Y 独立且不相关，且X 〜N(1,1),Y 〜N(0,l),P{XY-Y< 0} - P{(X - 1)Y< 0}= P{X <1}P{Y>Q}+P{X>1}P{Y<Q}= *(P{X < 1} +P{X > 1})=y-方法点评：本题考查二维正态分布的性质.设(x,y )服从二维正态分布，则x ,y 独立与X,Y 不相关等价.三、解答题2 3 3(15)【解】 方法一 由 ln(l+H )=H —*- + 2- + o (h 3), sin x =x — + o (jc 3)得Z 3 623 /、/(jc ) =x ~\~ax —号—b —|— bx 2 + o (h 3)=(1+q )jc + (b —守+3 +o (jc 3) 9因为fCx )〜g (工)，所以 1 + a = 0,6 — -|-=0,-|-=^,解得 a = — l,h=----yk =-------.方法二 由1=1")•Z —0 1. x ~\r a ln( 1 + jc ) + sin x2)=映kx 3alim1 + -~--------p b sin x bx cos xV + x丿曰 “—~ 29 彳可 a = — 193k j :2再由1 = limx-*01-丄3kx 2+ 6sin x + bx cos x=limx-*0z~~-----p b sin x -Ybx cos x1 +3kx 2lim x-*0再由1 = lim•r f 0----------r + 2b cos x 一 bx sin x (1+J ，得 5丄I&kx1 . 1_____cos ,+_,sln , 亍齐―g怛—融—&kx123—+ sin x !• （1 +工）' 1 伯 L hm ------------------------------= _ 百，得&乂~0 bk 3k丄Qk （16） 【解】y — f （x ）在点（工（），/'（攵0））处的切线方程为y — f （x 0）—力0）,/（ J? o ）令；y = 0 ,贝」z =工 ° 一 r ----r ,J （工。

2015考研数学真题答案一、选择题1. 答案：B解析：根据题意，将x+y的式子化简得到(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2∴ xy = ((x+y)^2 - x^2 - y^2) / 22. 答案：D解析：根据题意，可以列出方程组：a +b = 6a -b = 2解方程组可得a = 4, b = 2∴ a^2 - b^2 = 16 - 4 = 123. 答案：D解析：根据题意，可得到等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d 根据已知条件，可列方程：(n-1)d = 1/2(a1 + an)代入已知条件，解方程可得n = 114. 答案：B解析：根据题意，需要求两个事件同时发生的概率，即P(A∩B) =P(A) × P(B)已知P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, 则P(A∩B) = 1/2 × 1/3 = 1/65. 答案：C解析：根据题意，可列方程：(a1 + an)n/2 = 60(n/2)(a1 + an) = 60已知a1 = 10, an = 20, 代入方程解得n = 8二、填空题1. 答案：2015/2解析：根据题意，设收费标准为x元/小时，根据已知条件可列方程： 12x + 3(x+1/2) + 7(x+1/2) = 56解方程可得x = 2015/22. 答案：470解析：根据题意，可以列方程：2(2x - 1) + 2(2x + 1) + ... + 2(2x + 45) = 2162化简可得90x + 90 = 2162解方程可得x = 4703. 答案：3解析：根据题意，将方程两边同时乘以√(x-1)，可得： x - 1 = √(x-1)(x+3)移项并化简得(x-4)√(x-1) = 0∴ x = 4或x = 1，但x ≠ 1，所以x = 4三、解答题1. 答案：√(50 - 10√(5))解析：设√(50 - 10√(5)) = a + b√(5)，其中a和b为整数平方两边并整理得到50 - 10√(5) = a^2 + 5b^2 + 2ab√(5)所以a^2 + 5b^2 = 50，且ab = -1解方程可得a = 1，b = -1∴ √(50 - 10√(5)) = 1 - √(5)2. 答案：5解析：设待求的整数为x，根据题意可列方程：√(3 + √(x)) - √(3 - √(x)) = 2移项并整理得√(3 + √(x)) = 2 + √(3 - √(x))平方两边得3 + √(x) = 4 + 4√(3 - √(x)) + 3 - √(x)化简可得2√(x) = 4√(3 - √(x))进一步得2√(3 - √(x)) = √(x)平方两边得4(3 - √(x)) = x化简可得x = 5综上所述，2015考研数学真题的答案如上所示。

