下载文档原格式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
中值定理和泰勒公式中值定理是微积分中的一个基本定理，它主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
拉格朗日中值定理是最基本的中值定理，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
换句话说，函数在开区间内的平均变化率等于其中一点的瞬时变化率。
柯西中值定理是对拉格朗日中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)不等于零，那么在(a,b)内存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理在多元函数中的扩展，它给出了函数f(x)和g(x)在区间内的变化率之间的关系。
罗尔中值定理是对拉格朗日中值定理的另一种形式，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明了如果在区间的两个端点处函数取相同的值，并且函数在区间内可导，那么在区间内存在一个点，该点处的导数为零。
泰勒公式是微积分中的另一个重要公式，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便地进行近似计算。
泰勒公式的基本形式如下：设函数f(x)在点a处具有n+1阶连续导数，那么对于a附近的任意x，函数f(x)可以表示为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是剩余项，是一个无穷小量。
微分中值定理与泰勒展开微分中值定理和泰勒展开是微积分中重要的概念和理论。
它们在分析函数的性质和求解实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍微分中值定理和泰勒展开的概念、原理以及应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微分学中最基本的定理之一，它包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在连续和可导的条件下的一些特性。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基础的定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数的导数在c点的值等于函数在[a, b]区间端点处的导数值之差的商。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)内不恒为零，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得两个函数的导数的商等于函数值的商。
数学表达式为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在一个介于a和b之间的数c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数在c 点的导数等于零。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=0。
第十七章 多元函数微分学4泰勒公式与极值问题一、高价偏导数概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =22x z ∂∂=f xx (x,y); (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z y =yx z 2∂∂∂=f xy (x,y); (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z x =x y z 2∂∂∂=f yx (x,y); (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =22y z ∂∂=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z x =33x z ∂∂=3x f (x,y)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z y =y x z 23∂∂∂=y x 2f (x,y)；……例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和23xy z ∂∂∂. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ;∴z xx =ex+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂x y z x 2=2e x+2y .例2：求函数z=arctan xy 的所有二阶偏导数.解：∵z x =22x y 1xy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22y x y +; z y =2x y 1x1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.注：既有关于x又有关于y的高阶偏导数，称为混合偏导数.定理17.7：若f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0). 证：令F(△x,△y)=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y0)-f(x0,y0+△y)+f(x0,y0)，φ(x)=f(x,y0+△y)-f(x,y0)，则F(△x,△y)=φ(x0+△x)-φ(x0).∵f存在关于x的偏导数，∴φ可导，应用一元函数的中值定理，有φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1△x)△x=[f x(x0+θ1△x,y0+△y)-f x(x0+θ1△x,y0)]△x, (0<θ1<1).又由f x存在关于y的偏导数，∴对以y为自变量的函数f x(x0+θ1△x,y) 应用一元函数的中值定理，又有φ(x0+△x)-φ(x0)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).∴F(△x,△y)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).若令ψ(y)=f(x0+△x,y)-f(x0,y)，则有F(△x,△y)=ψ(y0+△y)-φ(y0).同理可得F(△x,△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y)△x△y, (0<θ3,θ4<1).当△x,△y不为零时，就有f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y), (0<θ1,θ2,θ3,θ4<1).又f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，∴当△x→0,△y→0时，上式两边极限存在且相等，∴f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0).