求椭圆离心率举例

椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出PF F 12 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：sin sin sin F F c c F PF e a a PF PF PF F PF F 1212121221222.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出PF F 12 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：sin sin sin F F c c F PF e a a PF PF PF F PF F 121212122122.【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知F 1、F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点，若PF PF 12，且PF F 2160，则C 的离心率为（）A.1B.21【解析】解法1：如图，PF PF 12，PF F 2160，故可设F F 122，则PF 1，PF 21，所以C的离心率F F e PF PF 12121.解法2：如图，PF F PF F PF PF 2112126030sin sin sin sin sin sin F PF e PF F PF F1212219013060.【答案】D变式1设F 1、F 2是椭圆 :x y C a b a b222210的左、右焦点，P 在C 上且PF x 1轴，若F PF 1230，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，F PF 1230且PF x 1，故可设PF 22，则PF 1，F F 121，所以椭圆C的离心率F F e PF PF 12122解法2：如图，F PF PF F PF F F12211123060sin sin sin sin sin sin F PF e PF F PF F1212213029060【答案】 2变式2在ABC 中，AB AC ，tan ABC 13，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，不妨设AB 3，AC 1，则BC，所以BC e AB AC 解法2：如图，tan sin sin ABC ABC ACB 13sin sin sin BAC e ABC ACB.变式3过椭圆 x y a b a b222210的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为F 2，若ABF 2 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，ABF 2 是等腰直角三角形AF F 12 也是等腰直角三角形，不妨设AF F F 1121，则AF 2所以椭圆的离心率F F e AF AF 12121.解法2：如图，由题意，F AF F F A 121245，所以椭圆的离心率sin sin sin F AF e AF F AF F1212211.1变式4过椭圆 x y a b a b 222210的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为F 2，若cos AF B 218，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，cos cos sin sin AF AF B AF F AF F AF F AF 21221212121121288，不妨设AF 1，AF 24，则F F 123，所以F F e AF AF 1212解法2：如图，cos cos AF B AF F221128sin sin AF F AF F 221211128sin cos F AF AF F 122134sinsin sinF AFeAF F AF F12122134.变式5在ABC中，AB 2，BC 1，且ABC6090，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【解析】解析：如图，设ABC6090则cos cosAC AB BC AB BC ABC222254，cos AC1609002，而BCeAB AC AC12e22.【答案】,22【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.【例2】已知F1、F2是双曲线:x yCa b22221的左、右焦点，点P在C上，PF PF12，且PF F1230，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设PF21，则PF1，F F122，所以F FePF PF12121.解法2：如图，由题意，PF F2160，F PF1290，所以sin sin sin F PF e PF F PF F 1212211.1变式1（2016·新课标Ⅱ卷）已知F 1、F 2是双曲线:x y E a b22221的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin MF F 2113，则E 的离心率为（）B.32D.2【解析】解法1：如图，不妨设MF 11，MF 23，则F F 12F F e PF PF 1212.解法2：sin sin MF F F MF 211213sin sin sin F MF e MF F MF F 1212213113【答案】A变式2已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b22221的左、右焦点，过F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若ABF 2 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：ABF 2 是等腰直角三角形AF F 12 也是等腰直角三角形，不妨设AF F F 1121，则AF 2，双曲线C的离心率F F e AF AF 12211.解法2：ABF 2 是等腰直角三角形AF F 12 也是等腰直角三角形，所以sin sin sin sin sin sin F AF e AF F AF F1212214519045.1变式3在ABC 中，AB AC ，tan ABC 13，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线的离心率为_______.【解析】如图，不妨设AC 1，则AB 3，BC ，所以双曲线的离心率BC e AB AC.变式4已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b22221的左、右焦点，点P 在C 上，PF F 1230，PF F F 212，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，PF F F PF 121230，F PF 12120，所以sin sin sin F PF e PF F PF F 121221.强化训练1.（★★★）在PAB 中，PA AB ，tan PBA 12，则以A 、B 为焦点，且经过点P 的椭圆的离心率为_______.2.（★★★）设F 1、F 2是椭圆 :x y C a b a b222210的左、右焦点，点P 在C 上，且PF F 1245，cos PF F 2145，则椭圆C 的离心率为_______.【答案】 53.（★★★）已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b22221的左、右焦点，点P 在C 上，PF x 1轴，且tan PF F 2112，则双曲线C 的离心率为_______.4.（★★★）在ABC 中，ABC 30，AB ，BC 1，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率为_______.5.（★★★）过椭圆 :x y C a b a b222210的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为_______.6.（★★★）已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b 22221的左、右焦点，过F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若ABF 2 是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______.7.（★★★）过双曲线:x y C a b22221的左焦点F 1作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，C 的右焦点为F 2，若cos AF B 218，则双曲线C 的离心率为_______.8.（★★★）过双曲线:x y C a b22221的左焦点F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.9.（★★★）设F 1、F 2是椭圆 :x y C a b a b222210的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，AF F F 212，则椭圆C 的离心率为_______.【答案】210.（★★★）设F 1、F 2是椭圆 :x y E a b a b222210的左、右焦点，以F F 12为直径的圆与椭圆的4个交点和F 1、F 2恰好构成一个正六边形，则椭圆E 的离心率为_______.111.（★★★★）已知P 、Q 为椭圆 :x y C a b a b 222210上关于原点对称的两点，点P 在第一象限，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，OP OF 2，若QF PF 11，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______.【答案】 1。