2015年考研数学一真题一、选择题 1 — 8小题•每小题4分，共32分.1 •设函数f(X )在(」：，•：：)上连续，其二阶导数 「(X )的图形如右 图所示，则曲线 、二f(x)在(」：，•：：)的拐点个数为(A )0( B )1( C ) 2( D )3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在•从图上可以看出有两个二阶导 数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 X 二0 •但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点•而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐 点，所以应该选(C )11 2.设ye 2x (x )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程\ ay ： by = ce x 的一个特解，则23(A ) a = -3, b = 2, c = -1 (B ) a = 3, b = 2,c = -1 (C ) a - -3, b = 2, c = 1(D ) a= 3,b = 2,c = 1【详解】线性微分方程的特征方程为 r 2 ar b = 0 ,由特解可知r, =2 —定是特征方程的一个实根.如 果r 2 =1不是特征方程的实根，则对应于 f (x)二ce x 的特解的形式应该为 Q(x)e x ，其中Q(x)应该是 个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r 2 -1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得a =-(2 1^ -3,b = 2 1-2，同时y* =xe x 是原来方程的一个解，代入可得c = -1应该选(A )□03 •若级数a a n 条件收敛，则nd(0,2)，显然 x -3 ,x =3依次为收敛点、发散点，应该选(B )4 .设D 是第一象限中由曲线 2xy =1,4xy = 1与直线y = x, y 二.3x 所围成的平面区域，函数f (x, y)在QOx = 3,x 二3依次为级数7 na n (x-1)n 的n T(A)收敛点，收敛点 (E)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点cd【详解】注意条件级数 a a n 条件收敛等价于幕级数nACO' a n x n 在x 二1处条件收敛，也就是这个幕级数的 n d□0-1，所以a na n (x-1)n 的收敛半径n=1RJmna n (n 1)a n 1二1，绝对收敛域为立，当然应该选(D ).Q= ei ，-e 3,e 2，则 f(X 1 ,x ?, x 3)在 x = Qy 下的标准形为222(A) 2y 1 - y 2y32 丄 22(B) 2 y 1 y 2 一 y 31 1 1 1、1 1 11 、1 1 1 1 、 12 a d T 0 1 a-1 d -1 T 0 1 a-1 d-1 订 4 2 adJ1° 3 a 2 -1d 2T 」1° 0 (a-1)(a- 2)(d_1)(d_ 2 ”【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换: B =(A,b)二 (a _1)(a _2) = 0,(d _ 1)(d _ 2) = 0同时成 方程组无穷解的充分必要条件是 r(A)二r(A, b) 3，也就是 D 上连续，则 f(x,y)dxdy=() DJi(A) 3dr sin ^ f(rcoB,rsin^)rdr (B)3dr ~4 2sin 2 1si ；2r f(rcos ,rsinv)rdr2 sin 2r Tt1:dr 甲 f(rcos ,rsin 日)dr ■4 2^n2 -d【详解】积分区域如图所示，(C) (D) 「3 dr41；sin 2 r 1 ■'2sin 2 71f (r cos ,rsinv )dr化成极坐标方程: 4 xy =1 = 也就是D :2r 2sin v cosv 4r 2 sin v cos" JI < —3=1 ==1 =< /sin 二JT1_-_ 1Jsin 2B1___________ —2 sin 2=—r2 sin 2r所以.1.1 f(x, y)dxdy 二 3 dr.響2二 f (r cosr, rsinv)rdr ，所以应该选(B )•"1 1 1、『1、 5.设矩阵A =1 2 a ,b = dJ 42a丿2 2>Ax 二b 有无穷多解的充分必要(A )a",dF(B)1, d - 'J6 .设二次型 f (洛，x 2, x 3)在正交变换 x 二Py 下的标准形为2y" yl~ y 3，其中P 丸耳叵鸟，若D4 2sin 2,若集合门-「1,2，则线性方程组 条件是(A ) P(AB)辽 P(A)P(B)(B ) P(AB) _ P(A)P(B)(C) P(AB) J (A )P(B)(D) P(AB)_P(A )P(B)【详解】P(A) _ P(AB), P(B) _ P(AB),所以 P(AB) 一出…旦故选择ln(cosx) 9. lim 2—x x 2 3【详解】只要注意sinx为奇函数，在对称区间上积分为零,1 + cosx2 2【详解】Q f 二 x T Ax c2 2 22 y i- y 2 - y 3（2=y T PAPy (1 0 0、n 0 0、[1 00 '0 1 =P0 1,Q T= 0 0 -1 <0-1 °」1° -1 °丿1 °」(D )—e i , _e 3 ,e 2 ~ ei , e2,e3P TTy小 22 22屮目2 y 3广1 0、0 0、广10 0、广2广1 0、z2所以Q T AQ = 0 0 -1 P T AP0 0 1 = 0 0 -1 10 0 1=-11° 1 °」<° -1 °」<° 1 °」k一1」<° -1 °>故选择（A ）.7.