2019-2020年高三第二次月考文科数学试题

2019-2020年高三第二次月考 文科数学试题 word 版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试用时l20分钟．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1、若复数iia 213+- (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )． (A)6 (B)一6 (C)5 (D)一42、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=,0),(,0,0,0,2x x g x x x f x 且)(x f 为奇函数，则g(3)= ( )(A)8 (B)81 (c)-8 (D) 81- 3、将函数)32sin(π-=x y 的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为( )。

(A)y=cosx (B)y=sin4x (c)y=sin(x-6π) (D)y=sinx 4、在△ABC 中，点P 在BC 上，且PC BP 2=，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，BC =( )．(A)(-2，7) (B)(-6，21) (c)(2，-7) (D)(6，-21)5、两个圆042222=-+++a ax y x 与0414222=+--+b byx y x 恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，ab≠0则2211b a +的最小值为( ) (A)91 (B) 94（C ）1 （D ）3 6、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x ∈[0,1]时，f (x)=x ，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是 ( )(A)0个 (B)2个 (C) 4个 (D)6个7、若}{n a 是等差数列，首项0,0,020042003200420031<∙>+>a a a a a 则使数列}{n a 的前n 项和n s >0成立的最大自然数n 是( ) (A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)40088、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=,10,621,100|,lg |x x x x x f 若a,b,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是（ ）A (1，10) (B)(5，6) (c)(10，12) (D)(20，24)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分，不需写出解答过程，请把答案填在题中横线上。

2019-2020年高三第二次月考考试数学试题 含答案填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知全集，，且，则实数________。

32．若，则关于的不等式的解集是_________________。

3．已知幂函数过点，则的反函数为____________。

4．设，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，若是的充分条件，则的取值范围是 。

5．在等差数列中，若，则=______________． 6．已知()12arcsin 22)(+-=x x f π，则_____________。

07．在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为____________。

-8．对于集合，定义函数；对于两个集合、，定义集合{|()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-。

已知，，则用列举法写出集合的结果为____________。

9．要得到函数的图像，可以由函数的图像向左平移得到，则平移的最短长度为______________。

10．已知分别为三个内角的对边，，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则面积的最大值为____________。

11．设为实常数，是定义在R 上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________。

12．求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递减，且，所以原方程有唯一解。

类比上述解题思路，方程623(23)23x x x x +=+++的解集为____________。

13．已知函数有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为___________。

14．已知函数()cos(sin )sin(cos )=-f x a x b x 没有零点，则的取值范围是__。

2019-2020年高三第二次月考试卷（数学文）xx、9一、选择题（每题5分，共40分）1、若p={2，3，4}，Q={1，3，5}，M={3，5，6}，则C P(PM)C M(MQ)=A、{2，4}B、{2，4，6}C、{1，2，4，6}D、{1，2，3，4，5}2、与向量夹角相等，且模为1的向量是A、 B、或C、（）D、（或（3、设t=sin+cos且sin3+cos3<0，则t的取值范围是A、[-，0B、C、D、4、已知当x无限趋近于0时，无限趋近于1，则f’(x0)等于A、1B、0C、3D、1/35、函数的定义域为R，则a的整数值为A、1B、0C、0或1D、以上答案均不对6、已知ZC且|Z-2i|=1，则|Z|的取值范围是A、[0，2]B、[0，3]C、[1，2]D、[1，3]7、已知实数x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是A、[4，+B、C、D、不能确定8、函数f(x)=Asin(的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(xx)的值为A、0B、C、2+D、2-二、填空题（每题5分，共40分）9、设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)>0，f(2)=(a+1)(2a-3)，则a的取值范围是____________10、函数的值域是___________11、点P是曲线y=x3-x+7上一动点，则以点P为切点的曲线切线的倾斜角取值范围是____________12、复数，，若Z1+Z2是虚数，则m的取值范围是__________13、在直角坐标系xoy中，已知点A（-1，-2），点B（2cosx，2cos2x），点C（cosx，-1），其中，若，则x的值为____________14、已知数列{a n}是递增数列且对任意n都有a n=n2+n恒成立，则实数的取值范围是____________15、建造1个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元。

2019-2020年高三第二次月考数学（文）试卷word版含答案一、选择题（本大题满分60分，每小题5分） 1.设复数Z 满足(1)2i Z i -=，则Z =（ ）A 1i -+B 1i --C 1i -D 1i +2．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x ≥0B ．x ＜0或x ＞2C ．x ∈{－1，3，5}D ．x ≤－12或x ≥33.已知α为锐角，cos α=，则tan(2)4πα+=（ ） A.-3 B.-7 C 17-D 13- 4.设向量,a b 满足10,6a b a b +=-=，则a b ⋅=（ ）A.1B.2C.3D.55．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值等于( )A.34B.56C.58D.326.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若22,sin a b C B -==,则A=( )A. 30B. 60C. 120D. 1507． 已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π38.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π6，π9.设p ：y ＝c x (c ＞0)是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2cx 2＋2x ＋1)的值域为R .如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则c 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21C.⎥⎦⎤ ⎝⎛1,21∪[1，＋∞)D.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,010．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则下列结论中正确的是( )．A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)11．已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →·OA →＋|BC →|2＝AB →·OB →＋|AC →|2，则点O ( )A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在∠C 平分线所在的直线上 C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是△ABC 的外心12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x ＞0时，有 xf ′（x ）－f （x ）x2＜0恒成立，则不等式x 2f (x )＞0的解集是( ) A ．(－2，0)∪(2，＋∞)B ．(－2，0)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0，2)二、填空题（本大题满分20分，每小题5分）13.命题“对任意x R ∈,都有20x >”的否定为_____ ____,14．函数 y =的定义域为____________, 15．已知022ππβα-<<<<， 3cos()5αβ-=，5sin 13β=-，则 sin α=__________．16．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题满分70分）17．（10分）已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23，且a ⊥b .(1)求tan α的值； (2)求cos ⎪⎭⎫⎝⎛+32πσ的值． 18.（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知3cos()16cos cos B C B C --=(1)求cos A (2)若a =3，ABC ∆的面积为，求b ,c .19．(12分)已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . （1）求函数)(x f 的单调递增区间 ; （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值. 20．(12分)已知平面向量a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23，b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－k )b ，y ＝－s a ＋t b ，且x ⊥y ，试求s ＝f (t )的函数关系式；(3)若s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数，试求k 的取值范围．21.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意的x ∈D,存在常数M>0，都有()f x ≤M 成立，则称()f x 为D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界。

