第五章角动量、关于对称性
- 格式：doc
- 大小：572.50 KB
- 文档页数：7
下载文档原格式
合集下载
角动量.关于对称性第五章
依据角动量定理： ，
在O-X轴上的投影： ，
当 角很小时， 即单摆的动力学方程。
2 光滑水平面上的弹簧经度系数为k，其一端连结质量为M的木块，另一端固定在O‘点，质量为m的子弹以速度 沿水平方向垂直弹簧的方向射向木块并嵌入其中。弹簧原长为
再以m2为研究对象，在质心坐标系（惯性系）中，它受细绳拉力绕质心作圆周运动，由质点组动量定理得： 得：质心的速度
m2相对质心的速度大小为：
所以细绳的拉力为：
因细绳质量不计，所以细绳中的张力处处相等，大小均为F。
2．质点系对参考点的角动量定理： 外
3．质点系对参考点的角动量守恒定律：若 外=0，则 恒矢量
4．质点系对轴的角动量：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）
：面对z轴观察从 沿逆时针转到 的角
5．质点系对轴的角动量定理：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）
设 和 间的夹角为 ，则： --------------（2）
《m,M》由A到B过程中，仅内部保守力作功，系统的机械能守恒，以弹簧自由伸展状态为弹性势能的零点，则： -------------（3）
解（1）、（2）和（3）得：
3质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，弹簧的经度系数为k，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度
解：根据质心定义求得m1与m2的质心距m2的距离为：
C
m1
m22
x
y
V0
在水平面上（惯性系）上以释放瞬间质心C的位置为原点，建立坐标系C-xyz，Cz轴垂直纸面向上。
质点系角动量守恒定律
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
角动量
第五章角动量.关于对称性部分习题解5.1.1解:卫星受到有心力的作用,对力心(地球)角动量守恒63702384 1.296370439r mv r mv R d v v v r R d =++====++远远近近远近远地远近近地. 5.1.2解:由222,d r a r dtω==-则力矩为2()0M r F r m r ω=⨯=⨯-=. 5.1.3解:由力及质量可得质点的加速度,速度,位置矢量为2232200433200ˆˆ(34)(126)(/),ˆˆ(2)(66)(/),12ˆˆ()(23)()43t t a t t i t j m s v v adt t t i t t j m s r r vdt t t i t t j m =-+-=+=-+-=+=-+-⎰⎰ t=2s 时,4ˆˆˆˆ418(),4(),3ˆ40(.)F i j N r i j m M r F kN m =+=-+=⨯=-.5.1.4解:地球对圆轨道中心的角动量为22411240226.010(1.4910)3652436002.6510./es L mR Kg m sπω==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯.5.1.5解:由位置矢量可求得速度(动量)ˆˆsin cos (/),dr v a ti b tj m s dtωωωω==-+ 质点对原点的角动量为ˆˆˆˆ(cos sin )(sin cos )ˆL r mv a ti b tj m a ti b tj m abkωωωωωωω=⨯=+⨯-+= 5.1.6解:由5.1.3已知条件可得32200ˆˆ(2)(66)(/),t v v adt t t i t t j m s =+=-+-⎰43320012ˆˆ()(23)()43t r r vdt t t i t t j m =+=-+-⎰. 当t=2s 时,4ˆˆˆ4(),12(/),3r i j m v j m s =-+= 则质点对原点的角动量为24ˆˆˆˆ(4)1216(./)3L r mv i j j k kg m s =⨯=-+⨯=-. 5.1.7解:小球对小孔的角动量守恒,则,/4r mv r mv v rv r v ===112221121而21,0.2(/)v F m v m s r ===11,所以40.8(/)v v m s ==21. 由质点的动能定理知,拉力所做的功为2232111310()22k A E mv mv J -=∆=-=⨯. 5.1.8解(1)运动学的观点,先由位置矢量求得速度(动量),从角动量的定义求得角动量为一恒矢量.ˆˆsin cos (/),dr v a ti b tj m s dtωωωω==-+ 则质点对原点的角动量为ˆˆˆˆ(cos sin )(sin cos )ˆL r mv a ti b tj m a ti b tj m abkωωωωωωω=⨯=+⨯-+= 为一恒矢量,即质点对原点的角动量守恒.(2)动力学观点,由位置矢量求导两次得加速度 ,由牛顿运动第二定律得力,则力矩的计算公式得力矩,如果对原点的力矩为0,则质点对原点的角动量守恒. 由222,d r a r dtω==-则力矩为2()0M r F r m r ω=⨯=⨯-=,则质点对原点的角动量守恒. 5.1.9解:小球在运动过程中受力指向A 点，故对A 点的角动量守恒，而小球运动到与A 点的距离最远时，速度方向与绳垂直，则 0sin30,d mv dmv =00又小球运动过程中只受到弹性力作功，机械能守恒，则 22200111(),222mv mv k d l =+- 将数据代入，可解得 1.3/,0.33/v m s v m s ==0。