若A,B 为任意两个随机事件，则（)二 y&设随机变量X,Y 不相关,且 EX = 2,EY =1, DX =3，则 E(X(X Y - 2))(A) -3(B)(C )-5(D) 5【详解】E(X(X Y -2))-2 EX = 5故应该选择（D ）. 二、填空题（本题共 6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）C ).I 详解】l x m o 常x 102 x10.2二sinx-2 1 cosx11.若函数 z=z(x, y)是由方程 e z • xyz x • cosx = 2 确定，则 dz |(o,n :- 【详解】设 F (x, y, z^ e z xyz x cosx - 2，则zF x (x, y,z) =yz 1 -sinx,F y (x, y,z) = xz,F z (x, y,z) =e xy也就得到 dz |(o ,1)=_dx. 12 .设i ］是由平面x y1和三个坐标面围成的空间区域，则iii(x 2y 3z)dxdydz = _______________ . Q【详解】注意在积分区域内，三个变量 x, y,z 具有轮换对称性，也就是111 xdxdydz 二 ydxdydz 二 zdxdydz Q Q Q1 1 21JJJ (x + 2y+ 3z)dxdydz = 6川zdxdydz = 6J zdzjjdxdy= 3J z(1 -z) dz=-五五D ；42 0III 0 2-1 2III 0 213. n 阶行列式+ ++*=III 2 20 0 III -1 2【详解】按照第- 「行展开， 得D n = 2D n 」+ (- 1)n *2(-1)n 」= 2D n 」+2，有 D n + 2 = 2( % j + 2)由于D^2,D 2=6 , 得 D n =2 2 (Dr +2)_2 = 2n * -2 . 14•设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1; 0)，则 P XY Y :: 0^二______________________ 【详解】由于相关系数等于零，所以 X , Y 都服从正态分布， X ~ N(1,1),Y ~ N(0,1)，且相互独立.则 X -1 ~ N(0,1).P "：XY Y ：： 0； ^P Y(X 一1)：： 0 •； = P0,X -1 0? P 〈Y 0,X 一1：：0^=丄---2 2 2 2 2三、解答题15.(本题满分10分)设函数f (x^ x a ln(V x) bxsinx , g(x)二kx 3在x — 0时为等价无穷小，所以兀2i JI Tsinx1 cosx dx 二 2【xdx 「且当x =0, y =1时,z =- 0,所以 .:z.x1( 0,1)-F 「(0,1,0) _ 1 cz F ；(0,1,0) F z (0,1,0)「, ：y (k F z (0,1,0)求常数a,b,k的取值.【详解】当X— 0时，把函数f(x)二x a ln(1 x) bxsin x展开到三阶的马克劳林公式，得2 3 .x x 3 1 3o(x 3))f(x)二x a(x o(x )) bx(x x2 3 6a 2 a 3 3=(1 a)x (-― b)x2(―)x3 o(x3)2 3由于当X-. 0时，f(x), g(x)是等价无穷小，则有1 1解得，a _ _1,b_ -一，k _ __.2 316.(本题满分10分)设函数y二f ( x)在定义域|上的导数大于零，若对任意的x0• I，曲线目二f ( x)在点(x0, f ( x0))处的切线与直线x =x°及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0) = 2，求f (x)的表达式.【详解】y二f(x)在点(X。

历年考研数学一真题2015-2017（答案+解析）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥ （C ）2()()()P A P B P AB +≤ （D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（ ）（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ． 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx=在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．（本题满分11分） 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。