统计的力量——线段树详细教程
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线段树入门(一)路桥中学陈朝晖今天,我们来介绍一种非常特殊的数据结构——线段树。
首先,来看这个问题:给你n个数,仅有两种操作:(1)给第i个数的值添加x(2)询问区间[a,b]的总和是多少CODEVS 1080 线段树练习时间限制: 1s 空间限制: 128000 KB 题目等级 : 钻石 Diamond题目描述 Description一行N个方格,开始每个格子里都有一个整数。
现在动态地提出一些问题和修改:提问的形式是求某一个特定的子区间[a,b]中所有元素的和;修改的规则是指定某一个格子x,加上或者减去一个特定的值A。
现在要求你能对每个提问作出正确的回答。
1≤N<100000,,提问和修改的总数m<10000条。
输入描述 Input Description输入文件第一行为一个整数N,接下来是1行共n个整数,表示格子中原来的整数。
下面是一个正整数m,接下来有m行,表示m个询问,第一个整数表示询问代号,询问代号1表示增加,后面的两个数x和A表示给位置X上的数值增加A,询问代号2表示区间求和,后面两个整数表示a和b,表示要求[a,b]之间的区间和。
输出描述 Output Description共m行,每个整数样例输入 Sample Input645621341 3 52 1 41 1 92 2 6样例输出 Sample Output2222数据范围及提示 Data Size & Hint1≤N≤100000, m≤10000 。
从题目中所给的数据来看,数据量非常大,所需要的查询次数同样非常多。
#include <iostream>usingnamespace std;int dat[Maxn],N,M;struct Tree{int left,right;longlong sum;}tr[Maxn<<2];//tr[i]表示第i线段树,其中[left,right]表示数据区域的边界,sum表示线段树中当前这一段的总和//数组中的每一个结点都将最终设置在线段树的叶子节点位置上,//而线段树中还存在内部结点的存储。
一、教学目标1. 了解树木统计的基本概念,知道统计是一种收集、整理、描述数据的方法。
2. 学会使用简单的工具(如计数器、画图工具等)进行树木统计。
3. 培养幼儿的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
4. 培养幼儿对自然环境的热爱和保护意识。
二、教学内容1. 树木统计的概念和作用2. 统计方法的学习和实践3. 树木统计结果的展示和分析4. 保护树木的重要性三、教学准备1. 教学PPT或者教学图片2. 计数器、画图工具等统计工具3. 树木统计表格4. 保护树木的宣传资料四、教学步骤1. 引入:通过图片或者实物展示,引导幼儿观察树木,并提出问题:“你们知道我们身边的树木有多少吗?我们可以用什么方法来了解呢?”2. 讲解:介绍树木统计的概念和作用,讲解统计方法,并示范操作。
3. 实践:分组进行树木统计实践,幼儿使用计数器、画图工具等统计工具进行统计。
4. 展示:每组展示统计结果,并分享统计过程中的趣事。
5. 总结:讲解保护树木的重要性,引导幼儿养成保护树木的良好习惯。
五、教学评价1. 观察幼儿在实践过程中的动手操作能力和团队协作能力。
2. 评估幼儿对树木统计概念的理解和运用能力。
3. 搜集幼儿在实践过程中的作品,分析幼儿的创造力和想象力。
4. 调查幼儿对保护树木的认识和行为变化。