第五章 角动量
第五章角动量.关于对称性习题解答5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km，远地点d远=2384km，地球半径R=6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。
解：人造卫星绕地心转动，受地球的吸引力过地心，所以吸引力对地心的力矩等于零，故卫星的角动量守恒。
近地点、远地点的速度与矢径垂直。
设近地点的速度为v1，矢径为r1；远地点的速度为v2，矢径为r2，根据角动量守恒定律5.1.2一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间曲线运动，其中a、b及皆为常数。
求此质点所受的对原点的力矩。
解：已知所以根据牛顿第二定律，有心力对原点的力矩：5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动，其中t是时间。
设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。
求t=2时该质点所受的对原点的力矩。
所受的对原点的力矩。
解：因单位质量m=1 且又t=0时当t=2s时对原点的力矩5.1.4地球质量为6.01024kg，地球与太阳相距km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动。
求地球对于圆轨道中心的角动量。
解：地球绕太阳的速率角动量=2.65kg.m2/s5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。
解：由得对原点的角动量5.1.6解：根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2s时对原点的角动量。
解：由m=1积分：t=2s 时5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。
如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通过圆心，力矩为零。
所以小球的角动量守恒。
根据牛顿第二定律由动量定理拉力作的功5.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动，其位置矢量为,其中a、b和是正常数。
试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。
《力学》第五章 角动量,关于对称性教案
教学时数:6教学目的与要求:（1）着重讲授角动量，力矩等概念，使学生能牢固掌握角动量定理及其守恒律。
（2）质点系对质心的角动量定理及守恒律，可以简要介绍。
（3）了解物理学中的对称性。
教学重点:力矩,角动量和角动量守恒定律教学难点:角动量守恒定律本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社力矩一.力对轴的力矩:1.力和轴平行时：例如开门时,。
2.力和轴垂直时：。
(1)角的规定：从的正方向到力的正方向的转动方向所经过的角和Z轴正向成右手螺旋如图(1)中:Z轴向上,则:若Z轴向下,则,此时:3.力和轴既不平行也不垂直时:(2)二.力对某点的力矩(矢量)如图(4)示:A点是受力质点,O为任意的参考点定义:力对参考点O的力矩为力的作用点A相对于参考点O的位置矢量与力的矢积(叉积)：(3)大小：方向：构成右手螺旋系统.(注意:由转至的角是)三、力对某点的力矩和力对轴的力矩的关系:1.特例：若力位于和Z轴垂直的平面内:(沿Z轴正向),,沿Z轴正向结论:力对Z轴的力矩等于力对Z轴上任意一点的力矩在Z轴上的投影2．一般情况:∵，∴∴(4)同理:对Z轴上任意一点也同样成立.即:力对某一轴的力矩等于力对该轴上任意一点的力矩在该轴上的投影.总结:1.力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关外,还与轴与力的分力之间的距离d有关,即:与,和夹角有关.若轴改变,力矩也变.2.力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置.3.力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的.质点的角动量定理及守恒定律一.角动量1.质点对某点的角动量:定义:质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积（叉乘）称为质点对该点的角动量，公式为：(1)构成右手螺旋系统.注意:(1)因为与有关,故角动量与参考系有关.(2)与有关,故角动量与参考点o的位置有关2.质点对某轴的角动量：(2)角是:面对Z轴观察,由逆时针转至所经过的角度.或者：从的正方向到动量的正方向转动方向所经过的角和Z轴正向构成右手螺旋法则。
