信号与系统复习
书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类
①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足
f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足
f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号
2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）
2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号
3.1 单位冲激函数的性质
f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)
例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质
4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）
②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：
)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞
-δ)
(d )()(a f t a t t f =-⎰
∞
∞-δ?d )()4
sin(9
1=-⎰
-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞
-δ)
0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰
∞
∞
-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞
∞-⎰
t t t t t
t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1
)(00a t t a t at -=-δδ)
0()()(f k k f k =∑
∞-∞
=δ
y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]
T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)
T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统
T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d
)(时不变性质)
直观判断方法：
若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI 连续系统的微分特性和积分特性
①微分特性：
若 f (t ) → y f (t ) ， 则 f ’(t ) → y ’ f (t ) ②积分特性：
若 f (t ) → y f (t ) ， 则
4.5因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述
第二章 连续系统的时域分析 1、LTI 连续系统的响应 1.1微分方程的经典解
y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）
描述某系统的微分方程为
y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e -t
，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t
，t ≥0；y(0)= 1，y ’(0)=0时的全解 2、冲激响应
系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法
①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等 ②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()
()d t t dt
εδ=
例y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。 3、阶跃响应
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。 4、卷积积分
4.1定义 1212()()()()f t f t f f t ττ∞
-∞
*=
-⎰
4.2 任意信号作用下的零状态响应
⎰⎰
∞
-∞
-→t
t
x
x y x x f d )(d )(f
4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法 4.4 卷积积分的性质
①交换律②结合律③分配律
④积分性质
⑤微分性质 ⑥任意时间函数与冲激函数的卷积
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f ’(t) ；f(t)*ε(t)
⑦卷积的时移性质 f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f(t –t 1 –t 2)
第三章 离散系统的时域分析
1、LTI 离散系统的响应 1.1差分与差分方程
1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似） 1.
2.1y(k) = y h (k) + y p
(k)
当特征根λ为单根时，齐次解y n
(k)形式为： C λk
当特征根λ为r 重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1k r-1+ C r-2k r-2+…+ C 1k+C 0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解y n (k)形式为：
1.2.2 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r ≥1） 。 ①所有特征根均不等于1时;
y p (k)=P m k m
+…+P 1k+P 0
②有r 重等于1的特征根时;
y p (k)=k r [P m k m
+…+P 1k+P 0]
（2） 激励f(k)=a k
①当a 不等于特征根时; y p (k)=Pa k
②当a 是r 重特征根时;
y p (k)=（P r k r +P r-1k r-1+…+P 1k+P 0)a k
（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e ±j β
； y p
(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) []n n n n n n
t t f t f t f t t f t f t f t d )(d *)()(*d )(d )(*)(d d 212121==]
d )([*)()(*]d )([d )](*)([212121τττττττ⎰
⎰⎰∞
-∞-∞-=
=t
t t f t f t f f f f 1,2j e βλρ±=[]cos()sin()k
C k
D k ρββ+