注：n元函数m阶混合偏导数在某点都连续时，则与顺序无关.概念2：设z 是通过中间变量x,y 而成为s,t 的函数，即z=f(x,y), 其中x=φ(s,t), y=ψ(x,t). 若函数f,φ,ψ都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数，即由一阶偏导数： s z ∂∂=s x x z ∂∂∂∂+s y y z ∂∂∂∂，t z ∂∂=t x x z ∂∂∂∂+ty y z ∂∂∂∂，可得二阶偏导数： 22s z ∂∂=s x x z s ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s x s x z +s y y z s ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s y s y z =s x x z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s x s y y x z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+s y y z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s y s x x y z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂ =222s x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2s x s y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222s y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂. 同理可得： 22t z ∂∂=222t x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2t x t y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222t y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22t x x z ∂∂⋅∂∂+22t y y z ∂∂⋅∂∂. t s z 2∂∂∂=t x s x x z 22∂∂∂∂∂∂+t y s x y x z 2∂∂ ⎝⎛∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫∂∂∂∂s y t x +t y s y y z 22∂∂∂∂∂∂+t s x x z 2∂∂∂⋅∂∂+t s y y z 2∂∂∂⋅∂∂=s t z 2∂∂∂.例3：设z=f(x,y x ), 求22x z ∂∂,yx z 2∂∂∂. 解：记z=f(u,v), u=x, v=yx ，由复合函数求导公式有：x z ∂∂=x u u f ∂∂∂∂+x v v f ∂∂∂∂=u f ∂∂+vf y 1∂∂， ∴22xz ∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f x +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=x u u f 22∂∂∂∂+x v v u f 2∂∂∂∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂x u u v f y 12+⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v f 22 =22uf ∂∂+v u f y 22∂∂∂+222v f y 1∂∂. y x z 2∂∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f y +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=y u u f 22∂∂∂∂+y v v u f 2∂∂∂∂∂-v f y 12∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂y u u v f y 12+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v f 22=-v u f y x 22∂∂∂-v f y 12∂∂-223vf y x ∂∂.二、中值定理和泰勒公式概念3：若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域，即 若D 为凸区域，则对任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0≤λ≤1), 恒有P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈D.定理17.8：(中值定理)设二元函数f 在凸开域D ⊂R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D ，存在θ(0<θ<1), 使得f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.证：令φ(t)=f(a+th,b+tk)，它是定义在[0,1]上的一元函数；∵φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)上可微；∴根据一元函数中值定理， 存在θ(0<θ<1), 使得φ(1)-φ(0)=φ’(θ). 由复合函数的求导法则知， φ’(θ)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k. 又由D 为凸区域知，(a+θh,b+θk)∈D, ∴f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.注：对闭凸域D ，任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0<λ<1),都有 P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈intD ，则对D 上连续，intD 内可微的函数f ， 只要P ,Q ∈intD ，也存在θ∈(0,1)使中值定理成立. 如，若D 为圆域{(x,y)|(x-ξ)2+(y-ζ)2≤r 2}, f 在D 上连续，在intD 内可微，则中值定理成立；若D 为矩形区域[a,b]×[c,d]，则不能保证对D 上任意两点P ,Q 都有中值定理成立.推论：若函数f 在区域D 上存在偏导数，且f x ≡f y ≡0，则f 在区域D 上为常量函数.证：设P 和P ’是区域D 上任意两点，由于D 为区域，可用一条完全在D 内的折线连接PP ’. 设x 1为折线上第一个折点， 直线段Px 1上每一点P 0(x 0,y 0), 存在邻域U(P 0)⊂D, 由中值定理知， 在U(P 0)内任一点M(x m ,y m )有f(M)-f(P 0)=f x (θ1)(x m -x 0)+f y (θ1)(y m -y 0), ∵f x ≡f y ≡0，∴f(M)-f(P 0)=0, 即f(M)=f(P 0)，∴在U(P 0)内f 是常数函数. 