六、教学拓展1. 延伸统计概念:引导幼儿思考还可以统计哪些自然事物,如花朵、昆虫等。
2. 环保主题活动:组织幼儿进行植树造林活动,提高幼儿的环保意识。
3. 亲子活动:邀请家长参与,共同进行家庭树木统计,增进亲子关系。
七、教学资源1. 网络资源:查找相关统计方法和保护树木的资料,以便进行教学分享。
2. 图书资源:搜集关于统计和环保的幼儿图书,丰富幼儿的知识。
3. 实物资源:准备各种统计工具和材料,确保教学实践的顺利进行。
八、教学评价1. 观察幼儿在实践过程中的动手操作能力和团队协作能力。
2. 评估幼儿对树木统计概念的理解和运用能力。
线段树讲解浅谈线段树在信息学竞赛中的应⽤岳云涛yyt @ comindeWuhan University【摘要】本⽂介绍了⼀种⾼效的基于分治思想的数据结构——线段树,具体讲解了线段树的建树,查找,删除,统计等基本操作。
并结合了⼀些例题深⼊研究了线段树的基本性质和线段树的应⽤⽅法。
⽂章最后给出了⼀些线段树的练习题⽬。
【关键词】数据结构⼆叉树线段树【⽬录】引⾔ (3)1 线段树 (3)1.1 线段树的基本结构 (3)1.2 线段树的性质 (4)1.3 线段树的基本存储结构和操作 (4)2 线段树的初级应⽤ (9)2.1 例题:City Horizon (9)2.2 例题 Joseph Problem (12)3 线段树的进阶应⽤ (15)3.1 例题 Frequent Values (15)3.2 例题 K-th Number (17)4 线段树的⼀些推⼴应⽤ (17)4.1 多维线段树 (17)4.2 线段树与其他数据结构的组合 (18)5 线段树应⽤总结 (19)6 线段树练习题⽬推荐 (19)【正⽂】引⾔在信息学竞赛中,我们经常会碰到⼀些跟区间有关的问题,⽐如给⼀些区间线段求并区间的长度,或者并区间的个数等等。
这些问题的描述都⾮常简单,但是通常情况下数据范围会⾮常⼤,⽽朴素⽅法的时间复杂度过⾼,导致不能在规定时间内得到问题的解。
这时,我们需要⼀种⾼效的数据结构来处理这样的问题,在本⽂中,我们介绍⼀种基于分治思想的数据结构--线段树。
1 线段树1.1 线段树的基本结构线段树是⼀种⼆叉树形结构,属于平衡树的⼀种。
它将线段区间组织成树形的结构,并⽤每个节点来表⽰⼀条线段。
⼀棵[1,10)的线段树的结构如图 1.1所⽰:图1.1 线段树的结构可以看到,线段树的每个节点表⽰了⼀条前闭后开,即[a,b)的线段,这样表⽰的好处在于,有时候处理的区间并不是连续区间,可能是离散的点,如数组等。
这样就可以⽤[a,a+1)的节点来表⽰⼀个数组的元素,做到连续与离散的统⼀。
简单线段树知识点详解简单线段树知识点详解本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中强⼤且常⽤的猛⼠数据结构——线段树。
因为线段树博⼤精深,有许多变形和应⽤⽅式。
区区⼀篇随笔是绝对⽆法尽叙的。
所以在这⾥笔者只为读者讲解简单线段树。
希望每⼀位有缘读到这篇随笔的⼈都能对线段树有⼀个深刻的理解,并会解决线段树的简单问题。
由于线段树属于⼀种⾼级数据结构。
所以在学习线段树的时候需要的知识铺垫⽐较多。
建议读者先对树状结构、⼆分以及递归编程法有深刻的认识和理解,然后再进⾏线段树的学习。
这样的话会⽅便很多。
当然,如果你缺少了前述铺垫知识的⼀项或⼏项,也并不代表你⼀定学不好线段树。
勇于尝试、敢于挑战、努⼒思考。
这会对你线段树及以后很多知识点的学习有极⼤的促进作⽤。
那我就开始了。
线段树的概念在介绍线段树的概念之前,我先介绍线段树的⽤途:线段树⼀般⽤于区间统计。