求椭圆离心率的方法椭圆的离心率是描述椭圆形状程度的一个数值，它是一个无量纲量，通常用字母e表示。

离心率的计算是通过椭圆的半长轴和半短轴来推导得到的。

首先，我们需要明确椭圆的定义。

椭圆是一个平面上的封闭曲线，它的形状类似于拉长的圆。

椭圆具有一对焦点（F1和F2），而且椭圆上的每一点到这两个焦点的距离之和是一个常数（2a）。

椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，并通过椭圆的中心点，而短轴则是与长轴垂直且通过椭圆的中心点的线段。

椭圆的离心率可以通过椭圆的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。

半长轴表示椭圆长轴的一半，即半长轴等于长轴长度的一半，记作a；半短轴表示椭圆短轴的一半，即半短轴等于短轴长度的一半，记作b。

离心率的计算公式如下：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，e表示椭圆的离心率，b表示椭圆的半短轴长度，a表示椭圆的半长轴长度。

举个例子来说明，假设一个椭圆的半长轴的长度是4，半短轴的长度是2，我们可以通过公式来计算其离心率。

首先，计算a的平方：a^2 = 4^2 = 16然后，计算b的平方：b^2 = 2^2 = 4接下来，将b的平方除以a的平方：b^2/a^2 = 4/16 = 1/4最后，计算1减去b的平方除以a的平方的结果：1 - (1/4) = 3/4最后，我们取这个结果的平方根：√(3/4) ≈0.866因此，这个椭圆的离心率约为0.866。

我们可以看到，椭圆的离心率范围是0到1之间的实数，并且离心率越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状越趋近于长条形。

另外，如果我们已知椭圆的焦距（c）和长轴的长度（2a），也可以通过这些参数来计算椭圆的离心率。

这个计算公式为：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦距的长度，a表示长轴的长度。

以上就是计算椭圆离心率的两种方法，通过半长轴和半短轴的长度或者通过焦距和长轴的长度都能得到椭圆的离心率。

求椭圆的离心率两种通法的高考举例应用(2014年高考江西卷理科第15题)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 _ 分析：考查了椭圆的方程以及椭圆与直线的位置关系.解法1：设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 方程为)1(211--=-x y ， 由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-1)1(2112222b y a x x y 消去x 得 0912)4(2222222=-+-+b a b y b y a b ， 由韦达定理得22221412a b b y y +=+，所以146222221=+=+a b b y y ， 所以222b a =，由222c b a =-得)(2222c a a -=，解得22=e ， 所以椭圆C 的离心率为22.解后反思：给出直线方程，然后利用韦达定理求解. 解法2：设),(11y x A ，),(22y x B ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(1)1(1222222221221b y a x b y a x ， （1）-（2）得 2222122221b y y a x x --=-，所以OM AB k a b y y x x a b x x y y k 222121221212.-=++-=--=, 所以2221a b -=-，所以222b a =，由222c b a =-得)(2222c a a -=，解得22=e ， 所以椭圆C 的离心率为22.解法3：221.21.a b k k OM AB -=-=，得222b a =，由222c b a =-得)(2222c a a -=，解得22=e ，所以椭圆C 的离心率为22.。

求椭圆离心率举例1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ，则椭圆的离心率为362． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（36） 3． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率.（215-） 4． 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，求椭圆的离心率.（13-） 5． 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，求椭圆的离心率.（13-）6． 如图所示，A 、B 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点，且AB ⊥BF 2，求椭圆的离心率. （215-） 7． 已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的 距离为2a ，求椭圆的离心率.（36）。

8． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021=∠PF F ，求椭圆离心率e的取值范围。

⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,219． 椭圆12222=+by a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2)2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2, 求椭圆离心率e 的取值范围。

（5355<<e ） 10．设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使∠AQB=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。

例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。

它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。

此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。

首先，椭圆的离心率求法。

根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。

其次，双曲线的离心率求法。

根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。

另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。

为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。

有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。

但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。

椭圆离心率求法大全
椭圆离心率又叫做偏心率，是衡量椭圆的对称性的重要特征值，表示椭圆的离心程度，离心率值越大椭圆形状越扁，可以表示为0≤E≤1，其中较接近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。

下面是求椭圆离心率的公式及求法：
（1）根据椭圆的标准方程：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
，其中a为长轴，b为短轴，可以求出椭圆的离心率E，公式为：
（2）也可以根据椭圆的几何定义求出离心率：
椭圆的离心率按照以下公式求出：
其中，e表示椭圆的外径c与内径b的绝对值的差值，e=|c-b|。

（3）根据椭圆的离心率及长短轴的比值，可以得出椭圆的长轴a和短轴b的关系：
a=b/E
（4）可以根据椭圆的中心坐标和其上任意点坐标进行求椭圆离心率计算：
（i）得到椭圆的中心坐标（h,k），任意点坐标为（x,y），并设椭圆的离心率为E。

（ii）根据点（h,k）和点（x,y）求椭圆的半长轴长：
a = $\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$
（iii）半短轴长可以求得：
（iv）根据半长轴长a及半短轴长b求离心率：
根据以上公式及求法，可以计算出椭圆的离心率。

注意，离心率在[0,1]之间，较接
近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。

离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1,双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = \. 一、直接求出“、J 求解《巳知圆锥曲线的标准方程或4、e 易求时，可利用率心率公式0 =上来解决。

a例1:已知双曲线^y-y 2 =1 (d>0)的一条淮线与抛物线y 2 =-6x 的准线重合, 则该双曲线的离心率为()A •迺B. 22 2Q 2 解：抛物线y 2 =-6x 的准线是X = -,即双曲线的右准线X =—2c2c 2 — 3c — 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3，e =—=——,故选 r> a 3变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0)、竹(3,0),则其商心率为()A. -B. -C. -D.丄43 24解：由片(1,0)、F 2(3,0)知 2c = 3 —1, • • c = 1 ,又T 椭圆过原点,■•a_c = l, a + c = 3 > • • a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = — = — •故选C ・a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. —B. —C. - D 22 2 2c 3解：由题设a = 2, 2C = 69则c = 3, ^ =-=-,因此选Ca 2变式练习3：点P (-3, 1)在椭圆亠+二=1 (a >b>0)的左准线上，过点P 且方向 a 2b 2为a =(2,-5)的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()Di 2解：由题意知，入射光线为y-l=--(x + 3),关于y = —2的反射光线(对称关系)为 2 尤“c J3c解得 a = \[3 9 c = 1,则 e = — = •故选A云+ 5 = 0"3二、构造"、。

的齐次式，解出fV 6 TB !35x-2y+ 5 = 0,贝ij<按照题设条件，借助〃、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而取得关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知片、化是双曲线二一匚=1 （。