由Px 1上每一点都有这样的邻域U(P 0)，使得f(x,y)=常数.由有限覆盖定理知，存在有限个邻域U(P 1),…,U(P N )覆盖Px 1, ∴f(P)=f(x 1), 以x 1,…,x n 表示折线上的所有折点，同理有f(P)=f(x 1)=…=f(x n )=f(P ’). 又由P ,P ’在区域D 内的任意性，知在D 内,f(x,y)=常数.例4：对f(x,y)=1xy 2x 12+-应用微分中值定理，证明存在θ(0<θ<1),使得1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.解：f 定义在E={(x,y)|x 2-2xy+1>0}上，凸区域D={(x,y)|x 2+y 2≤1}⊂E. 又f x =-()321xy 2x y-x +-; f y =()321xy 2x x+-，且f,f x ,f y 都在D 上连续，取(1,0),(0,1)∈D ，根据微分中值定理，存在θ(0<θ<1), 使得 f(1,0)-f(0,1)=f x (θ,1-θ)-f y (θ,1-θ), 即21-1=-[]321θ)-θ(12θθ)-(1-θ+--[]321θ)-θ(12θθ+-=(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2，∴1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.定理17.9：(泰勒定理)若函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有直到n+1阶的连续偏导数，则对U(P 0)内任一点(x 0+h,y 0+k), 存在相应的 θ∈(0,1)，使得有二元函数f 在点P 0的n 阶泰勒公式：f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0) + ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk).证：令φ(t)=f(x 0+th,y 0+tk),其定义域为[0,1],且满足一元函数泰勒条件； ∴φ(1)=φ(0)+φ’(0)+!21φ”(0)+…+!n 1φ(n)(0)+!)1(n 1+φ(n+1)(θ), (0<θ<1). 应用复合函数求导法则，可求得φ(t)的各阶导数：φ(m)(t)= ⎝⎛∂∂xh +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+th,y 0+tk), (m=1,2,…,n+1). 当t=0时，则有 φ(m)(0)= ⎝⎛∂∂x h +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0), (m=1,2,…,n) 及φ(n+1)(θ)= ⎝⎛∂∂x h +1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk)，将φ(m)(0), φ(n+1)(θ)代入φ(1)，得f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk), (0<θ<1).注：1、中值公式为泰勒公式在n=0时的特列情形；2、若只要求余项R n =o (ρn ) (ρ=22k h +)，则仅需f 在U(P 0)内存在直到n 阶连续偏导数，便有f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+∑= ⎝⎛∂∂n 1p x h !p 1+py k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+o (ρn ).例5：求f(x,y)=x y 在点(1,4)的泰勒公式(到二阶)，并用它计算(1.08)3.96. 解：∵f(1,4)=1; f x (1,4)=yx y-1|(1,4)=4; f y (1,4)=x y lnx|(1,4)=0;f xx (1,4)=y(y-1)x y-2|(1,4)=12; f yy (1,4)= x y (lnx) 2|(1,4)=0;f xy (1,4)=f yx (1,4)=x y-1+yx y-1lnx|(1,4)=1.∴x y =1+4(x-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+ o (ρ2). 当x=1.08, y=3.96时，有 (1.08)3.96≈1+4×0.08+6×0.082-0.08×0.04=1.3552.三、极值问题定义：设函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)内有定义，若对于任何点P(x,y)∈U(P 0)，有f(P)≤f(P 0)或f(P)≥f(P 0)，则称f 在点P 0取得极大(或极小)值，统称为极值. 极大值点、极小值点统称极值点.注：1、极值点只限于定义域的内点;2、若f 在点(x 0,y 0)取得极值，则当固定y=y 0时，一元函数f(x,y 0)必定在x=x 0取相同的极值；同理，一元函数f(x 0,y)在y=y 0也取相同的极值.例6：设f(x,y)=2x 2+y 2, g(x,y)=22y -x -1，h(x,y)=xy ，讨论原点(0,0)是不是它们的极值点.解：∵f(x,y)=2x 2+y 2≥f(0,0)=0，∴原点(0,0)是f 的极小值点； 又对任何(x,y)∈{(x,y)|x 2+y 2≤1}，有 g(x,y)=22y -x -1≤g(0,0)=1，∴原点(0,0)是g 的极大值点；但在原点的任意邻域内，对I,III 象限的任意点有h(x,y)>h(0,0)=0; 对II, IV 象限中的任意点有h(x,y)<h(0,0)=0; ∴(0,0)不是h 的极值点.定理17.10：(极值必要条件)若函数在点P 0(x 0,y 0)存在偏导数，且在P 0取得极值，则有f x (x 0,y 0)=0, f y (x 0,y 0)=0. 反之，若函数在点P 0满足上式，则称点P 0为f 的稳定点.注：1、极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点. 如例6中的函数h ，原点为其稳定点，但不是其极值点.2、函数在偏导数不存在的点也有可能取得极值，如f(x,y)=22y x +在原点没有偏导数，但f(0,0)=0是f 的极小值.概念4：假定f 具有二阶连续偏导数，并记H f (P 0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(P f )(P f )(P f )(P f 0y y 0y x 0xy 0xx =0P y y y x xy xx f f f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，称之为P 0的黑赛矩阵.定理17.11：(极值充分条件)设二元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点，则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0取得极小值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0取得极大值；当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.