即统计[x,y]区间内的某⼀个特性。
这个特性可以有很多,⽐如区间求和,区间最值等等。
定义什么的特别复杂,我们争取⽤⼀张图搞清楚对线段树的直观理解。
上图是⼀棵1-5区间的线段树。
我们发现这个线段树是⼀棵⼆叉树,每个节点表⽰⼀个区间,根节点对应区间1-n.每个叶⼦节点都只表⽰单点,针对⼆叉树编号的性质(⼆叉树的每个⽗亲节点f的左节点编号是2f,右节点编号是2f+1),我们可以使⽤⼀维数组实现线段树。
也就是说,我们开⼀个⼀维数组,⼀维数组的下标表⽰这棵线段树的节点编号,⾥⾯存的值表⽰这个节点所表⽰的区间中我们要维护的特性:如和、最值等。
简单线段树⽀持的操作刚刚已经说过,线段树是⼀种博⼤精深的数据结构,它的功能和操作实在是太多了。
之所以反复强调这些,是为了让读者清楚,在线段树的海洋中,我们都不过是探其⼀⾓罢了,千万不要妄⾃尊⼤,以为⾃⼰已经把线段树全部搞完了。
简单线段树⽀持单点查询,区间查询,单点修改,区间修改,我们发现这和树状数组的⼀些⽀持项⽬类似,但是却不完全包含,因为树状数组仅⽀持区间求和,且必须是1−n的求和,如果想要[x,y]的任意区间求和的话,必须需要使⽤差分思想来相减。
线段树总结之前做了些线段树相关的题⽬,开学⼀段时间后,想着把它整理下,完成了⼤⽜NotOnlySuccess的博⽂“完全版线段树”⾥的⼤部分题⽬,其博⽂地址,然后也加⼊了⾃⼰做过的⼀些题⽬。
整理时,更新了之前的代码风格,不过旧的代码仍然保留着。
同样分成四类,不好归到前四类的都分到了其他。
树状数组能做,线段树都能做(如果是内存限制例外),所以也有些树状数组的题⽬,会标⽰出来,并且放到其他类⾥。
⼀、单点更新1.:有N个兵营,每个兵营都给出了⼈数ai(下标从1开始),有四种命令,(1)”Addij",表⽰第i个营地增加j⼈。
(2)“Sub i j”,表⽰第i个营地减少j⼈。
(3)“Query ij",查询第i个营地到第j个营地的总⼈数。
(4)”End“,表⽰命令结束。
解题报告。
2.:给你N个数,M个操作,操作分两类。
(1)"QAB“,查询区间[A,B]内的最⼤值。
(2)"UAB",将第A个数的值改成B。
解题报告。
3.:给你N个数,要求统计它的所有形式的逆序对的最⼩值。
它的所有形式的意思是,不断将数组开头的第⼀个数放到数组的最后⾯。
解题报告。
4.:有⼀块板,规格为h*w,然后有n张海报,每张海报的规格为1*wi,选择贴海报的位置是:尽量⾼,同⼀⾼度,选择尽量靠左的地⽅。
要求输出每张海报的⾼度位置。
解题报告。
5.:有N个⼈排队,每⼀个⼈都有⼀个val来对应,每⼀个后来⼈都会插⼊当前队伍的某⼀个位置pos。
要求把队伍最后的状态输出。
解题报告。
6.: N个⼩孩围成⼀圈,他们被顺时针编号为 1 到 N。
每个⼩孩⼿中有⼀个卡⽚,上⾯有⼀个⾮ 0 的数字,游戏从第 K 个⼩孩开始,他告诉其他⼩孩他卡⽚上的数字并离开这个圈,他卡⽚上的数字 A 表明了下⼀个离开的⼩孩,如果 A 是⼤于 0 的,则下个离开的是左⼿边第 A 个,如果是⼩于 0 的,则是右⼿边的第 A 个⼩孩。
线段树详解与实现此篇⽂章⽤于记录《玩转数据结构》课程的学习笔记什么是线段树线段树也被称为区间树,英⽂名为Segment Tree或者Interval tree,是⼀种⾼级的数据结构。
这种数据结构更多出现在竞赛中,在常见的本科数据结构教材⾥没有介绍这种数据结构。
但是,在⾯试中却有可能碰到和线段树相关的问题。
那么为什么会产⽣线段树这种数据结构,线段树到底是为了解决什么样的⼀种问题呢?其实这⾥的线段可以理解为区间,线段树就是为了解决区间问题的。