角动量及其规律
强调：讨论力矩时，要说明是对哪个点或对哪个轴的力矩 。
10
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg
和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
β L
M F r sin ( r , F ) F r sin
T
| M z | F1 r1 sin
o
F
力矩 o'点 o点
拉力T
质点对轴的角动量推导：
L r p r1 r2 p 1 p 2 r1 p 1 r2 p 1 r1 p 2 r2 p 2
L z r1 p1 r2 p1 r1 p 2 r2 p 2
若 M z 0 ，则 L z 常量
即：作用于质点的诸力对轴的力矩和为零时，质点 对该轴的角动量不变。
14
五、几点注意
1、在应用角动量定理或角动量守恒定律时，力矩和角动量 必须选取惯性系中的同一参考点或同一参考轴 2、角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。 例如，圆锥摆
对o点，oo'轴，合力F的力矩为零，因此质点对o点，对 oo’轴的角动量守恒，无论摆转到哪一点,角动量大小都是 mvlsinα，方向都是竖直向上。 但对o'点合力矩不为零，因而对o'点的角动量不守恒， 虽然大小不变，但方向总在变化。
i i i i i
d
dLz dt
22
例：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零，人两臂从 伸开到收回的过程中，人对转轴的 角动量守恒： m i v i ri m i ri 2 C
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
第五章：角动量、关于对称生 - 欢迎访问百色学院网站 学校
第五章：角动量、关于对称生我们将在本章，讨论动量和能量之外的另一个重要的守恒量，即角动量，认识这一概念，它的变化规律和它的守恒，动量和能量不能反映运动的全部特点。
本章介绍经电动力学的适用范围，第六章再、介绍万有引力定律哦的适用范围。
§5.1 质点的角动量一、 质点的角动量开普勒描述行星运动时曾谈到行星沿平面轨道运行，开普勒三个定律如下：1.第一定律；行星都沿着椭圆轨道运动太阳位于椭圆的一个焦点处，如图（5-1.1）所示。
2.第二定律；在航行运动时，联结行星和太阳的线，在相等时间内永远扫出同样大小的面积，图（5-1.2）。
3.第三定律：行星公转周期（公转一次的时间）T 的平方与它们的轨道长半轴a 的立方成正比，即 23112322T a T a =；将行星视为质点分别用r v 和u v表示行星的位置失量和速度。
dtu v 表示质点在时间dt 内的位移dt 内位置矢量扫过面积的大小可用2dtr u ´v v 表示，掠面速度大小则等于2r u ´v v ，2r u´v v 的方向恰与纸面垂直，它的方向不变正可用来表示轨道在一平面内，于是称矢量。
2r u´vv 为掠面速度上述行星的运动规律可写作， 2r u´v v =恒矢量。
它既能说明行星掠面速度大小不变又能指明轨道总在同一平面上。
图（5-1.3）所示。
质点A 的质量为 m, 速度 u v 位置矢量r v ，质点A 的矢径r v与质点动量P m u =u v v 的矢积称为质点（矢量乘积）A 对O 点的动量矩，用l v 表示L Pm g g u =? u v u v u v u v v ；图(5-1.4)上，矢量L u v 垂直与由g u v组成的平面矢量L u v 的大小为sin sin L p m g a ug a ==a 为矢量g u v 的正方向和矢量p u v 的正方向之间的夹角，角动量的大单位为2./kg m s .量纳为[]21L L MT-=，图（5-1.5）所示。
第5章 角动量
3
问题2：将一绕通过质心的固定 轴转动的圆盘视为一个质点系， 系统总动量为多少？
p总 MvC 0
C M
由于该系统质心速度为零，所以，系统总 动量为零，系统有机械运动，总动量却为 零？说明不宜使用动量来量度转动物体的 机械运动量。 *引入与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
15
二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.
d (mv ) F dt
d ( mv ) r F r dt d mv dr d r mv r mv dt dt dt dr v, v v 0 dt d (mv ) d (r mv ) r dt dt
a a a2 aa 0
17
d r F rP dt
Mdt dL
t2 t1
dL M dt
Mdt L2 L1
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力 对该点的力矩---质点的角动量定理
或
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt L mr v m(a costi b sintj )
M
(a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) mabk (恒矢量) dL 0!