证：由f 在点P 0的二阶泰勒公式，及f x (P 0)= f y (P 0)=0，得f(x,y)-f(x 0,y 0)=21(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T +o (△x 2+△y 2).当H f (P 0)正定时，对任何(△x,△y)≠(0,0)，恒有二次型Q(△x,△y)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T >0，∴存在一个与△x,△y 无关的正数q, 使得Q(△x,△y)≥2q(△x 2+△y 2). 从而对充分小的U(P 0), 只要(x,y)∈U(P 0), 就有f(x,y)-f(x 0,y 0)≥q(△x 2+△y 2)+o (△x 2+△y 2)=(△x 2+△y 2)(q+o (1))≥0, 即f 在点P 0取得极小值；同理, 当H f (P 0)负定时，f 在点P 0取得极大值； 当H f (P 0)不定时，若f 取极值，不妨设取极大值，则沿任何过P 0的直线x=x 0+t △x, y=y 0+t △y, f(x,y)=f(x 0+t △x,y 0+t △y)=φ(t) 在t=0亦取得极大值. 由一元函数取极大值的充分条件知 φ”(0)≤0. 而φ’(t)=f x △x+f y △y, φ”(t)=f xx △x 2+2f xy △x △y+f yy △y 2,又φ”(0)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T , 即H f (P 0)必须为负半定，矛盾！ 同理，若f 取极小值，则H f (P 0)必须为正半定，亦矛盾！∴当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.注：根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成为：若函数f 如定理所设，P 0是f 的稳定点，则有：(1)当f xx (P 0)>0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0 取得极小值；(2)当f xx (P 0)<0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极大值；(3)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)<0时，f 在点P 0不能取得极值；(4)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)=0时，不能肯定f 在点P 0是否取得极值.例7：设f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值.解：当f x=2x-6=0, f y=10y+10=0时, x=3, y=-1，即点(3,-1)是f的稳定点. ∵f xx=2>0, f yy=10, f xy=0, 即有(f xx f yy-f xy2)(3,-1)=20>0，∴f在点(3,-1)取得极小值f(3,-1)=9+5-18-10+6=-8.又f在R2上处处存在偏导数，∴(3,-1)是f唯一的极值点.例8：讨论f(x,y)=x2+xy是否存在极值.解：当f x=2x+y=0, f y=x=0时, x=0, y=0，即点(0,0)是f的稳定点.∵f xx=2, f yy=0, f xy=1, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=-1<0，∴(0,0)不是f的极值点. 又f在R2上处处存可微，∴f不存在极值.例9：设f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)，试用定理17.11能否判定f在原点是否取得极值？如果不能，请试用其它方法判定？解：∵f x(0,0)=8x3-6xy|(0,0)=0, f y(0,0)=2y-3x2|(0,0)=0, ∴原点是f的稳定点. 又f xx=24x2-6y, f yy=2, f xy=-6x, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=0，∴由定理17.11无法判定f在原点是否取得极值.但当x2<y<2x2时，有f(x,y)<f(0,0)，而当y>2x2或y<x2时，f(x,y)>f(0,0)，∴f不可能在原点取得极值.例10：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小. 证：记圆的半径为1，任一外切三角形切点间弧长分别为α,β,γ，其中γ=2π-(α+β)，则外切三角形的面积可以表示为：S=tan 2α+tan 2β+tan 2γ= tan 2α+tan 2β-tan2β+α, 0<α,β<π.当S α=21(sec 22α-sec 22β+α)=0, S β=21(sec 22β-sec 22β+α)=0时，α=β=32π,即S 有稳定点(32π,32π). ∵S αα(32π,32π)=43>0, S ββ(32π,32π)=23,S αβ(32π,32π)=43, 即有(S ααS ββ-S αβ2)(32π,32π)=36>0,∴S 在(32π,32π)取得极小值. 又S 在定义域内处处存在偏导数，∴(32π,32π)是S 唯一的极小值点，∴当α=β=32π, γ=2π-(α+β)=32π,即外切三角形为正三角形时,面积最小.例11：(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点(x i ,y i ),i=1,2,…,n.它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系. 现要确定一直线使得与这n 个点的偏差平方和最小(最小二乘方).解：设所求直线方程为y=ax+b ，则这n 个点的偏差平方和可表示为： f(a,b)=∑=+n 1i 2i i )y -b (ax .当f a =2∑=+n 1i i i i )y -b (ax x =0, f b =2∑=+n1i i i )y -b (ax =0时,整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n1i i n 1i i n1i i i n 1i i n 1i 2i y bn x a y x x b x a , 解方程组，得f(a,b)的稳定点： a 0=∑∑∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1i 2n 1i i 2i n 1i i n 1i i n1i i i x x n y x y x n , b 0=2n1i i n 1i 2i n 1i i n 1i i i n 1i i n 1i 2i x x n x y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑======. 又A=f aa =2∑=n 1i 2ix >0, B=f ab =2∑=n1i i x , C=f bb =2n, D=AC-B 2=4n ∑=n1i 2ix -4(∑=n1i i x )2>0,从而f(a,b)在点(a 0,b 0)取得极小值，根据实际可知该极小值就是最小值.习题1、求下列函数的高阶偏导数.(1)z=x 4+y 4-4x 2y 2, 二阶偏导数；(2)z=e x (cosy+xsiny), 二阶偏导数；(3)z=xln(xy), y x z 23∂∂∂,23y x z ∂∂∂；(4)u=xyze x+y+z , r q p r q p zy x z ∂∂∂∂++； (5)z=f(xy 2,x 2y), 二阶偏导数；(6)u=f(x 2+y 2+z 2), 二阶偏导数； (7)z=f(x+y,xy,yx), z x ,z xx ,z xy .解：(1)z x =4x 3-8xy 2, z y =4y 3-8x 2y, z xx =12x 2-8y 2, z yy =12y 2-8x 2, z xy =z yx =-16xy. (2)z x =e x (cosy+xsiny)+e x siny=e x (cosy+siny+xsiny), z y =e x (xcosy-siny), z xx =e x (cosy+siny+xsiny)+e x siny=e x (cosy+2siny+xsiny), z yy =-e x (xsiny+cosy), z xy =z yx =e x (cosy-siny+xcosy).(3)∵x z ∂∂=ln(xy)+1, 22x z ∂∂=x 1, y x z 2∂∂∂=y 1, ∴y x z 23∂∂∂=0; 23yx z∂∂∂=-2y 1. (4)方法一：∵x u ∂∂=(yz+xyz)e x+y+z, ∴p p xu ∂∂=(pyz+xyz)e x+y+z ；∵y x u p 1p ∂∂+=(pz+pyz+xz+xyz)e x+y+z, ∴q p q p y x u ∂∂+=(qpz+pyz+qxz+xyz)e x+y+z ,∵zy x uq p q p ∂∂+=(qp+qpz+py+pyz+qx+qxz+xy+xyz)e x+y+z , ∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(rqp+qpz+rpy+pyz+rqx+qxz+rxy+xyz)e x+y+z . 方法二：u=xyze x+y+z =xe x ·ye y ·ze z . 由归纳法知： (xe x )(p)=(x+p)e x , (ye y )(q)=(y+q)e y , (ze z )(r)=(z+r)e x ,∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(xe x )(p)(ye y )(q)(ze z )(r)=(x+p)(y+q)(z+r)e x+y+z . (5)∵z x =y 2f 1+2xyf 2, z y =2xyf 1+x 2f 2,∴z xx =y 4f 11+4xy 3f 12+4x 2y 2f 22+2yf 2, z yy =2xf 1+4x 2y 2f 11+4x 3yf 21+x 4f 22, z xy =z yx =2yf 1+y 2(2xyf 11+x 2f 12)+2xf 2+2xy(x 2f 22+2xyf 21) =2yf 1+2xf 2+2xy(x 2f 22+y 2f 11)+5x 2y 2f 21.(6)设w=x 2+y 2+z 2, 则u=f(w). ∵u x =2xf ’(w), u y =2yf ’(w), u z =2zf ’(w), ∴u xx =2f ’(w)+4x 2f ”(w), u yy =2f ’(w)+4y 2f ”(w), u zz =2f ’(w)+4z 2f ”(w), u xy =u yx =4xyf ”(w); u yz =u zy =4yzf ”(w); u zz =u zx =4xzf ”(w). (7)z x =f 1+yf 2+y1f 3,z xx =f 11+yf 12+y 1f 13+y(f 21+yf 22+y 1f 23)+y 1(f 31+yf 32+y1f 33) =f 11+f 23+f 32+y(f 12+f 21)+y 2f 22+y 1(f 13+f 31)+2y 1f 33 = f 11+2yf 12+y2f 13+y 2f 22+2f 23+2y1f 33. z xy =f 11+xf 12-2y x f 13+f 2+y(f 21+xf 22-2y x f 23)-2y 1f 3+y 1(f 31+xf 32-2y x f 33) =f 11+(x+y)f 12+ ⎝⎛y 1-⎪⎪⎭⎫2y x f 13+xyf 22 -3y x f 33+f 2-2y 1f 3.2、设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ, 证明：22ru ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22y u∂∂.证：∵r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=cos θxu ∂∂+sin θy u∂∂,θu ∂∂=θx x u ∂∂∂∂+θy y u ∂∂∂∂=rcos θy u ∂∂-rsin θxu ∂∂;∴22r u ∂∂=cos 2θ22x u ∂∂+2sin θcos θy x u 2∂∂∂+sin 2θ22yu ∂∂, 22θu ∂∂=r 2cos 2θyu 22∂∂-rsin θy u ∂∂+r 2sin 2θ22x u ∂∂-rcos θx u ∂∂-2r 2sin θcos θy x u 2∂∂∂; 又r u r 1∂∂=r 1cos θx u ∂∂+r1sin θy u∂∂,222θu r 1∂∂= cos 2θy u 22∂∂-r1sin θy u ∂∂+sin 2θx u ∂∂-r 1cos θx u ∂∂-2sin θcos θy x u 2∂∂∂; ∴22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22yu∂∂.3、设u=f(r), r2=x 12+x 22+…+x n 2,证明：212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dru d +dr dur 1-n .证：记∵k x u ∂∂=k x r dr du ∂∂=dr du r x k , ∴2k 2x u ∂∂=dr du rx r 132k⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r d u d r x 2222k , k=1,2,…,n ∴∑=∂∂n1k 2k2x u =212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dr u d +dr du r 1r n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22dr u d +dr dur 1-n .4、设v=r 1g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-c r t , c 为常数，r=222z y x ++. 证明：v xx +v yy +v zz =2c1v tt .证：∵v x =-r x r 12g+r 1⎪⎭⎫⎝⎛-cr x g ’=-3r x g-2cr x g ’, v y =-3r y g-2cr y g ’, v z =-3r z g-2crz g ’; ∴v xx =522r r -3x g+42cr x g ’+422cr r -2x g ’+322r c x g ” =522r r -3x g+422cr r -3x g ’+322r c x g ”, v yy =522r r -3y g+422cr r -3y g ’+322r c y g ”, v zz =522rr -3z g+422cr r -3z g ’+322r c z g ”,∵522r r -3x +522r r -3y +522r r -3z =0, 422cr r -3x +422cr r -3y +422cr r -3z =0, 322r c x +322r c y +322r c z =r c 12, ∴v xx +v yy +v zz =rc 12g ”; 又v t =r 1g ’, v tt =r 1g ”, ∴v xx +v yy +v zz =2c 1v tt .5、证明定理17.8的推论. 证：证明过程见17.8推论.6、通过对F(x,y)=sinxcosy 施用中值定理，证明对某θ∈(0,1)，有43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ. 证：F x =cosxcosy, F y =-sinxsiny. 对点(3π,6π)和(0,0)运用中值定理知，存在某θ∈(0,1)，有F(3π,6π)-F(0,0)=3πF x (3πθ,6πθ)+6πF y (3πθ,6πθ)，即sin 3πcos 6π-sin0cos0=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ， 又sin 3πcos 6π-sin0cos0=43，∴43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ.7、求下列函数在指定点处的泰勒公式：(1)f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0) (至二阶)；(2)f(x,y)=yx在点(1,1) (至三阶)； (3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)；(4)f(x,y)=2x 2-xy-y 2-6x-3y+5在点(1,-2). 解：(1)∵f(0,0)=sin0=0, f x (0,0)=2xcos(x 2+y 2)|(0,0)=0, f y (0,0)=0, f xx (0,0)=[2cos(x 2+y 2)-4x 2sin(x 2+y 2)]|(0,0)=2, f yy (0,0)=2, f xy (0,0)=f yx (0,0)=-4xysin(x 2+y 2)|(0,0)=0, f xxx (θx,θy)=[-12xsin(x 2+y 2)-8x 3cos(x 2+y 2)]|(θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 3cos(θ2x 2+θ2y 2), f xxy (θx,θy)=[-4ysin(x 2+y 2)-8x 2ycos(x 2+y 2)]|(θx,θy) =-4θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 2ycos(θ2x 2+θ2y 2), f yyx (θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3xy 2cos(θ2x 2+θ2y 2), f yyy (θx,θy)=-12θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3y 3cos(θ2x 2+θ2y 2), ∴sin(x 2+y 2)=x 2+y 2+R 2(x,y)，其中R 2(x,y)=61[x 3f xxx (θx,θy)+3x 2yf xxy (θx,θy)+3xy 2f yyx (θx,θy) +y 3f yyy (θx,θy)] =-32[3θ(x 2+y 2)2sin(θ2x 2+θ2y 2) +2θ3(x 2+y 2)3cos(θ2x 2+θ2y 2)]. (2)∵f(1,1)=1, f x (1,1)=y1|(1,1)=1, f y (1,1)=-2y x|(1,1)=-1, f xx =0, f yy (1,1)=3y 2x |(1,1)=2, f xy (1,1)=f yx (1,1)=-2y1|(1,1)=-1, f xxx =f xxy =0, f yyx (1,1)=3y 2|(1,1)=2, f yyy (1,1)=-4y 6x|(1,1)=-6, f xxxx =f xxxy =f xxxy =f xxyy =0, f yyyx (1+θx,1+θy)=-4θy)(16+, f yyyy (1+θx,1+θy)=5θy)(1θx )24(1++. ∴yx=1+(x-1)-(y-1)-(x-1)(y-1)+(y-1)2+(x-1)(y-1)2-(y-1)3+R 3(x,y)，其中 R 3(x,y)=241[4(x-1)(y-1)3f yyyx (1+θx,1+θy)+(y-1)4f yyyy (1+θx,1+θy)] =-431)]-θ(y [11)-1)(y -(x ++51)]-θ(y [11)-θ(x 1++(y-1)4. (3)∵k k x f ∂∂=k 1-k y)x (11)!-(k (-1)++=k k yf ∂∂, ∴k k x f(0,0)∂∂=kk y f(0,0)∂∂=(-1)k-1(k-1)!; ∵p -n p n y x f ∂∂∂=n1-n y)x (11)!-(n (-1)++, ∴p -n p n yx f(0,0)∂∂∂=(-1)n-1(n-1)!;∴ ⎝⎛∂∂x x p!1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(0,0)=∑=p 0i p iC p!1(-1)p-1(p-1)!x i y p-i =p (-1)1-p (x+y)p. ⎝⎛∂∂+x x 1)!(n 1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(θx,θy)=1n n 1-n 0p p 1n θy)θx (1n!)1(C 1)!(n 1+=+++-+∑x p y n-p =1n n θy)θx 1)(1(n )1(++++- (x+y)n+1. ∴ln(1+x+y)=p y)(x )1(p n1p 1-p +-∑=+(-1)n1n 1n θy)θx 1)(1(n )y x (++++++, (0<θ<1). (4)∵f(1,-2)=5, f x (1,-2)=(4x-y-6)|(1,-2)=0, f y (1,-2)=(-x-2y-3)|(1,-2)=0, f xx =4, f yy =-2, f xy =f yx =-1, ∴f 的三阶偏导数都为0, ∴2x 2-xy-y 2-6x-3y+5=5+2(x-1)2-(x-1)(y+2)-(y+2)2.8、求下列函数的极值点：(1)z=3axy-x 3-y 3 (a>0)；(2)z=x 2-xy+y 2-2x+y ；(3)z=e 2x (x+y 2+2y). 解：(1)当z x =3ay-3x 2=0, z y =3ax-3y 2=0时,x=y=0或x=y=a, ∴函数z 有稳定点(0,0)和(a,a).又z xx (a,a)=-6a<0, z yy (a,a)=-6a, z xx (0,0)=0, z yy (0,0)=0, z xy =z yx =3a, 即有 (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=27a 2>0; (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=-9a 2<0, ∴(a,a)是极大值点, (0,0)不是极值点.(2)当z x =2x-y-2=0, z y =-x+2y +1=0时,x=1, y=0,∴函数z 有稳定点(1,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴(1,0)是极小值点. (3)当z x =e 2x (2x+2y 2+4y+1)=0, z y =e 2x (2y+2)=0时,x=21, y=-1,∴函数z 有稳定点(21,-1). 又z xx =e 2x (4x+4y 2+8y+4), z xx (21,-1)=2e>0; z yy =2e 2x , z yy (21,-1)=2e; z xy =z yx =e 2x (4y+4), z xy (21,-1)=z yx (21,-1)=0, 即有(z xx z yy -z xy 2)(21,-1)=4e 2>0; ∴(21,-1)是极小值点.9、求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：(1)z=x 2-y 2, {(x,y)|x 2+y 2≤4}；(2)z=x 2-xy+y 2, {(x,y)||x|+|y|≤1}； (3)z=sinx+siny-sin(x+y), {(x,y)|x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π}.解：(1)当z x =2x=0, z y =-2y=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =-2, z xy =z yx =0, 即有z xx z yy -z xy 2=-4<0;∴(0,0)不是极值点. 当x 2+y 2=4时，y 2=4-x 2，∴z=2x 2-4. 由z ’=4x=0，得稳定点x=0, y=±2, z(0,2)=z(0,-2)=-4. 又x 2=4-y 2,∴z=4-2y 2.由z ’=-4y=0,得稳定点y=0, x=±2, z(2,0)=z(-2,0)=4. ∴在(2,0),(-2,0)取最大值4, 在(2,0),(-2,0)取最小值-4. (2)当z x =2x-y=0, z y =2y-x=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴z(0,0)=0是极小值. 当x+y=1, 即y=1-x 时, z=x 2-x(1-x)+(1-x)2=3x 2-3x+1, 由z ’=6x-3=0, 得稳定点x=21, y=21, z(21,21)=41;当x-y=1, 即y=x-1时, z=x 2-x(x-1)+(x-1)2=x 2-x+1, 由z ’=2x-1=0, 得 稳定点x=21,y=-21, z(21,-21)=43;当-x-y=1, 即y=-x-1时, z=x 2-x(-x-1)+(-x-1)2=3x 2+3x+1, 由z ’=6x+3=0, 得 稳定点x=-21,y=-21, z(-21,-21)=43; 又z(1,0)=z(0,1)=z(-1,0)=z(0,-1)=1, ∴函数在(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)取最大值1, 在(0,0)取最小值0. (3)当z x =cosx-cos(x+y)=0, z y =cosy-cos(x+y)=0时,cosx=cosy, ∴函数的稳定点在x=y 或x+y=2π上.当x=y 时cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1=0, ∴cosx=cosy=-21或1,∴x=y=32π或x=y=0, z(32π,32π)=233, z(0,0)=0. 又在边界{(x,y)|x=0, 0≤y ≤2π}∪{(x,y)|y=0, 0≤x ≤2π}∪{(x,y)|x+y=2π}上, z=0, ∴函数在(32π,32π)取最大值233, 在边界上取最小值0.10、在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三边分别为x,y,y. 则面积S=z)-y)(p -x)(p -p(p , x+y+z=2p. ∴S=p)-y y)(x -x)(p -p(p , (x,y)∈D={(x,y)|0≤x ≤p, 0≤y ≤p, x+y ≥p }. 根据S 偏导数的特点，可知S 与f=(p-x)(p-y)(x+y-p)有相同的稳定点. 又当f x =(p-y)(2p-2x-y)=0, f y =(p-x)(2p-2y-x)=0时, x=y=32p , z=2p-x-y=32p, 且S 在D 的边界上有S ≡0, ∴S 在(32p ,32p)处取得最大值，即 边长为32p 的等边三角形面积最大为S(32p ,32p)=9p 3.11、在xy 平面上求一点，使它到三直线x=0, y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.解：所求点(x,y)到三直线的距离平方和为：s=x 2+y 2+516)-2y +(x 2.当s x =2x+516)-2y +2(x =0, s y =2y+516)-2y +4(x =0时，x=58, y=516. ∴(58,516)是s 的稳定点. 又s 在R 2内处处存在连续的偏导数, ∴(58,516)是s 唯一的稳定点，也是s 的最小值点.12、已知平面上n 个点的坐标分别为A 1(x 1,x 1), A 2(x 2,y 2), …,A n (x n ,y n )，试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小.解： 设点(x,y)为所求，它与各点距离平方和为：S=∑=+n1i 2i 2i ])y -(y )x -[(x .当S x =2nx-2∑=n 1i i x =0, S y =2ny-2∑=n1i i y =0时，x=∑=n 1i i x n 1, y=∑=n1i i y n 1.又S 在R 2内处处存在连续的偏导数，∴(∑=n 1i i x n 1,∑=n1i i y n 1)是S 唯一的稳定点，也是S 的最小值点.13、证明：函数u=ta 4b)-(x 22eπta 21-(a,b 为常数)满足热传导方程：t u ∂∂=a 222xu∂∂.证：t u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-. x u ∂∂=-ta 4b)-(x 222e ta 4b)-2(x πt a 21-, 22x u∂∂=-ta 4b)-(x 3322e πta 41+ta 4b)-(x 24222e t a 4b)-(x πt 2a 1-,∴a 222x u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-=tu∂∂.14、证明：函数u=ln 22b)-(y a)-(x +(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0. 