热力学与统计物理练习题1答案

热力学与统计物理 练习题1答案一、简答题1． 热力学第二定律的克氏表述；不能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。

2． 能量均分定理。

对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的 平均值等于kT 21。

3． 单元复相系的平衡条件；（5分） 设有两相 βα,则两相平衡条件为βαβαβαμμ===p p T T分别为热平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。

4． 熵增原理。

（5分） 孤立系统的熵永不减少。

二、计算机题1、试证明，在某一过程中理想气体的热容量n C 如果为常数，这个过程一定是多方过程，多方过程指数Vn Pn C C C C n --=，假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。

解：根据热力学第一定律pdV dT C dT C V n +=由RT pV =，有RdT Vdp pdV =+，将dT 代入上式，得01=-+⎪⎭⎫⎝⎛--Vdp R C C pdV R C C V n V n两边除以pV ，再经整理，得到0=+pdpV dV n，经积分即得C pV n =。

2、图1.16所示的循环称狄塞尔（Diesel ）循环。

试证明，理想气体在狄塞尔循环中的效率为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1213121311V V V V V V V V γγγη ， 假设PC 和V C 是常数。

解：狄塞尔循环为等压加热循环，在等压过程32→中，吸收热量(),231T T C Q p -=，在等容过程14→中，放出热量()142T T C Q V -=，所以该循环的效率()()()231423142312111T T T T T T C T T C T T C Q Q Q p V p ---=----=-=γη （1） 因32→为等压过程，所以2323V V T T =（2） 因21→和43→为绝热过程，所以122111--=γγV T V T 和133114--=γγV T V T （其中41V V =）由上两式，得到，1122113314--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-γγVV T V V T T T （3）将（3）式代入（1）式，并考虑到（2）式，经化简之后，则得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1213121311V V V V V V V V γγγη。

3、试证明，一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。

解：这可以由压力不变下，熵对体积的偏导数PV S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂的符号证明之。

就定压膨胀系数PT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α而论，选P T ,为独立变量是方便的；于是问题就归结于把 PV S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂中的独立变量()p V ,变换到独立变量(,)T p 。

这可采用下面两种方法来做。

(i) P V S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=P P V T T S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=αV T C T V T S P PP //=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 因对均匀物体，0>P C ；而0≥T 及0≥V ，所以 PV S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂的符号与α的符号相同。

即在准静态等压过程中熵S 随体积V 的增减取决于温度随体积的增减。

4、由热力学公式VC S dT T=⎰及低温下电子气体的热容量，求电子气体的熵。

解：已知在低温下电子气体的热容量为202V kT C Nk πμ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴22000022TT V C k kTS dT Nk dT NkT ππμμ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰ 按上面的结果，在0T →时，我们有0S →，这与热力学第三定律的要求相符合。

5、在C 025下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为：3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-⨯+⨯⋅,如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。

解：写出 2cp bp a V ++=，则()()dp p dp cp b dV 6310046.0210715.02--⨯⨯+⨯-=+=所要求的功 ()1000132100013221221⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰cp bp dp cp b p pdV W V V()()()3362331010046.0321010715.021⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯=-- 1131.3383.326--⋅=⋅⋅=mol J molcm atm ()J cm atm 101324.013=⋅6、试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。

解：已知平衡辐射场的熵为V aT S 334=在可逆绝热过程中辐射场的熵不变，故有 T 3V = 恒量 （25.5）由于u p 31=，4aT u =，∴ 43131aT u p == （1）上式说明平衡辐射场的压力与体积无关，可逆等压过程也就是可逆等温过程。

图23.3从（25.5）和（1）式，可得在可逆绝热过程中，有 =34pV 恒量 （2）下面计算此卡诺循环的效率。

从等温膨胀过程1→2中，系统吸收热量)(341241111V V aT S T Q -==∆在等温压缩过程3→4中，系统放出热量)(344342222V V aT S T Q -==∆，在绝热过程2→3和4→1中，没有热量交换。

所以，循环效率为)()()(124143421241121V V T V V T V V T Q Q Q ----=-=η（3）又因为状态2和3在同一条绝热线上；状态4和1也在同一条绝热线上，故分别得到332231V T V T =；432131V T V T =将上两式代入（3）式即得121T T T -=η（4）这与以理想气体为工作物质的卡诺循环效率的公式相同。

