材料力学第十二章分解
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材料力学课件第12-14章
17
12.3 构件受冲击时的动应力计算
讨论
Kd (1 1 2h ) st
1. 只要求是线弹性结构。
２.适用于整个结构。
３. 重要问题是理解st 及计算。 4 . 突加载荷, h=0, Kd=2
18
12.3 构件受冲击时的动应力计算
2. 水平冲击
d
Fd
v
T V Ud V 0
T 1 G v2 2g
第十三章 交变应力
34
第十三章 交 变 应 力
§13.1 概述 §13.2 交变应力的有关参数 §13.3 材料的持久极限 §13.4 构件的持久极限 §13.5 对称循环下构件的疲劳强度计算 §13.6 提高构件疲劳强度的主要措施
35
第十三章 交 变 应 力
§13.6 持久极限曲线及其简化 §13.7 非对称循环下构件的疲劳强度计算 §13.8 弯扭组合交变应力下构件的疲劳强度计算 §13.9 提高构件疲劳强度的主要措施
max st d
当在循环过程中
max, min 保持不变 — 稳定的交变应力
max, min 随时变化 — 不稳定的交变应力
47
13.2 交变应力的有关参数
二、几种典型的交变应力
对称循环
max min
r min 1 max
m 0
o
t a max
48
13.2 交变应力的有关参数
1 2
(1
r ) max
45
13.2 交变应力的有关参数
4. max min 表示法
max m a
min m a
t
max m min a a
46
13.2 交变应力的有关参数
5．关系
12.3 构件受冲击时的动应力计算
讨论
Kd (1 1 2h ) st
1. 只要求是线弹性结构。
２.适用于整个结构。
３. 重要问题是理解st 及计算。 4 . 突加载荷, h=0, Kd=2
18
12.3 构件受冲击时的动应力计算
2. 水平冲击
d
Fd
v
T V Ud V 0
T 1 G v2 2g
第十三章 交变应力
34
第十三章 交 变 应 力
§13.1 概述 §13.2 交变应力的有关参数 §13.3 材料的持久极限 §13.4 构件的持久极限 §13.5 对称循环下构件的疲劳强度计算 §13.6 提高构件疲劳强度的主要措施
35
第十三章 交 变 应 力
§13.6 持久极限曲线及其简化 §13.7 非对称循环下构件的疲劳强度计算 §13.8 弯扭组合交变应力下构件的疲劳强度计算 §13.9 提高构件疲劳强度的主要措施
max st d
当在循环过程中
max, min 保持不变 — 稳定的交变应力
max, min 随时变化 — 不稳定的交变应力
47
13.2 交变应力的有关参数
二、几种典型的交变应力
对称循环
max min
r min 1 max
m 0
o
t a max
48
13.2 交变应力的有关参数
1 2
(1
r ) max
45
13.2 交变应力的有关参数
4. max min 表示法
max m a
min m a
t
max m min a a
46
13.2 交变应力的有关参数
5．关系
浙江工业大学材料力学第12章答案
12.1 图示重物以匀加速度下降，在2.0秒内速度由s m 5.1降至s m 5.0。
设绳的横截面面积为A=10mm 2，求绳内应力。
解：（1）252.05.15.0s m a -=-=，故5.01=+=g a K dMPa A Q K K d st d d 2001040005.0=⋅=⋅=⋅=σσ12.2 图示重物kN Q 40=，用绳索以等加速度25s m a =向上吊起，绳索绕在一重为kN W 0.4=，直径为m D 2.1=的鼓轮上，鼓轮的惯性半径为cm r 45=。
轴的许用应力[]MPa 100=σ，鼓轮轴两端A 、B解：（1）kN Q g a W Q K W F d d 6440105141=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+= m N D a r g W D Q g a I D Q K T d d ⋅=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=366752.11045.01040006.0400001051221222ε m N l F M d d ⋅=⋅⋅==1600016400025.041max , []σπσ≤+=+=32366750001600000032222max ,3d WT M d d rmm d 7.159≥，取[]mm d 160=12.3 如图所示，重N 300法兰从高度为h 处自由下落，冲击到杆ABC 的下端C 平台，杆能承受的最大应力为MPa 200，求h 的最大允许高度。
假定杆的弹性模量为E 200=解：mm EA Ql EA Ql l 00663.030440410200200030022321=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⋅=+=∆ππ MPa K st d d 200==σσ24.4713043002002112112=⋅⋅==∆++=∆++=πσσst d st d l h h K mm h 2.733=12.4 如图所示，重N 100物体从mm h 500=位置自由下落到铝制梁AB 上的C 点，求截面C 的位移和梁上的最大应力。
范钦珊版材料力学习题全解 第12章 简单的静不定系统
（a）
（b） 习题 12－4 图
（A） FQA = FQB = 0 ， FNA = FNB = 0 ， M A = M B = 3( M / 3) ； （B）需解超静定才能确定； （C） FQA = FQB = 0 ， FNA
= FNB = 0 ，MA 、MB 需解超静定才能确定；
M 。 2
（D） FQA = FQB = FNA = FNB ，但需解超静定才能确定具体数值， M A = M B =
X 1δ11 + X 2δ12 + ∆1FP = 0 ⎫ ⎪ ⎬ X 1δ 21 + X 2δ 22 + ∆2 FP = 0 ⎪ ⎭
（a）
10
(a)
(b) 习题 12－7 (b) 解的图－1
利用图乘法求其中的位移，作用在静定基本系统上的载荷（图 c）以及沿多余约束力 X1 和 X2 方向施加的单位力（图 e 和 g）所产生的弯矩图分别如图 f 和 h 所示。据此，可以求得：
由此解得：
1 5 FP = FP （→） 6 3 10 考虑静定基本系统平衡，得到全部约束力 11 F Ax = FP + FRD = FP （←） 10 FRD =
M A = FP ⋅ l = FP l （逆）
12－7 平面刚架各杆的刚度都相同，所受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响，试用 图乘法确定其约束力，并画出弯矩图,确定绝对值最大的弯矩值及其所在横截面。
应用卡氏定理，建立变形协调条件 ∆Dx = 0 。
∂M 3 = x3 ∂FRD
∆Dx =
l l ⎤ ∂M 3 ∂M 1 ∂M 2 1 ⎡ l dx1 + ∫ M 2 ( x2 ) dx2 + ∫ M 3 ( x3 ) dx3 ⎥ ⎢ ∫ 0 M 1 ( x1 ) 0 0 ∂FRD ∂FRD ∂FRD EI ⎣ ⎦
材料力学12(1)
（二）斜弯曲时的强度条件 a. 中性轴与z轴的夹角
tan Iz M y 12 1
Iy Mz
以图12-2为例，此时中性轴位置的表达式为：
图12-2
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
x x
Iz Iy
tan
12 1
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
例3图
例3图
受力简图
解（一）外力分析
将各力向圆轴的 截面形心简化， 画出受力简图。
（二）内力分析
画出内力图如图， 从内力图分析，B截面 为危险截面。B截面上 的内力为：
扭矩： Mn 1KN m
弯矩：
M M
z y
0.364KN 1KN m
m
总弯矩为：
MB
M
2 z
M
2 y
1.06KN
m
i
2 y
ez
12
4
式(12-4)中ay, az为中性轴在直角坐标轴上的截距（图12-3）； ey, ez为偏心力P的作用点的位置（图中E点），iy, iz为惯性半径， 其计算式为：
i
y
Iy A
iz
Iz A
b. 正应力强度条件 最大正应力和最小正应力发生在离中性轴最远的点，危
险点的应力状态是单向应力状态，建立的强度条件为：
若圆杆受扭转与拉伸（压缩）的联合作用，危险点的应
力状态与图12-4相同，只是正应力为
N
N A
，强度条
件用式 (12-6) 和式(12-7)来计算，式中 M以 N 代替。
图12-4 若圆杆受拉伸（压缩）、弯曲和扭转的联合作用，
危险点应力状态还是图12-4所示的单元体，此时正应
材料力学习题(7)第十二章 哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目
材料力学习题(7)第十二章哈工业大材料力学本科生试卷和课后题目材料力学习题第12章12-1 一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用力均为[?]?120MPa，试校核二者的强度。
习题2-1图习题12-2图12-2 重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[?]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[?]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3 图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[?]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[?] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4 图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[?]st = 160MPa，[?]cop = 100MPa，试求许用载荷[F]。
习题12-3图习题12-4图12-5 图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[?] = 160MPa，杆BC为hb= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[?] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6 图示螺栓，拧紧时产生?l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa,[?]=500MPa。
12-7 图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW和P3=221kW。
材料力学 第12章
集中质量势能
由静态量与冲击动态量之关系 得杆件变形能为 由能量守恒 于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移 最大静应力发生在B截面，其表达式为 综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题 锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转 动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短 瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力 瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由 于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足 处任取一微段 ，有
该点向心加速度为 惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段 ，有 积分可求出叶片的总伸长
解得 从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横 截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】 图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过 其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度 ， 环的横截面积A和材料的容重 ，求此环横截面上的正应力
由静态量与冲击动态量之关系 得杆件变形能为 由能量守恒 于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移 最大静应力发生在B截面，其表达式为 综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题 锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转 动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短 瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力 瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由 于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足 处任取一微段 ，有
该点向心加速度为 惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段 ，有 积分可求出叶片的总伸长
解得 从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横 截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】 图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过 其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度 ， 环的横截面积A和材料的容重 ，求此环横截面上的正应力
材料力学第十二章
设 R0 为轴线的曲率半径，e 为截面形心到中性轴的距离，由图 12-2 可 知
e R0 r 将式（12-1）代入式（d），得
（12-3）
M y
E
(d) d
yz dA 0
A
由于 y 轴是横截面的对称轴，有
A
yz
dA
0
所以式（d）便自动满足了。
将式（12-1）代入式（e），得
M
y dA E (d)
若材料的许用拉、压力应分别为[1] 和[ y ]，则曲杆正应力强度条件为
lmax [l ] | ymax | [ y ]
一般来说，由剪力 FS 引起的剪应力很小，可以不予考虑。
例 12-2 起重机吊钩上的载荷 P 100 kN （见图 12-13）。截面 m n 的尺 寸为 b1 40 mm ， b2 60 mm ， h 140 mm ， R1 260 mm ， R2 120 mm 。材 料的许用应力[ ] 160 MPa 。试校核吊钩的强度。
力 FN 叠加，得出截面内侧边缘处的最大拉应力为 A
l
M (R2 r) SR2
FN A
143.5
100 103 7 000 106
MPa
158 MPa
截面外侧边缘处的最大压应力为
y
M (R1 r) SR1
FN A
97.6
100 103 7 000 106
MPa
83.3 MPa
或写为
E y (d) r y d
（b）
由于对任一横截面上的不同点来说，E (d) 及中性层的曲率半径 r 都是常数， d
所以各点的正应力 只与坐标 y 有关。式（b）表明 沿截面高度按双曲线规
律变化（见图 12-3）。
材料力学12 能量法
`
0 .
二 二 二
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… … … ’ … … …… … … …… … 二 … 二 …… … … …… … … … … … …
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二 二
二
0
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嘴 、洲 扩言怡尸于下
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0
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” ,
的农业 生 产
,
日 本 政 府 运 用 税收和政 策性 补 贴
。
l
仅 仅 你 脚 底下 踩 着 的那 小片地皮就值 1 6 0 即使你 是 个 腰缠 “ 亿 贯的 营 翁 也至多
。 。
段 人 为地限制农 民 出售土 地
政 府规 定
.
公 民 出售
而 农 农
,
包括土地 在 内的 财产
民则 更 优 惠
年 以来
,
日本 全 国 的 平 均 地 价
,
7% ;
而东 京 远 远 高 于全 国
,
上 涨 幅度达 8 5
,
7%
人
亿
涨
.
民宁 可 让 土 地 荒 芜 政策
,
也 不 愿 脱手
东 京 等大 城 市郊
。
区 虽 有 许 多农 地 可 供 售 盖 楼宇
,
但 由 于 日本 政 府 的
,
东京闹市 区又 远 远 高 于 全 东 京
0 .
二 二 二
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材料力学(金忠谋)第六版答案第12章
（2）在A点加水平和垂直方向的单位力，为了求AB杆的转角，在B点也加水平单位力，计算各杆的内力，得 ，如图示。
（3）求 和 ，由
得
11-15桁架结构尺寸受载如图示，各杆的抗拉压刚度均相同，试求：(a)A点的铅直位移，(b)节点A和E之间的相对位移。
解：
各杆编号如图示，分别计算出外载内力 、A点作用铅直向下单位力时内力 及在节点A.E处分别加一单位力时各杆内力 ，列表计算如下：
解：
AE、AF、BE、BF各杆轴力为零，画 图；在A、B各点加一等值共线反向力“1”，各杆轴力均为“1”，作 图，如图示。
根据位移互等定理，若在A、B处加一对等值反向的力P，则
11-18试证明在图示两相同的悬臂梁上，图(a)截面A的挠度和图(b)截面B的挠度相等。
证明：在（a）图A点加单位力，在（b）图B点加单位力。
在图（a）中，
在图（b）中
证毕。
11-19图示刚架的各组成部分的抗弯刚度EI相同，抗扭刚度GIp也相同。在P力作用下，试求截面A和C的水平位移。
解：
AD段，
CD段，
DB段，
在A点作用一个水平单位力，如图，各段 均为零。
在C点作用一水平单位力，各段弯矩和扭矩分别为
AD段，
的EI、GIp相等，A处有一缺口，受一对垂直于刚架平面的铅直力P作用，试求缺口两侧的相对位移δ。
解：
11-13图示结构在截面C处受垂直集中力P的作用，试用能量法计算截面C的垂直位移。设BC杆的抗弯刚度为EI，AD杆的拉压刚度为EA，BD＝DC＝a。
解：
外力作用下得
在单位力（C点）作用下得
11-14图示桁架的各杆拉压刚度EA均相同，在P力作用下，求节点A的位移和AB杆
的转角。
（3）求 和 ，由
得
11-15桁架结构尺寸受载如图示，各杆的抗拉压刚度均相同，试求：(a)A点的铅直位移，(b)节点A和E之间的相对位移。
解：
各杆编号如图示，分别计算出外载内力 、A点作用铅直向下单位力时内力 及在节点A.E处分别加一单位力时各杆内力 ，列表计算如下：
解：
AE、AF、BE、BF各杆轴力为零，画 图；在A、B各点加一等值共线反向力“1”，各杆轴力均为“1”，作 图，如图示。
根据位移互等定理，若在A、B处加一对等值反向的力P，则
11-18试证明在图示两相同的悬臂梁上，图(a)截面A的挠度和图(b)截面B的挠度相等。
证明：在（a）图A点加单位力，在（b）图B点加单位力。
在图（a）中，
在图（b）中
证毕。
11-19图示刚架的各组成部分的抗弯刚度EI相同，抗扭刚度GIp也相同。在P力作用下，试求截面A和C的水平位移。
解：
AD段，
CD段，
DB段，
在A点作用一个水平单位力，如图，各段 均为零。
在C点作用一水平单位力，各段弯矩和扭矩分别为
AD段，
的EI、GIp相等，A处有一缺口，受一对垂直于刚架平面的铅直力P作用，试求缺口两侧的相对位移δ。
解：
11-13图示结构在截面C处受垂直集中力P的作用，试用能量法计算截面C的垂直位移。设BC杆的抗弯刚度为EI，AD杆的拉压刚度为EA，BD＝DC＝a。
解：
外力作用下得
在单位力（C点）作用下得
11-14图示桁架的各杆拉压刚度EA均相同，在P力作用下，求节点A的位移和AB杆
的转角。
材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件
应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。
13
注意：
1、注意常力做功与变力做功的区别；
2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合 内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引 起的变形互不相同，此时不同的变形能可以叠加。
3、功能原理只能计算构件只作 用一个力，力的作用点沿力作用 F 线方向的位移。
纯弯曲
U M e2l 2EI
T 2(x)
U
dx
l 2GIp (x)
横力弯曲
U Me2(x)dx l 2EI(x)
变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚 度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分
5
4、组合变形的变形能
截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内 力只对其相应的位移做功。
端B的挠度。
F
解：
A
B
M(x) F x
x l
U
M 2(x )
dx
l ( Fx)2 dx
F 2l3
2EI
0 2EI
6EI
1 W 2 F wB
Fl3 由U=W 得： w B 3 E I
7
例12-2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。
解：
F
U
M 2(x )
2EI
dx
A
W3
F1δB2
F 1F 2a EA
所以应变能为：
U 1 W W1W2W3 F12aF22(ab)F1F2a 2EA 2Eb C
W1
F
2 1
a
2EA
F2
W2
F22(a b) 2EA
12
材料力学答案第十二章
56 第十二章 动载荷第十二章 动载荷第十二章答案12.1 吊索以匀加速度a = 4.9m/s 2提升重F = 20kN 的重物，吊索的许用应力〔σ〕= 80MPa ，试求吊索的最小横截面面积。
N F F ma -=， 4.92020309.8N F =+⨯=kN []NF Aσσ=≤ 3463010 3.75108010A -⨯≥=⨯⨯m 2.12.2 用两根平行钢索，以匀加速度a =9.8m/s 2提升图示工字钢梁（型号：32c ），试求梁的最大动应力。
由惯性力引起的载荷密度：q 2=ma /l=62.765la lq =62.765g +62.765a 666262.7659.81090.9081.210M W σ--⨯⨯⨯==⨯=⨯MPa.12.3 直径d 1=30cm ，长l =6m 弹性模量E 1 = 10GPa 的二相同木杆。
重W =5kN 的重锤从杆的上部H =1m 高度处自由落下，其中杆b 顶端放一直径d =15cm ，厚h =20mm ，弹性模量E 2 = 8 MPa 的橡皮垫。
试求二杆的应力。
(1) 3592510644.2441010100.3st Pl EA π-⨯⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯m 1511093.0d F P ⎛⎛=== ⎝⎝kN 36210931041015.460.3d d F A σπ-⨯⨯==⨯=⨯MPa. (2) 橡皮垫的静位移：342625100.0247.0736108100.15st π-⨯⨯⨯∆==⨯⨯⨯⨯m 总的静位移：5444.244107.0736107.49810st ---∆=⨯+⨯=⨯maF( a )( b )第十二章 动载荷 5751260d F ⎛== ⎝kN 362260.710410 3.690.3d σπ-⨯⨯=⨯=⨯MPa. 12.4 图示装置,直径d = 4cm ,长l = 4m 的钢杆,上端固定,下端有一托盘,钢杆的弹性模量 E = 200GPa,许用应力〔σ〕=120MPa,弹簧刚度k =160kN/cm,自由落体重P = 20kN,试求容许高度h 为多少。
《材料力学》第十二章-求变形的能量法
3 虚功的计算 外力：P1, P2,……, 虚位移：a1, a2,……., 外力虚功： 内力：N, M,… 虚变形：
We=P1a1+P2a2+……..
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力P=1, 力P产生的内力 则有：
莫尔定理
小结： 1 变形位能的概念 2 卡氏定理 3 莫尔定理 4 互等定理 5 虚功原理 作业：12.19, 12.20
2 ( x)
2G
L
dv
2 w ( x)
L
2E
dv
内力表达的变形位能
应力表达的变形位能
结
论
1. 变形位能是状态函数 （同最终的力和变形有关）
11
2. 变形位能的计算不能用叠加原理
如何解释交叉项？ 单独作用时 则 交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈解释1〉
载荷
在载荷
引起的位移上做的功
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
例
A
求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 [P356]）
q B x a C
A
P0 =1
B
a
a
C
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx2 M ( x ) aqx 2
③变形
q A x a C B A P0 =1 B
a
a
C
a
对称性
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
§12–3 莫尔定理 Mohr Theory
q(x)
A
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为M(x) 如何计算任一点A的位移？ 1、 在A点加虚单位力
材料力学第12章
第12章 动载荷与疲劳强度概述
旋转构件的受力分析与动应力计算
TSINGHUA UNIVERSITY
考察以等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密 度为，轮缘平均半径为R，轮缘部分的横截面 积为A。 设计轮缘部分的截面尺寸时，为简 单起见，可以不考虑轮辐的影响，从而 将飞轮简化为平均半径等于R的圆环。 由于飞轮作等角速度转动，其上各点均只 有向心加速度，故惯性力均沿着半径方向、背 向旋转中心，且为沿圆周方向连续均匀分布力。
弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
由于冲击过程中，构件上的应力和变形分布比较复杂，因 此，精确地计算冲击载荷，以及被冲击构件中由冲击载荷引起 的应力和变形，是很困难的。工程中大都采用简化计算方法， 它以如下假设为前提：
假设冲击物的变形可以忽略不计；从开始冲击到冲击产 生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起运动，而不发生回弹。 忽略被冲击构件的质量，认为冲击载荷引起的应力和变 形，在冲击瞬时遍及被冲击构件；并假设被冲击构件仍处在弹 性范围内。 假设冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械能守恒 定律仍成立。
TSINGHUA UNIVERSITY
具有一定速度的运动物体，向着静止的构件冲击时，冲 击物的速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得 到了很大的负值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向 相反的很大的力作用。同时，冲击物也将很大的力施加于被 冲击的构件上，这种力工程上称为 “冲击力”或“冲击载 荷”（impact load）。
第12章 动载荷与疲劳强度概述
旋转构件的受力分析与动应力计算
TSINGHUA UNIVERSITY
T st I
FN FT v2 A A
设计时必须使总应力满足设计准则
材料力学第十二章压杆的稳定
Pcr
=
π 2 EI (µL)2
= π 2EI
L2e
- - - - Euler formula
where : Le = µ L - - effective length;
µ - - coefficient of length concerned with boundary conditions
12-2 Limitation of the Euler Formulas and Slenderness
3. Stability
n=Pcr/Pmax=406/42=9.7 >nallow=8
Being in stable
12-3 提高压杆稳定性的措施
●尽量减小压杆长度 对于细长杆,其临界载荷与杆长平方成反比。因此,减小杆长可以显著
地提高压杆承载能力。在某些情况下,通过改变结构或增加支点可以达到 减小杆长、提高压杆承载能力的目的。例如,图a、b所示的两种桁架,不难 分析,两种桁架中的杆①、④均为压杆,但图b中的压杆承载能力要远远高 于图a中的压干杆。
Find the shortest length L for a steel
column with pinned ends having a cross-sectional area of 60
by 100 mm, for which the elastic Euler formula applies. Let
●合理选用材料
在其它条件均相同的情形下,选用弹性模量E数值大的材料,可以提高大 柔度压杆的承载能力,例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界 载荷。但是,普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不 大。因此,对于细长杆,若选用高强度钢对压杆临界载荷影响甚微,意义不大, 反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例 极限σP,和屈服强度σYP有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
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Kg
y
Fc
g
sinwt
y
y. .y.
PP P
K(st+y)
P
Pcg y.y. .
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
2．系统参数：
1)固有频
率w0：
w0
g
st
Kg P
2)阻尼系 数n：
n
gc 2P
3．振动物体的微分方程：y..
2n
.
y
w02
y
Fc g P
sinwt
4．小阻尼条件下(n< w0)，方程通解为：
y Aent sin( w02 n2t ) Bsin(w t e )
eBaPFrwcc gt02anw1202nwww
/w0
2
2
2
1
4n/w0 2 w /w0 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
4．小阻尼条件下(n<w0)，方程通解为： 1)通解第一项随时间增加而减小—衰减振动；
4.0
(B)→∞— 共 振 现 象 ， 3.0
产生极大振动应力；
2.0
➢有阻尼存在(n≠0)：
为高峰有g
Axg
g
a
P
Pa g
0
FNd mm
FNd
( Axg
P)(1
a) g
Agx
a x Agx a x
g
d
FNd A
Axg
A
P (1
a) g
st
Axg
A
P
d kd st
P
P
Pg / a
kd
1
a g
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
二、匀加速直线运动构件的动应力
2．计算公式：
2)
c
Fc g
Pw02
Fc K
—c是把激振力的最大值Fc以静荷
方式作用在系统中引起的变形。
3)B为强迫振动的振幅：
B c
dmax dmin
st st
B B
—放大系数：
1
1w /w0 2 2 4n/w0 2w /w0 2
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
w
1)ds段惯性力为：
t
ds pi
(FNd )ds
(b
ds
t
g )(
g
Dw2)
2
dj j
DO
2)环壁单位面积惯性力pi：
pi
(FNd )ds bds
tgDw 2
2g
3)圆环的环向应力 qd为：
qd
pi D 2t
g D2 w2
4g
g
v2 g
v Dw / 2 —圆环切向速度
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
第十三章 动应力
• §13-1 概 述 • §13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算 • §13-3 强迫振动时的应力计算 • §13-4 冲击应力及变形的计算 • §13-5 考虑受冲杆件质量时应力和变形的计算* •小 结
一、动载荷
§13-1 概 述
1．静载荷：载荷缓慢增加，不考虑加速度。 2．动载荷：载荷突然变化，构件有显著加速度。
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径
R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截
面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。
FNd
qd
解：1)dx微段惯性力：
l
dFd
gAdx
g
(w 2 x)
2)单位长度惯性力：
3．动静法(惯性力法)：
将运动物体等效转变为静止或匀速直线运动 情况，从而将动力学问题转化为静力学问题 的方法。 4．两类问题： 1)匀加速直线运动构件； 2)匀角速转动构件；
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
二、匀加速直线运动构件的动应力
1．引例：以加速度a提升重物，绳索横截面面积A，
材料容重g ，计算绳索横截面应力
大切应力准则设计轴的直径。
e
T1 J0e
C A
T1 D
B
P1
P1(1
a g
)
FS
T1 T2 T FS+P2
P1
A
C
B P1g / a
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
1
P2
D
2
2a
2 g 2 D
0.612kN• m
T2
FS
D 2
a 36.24kN• m
M
1 4
(FS
FNd
qd
l
4)FNd在x=R处最大：
FNd max
gAw 2
2g
(2R l)l
R
x
dx
5)叶根部的动应力： d
FNd max A1
gw 2
g
(2R l)l
55.8 MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 卷扬机以a=5m/s2起吊重物P1=40kN，轴AB长1m，轴中点
C的鼓轮重P2=4kN，直径D=1.2m，材料 [ ]=100MPa，按最
1)动荷系数：
kd
1
a g
kd ：动应力与静应力的比值；
2)动应力： d kd st
3)强度条件：
d kd st [ ] [ ]：静载许用应力
4)动变形： d kdst
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
三、匀角速旋转构件的动应力
1．引例：薄圆环直径D，厚度t，垂直纸面宽b，以
匀角速度w绕O点转动，求圆环中的动应力。
3．动(荷)应力：动载荷在构件中产生的应力，当动
应力不超过比例极限时，弹性模量 不变，胡克定律仍适用。
二、三类动荷问题 1．匀加速直线运动或匀角速转动； 2．强迫振动； 3．冲击；
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
一、动静法
1．惯性力：| Fi | ma —方向与加速度方向相反 2．惯性力加到物体上等效成平衡无加速度情况；
R x
dx
qd
dFd dx
gAw 2
g
x
3)x截面处轴向力：FNd
Rl
x
qddx
gAw
2g
2
[(R
l )2
x2]
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径
R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截
面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。
P2 )l
16.1kN• m
§13-3 强迫振动时的应力计算
一、单自由度弹性体强迫振动引例
强迫振动：构件由外界干扰力引起的振动。
最小位移位置 wt
A
Fc
B
C
st
st
BB
静平衡位置 最大位移位置
l
y
1．动静法列平衡方程：
P g
y. .
c
y.
K (st
y)
P
Fc sinwt
0
PKst
..
y
gc
.
y
5．动应力：
d
(1
c st
)
st
(1
Fc P
)
st
kd
st
kd
1
Fc P
—振动的动荷系数。
6．强度条件：
梁内危险截面上危险点的应力在dmax和dmin之
间作周期性的交替变化，强度条件应按交变应 力处理。
§13-3 强迫振动时的应力计算
二、对放大系数 的讨论
1．w /w0→1时：
5.0
➢无阻尼存在(n=0)：