证：∵x u∂∂=2222b)-(y a)-(x b)-(y a)-(x a -x +⋅+=22b)-(y a)-(x a -x +, ∴22x u ∂∂=222222]b)-(y a)-[(x a)-(x 2b)-(y a)-(x +-+=22222]b)-(y a)-[(x a)-(x b)-(y +-; 同理可得22y u∂∂=22222]b)-(y a)-[(x b)-(y a)-(x +-; ∴22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.15、证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0；则函数v=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 证：记s=22y x x +, t=22y x y +, 则x s ∂∂=22222)y x (x y +-=-y t ∂∂,y s∂∂=-222)y x (x y 2+=xt ∂∂.x v ∂∂=x s s f ∂∂∂∂+x t t f ∂∂∂∂,22x v ∂∂=222x s s f⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2x t x s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222x t t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22x s s f ∂∂∂∂+22x tt f ∂∂∂∂; 同理22y v ∂∂=222y s s f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2y t y s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222y t t f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22y s s f ∂∂∂∂+22y tt f ∂∂∂∂; ∵22x s ∂∂=-x y t 2∂∂∂,22y s ∂∂=y x t 2∂∂∂, ∴22x s ∂∂+22y s ∂∂=0, 同理22x t ∂∂+22yt∂∂=0. 又2x s ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, 2x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂, x t x s ∂∂∂∂=-y t y s ∂∂∂∂,22s f ∂∂+22t f ∂∂=0, 代入上述各式子，可得22x v ∂∂+22yv∂∂=0.16、设函数u=φ(x+ψ(y))，证明y x u x u 2∂∂∂∂∂=22x uy u ∂∂∂∂.证：令s=x+ψ(y), 则∵x u ∂∂=ds d φ,y x u 2∂∂∂=dy d ψds φd 22, ∴y x u x u 2∂∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ2;又y u ∂∂=dy d ψds d φ, 22x u ∂∂=22dsφd , ∴22x u y u ∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ22=y x u x u 2∂∂∂∂∂.17、设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在，f yx 在点(x 0,y 0)连续，证明：f xy 也存在，且f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0). 证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y)△x △y, 0<θ1,θ2<1，即有 f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y) =y1x )y ,f(x -)y x,f(x x y)y ,f(x -y)y x,f(x 00000000∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+-∆∆+∆+∆+. 又f yx 在点(x 0,y 0)连续，故对上式两边取△x →0得 f yx (x 0,y 0+θ2△y)=y)y ,f(x -)y x ,f(x 0000∆∆+，再让△y →0,由f yx 在点(x 0,y 0)连续及f xy 的定义知，f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).18、证明：若f x ,f y 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微，则有f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =[f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0+θ1△x,y 0)]△x, 0<θ1<1. 由f x 在点(x 0,y 0)可微知F(△x,△y)=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0,y 0)]△x-f x (x 0+θ1△x,y 0)-f x (x 0,y 0)]△x =[f xx (x 0,y 0)θ1△x+f xy (x 0,y 0)△y+o (ρ)-f xx (x 0,y 0)θ1△x-o (ρ)]△x= f xy (x 0,y 0)△x △y+o (ρ)△x. ∴yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f xy (x 0,y 0). 同理， 由f y 在点(x 0,y 0)可微得yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f yx (x 0,y 0). ∴f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).19、设u=222z y x z y x111, 求(1)u x +u y +u z ；(2)xu x +yu y +zu z ；(3)u xx +u yy +u zz . 解：u x =22z y 2x z y1110=2xz+y 2-2xy-z 2=(y-z)(-2x+y+z), 同理 u y =(x-z)(-2y+x+z), u z =(x-y)(-2z+x+y),∴(1)u x +u y +u z =0; (2)xu x +yu y +zu z =3(z-y)(x-y)(x-z). 又∵u xx =2(z-y), u yy =2(x-z), u zz =2(y-x),∴(3)u xx +u yy +u zz =0.20、设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx, 试按h,k,l 的正数幂展开f(x+h,y+k,z+l).解：∵f x =2Ax+Dy+Fz, f y =2By+Dx+Ez, f z =2Cz+Ey+Fx; f xx =2A, f yy =2B, f zz =2C; f xy =f yx =D, f xz =f zx =F, f yz =f zy =E.∴f(x+h,y+k,z+l)=f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l +Ah 2+Bk 2+Cl 2+Dhk+Ekl+Fhl= f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l+f(h,k,l).。