5
中学的表达式：对O点力矩M
M Fd Fr sin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
F
d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。
问题2：将一绕通过质心的固定 轴转动的圆盘视为一个质点系， 系统总动量为多少？
p总 MvC 0
C M
由于该系统质心速度为零，所以，系统总 动量为零，系统有机械运动，总动量却为 零？说明不宜使用动量来量度转动物体的 机械运动量。 *引入与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
15
二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.
d (mv ) F dt
d ( mv ) r F r dt d mv dr d r mv r mv dt dt dt dr v, v v 0 dt d (mv ) d (r mv ) r dt dt
a a a2 aa 0
17
d r F rP dt
Mdt dL
t2 t1
dL M dt
Mdt L2 L1
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力 对该点的力矩---质点的角动量定理
或
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt L mr v m(a costi b sintj )
M
(a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) mabk (恒矢量) dL 0!
5
中学的表达式：对O点力矩M
M Fd Fr sin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
F
d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。
第5章角动量关于对称性
对质点，合力对某一参考点的力矩等于各分力
对同一参考点力矩的矢量和，如本题. 对O点
π M T rO FT sin （ ) 2 mg mg rO cos mgr cos M 合 rO F sinπ 0 M合 rO F M合 M重 MT
若
Mi外z 0
Lz ri mi vi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Lz ri m i v i m i ri i
2
讨论
若Lz 不变，ri ，i
ri ，i
例如茹可夫斯基凳，花样滑冰等.
实例分析
[例题]装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相
§5.1.4质点对轴的角动量定理和守恒定律
1. 质点对轴的角动量定理 质点对参考点O的角动量
dL M dt
过参考点O建立坐标轴，则上式在 z 轴上的投影为
dLz Mz dt
称质点对 z 轴的角动量定理的微分形式.
z
2. 力对轴的力矩
F
F2
F1
如图所示：作平面与z轴垂直
F F1 F2
§5.2 质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1 质点系对参考点的角动量定理及守恒律 §5.2.2 质点系对轴的角动量定理及守恒律
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量 对参考点
L Li ri pi ri mi vi
z
F2
力矩在 z 轴上的投影为
F
F1
r2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② ，相应的有
但 ，（ （或 ）没变）
（力 对Z轴的力矩）
结论：力对Z轴上任意一点的力矩在Z周上的投影等于力对Z轴的力矩。
③ 和 共面且该平面垂直于Z轴，则有
（ ， ）
这正是中学中上到的力矩概念（定义）
当 时， 与Z轴同向；
时， 有心力；
时， 与Z轴反向。
④角动量在Z轴上的投影
由{
若 和 均在与Z轴垂直的平面内
1、行星运动问题（开普勒问题）
行星（在一固定平面内）以椭圆轨道绕太阳运动。
dt时间内：
位矢扫过的面积为：
掠面速度：
大小： （单位时间内位矢 扫过的面积）
方向： 和 所构成的平面，符合右手螺旋关系
天文观测表明：行星运动时，其掠面速度：
（与行星有关）
讨论：①方向不变说明，轨道总在一固定平面内。（由 所构成）
（四）质点对轴的角动量定理和守恒定律
如图，在惯性系中，取参考点为O。
由角动量定理：
有 在Z轴上的投影为：