2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．52．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．164．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.56．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．07．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．48．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+111．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函数的零点个数为．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为．15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝．16．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝．三、解答题（共70分.）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．5【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的元素个数．解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}，∴A∩B的元素个数为6．故选：C．2．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数相等的定义计算即可．解：（2+i）（y+yi）＝y+3yi，所以3y＝1，x＝y＝，故选：D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．16【分析】先根据数量积求出•＝4，再求模长的平方，进而求得结论．解：因为平面向量，满足||＝4，||＝2，∵（+2）＝24⇒+2•＝24⇒•＝4，则|﹣2|2＝﹣4•+4＝42﹣4×4+4×22＝16；∴|﹣2|＝4；故选：B．4．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】判定出p真q假⇒￢p为假，￢q为真，①③为真命题．解：令f（x）＝e x﹣x，利用导数可求得当x＝0时，f（x）＝e x﹣x＝1，1是极小值，也是最小值，从而可判断p为真命题，命题q为假命题．故①p∨q为真；②p∧q为假；③p∧￢q为真；④￢p∨q为假．所有真命题的编号是①③．故选：A．5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【分析】由图可得服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低判断A；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小判断B；再求出患者服药一段时间后指标x低于100的频率判断C；直接由图象判断D．解：由图可知，服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低，∴A说法正确；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，∴B说法不对；以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，∴C说法正确；这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，∴D说法正确．故选：B．6．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．0【分析】由题意利用诱导公式求得2α＝2kπ﹣，可得sin2α的值．解：由诱导公式及，可得cos（+α）＝cos（+α），可得（舍去），或（+α）+（+α）＝2kπ，k∈Z，即2α＝2kπ﹣，∴sin2α＝﹣1，故选：A．7．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，求出A的坐标，代入椭圆方程求解即可．解：直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB是等腰直角三角形，解得m＝±，不妨A取，A点在椭圆上，代入椭圆，可得，解得b＝2，故选：B．8．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由函数图象可得A，利用周期公式可求ω，由f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，结合范围|φ|＜，可求φ，可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而化简g（x）解析式由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．由图可知，，，所以把f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象．故选：D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形【分析】画出图形，通过特殊位置判断截面形状即可．解：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE＞CF时，截面是梯形，故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+1【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序框图中应填的内容．解：取n＝1，有S＝a＝1，即a1＝1，不能进入循环，判断框应是i＜n进入循环；进入循环后第一次加上的应该是a2＝2a1+1，所以先算a＝2a+1．故选：A．11．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】有题意BO垂直平分AC∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以∠AOB为60°，求出渐近线的斜率，即得出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出a，c的关系，即求出离心率．解：依题意，一条渐近线是x轴与另一条渐近线的对称轴，OB垂直平分AC，∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以渐近线的倾斜角是60°或120°，所以渐近线的斜率为，即＝，c2＝a2+b2，所以离心率e＝＝＝＝2，故选：C．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先求导，再f'（1）＝0得2a+b﹣2＝0且△＞0，所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a），（a≠﹣1）利用二次函数图象和性质求出答案．解：f'（x）＝x2+2ax+b﹣3，f'（1）＝0⇒2a+b﹣2＝0，若函数f（x）有一个极值点，则△＝4a2﹣4（b﹣3）＝4a2﹣4（2﹣2a﹣3）＝4a2+4（2a+1）＝4（a+1）2＞0所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a）＝，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的零点个数为3．【分析】条件等价于函数与y＝x2的图象交点个数，数形结合即可．解：令，分别作与y＝x2的图象如图，又因为指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即f（x）有3个零点，故答案为3．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为5π．【分析】根据已知条件定出球心的位置，然后求出球的半径，代入球的表面积公式可求．解：如图，由已知，在底面ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，由PA⊥底面ABCD，易得△PAC，△PBC，△PCD都是直角三角形，所以球心是PC的中点，，S＝4πR2＝5π．故答案为：5π15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝3．【分析】设BD＝x，由已知结合锐角三角函数定义及余弦定理分别表示cos A，建立关系x的方程，可求．解：如图，设BD＝x，则由余弦定理可得，，又由余弦定理可得，7＝BC2＝9x2，＝13x2﹣3，即7＝6+x2，解得x＝1，∴AB＝3．故答案为：116．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝2．【分析】根据题意，分析可得f（x）是以4为周期的奇函数，结合函数的解析式分析可得，解可得a＝2，分析可得f（2）的值，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4为周期的奇函数，又由当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），则，解可得a＝2，又由f（x）是以4为周期的奇函数，则f（2）＝f（﹣2）且f（2）+f（﹣2）＝0，则f （2）＝0，故a+f（a）＝2+f（2）＝2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．【分析】（1）先利用每组的频率×该组区间的中点值再相加求出平均值的估计值，再处于总时间5小时，即可得到所求的结果；（2）由直方图，算出[25，35）和[35，45）这两组的概率，再相加即可得到样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率，以样本估算总体，进而得出每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为30×0.1+40×0.18+50×0.3+60×0.25+70×0.12+80×0.05＝52.6，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为；（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．【分析】（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，求出数列的通项公式即可．（2）记，利用函数图象结合函数的单调性推出当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，得到结果即可．解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得，解得或，当a1＝1，d＝2时，满足条件；当时，不满足条件，舍去，综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2），记，f（x）在（﹣∞，4.5）与（4.5，+∞）上都是增函数（图象如图3），对数列，当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为﹣11．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．【分析】（1）设A，B，P的坐标，求出直线AP，BP的方程，因为两条直线的交点P，可得直线AB的方程为：，整理可得恒过（0，2）点；（2）因为AB为直径的圆过点M（2，1），所以，由（1）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线AB的斜率，即求出P的坐标，即求出直线AB，进而求出圆心坐标．解：（1）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（b，﹣2），过点A，P的直线方程为，同理过点B，P的直线方程为，因为点P是两切线的交点，所以，即y＝2bx+2恒过（0，2）．（2）解：设直线AB为y＝kx+2（k＝2b），与抛物线方程联立得x2﹣kx﹣2＝0，其中△＞0，x1x2＝﹣2，x1+x2＝k，因为M（2，1）在AB为直径的圆上，所以，即（x1﹣2，y1﹣1）（x2﹣2，y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝0，整理得（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得k＝1或k＝﹣3．当k＝1时，，圆心为，半径，圆的标准方程为；当k＝﹣3时，，圆心为，半径，圆的标准方程为．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．【分析】（1）设M是AC的中点，则DM⊥AC，且，从而DM⊥平面ABC，由EF⊥平面ABC，得DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，推导出MF∥AB，DE∥AB，由此能证明A，B，E，D四点共面．（2）D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC，从而EF⊥AC，AC⊥BC，进而AC⊥平面BCE，由V B﹣CDE＝V D﹣BCE．能求出三棱锥B﹣CDE的体积．解：（1）证明：如图4，设M是AC的中点，因为DA＝DC＝3，所以DM⊥AC，且，因为平面ACD⊥平面ABC，交线为AC，DM⊂平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又EF⊥平面ABC，所以DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，在△ABC中，M，F是AC，BC的中点，所以MF∥AB，所以DE∥AB，从而A，B，E，D四点共面．（2）解：由（1），所以D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC⇒EF⊥AC，又AC⊥BC⇒AC⊥平面BCE，所以D到平面BCE的距离为，△BCE的面积，故三棱锥B﹣CDE的体积为．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，根据函数的单调性求出b的值即可．解：（1）f'（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a），当a＝1时，f'（x）＝（x﹣1）2≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，在（a，1）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当a＞1时，在（1，a）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上单调递增．（2）当a≠1时，函数有两个极值和，若函数f（x）有三个不同的零点⇔f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，又因为a的取值范围恰好是，所以令g（a）＝（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）恰有三个零点，若a＝3时，g（3）＝﹣6b（6b+8），b＝0或；当b＝0时，g（a）＝a2（3a﹣1）（a﹣3）＞0，解得符合题意；当时，g（a）＝（a3﹣3a2+8）（3a﹣9）＝0，则a3﹣3a2+8＝0不存在这个根，与题意不符，舍去，所以b＝0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化简可得所求；（2）由题意可设直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值．解：（1）因为，所以ρ﹣ρsinθ＝2，则，即＝y+2，两边平方整理得x2＝4y+4；由P点的极坐标，可得P点的直角坐标x＝ρcosθ＝0，y＝ρsinθ＝1，所以P（0，1）．（2）由题意设直线l的参数方程为（t为参数），与曲线C的方程x2＝4y+4联立，得，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣32，所以＝＝，而，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）将f（x）写成分段函数式，讨论x≤0时，0＜x＜2时，x≥2时，不等式的解，再求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（m）＝0，且x＞m恒成立，求得m的范围，检验可得所求范围．解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x+2）+|x|（x﹣2）＝，当x≤0时，﹣2x2+2x+4＜0⇒x＜﹣1；当0＜x＜2时，﹣2x+4＜0⇒x＞2矛盾；当x≥2时，2x2﹣2x﹣4＜0⇒﹣1＜x＜2矛盾，综上，x＜﹣1，则f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}；（2）对任意的x＞1时，因为f（m）＝0，f（x）＞0＝f（m），所以x＞m，则m≤1，当m≤1，x＞1时，x﹣m＞0，则f（x）＝（x﹣m）（x+2）+x（x﹣m）＞0恒成立，所以m的取值范围是m≤1．。

重庆2019学部2019-2020学年度下期第2次月考文科数学1.已知集合，，则=（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.设，则=（）D. 2A. B. C.3.若，满足，则的最小值为（）A. B. 7 C. 2 D. 54.阅读下图的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7.定义在上的函数，则满足的取值范围是（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.设，，为的三个内角A,B,C的对边，，若，且，则角A,B 的大小分别为（ ）A.B.C.D.9. 在中，是边上一点，且，，则（ ）A.B. C. D.10. 给出下列三个命题：①函数的单调增区间是,②经过任意两点的直线，都可以用方程来表示；③命题：“，”的否定是“，”，其中正确命题的个数有（ ）个A. 0B.1C. 2D. 311. 设m ，，若直线与圆相切，则m+n 的取值范围是（） A.B.C.,D.12. 已知函数（，e 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线y=x 对称的点，则实数a 取值范围是（ ）A.B. C.D.13. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为___________14. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为___________15. 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”； 丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”．已知函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的最小正周期与单调递增区间BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．20.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆相切的直线交椭圆于MN两点，若椭圆上一点C满足，求实数的取值范围21.已知函数（1）讨论的单调性并求最大值；（2）设，若恒成立，求实数a的取值范围22.选修4—4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中，直线L的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线与曲线C交于P，Q两点（1）求曲线C的普通方程及直线L恒过的定点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线L的普通方程23.选修4-5：不等式选讲.函数（Ⅰ）若a=-2求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a的取值范围参考答案1.C2. B3.D4.B5.C6.C7.D8.C9.A 10.B 11.D 12.A13. 14. 15.B 16.17.解：（Ⅰ）因为，最大值为2；（Ⅱ）最小正周期为令，解之得.单调递增区间为.18.解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104；（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定19.（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．20. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由已知得：，解得，所以椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）2+y2=1相切，所以，2k=，t≠0，把y=kx+t代入，并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2-24=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，因为=（x1+x2，y1+y2），所以C（，），又因为点C在椭圆上，所以，，因为t2＞0，所以，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为（-，0）∪（0，）．21.解：（1）由题设有x>0，，可知f(x)在(0，1)单调递增，在单调递减；f(x)的最大值为；（2）由题有，令，则，设，则，当x>0时，可知为增函数，且，当，即时，当x>0时，，则单调递增，，则h(x)单调递增，则h(x)>h(0)=0，即恒成立，故；当2a>2，即a>1时，则唯一存在t>0，使得，则当，，则h'(x)单调递减，h'(x)<h'(0)=0，则h(x)单调递减，则h(x)<h(0)=0，则，不能在上恒成立，综上：实数a的取值范围是.22.解：（1）由、及已知得：；由直线的参数方程知直线的直角坐标方程为：，所以直线恒过定点A(2,0)；（2）将直线l的方程代入曲线C的方程得：，由t的几何意义知：，，因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以，则，所以，因为，所以，，则，由此直线的方程为或.23.解：（Ⅰ）当a=-2时，f(x)=|x+2|，f(x)+f(2x)=|x+2|+|2x+2|>2，不等式可化为或或，解得；（Ⅱ），当时，f(x)=a-x+a-2x=2a-3x，则；当时，f(x)=x-a+a-2x=-x，则；当时，f(x)=x-a+2x-a=3x-2a，则，所以函数f(x)的值域为，因为不等式的解集非空，即为，解得a>-1，由于a<0，则a的取值范围为(-1，0).。

2019-2020年高三第二次联考（二模）（文科）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数1iz i=-（其中i 为虚部单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知集合{}{}2|6,x R |40A x N x B x x =∈≤=∈->，则AB =（ ）A ．{}4,5,6B ．{}5,6C ．{}|46x x <≤D ．{}|x 046或x x <<≤3.“1x <”是 “ln 0x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对,A B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现,A B 两变量有更强的线性相关性 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66.数列{}n a 中，已知121,2a S ==，且()11232,*n n n S S S n n N +-+=≥∈，则数列{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的侧面积是（ ）AB ．π C．2π+D．π+9.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310.对于ABC ∆，有如下四个命题：①若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形；②若sin cos B A =，则ABC ∆为直角三角形；③若222sin sin sin A B C +>，则ABC ∆为锐角三角形；④若coscoscos222a b c AB C ==，则ABC ∆为等边三角形，其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，过原点O 作圆：()222x c y b -+=的两条切线，切点分别是,A B ，且120AOB ︒∠=，那么该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12.设()f x 是定义在()(),00,ππ-的奇函数，其导函数为()'f x ，且02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x π∈时，()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,066，πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,0662，πππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,66πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用系统抽样从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1-160编号，并按编号顺序平均分成20组（1-8号，9-16号，…，153-160号），若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是 .14.点(),P x y 在不等式组031x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(),P x y 到直线()10y kx k =->的最大距离为k = .15.已知3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2x = . 16.某同学在研究函数()f x=的性质时，受到两点间的距离公式的启发，将()f x变形为()f x =()f x 表示||||PA PB +（如图），下列关于函数()f x 的描述正确的是 .（填上所有正确结论的序号）①()f x 的图象是中心对称图形；②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x的值域为)+∞；④方程()()1f f x =+三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列{}n a ，各项均为正数的等比数列{}n b ，满足1142831,2,,a b a b a b ====.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证：2n S <. 18. （本小题满分12分）2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节目，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不换龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.(1)能否在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系？ (2)4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 附：. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，22,//,,90,AB EF EF AB EF FB BFC BF FC ==⊥∠==，H 为BC 的中点.(1)求证：//FH 面EDB ； (2)求证：AC ⊥面EDB ； (3)求四面体B DEF -的体积.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:E y ax =上三个不同的点()1,1A ，、C B 满足关系式0AB BC ⋅=. (1)求抛物线E 的方程；(2)求ABC ∆的外接圆面积的最小值及此时ABC ∆的外接圆的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数()()()223x f x e x a a R =--+∈.(1)若函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； (2)若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图， AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且DB OB =，直线MD 与圆O 相交于点、M T (不与、A B 重合)，DN 与圆O 相切于点N ，连结、、MC MB OT .(1)求证：DT DM DO DC ⋅=⋅； (2)若60DOT ∠=，试求BMC ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2224484t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）.(1)求曲线C 的普通方程；(2)过点()0,1P 的直线l 与曲线C 交于、A B 两点，求PA PB ⋅的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()()0,,0,,2a b a b ∈+∞∈+∞+=. (1)求14a b+的最小值； (2)若对()14,0,,211a b x x a b∀∈+∞+≥--+恒成立，求实数x 的取值范围.2016届高中毕业班联考试卷(二)数学(文科)参考答案及评分标准1.B 解：i z 2121+-= ，故选B. 2.B 解：}6,5{}64,0|{=≤<<∈=⋂x x N x B A 或 ，故选B. 3.B 解：100ln <<⇔<x x ，故选B.4.D 解：r 越大，m 越小，线性相关性越强，故选D.5.A 解：1,1,1===T a k ；1,0,2===T a k ；1,0,3===T a k ；2,1,4===T a k ；3,1,5===T a k ，故选A. 6.D 解：)2(21≥=+n a a n n ，又112=a a不满足上式，故选D.7.A 解：x x g 2sin3)(π=，Z k k k x ∈++∈∴],34,14[，故选A.10.A 解：①B A =或2π=+B A ，错；②A B -=2π或A B +=2π，错；③只能得到C ∠为锐角，错；④2sin 2sin 2sinCB A == ，C B A ==∴，正确.故选A. 11.C 解：c b 23=，2=∴e . 12.B 解：令xx f x g sin )()(=，则)(x g 在),0(π上递减，在)0,(π-上递增，当),0(π∈x 时，πππ<<⇒<x g x g 6)6()(；当)0,(π-∈x 时，06)6()(<<-⇒->x g x g ππ；故选B.13.6 解：第1组中用抽签法确定的号码是6815126=⨯-.14.1 解：221|130|2=+--⨯k k ，0>k ，1=∴k .15.257 解：257)4(sin 21)22cos(2sin 2=--=-=x x x ππ . 16.②③ 解：)()3(x f x f =- ，)(x f ∴关于直线23=x 对称；13||||||=≥+AB PB PA ，),13[)(+∞∈∴x f .17.解: ⑴设等差数列}{n a 的公差为d )0(>d ，等比数列}{n b 的公比为q )0(>q⎩⎨⎧==3824b a b a ⎩⎨⎧=+=+⇒2271231q d q d ⎩⎨⎧==⇒21q d ……3分 n a n =∴，n n b 2= ………6分⑵n n nc 2=n n n n n S 221232221132+-++++=∴- 143222123222121++-++++=n n n n n S 2222<+-=∴n n n S …………12分18.解：⑴由题意可得列联表：828.10667.16600200640160)14010050060(80022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 故能在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系. …6分种，工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率3162==P …12分 19.解:⑴设BD 与AC 交于点O ，连结OE 、OH .O 、H 分别为AC 、BC 的中点 AB OH //∴，又AB EF // EF OH //∴，又EF OH = OEFH ∴为平行四边形OE FH //∴，又⊄FH 平面BDE ，⊂OE 平面BDE//FH ∴平面BDE . …………4分 ⑵AB EF // ，FB EF ⊥FB AB ⊥∴，又BC AB ⊥ ，B BC FB =⋂ ⊥∴AB 平面BCF ，又⊂FH 平面BCF AB FH ⊥∴，又BC FH ⊥，B AB BC =⋂ ⊥∴FH 平面ABCD ，又OE FH // ⊥∴OE 平面ABCDAC OE ⊥∴，又BD AC ⊥，O OE BD =⋂⊥∴AC 平面BDE . …………8分⑶31221213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-BF S V DEF B …………12分20.解: ⑴211⨯=a ，1=∴a ，抛物线E 的方程为2x y = …………2分 ⑵设),(211x x B ，),(222x x C ，则)1,1(211--=→x x AB ，),(212212x x x x BC --=→→→=⋅0BC AB0))(1())(1(212221121=--+--⇒x x x x x x11≠x ，21x x ≠0))(1(1211=+++∴x x x ，且11-≠x1)111(112++++-=∴x x x当011>+x 时，12-≤x ；当011<+x 时，32≥x),3[]1,(2+∞⋃--∞∈∴x …………5分→→=⋅0BC AB ，BC AB ⊥∴，从而ABC ∆的外接圆的直径为||AC 要使ABC ∆的外接圆面积最小，须||AC 最小22)1()1(||2224222222+--=-+-=x x x x x AC令22)(24+--=x x x x f ，),3[]1,(+∞⋃--∞∈x]1)12)[(1()244)(1(224)(223++-=++-=--='∴x x x x x x x x f]1,(--∞∈∴x 时，0)(<'x f ，)(x f 递减；),3[+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 递增又4)1(=-f ，68)3(=f2||min =∴AC ，此时12-=x …………9分 1=∴r ，ABC ∆的外接圆面积π=min S . …………10分 12-=x ，)1,1(-∴CA B C ∆∴的外接圆的圆心为)1,0(，半径1=rABC ∆∴的外接圆方程为1)1(22=-+y x …………12分21.解：⑴3)(2)(2+--=a x e x f x ，R x ∈)(2)(a x e x f x +-='∴ …………2分0)0(='f ，即：0)1(2=+a1-=∴a . ……… 4分⑵令)(2)(a x e x g x+-=，),0[+∞∈x0)1(2)(≥-='∴x e x g 对),0[+∞∈x 恒成立)(2)(a x e x g x +-=∴在),0[+∞内单调递增，且)1(2)0(a g += ………6分①当0)1(2≥+a ，即1-≥a 时，0)0()(2)(≥'≥+-='f a x e x f x)(x f ∴在),0[+∞上为增函数05)0(2≥-=∴a f 55≤≤-⇒a51≤≤-∴a ………8分②当012<+）（a ，即1-<a 时，0)0(<∴g 由)(2)(a x e x g x+-=在),0[+∞内单调递增知：存在唯一),0[0+∞∈x ，使得0)(2)(000=+-=a x ex g x ，即00x a e x =+. 令0)(>'x f ，得0x x >，0)(<'x f ，得00x x <≤；3)(2)()(200min 0+--==∴a x e x f x f x ……… 10分 a e x x +=003)(2)(2000+-=∴x x e e x f )3)(1(00-+-=x x e e030≤-∴x e ，即3ln 00≤<x .)1,33[ln 00--∈-=∴x e x a综上，实数a 的取值范围是]5,33[ln -. ……… 12分22.解：⑴设r OB =)0>r （，则有：r BD =，2rCB OC ==. 233r r r DA DB DM DT =⋅=⋅=⋅又23232r r r DC DO =⋅=⋅DC DO DM DT ⋅=⋅∴ …………… 5分 ⑵DC DO DM DT ⋅=⋅DMDODC DT =∴ 又CDM TDO ∠=∠ DTO ∆∴∽DCM ∆ DMC DOT ∠=∠∴ DMB DOT ∠=∠∴2030=∠∴BMC . …………… 10分23.解：⑴1)44()44()44(42222222222=++=+++-=+t t t t t t y x 又)1,1[48144222-∈+-=+-=t t t x C ∴的普通方程为1422=+y x ，)1,1[-∈x ……… 5分⑵设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x ，α(为倾斜角，且)),43()43,0[πππα⋃∈ 代入曲线C 得：03sin 2)cos 3122=-⋅+⋅+t t αα（ 设两根为21,t t ，α221cos 313+==⋅∴t t PB PA ，),43()43,0[πππα⋃∈ 故]3,43[||||∈⋅PB PA . ……… 10分24.解：⑴),0(+∞∈a ，),0(+∞∈b ，2=+b a292252222522252)41(41=+=⋅+≥++=+⋅+=+∴b a a b b a a b b a b a b a 29)41(min =+∴b a ，此时32=a ，34=b . ……… 5分⑵|1||12|41+--≥+x x ba 对),0(,+∞∈∀b a 恒成立29|1||12|≤+--∴x x⎪⎩⎪⎨⎧≤+++--≤⇔291121x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+-≤<-29112211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--->2911221x x x 125-≤≤-⇔x 或211≤<-x 或21321≤<x 21325≤≤-⇔x]213,25[-∈∴x ……… 10分。

2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．2.复数12z i =-的虚部为( ) A. 2i B. 2i -C. 2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念可知复数12z i =-的虚部.【详解】形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部, 所以复数12z i =-的虚部为-2. 故选：D.【点睛】考查复数的概念，知识点较为基础.3.已知向量()()1,2,,4a b x ==，且a b ⊥，那么x 的值为（ ） A. 2- B. 4-C. 8-D. 16-【答案】C 【解析】·80a b x =+=，所以8x =-，故选择C.4.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A. 6B. 10C. 91D. 92【答案】B 【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计数学成绩中大于等于90的人数，接下来根据茎叶图找出成绩大于等于90分的人数即可得到答案.【详解】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数， 所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10， 因此输出结果为10. 故选：B .【点睛】本题考查学生对茎叶图的认识和对算法流程图的认识,关键是掌握茎叶图的特点，是基础题.5.把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =，那么3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 12-B.12C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象变换求出()y g x =，然后代入可得3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到的函数图象对应的解析式为sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再将图象向右平移3π个单位，得到7()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1()sin 362g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，进行图象变换时，要关注x 的系数对结果的影响，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．7.已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为3log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8.0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果. 【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，b c a ∴>>，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.9.在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+=（ ） A.13B. 13-C.76D. 76-【答案】B 【解析】 【分析】将CE 利用平面向量的加法和减法运算，转化为以CD 和CA 为基底表示出来，根据E 是AD的中点列方程，求得,λμ的值. 【详解】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题10.设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．【详解】因为函数f （x ）定义域为R ，而且f （﹣x ）＝cos|2x |+|sin x |＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，①正确；因为函数y ＝cos|2x |的最小正周期为π，y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以f （x ）的最小正周期为π，②正确；f （x ）＝cos|2x |+|sin x |＝cos2x +|sin x |＝1﹣2sin 2x +|sin x |＝﹣2（|sin x |14-）298+，而|sin x |∈[0，1]，所以当|sin x |＝1时，f （x ）的最小值为0，③正确； 由上可知f （x ）＝0可得1﹣2sin 2x +|sin x |＝0，解得|sin x |＝1或|sin x |12=-（舍去） 因此在[0，2π]上只有x 2π=或x 32π=，所以④不正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题． 11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A. 16π B.323π C. 12π D. 32π【答案】A 【解析】 【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可.【详解】BCD外接圆直径sin CD d CBD ===∠故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选A【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =求解即可.属于中等题型.12.已知抛物线21:8C y x =，圆222:(2)1C x y -+=，若点,P Q 分别在12,C C 上运动，且设点(4,0)M ，则||||PM PQ 的最小值为（ ） A.35 B.45C. 4D. -4【答案】B 【解析】 【分析】设点(),P x y ,圆222:(2)1C x y -+=圆心为()2,0N ,半径为1r =,要保证||||PM PQ 取得最小值,应PQ PN r =+,画出几何图形,结合已知,即可求得答案. 【详解】画出几何图形,如图:设点()(),,0P x y x >,圆222:(2)1C x y -+=圆心为()2,0N ,半径为1r =,要保证||||PM PQ 取得最小值 ∴ 根据图像可知应:222(2)1(2)81PQ PN r x y x x =+=-+=-+224481(2)13x x x x x =-++=+=+又22(4)PM x y =-+22816816x x x x -++=+ ∴2163PM x PQx +=+故()2222226967||16||(3)(3)x x x PM x PQ x x ++-++==++ 226762511(3)3(3)x x x x -=-=-++++令11,033t t x ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭ ∴ 222||2561||PM t t PQ =-+ 由二次函数可知:当0325t =时,22||||PM PQ 取得最小425361642525⨯-=⨯∴||||PM PQ 的最小值为:45. 故选:B.【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____． 【答案】(],3-∞ 【解析】 【分析】运用分类讨论的思想和子集的概念可得出结果.【详解】解：根据题意得：当 B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤. 故答案：(],3-∞.【点睛】本题考查集合中子集的概念，易错点是忽略空集，属于基础题.15.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【解析】 【分析】当0x >时0x -<，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x -<，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16.已知数列{}n a 满足123...2(n n a a a a n a n ++++=-∈N *)，()222n n nb a -=-,则数列{}n b 中最大项的值是__________．【答案】18【解析】【详解】依题意有2n n S n a =-，当1n =时，1a 为1，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a --=-=-+，即1112n n a a -=+，也即()11222n n a a --=-，所以1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22n nn b -=，12311,0,28b b b =-==，当3n >时，3n b b ≤，所以最大项为18. 点睛：本题主要考查数列已知n S 求n a 的方法，考查递推数列求通项的配凑法，考查数列的最大项的求解方法.首先根据题目所给n S 与n a 的关系，利用1n n n a S S -=-，然后利用配凑成等比数列的方法，求出n a 的通项公式，代入n b 后先求得前几项的值，然后利用函数的单调性来解决最值问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+；（2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）关系为()()40020,036380,36t t t N C t t t N ⎧-<<∈⎪=⎨≥∈⎪⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）..参考公式：()()()^1111212nniii ii i n n i i i i x x yy x yb x x x nxynx====--==---∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】(1) 2.51y x =-.（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 【解析】【详解】试题分析：（1）根据公式求出b ，再将样本中心代入求出a ，进而得到回归方程；（2）40020,036,380,36,t t t N C t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数的表达式，分段列出利润表达式，分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润值. 解析：(1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.425 2.5558510.45ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41ˆˆa y bx =-=-⨯=-， 则y 关于x 的线性回归方程为 2.51ˆˆyx =-. (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋，因为40020,036,380,36,t t t NC t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时，max 300352010480L =⨯-=；当36t ≥时，利润700380320L t t t =-=， 当36t =时，700363803611520L =⨯-⨯=， 当37t =时，70036.53803711416L =⨯-⨯=．综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===．（1）证明：AE ⊥平面ECD ．（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】(1)见解析6【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，进而可证明结论成立；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，求出直线1A C 的方向向量、平面EAC 的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ . 又CD AD ⊥，1AA AD A =，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CDED D =，所以AE ⊥平面ECD .（2）因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，底面ABCD 是矩形，所以以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,0,0,0,4A A ,()()2,4,0,0,2,2C E ，()2,4,0AC = , ()0,2,2AE = ,()12,4,4AC =- 设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =由n AC ⊥，n AE ⊥，可得240,220x y y z +=+=， 令1z =，则()2,1,1n =-，设直线1A C 与平面EAC 所成的角为α， 则116sin 9A C n A C nα⋅==. 所以直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为6.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定、以及求线面角的问题，熟记线面垂直的判定定理、灵活运用空间向量的方法求空间角即可，属于常考题型. 19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 23)cos 2B AC +=. （1）求sin B ；（2）若ABC 的周长为8，求ABC 的面积的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B 的范围即可得到结果． （2）利用三角形的面积求出ac ，利用余弦定理结合基本不等式求出ac 的范围，即可得面积的范围． 【详解】（1）23sin()cos 2BA C +=且sin()sin A C B +=22sin cos cos 222B B BB ==， 又022B π<<，sin 0cos 222B BB∴>=tansin 2263B B B B ππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c =-+2226416()21cos 222a c b a c ac B ac ac +--++-∴===36416()64ac a c ∴=-++≥-+36408)0ac ∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac ∴≤1sin 2ABC S ac B ∆∴==≤a c =时取“=”）综上，ABC 的面积的取值范围为⎛ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．20.已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，且,CA CB 所在直线的斜率之积等于34-，记顶点C 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线Γ交于,M N 两点，点P 在曲线Γ上，且O 为PMN ∆的重心（O 为坐标原点），求证：PMN ∆的面积为定值，并求出该定值.【答案】（Ⅰ）()221243x y x +=≠±（Ⅱ）证明见解析，定值为92.【解析】 【分析】（Ⅰ）设(),C x y ，根据题意列方程即可求解.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由O 为PMN ∆的重心，可得0OP MO NO ++=，从而1230x x x ++=，1230y y y ++=，将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点P 坐标，代入椭圆方程可得22443m k =+，再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）设(),C x y ，因为点A 的坐标为()2,0-，所以直线AC 的斜率为()22AC yk x x =≠-+ 同理，直线BC 的斜率为()22BC yk x x =≠- 由题设条件可得，()32224y y x x x ⋅=-≠±+-. 化简整理得，顶点C 的轨迹Γ的方程为：()221243x y x +=≠±.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 因为O 为PMN ∆的重心，所以0OP MO NO ++=， 所以1230x x x ++=，1230y y y ++=，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222264443412484320k m k m k m ∆=-+-=+-> 122843kmx x k -+=+，()121226243m y y k x x m k +=++=+， 32843km x k =+，32643m y k =-+，∴2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又点P 在椭圆上，所以()()2222222161214343k m m kk+=++，∴22443m k =+，因为O 为PMN ∆的重心，所以PMN ∆是OMN ∆的3倍，21MN x =-=，原点O 到直线MN的距离为d =12OMNS MN d ∆=⋅=32==. 所以932PMN OMN S S ∆∆==， 所以，PMN ∆的面积为定值，该定值为92. 【点睛】本题考查了直接法求曲线的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知a 为常数，a R ∈，函数2()ln f x x ax x =+-，()xg x e =（其中e 是自然对数的底数）.（1）过坐标原点O 作曲线()y f x =切线，设切点为00(,)P x y ，求证：01x =；（2）令()()()f x F xg x =，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围． 【答案】(1) 01x =;(2) 2a ≤.【解析】试题分析：（1）先对函数求导，()12f x x a x'=+-，可得切线的斜率20000x ax lnx k x +-=，即200ln 10x x +-=，由01x =是方程的解，且2ln 1y x x =+-在∞（0，+）上是增函数，可证；（2）由()()()2xf x x ax lnx F xg x e +-==，()()212'xx a x a lnx x F x e -+-+-+=，先研究函数()()212ln h x x a x a x x =-+-+-+，则()211'22h x x a x x=-+++-，由()h x '在(]0,1上是减函数，可得()()12h x h a ''≥=-，通过研究2a -的正负可判断()h x 的单调性，进而可得函数()F x 的单调性，可求出参数范围. 试题解析：（1）()1'2f x x a x=+-（0x >）， 所以切线的斜率2000000ln 12x ax x k x a x x +-=+-=， 整理得200ln 10x x +-=，显然，01x =是这个方程的解，又因为2ln 1y x x =+-在()0,+∞上是增函数，所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解， 故01x =．（2）()()()2ln xf x x ax x F xg x e+-==，()()212ln 'xx a x a x x F x e -+-+-+=， 设()()212ln h x x a x a x x =-+-+-+，则()211'22h x x a x x=-+++-，易知()'h x 在(]0,1上是减函数，从而()()''12h x h a ≥=-．①当20a -≥，即2a ≤时，()'0h x ≥，()h x 在区间()0,1上是增函数， ∵()10h =，∴()0h x ≤在(]0,1上恒成立，即()'0F x ≤在(]0,1上恒成立． ∴()F x 在区间(]0,1上是减函数，所以2a ≤满足题意． ②当20a -<，即2a >时，设函数()'h x 的唯一零点为0x ，则()h x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减， 又∵()10h =，∴()00h x >， 又∵()()22ln 0aaa a a h eea e a e e ----=-+-+-+<，∴()h x 在()0,1内有唯一一个零点'x ，当()0,'x x ∈时，()0h x <，当()',1x x ∈时，()0h x >.从而()F x 在()0,'x 递减，在()',1x 递增，与在区间(]0,1上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意．综上①②得，2a ≤．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若射线02πθφφ=<<（）与曲线1C 交于,O A 两点，与曲线2C 交于,O B 点，且||2AB =，求tan φ的值.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，公共弦所在直线的极坐标方程6R πθρ=∈（）（2）tan φ=【解析】 【分析】（1）先得到C 1的一般方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式得到极坐标方程，将ρθ=，2cos ρθ=联立，得到公共弦所在直线的极坐标方程；（2）先求得|OA |，|OB |，可得||2AB ==|OA |-|OB |，化简可得到3πφ=.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为2211x y -+=（），将极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==代入2211x y -+=（），可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.联立ρθ=与2cos ρθ=，得tan 3θ=∴曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程6R πθρ=∈（）,（或6πθ=和76θπ=）（2）把0θφφπ=<<（），代入ρθ=，2cos ρθ=，得||2cos OA φ=；||OB φ=又||2AB =，则2cos φφ-=2，可得1sin62663ππππφφ-=-∈-（），（，）所以3πφ=，tan φ=【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x x =.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若正数a ，b ，c 满足14923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c++的最小值. 【答案】（1）11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）1963【解析】 【分析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可. 【详解】（1）化简得()221f x x x =-->.①当0x ≤时，()()222f x x x x =---=+，由()1f x >，即21x +>，解得1x >-，又0x ≤，所以10x -<≤；②当02x <<时，()23f x x =-，由()1f x >，即231x ->， 解得13x <，又02x <<，所以103x <<； ③当2x ≥时，()2f x x =--不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由于111221333f ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，故149233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， ∴()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭， ∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。