圆锥曲线离心率的求解举例——椭圆的离心率椭圆离心率的定义：我们把椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记做aca c e e ==22,则，(0<e<1).下面举例说明其求法.如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e.证明（并记忆）：①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜1．以O 为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一个点M ，满足|1MF |＝2|MO →|＝2|2MF |，则该椭圆的离心率为( )A ．33B ．23C ．63D ．255[答案] C[解析] 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(2c ，0)，并设|1MF |＝2||＝2|2MF |＝2t ，根据勾股定理可知， |1|2－|1|2＝|2MF |2－|2NF |2， 解得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.故选C ．2．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当21PF F ∠＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A ．33 B ．22C ．32D ．21[答案] A[解析] 设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111e e ca a c =⇒=；双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝e ca a c =⇒，a ＝c e .设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，(x>y>0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xycos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看做是椭圆上的点时，有4c 2＝(x ＋y)2－3xy ＝421a －3xy ， 当点P 看做是双曲线上的点时，有 4c2＝(x －y)2＋xy ＝42a ＋xy ， 两式联立消去xy 得4c 2＝21a ＋32a ，即4c 2＝(1c e )2＋3(c e )2，所以(1e1)2＋3(1e )2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋2e 3＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即331=e ，亦即椭圆的离心率为33.选A ．3．如图，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆22a x ＋22by ＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ， 则该椭圆的离心率为________．[答案] 2－1[解析] 如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF|＝p ，所以|AF ′|＝2p.因为|AF ′|＋|AF|＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝ac＝2－1.4.椭圆（a >b >0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是________． [答案]21-5 [解析] 一条边所在直线的方程是ab ay bx =+，由条件可知，圆心到该直线的距离和半径等于c,也就是：c b a ab =+-+22|00|222111c b a =+⇒22244224)215(452625301303-=-=-=⇒=+-⇒=+-⇒e e e a c a c⇒215-=e5.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为________．12222=+by a x 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF[答案]36 [解析] 易得02190PF F =∠，又a PF PF 2||||21=+，c c PF 242615sin 2||01⨯-==，c c PF 242675sin 2||02⨯+==，所以，3626=⇒=e a c6.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为________. [答案]22 [解析] 易知222==⇒=⇒=a c e c a c b (注意：在椭圆中，，)7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于________． [答案]23 [解析] 由椭圆的性质及对应有2222243(42b a c a a b a =⇒-=⇒=）， 所以，离心率23=e8.已知矩形ABCD ，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．)0(,12222>>=+b a by a x P 21PF PF ⊥a c e =22222221ab a b a ac a c e -=-===[答案] 21[解析] 依题意可知22=⇒=c AB c ，又CA ＝5,所以，8352=+=+=CB CA a 从而，4=a ，所以这个椭圆的离心率为219.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知椭圆的离心率为________．[答案] 13—[解析] 根据三角形内角和定理可得030=α,从而有02190=∠PF F ， 在21PF F Rt ∆中，c PF c PF c F F 3,,21221===， 由椭圆的定义可知1313223-=+==⇒=+a c e a c c10．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是________．[答案] 53[解析] 依据题设条件有c a b +=2,又222c b a +=,从而有5303250325222=⇒=-+⇒=-+e e e c ac c （构造a ，c 的齐次式，解出e ）11．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2[答案] 12—[解析] 由椭圆的性质可知，△F 1PF 2为等腰直角三角形，则有22a x 22b y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 11201222||||2222221-=⇒=-+⇒-=⇒=⇒=e e e c a ac ab c PF F F12．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________． [答案]33 [解析] 由椭圆的性质可知，△2ABF 是正三角形（等边三角形），则有330323)(322232||23||222221=⇒=-+⇒-=⇒⨯=⇒=e e e c a ac a b c AB F F13．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F[答案]33 [解析] 依据平面几何中正六边形的性质有c AD F F 2||||21==所以，有c AE c c c c c AE 3||3120cos 2||20222=⇒=⋅⋅-+=依据椭圆的定义有a c c a AE ED 232||||=+⇒=+所以，13132-=+==a c e。

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。