相对Z轴的角动量定理
讨论：① 对O点的力矩 在Z轴上的投影
令 ， （ 在平面内 ，且 ）
其中： ， 在x,y平面内。
且
且
其中： ——质点到Z轴得垂直距离。
—— 在与Z轴垂直得平面上的分力。
—— 的夹角。
因为角动量这一物理量，从概念倒数学表达，都要比动量和动能难以理解。所以，我们先从简单的情况，即质点的角动量开始。
§5、1 质点的角动量
一、质点的角动量
我们都知道，运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的空间量度。但是在涉及倒转动问题时，动量和动能还不能反映运动的全部特点。以有心力为例，天文观测表明：
地球相对太阳的运动
这个特点（其原因）用角动量概念及其规律很容易说明。特别是在动量和机械能都不守恒的情况下，角动量可能是守恒的。这就为求解这类问题开辟了新的途径，更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态，在近代物论中角动量在表征状态方向也是动情况的分析，引出质点的角动量这一概念。
第五章 角动量、关于对称性
到目前为止，我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量（机械能）。在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量，即角动量。并就其概念，变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。
内容：§5、1质点的角动量
§5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律
②行星的动量和动能都不守恒，但有心力是保守力，故机械能守恒。
2、如图所示：橡皮筋一端固定于O处，另一端与滑物块相系。将橡皮筋拉长后，再给滑块一与皮筋垂直的初速 。
轨迹：类似于螺旋线
速度：
但掠面速度： 恒矢量
3、匀速直线运动
恒矢量
轨道为直线
掠面速度： 恒矢量
在上述例子中，其共同特征是掠面速度为恒矢量，能否对他们提供统一的动力学描述呢？回答是肯定的。
4、定义质点对于参考点的O的位矢与其动量的矢积。
（1）
为质点对参考点O的角动量（又称动量矩）
大小： |（平行四边形的面积）
方向： 所在的平面（右手螺旋关系，小于180度的方向）
讨论：
：1、与参考系有关；
2、与参考点O的选取有关
5、角动量与掠面速度的关系（定义了质点的角动量以后，我们再来看一看角动量）
质点对参考点o的角动量定理
由此可见：质点对参考点o的角动量对时间的变化率等于作用与质点的合力对该点的力矩，叫做质点对参考点o的角动量定理。
讨论：当 时（角动量在运动过程中守恒条件）
有
①匀速直线运动：
②有心力， 通过力心O，
故，相对力心的力矩为零。
而
若以 为参考点， 为非有心力。
所以对 点，行星的角动量不守恒。这也再次表明角动量取决于参考点，而角动量是否守恒亦需视参考点的选择而定。
由 恒矢量，且
恒矢量
也就是说，再上述三个例子中，质点相对原选定的参考点掠面速度不变，其物理意义就是质点的角动量再运动中保持不变而守恒。
（二）力对参考点的力矩
为了研究质点对某一参考点的角动量的变化规律及在什么条件下守恒，需引入力矩的概念。
如图所示：以O为参考点， 为作用力，A为受力质点，力 对参考点O的力矩定义为：
由{ ,
当 时， ；
时， ；
时，
例题；P153
已知： 粒子：m， ，b
求：
取z轴垂直于运动平面且通过重核中心，则 粒子在有心力（静电斥力）作用下运动。其相对于z轴的力矩为零，即对z轴的角动量守恒：。
初时刻：{
任一时刻：{
当 时，有
（即 ， ）
故由角动量守恒定律：
或 ——（1）
有心力（静电力）为保守力，故系统的机械能守恒。
大小： ——平行四边形面积
方向： ——右手螺旋定则（小于180度方向）
显然， 的大小和方向均与参考点O的选取有关。
若质点A同时受到几个力的作用，则诸力矩的矢量和为：
由此可见：诸力矩的矢量和等于合外力对参考点的力矩。
（三）质点对参考点的角动量定理合守恒定律
利用质点的动量定理：
用 对上述两边做矢积：
其中：
初时刻：
末时刻： （静电势能）
即： ————（2）
把（1）式代入（2）式：
可求得：
其中：
上式中只取“＋”
但 ，（ （或 ）没变）
（力 对Z轴的力矩）
结论：力对Z轴上任意一点的力矩在Z周上的投影等于力对Z轴的力矩。
③ 和 共面且该平面垂直于Z轴，则有
（ ， ）
这正是中学中上到的力矩概念（定义）
当 时， 与Z轴同向；
时， 有心力；
时， 与Z轴反向。
④角动量在Z轴上的投影
由{
若 和 均在与Z轴垂直的平面内
1、行星运动问题（开普勒问题）
行星（在一固定平面内）以椭圆轨道绕太阳运动。