7、在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754ln 18.70p T=-（1）液态的蒸汽压方程为 3063ln 15.16p T=-（2） 试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的溶解热。

解：（ⅰ）固态氨的饱和蒸汽压方程决定了氨的固态—汽态的相平衡曲线；液态氨的饱和蒸汽压方程决定氨的液态—汽态的相平衡曲线。

而三相点是两条曲线的交点，因此三相点的温度3T 满足下面方程：333754306318.7015.16T T -=- 解出3T ，得 3195T K =；（ⅱ）相变潜热可由公式 ln Lp A RT=-与实验公式（1）相比较而求得：3754L =升化R所以，43754 3.1210L R J mol ==⨯升化。

同理，43063 2.5410L R J mol ==⨯汽化。

（ⅲ）在三相点，L L L =+升化汽化溶解所以，3(37543063) 5.810L L L R J mol =-=-=⨯溶解升化汽化 8、线性谐振子能量的经典表示为2222121q p μωμευ+=试计算经典近似的振动配分函数v Z 以及振动的内能和熵。

解：对于线性谐振子，1=r ，所以 []q p kT q kT p h Z d d 2/2/exp 1222⎰⎰∞∞---=μωμυ [][]q kT q p kT p h d 2/exp d 2/exp 1222⎰⎰+∞∞-+∞∞---=μωμωμωππμηkTkT kT h ==2/122/1)/2()2(1（1）由N 个经典振子组成的系统的内能U 和熵S 为NkTN Z NU v ==∂∂-=ββυ1ln（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=υυυββZ Z Nk S ln ln⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11ln 1ln ωβββωηηNk kT Nk（3）1212111T T Q Q Q W -≤-='=η。

三、综合计算题1、 在p V -图上范氏气体等温线上的极大点和极小点连成一条曲线NCJ （见图），请证明这条曲线的方程是：3(2)pv a v b =-。

并说明这条曲线分割出来的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的意义。

解：（ⅰ）范氏方程： 2()a p v b RT v ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得： 2RT a p v b v=-- 232()Tp RT a v v b v ∂⎛⎫∴=-+⎪∂-⎝⎭因为等温线上的极大点和极小点应满足0Tp v ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭的条件，所以232()RT a v b v =-或32()RT av b v b v =-- 以此式代入物态方程得： 322()a a p v b v v =-- 或 3(2)pv a v b =-。

（ⅱ）在图中所示的区域Ⅰ是过热液体区，Ⅲ是过冷蒸汽区，Ⅱ是不能实现的状态，因为在此区域中，0Tp V ∂⎛⎫>⎪∂⎝⎭ ，不满足平衡稳定性条件。

2、 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T 1至T 2，假设γ是常数，试证明前者的熵增为后者的γ倍。

解：理想气体在准静态过程中，有Vdp dT C pdV dT C dQ P V -=+=（1）在等压过程中，熵增为222111()ln p p p p C dT T T TdT S C C T T TT T ∆===⎰⎰（2） 在等容过程中，熵增为121212ln )(T TC T dT T T C T dT C T T S V V V V ===⎰⎰∆（3）故γ∆∆==Vp Vp C C S S )()( （如C p 和C V 是常数）。

证明上式的另一种方法是：对于理想气体，我们已知(,)ln ln V S T V C T nR V so =++ （15.5） (,)ln ln p S T p C T nR p so =-+ （15.6） 将上两式分别用于等容和等压过程，可得2121ln()()ln V p pV V pT C S C T T S C C T γ∆===∆热力学与统计物理 练习题2答案一、简答题1、设有两相 βα,则两相平衡条件为 βαβαβαμμ===p p T T 分别为热平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。

2、 对于处在温度为T 的平衡态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于kT 21 二、计算题1、 解：范氏气体的物态方程为 2RT ap V b V=-- 故气体对外界作功 22112V V V V RT a W pdV dVV b V ⎛⎫'==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰--=21212V V V V VdV a b V dVRT ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=1212lnV a V a b V b V RT 。

2、试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

解：据题意，本题就是要证明：0>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂HS p T p T 因为 SP H S p H H T p T p T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 即0>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂PS P H S C V p H H T p T p T 上式中用到P P T H C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 和 V p H S=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂。