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指数与对数运算教案

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指数与对数运算1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a aa p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m nm 且 (5)负分数指数幂 nm nmaa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅= 4.对数运算性质：如果0,1,0,0,a a N M >≠>>则1）()log log log a a a MN M N =+； 2）)(log log R n M n M a n a∈⋅=；3）log log log a a a M M N N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

4）对数换底公式：常用对数换底公式：lg log (0,1,0)lg a NN a a N a =>≠>一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1 C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）A、1B、bC、log b aD、a log b a4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或56、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或47、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=_________；=_________；=_________．10、（3+2）=_________；log89•log2732=_______；（lg5）2+lg2•lg50=_________．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）=_______，若f（x）=，且f（lga）=，则a=_______．12、方程（4x +4﹣x ）﹣2（2x +2﹣x ）+2=0的解集是 _________． 13、方程x lgx =10的所有实数根之积是 _________ ．14、不查表，求值：lg5﹣lg +lg2﹣3log 32﹣1= _________ ．15、不查表求值：+﹣102+lg2= _________ ．三、解答题（共7小题，满分0分）16、若13a a -+=，求1122a a -- 及 442248a a a a --+-+-的值；17、（1）已知log 310=a ，log 625=b ，试用a ，b 表示log 445．（2）已知log 627=a ，试用a 表示log 1816．18、化简：+﹣．19、若α、β是方程lg 2x ﹣lgx 2﹣2=0的两根，求log αβ+log βα的值．20、解下列方程（1）log x+2（4x+5）﹣log 4x+5（x 2+4x+4）﹣1=0； （2）32x+5=5•3x+2+2；21、解关于x 的方程．（1）log （x+a ）2x=2．（2）log 4（3﹣x ）+log 0.25（3+x ）=log 4（1﹣x ）+log 0.25（2x+1）； （3）+=6； （4） lg （ax ﹣1）﹣lg （x ﹣3）=1．22、若方程log 2（x+3）﹣log 4x 2=a 的根在（3，4）内，求a 的取值范围．23、已知a ＞0，a≠1，试求使方程有解的k 的取值范围．答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、的值是（）A、B、1C、D、2考点：对数的运算性质。

分析：根据，从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+考点：指数函数综合题。

专题：计算题。

分析：利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可．解答：解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M代入到B中，左边===，而右边==+==，左边等于右边，B正确；代入到A、C、D中不相等．故选B．点评：考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．3、若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）A、1B、bC、log b aD、a log b a考点：指数式与对数式的互化。

专题：计算题。

分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键．再利用对数式和指数式之间的关系进行求解．解答：解：由对数的换底公式可以得出p==log a（log b a），因此，a p等于log b a．故选C．点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力．4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）考点：对数的运算性质；换底公式的应用。

专题：计算题；函数思想。

分析：由题意把两个对数换成以为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=的单调性，求出x的范围．解答：解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．故选D．点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值．5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或5考点：有理数指数幂的运算性质。

专题：计算题；换元法。

分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．解答：解：令3x=t，（t＞0），原方程转化为：t2﹣10t+9=0，所以t=1或t=9，即3x=1或3x=9所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5故选D点评：本题考查解指数型方程，考查换元法，较简单．6、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或4考点：对数的运算性质。

分析：根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=故选C．点评：本题主要考查对数的运算性质．7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质。

专题：数形结合。

分析：方程log2（x+4）=2x的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象．解答：解：采用数形结合的办法，画图：y1=log2（x+4），y2=2x的图象，画出图象就知，该方程有有一正根和一个负根，故选C．点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质。

专题：计算题。

分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．解答：∵方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，∴lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，∴lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），∴lgαβ=﹣lg35，∴α•β的值是．故选D．点评：本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β=lg7•lg5，导致错选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=21﹣2n；=；=．考点：有理数指数幂的运算性质。

分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．解答：解：（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=22n+2﹣2n﹣1﹣2n=21﹣2n；故答案为：点评：本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题．10、（3+2）=﹣2；log89•log2732=；（lg5）2+lg2•lg50=1．考点：对数的运算性质。

专题：计算题。

分析：第一个式子：找出和的联系，利用对数的运算法则求解即可；第二个式子：利用换底公式化为同底的对数进行运算，注意到8和32可化为2的幂的形式，9和27 化为3 的幂的形式．第三个式子：2=，50=5×10，都转化为lg5的形式，可得出结果．解答：解：==，所以=﹣2；log89•log2732==（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；1点评：本题考查对数的运算、对数的换底公式等知，属基本运算的考查．在运算时，要充分利用对数的运算法则．11、若f（x）=4x，则f﹣1（4x）=x，若f（x）=，且f（lga）=，则a=10或．考点：反函数；函数的值；对数的运算性质。

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数学指数函数与对数函数的应用教案

数学指数函数与对数函数的应用教案

数学指数函数与对数函数的应用教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解指数函数和对数函数的定义和性质；2. 掌握指数函数和对数函数的运算法则；3. 理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

二、教学重点1. 指数函数和对数函数的定义和性质；2. 指数函数和对数函数的运算法则；3. 指数函数和对数函数在实际问题中的应用。

三、教学内容及安排1. 指数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入指数函数的概念；2. 引导学生思考指数函数的定义和性质。

2. 指数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍指数函数的定义和符号表示；2. 讲解指数函数的性质，如指数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解指数函数的特点。

3. 指数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍指数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行指数函数的简化和计算。

4. 对数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入对数函数的概念；2. 引导学生思考对数函数的定义和性质。

5. 对数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍对数函数的定义和符号表示；2. 讲解对数函数的性质，如对数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解对数函数的特点。

6. 对数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍对数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行对数函数的简化和计算。

7. 指数函数和对数函数的应用（20分钟）1. 介绍指数函数在复利计算、人口增长等领域的应用；2. 介绍对数函数在测量震级、pH值等领域的应用；3. 给出一些实际问题，让学生通过应用指数函数和对数函数进行求解。

8. 拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考其他领域中指数函数和对数函数的应用；2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识。

四、教学方法1. 示范法：通过举例和演算，引导学生理解和掌握指数函数和对数函数的定义、性质和运算法则。

数学指数函数与对数函数的运算教案

数学指数函数与对数函数的运算教案

数学指数函数与对数函数的运算教案本教案的目标是帮助学生理解并掌握数学指数函数和对数函数的运算规则。

通过本教案的学习，学生将能够正确地进行指数函数和对数函数之间的运算，提高数学运算的能力。

以下是本教案的教学内容：一、引言在数学中，指数函数和对数函数是重要的数学概念和工具。

指数函数描述了指数增长的数学规律，而对数函数则是指数函数的逆运算。

理解和掌握指数函数和对数函数的运算规则对于解决实际问题和进一步深入学习数学都非常重要。

二、指数函数与对数函数的定义1. 指数函数的定义：指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数。

指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数，x为自变量。

2. 对数函数的定义：对数函数是指数函数的逆运算。

对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为正实数，x为正实数。

三、指数函数与对数函数的基本性质1. 指数函数的性质：- a^0 = 1，任何实数的零次方都等于1。

- a^m * a^n = a^(m+n)，指数之间的乘法等于底数不变的加法。

- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。

- a^(-n) = 1/(a^n)，负指数等于倒数。

2. 对数函数的性质：- logₐ1 = 0，任何底数为正实数的对数1等于0。

- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。

- logₐ(a^n) = n*logₐa，对数的乘方等于指数乘以对数底数。

- logₐ(1/a) = -logₐa，底数的倒数的对数等于对数的相反数。

四、指数函数与对数函数的运算规则1. 指数函数的运算规则：- a^m * a^n = a^(m+n)，指数相加等于底数不变的乘法。

- (a^m)/(a^n) = a^(m-n)，指数相减等于底数不变的除法。

- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。

2. 对数函数的运算规则：- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案

教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。

性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。

当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。

1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。

性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。

第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。

性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。

指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。

2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。

性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。

第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。

性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。

指数与对数计算练习课教案

指数与对数计算练习课教案

指数与对数计算练习课教案介绍这份指数与对数计算练课教案旨在帮助学生巩固和加强他们在指数和对数方面的计算技巧。

通过一系列练和问题，学生将有机会应用和巩固他们在指数和对数计算方面的知识。

教学目标- 理解指数和对数的基本概念- 学会使用指数和对数进行计算- 解决涉及指数和对数的实际问题教学要点1. 指数的定义和性质2. 对数的定义和性质3. 指数和对数计算的基本规则4. 指数和对数的应用教学内容1. 指数的定义和性质- 什么是指数？- 指数的性质- 同底数指数相加，底数不变，指数相加- 同底数指数相减，底数不变，指数相减- 指数为0时，结果为1- 指数为1时，结果为底数本身2. 对数的定义和性质- 什么是对数？- 对数的性质- 对数的底数为正数，且不等于1- 对数的真数为正数3. 指数和对数计算的基本规则- 指数运算的基本规则- 同底数相乘，底数不变，指数相加- 同底数相除，底数不变，指数相减- 指数乘以另一个指数，底数不变，指数相乘- 指数除以另一个指数，底数不变，指数相除- 指数的指数，底数不变，指数相乘- 对数运算的基本规则- 对数运算可以与指数运算互逆- 对数的乘法法则- 对数的除法法则- 对数的幂次法则4. 指数和对数的应用- 应用案例分析和解决- 涉及指数和对数的实际问题解决方法的探讨与讨论教学方法- 讲授与讨论：介绍概念、规则和性质，解答学生问题- 练与演示：指导学生进行计算和解决问题的练- 案例分析：引导学生通过案例分析运用所学知识解决实际问题- 小组讨论：让学生合作讨论并分享他们的解决方法和思考过程教学评估- 练题：通过练题评估学生对指数和对数计算的掌握程度- 案例分析：评估学生解决实际问题的能力- 讨论和互动：观察学生在讨论和互动中对知识的理解和应用总结本节课旨在帮助学生巩固和加强他们在指数和对数计算方面的技巧。

通过理论介绍、练习题、案例分析和讨论，学生将能够更加熟练地应用指数和对数进行计算，并能够解决涉及指数和对数的实际问题。