dt时间内：
位矢扫过的面积为：
掠面速度：
大小： （单位时间内位矢 扫过的面积）
方向： 和 所构成的平面，符合右手螺旋关系
天文观测表明：行星运动时，其掠面速度：
（与行星有关）
讨论：①方向不变说明，轨道总在一固定平面内。（由 所构成）
（四）质点对轴的角动量定理和守恒定律
如图，在惯性系中，取参考点为O。
由角动量定理：
有 在Z轴上的投影为：
相对Z轴的角动量定理
讨论：① 对O点的力矩 在Z轴上的投影
令 ， （ 在平面内 ，且 ）
其中： ， 在x,y平面内。
且
且
其中： ——质点到Z轴得垂直距离。
—— 在与Z轴垂直得平面上的分力。
—— 的夹角。
因为角动量这一物理量，从概念倒数学表达，都要比动量和动能难以理解。所以，我们先从简单的情况，即质点的角动量开始。
§5、1 质点的角动量
一、质点的角动量
我们都知道，运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的空间量度。但是在涉及倒转动问题时，动量和动能还不能反映运动的全部特点。以有心力为例，天文观测表明：
地球相对太阳的运动
这个特点（其原因）用角动量概念及其规律很容易说明。特别是在动量和机械能都不守恒的情况下，角动量可能是守恒的。这就为求解这类问题开辟了新的途径，更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态，在近代物论中角动量在表征状态方向也是动情况的分析，引出质点的角动量这一概念。
第五章 角动量、关于对称性
到目前为止，我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量（机械能）。在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量，即角动量。并就其概念，变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。
内容：§5、1质点的角动量
§5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律
②行星的动量和动能都不守恒，但有心力是保守力，故机械能守恒。
2、如图所示：橡皮筋一端固定于O处，另一端与滑物块相系。将橡皮筋拉长后，再给滑块一与皮筋垂直的初速 。
轨迹：类似于螺旋线
速度：
但掠面速度： 恒矢量
3、匀速直线运动
恒矢量
轨道为直线
掠面速度： 恒矢量
在上述例子中，其共同特征是掠面速度为恒矢量，能否对他们提供统一的动力学描述呢？回答是肯定的。
4、定义质点对于参考点的O的位矢与其动量的矢积。
（1）
为质点对参考点O的角动量（又称动量矩）
大小： |（平行四边形的面积）
方向： 所在的平面（右手螺旋关系，小于180度的方向）
讨论：
：1、与参考系有关；
2、与参考点O的选取有关
5、角动量与掠面速度的关系（定义了质点的角动量以后，我们再来看一看角动量）
质点对参考点o的角动量定理
由此可见：质点对参考点o的角动量对时间的变化率等于作用与质点的合力对该点的力矩，叫做质点对参考点o的角动量定理。
讨论：当 时（角动量在运动过程中守恒条件）
有
①匀速直线运动：
②有心力， 通过力心O，
故，相对力心的力矩为零。
而
若以 为参考点， 为非有心力。
所以对 点，行星的角动量不守恒。这也再次表明角动量取决于参考点，而角动量是否守恒亦需视参考点的选择而定。
由 恒矢量，且
恒矢量
也就是说，再上述三个例子中，质点相对原选定的参考点掠面速度不变，其物理意义就是质点的角动量再运动中保持不变而守恒。
（二）力对参考点的力矩
为了研究质点对某一参考点的角动量的变化规律及在什么条件下守恒，需引入力矩的概念。
如图所示：以O为参考点， 为作用力，A为受力质点，力 对参考点O的力矩定义为：
由{ ,
当 时， ；
时， ；
时，
例题；P153
已知： 粒子：m， ，b
求：
取z轴垂直于运动平面且通过重核中心，则 粒子在有心力（静电斥力）作用下运动。其相对于z轴的力矩为零，即对z轴的角动量守恒：。
初时刻：{
任一时刻：{
当 时，有
（即 ， ）
故由角动量守恒定律：
或 ——（1）
有心力（静电力）为保守力，故系统的机械能守恒。
大小： ——平行四边形面积
方向： ——右手螺旋定则（小于180度方向）
显然， 的大小和方向均与参考点O的选取有关。
若质点A同时受到几个力的作用，则诸力矩的矢量和为：
由此可见：诸力矩的矢量和等于合外力对参考点的力矩。
（三）质点对参考点的角动量定理合守恒定律
利用质点的动量定理：
用 对上述两边做矢积：
其中：
初时刻：
末时刻： （静电势能）
即： ————（2）
把（1）式代入（2）式：
可求得：
其中：
上式中只取“＋”