有⼀个很经典的线段树问题是:区间染⾊。
假设有⼀⾯墙,长度为 n,每次选择⼀段墙进⾏染⾊。
在区间染⾊的过程中,每次选择⼀段区间进⾏染⾊,这时新的颜⾊可能会覆盖之前的颜⾊。
最后的问题是:在经过 m 次染⾊操作后,我们可以在整个区间看见多少种颜⾊?更加普遍的说法是:在经过 m 次染⾊操作后,我们可以在区间[i, j]内看见多少种颜⾊?由于第⼀个问题是第⼆个问题的⼀个特例,我们采⽤第⼆种问题来思考解决⽅法。
从上⾯可以看出,我们对于区间,有 2 种操作,分别是染⾊操作和查询区间的颜⾊,使⽤更加⼀般的说法,染⾊操作就是更新区间,查询区间的颜⾊就是查询区间。
这类问题⾥⾯,更加常见的的是区间查询:⼀个数组存放的不再是颜⾊,⽽是具体的数字,查询某个区间[i, j]的统计值。
这⾥的统计值是指:区间内最⼤值、最⼩值、或者这个区间的数字和。
⽐如:查询 2018 年注册的⽤户中消费最⾼的⽤户查询 2018 年注册的⽤户中消费最低的⽤户注意上⾯两种情况都是动态查询,我们查询的消费数据不只是 2018 的消费数据。
如果我们想查询 2018 年中消费最⾼的⽤户,那么 2018 年的数据已经固定了,我们直接在这⼀年的数据中进⾏统计分析就⾏了。
但是⼀个 2018 年注册的⽤户,在 2019 年、2020 年都可能会有消费。
我们实际上查询的是:2018 年注册的⽤户中,到现在为⽌,消费最⾼的⽤户。
这种情况下,数据是在动态变化的,也就是说:2017 年注册的⽤户中,每个⽤户的消费额是会更新的,这就对应到更新区间的操作。
二分法与统计问题(线段树)二分法与统计问题 (线段树)OICF-信息学奥林匹克综合论坛[关键字]线段树二叉树二分法[摘要]我们经常遇到统计的问题。
这些问题的特点是,问题表现得比较简单,一般是对一定范围内的数据进行处理,用基本的方法就可以实现,但是实际处理的规模却比较大,粗劣的算法只能导致低效。
为了解决这种困难,在统计中需要借助一些特殊的工具,如比较有效的数据结构来帮助解决。
本文主要介绍的是分治的思想结合一定的数据结构,使得统计的过程存在一定的模式,以到达提高效率的目的。
首先简要介绍线段树的基础,它是一种很适合计算几何的数据结构,同时也可以扩充到其他方面。
然后将介绍 IOI2001 中涉及的一种特殊的统计方法。
接着将会介绍一种与线段树有所不同的构造模式,它的形式是二叉排序树,将会发现这种方法是十分灵活的,进一步,我们将略去对它的构造,在有序表中进行虚实现。
目录一线段树1.1 线段树的构造思想1.2 线段树处理数据的基本方法1.3 应用的优势1.4 转化为对点的操作二一种解决动态统计的静态方法2.1 问题的提出2.2 数据结构的构造和设想2.3 此种数据结构的维护2.4 应用的分析三在二叉排序树上实现统计3.1 构造可用于统计的静态二叉排序树3.2 进行统计的方法分析3.3 一个较复杂的例子四虚二叉树4.1 虚二叉树实现的形态4.2 一个具体的例子4.3 最长单调序列的动态规划优化问题[正文]一线段树在一类问题中,我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段,例如说映射在 OX 轴上的线段。
由于线段是可以互相覆盖的,有时需要动态地取线段的并,例如取得并区间的总长度,或者并区间的个数等等。
一个线段是对应于一个区间的,因此线段树也可以叫做区间树。
1.1线段树的构造思想线段树处理的是一定的固定线段,或者说这些线段是可以对应于有限个固定端点的。
处理问题的时候,首先抽象出区间的端点,例如说 N 个端点 ti (1 ≤ i ≤ N) 。