2019年初高中数学衔接教材(完整版).doc

一、数与式的运算一）、必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+-【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=- ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+=+=*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2)(3)(4) -+解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式6==-(3) 原式=(4) 原式==-说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母()形式() ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(22)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。

初升高衔接课同学们，新的征程开始了，首先要祝贺同学们进入新的学校继续学习，为三年后的金榜题名打下坚实的基础．初中知识是高中学习的基础，本节课的内容能够很好的把初中与高中知识衔接起来，帮助你赢在高中起跑线上！一 数与式的运算●知识点1 二次根式 (1)定义：一般地，形如a (a ≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式．(2)二次根式a 2的意义：a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)分母(子)有理化：①定义：把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．②方法：(ⅰ)分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；(ⅱ)分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．(4)注意点：①x 2的意义为求算术平方根，是非负值，故x 2＝x 不正确，应为x 2＝|x |； ②对于双根号，如3－22，可以通过配方成(2－1)2，实现开方的目的，不能简单认为不能开方；③根式有理化是重要的解题思想，因此遇到无理式，尽量设法转化为有理式，特别是分子中含有无理式时，容易忽视分子有理化．试比较下列两个数的大小：12－11和11－10.【导学号：60462000】[解] ∵12－11＝12－111＝(12－11)(12＋11)12＋11＝112＋11，11－10＝11－101＝(11－10)(11＋10)11＋10＝111＋10，又∵12＋11>11＋10>0，∴12－11<11－10.[规律方法] 比较两个无理数的大小的一般方法是：通过平方，把无理数化为有理数来比较大小.但本题是巧妙地运用有理化知识，将分子有理化后，转化为比较分母的大小，计算量小，解法简洁.[对点练]已知：y ＝8－x ＋x －8＋12，求x y ＋yx ＋2－x y ＋yx －2的值．[解] 因为8－x ＋x －8有意义，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－x ≥0，x －8≥0，解得x ＝8.所以y ＝8－x ＋x －8＋12＝8－8＋8－8＋12＝0＋0＋12＝12.所以x y ＋yx ＋2－x y ＋yx －2＝(x ＋y )2xy －(x －y )2xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋1228×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1228×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17224－⎝ ⎛⎭⎪⎫15224＝174－154＝12.●知识点2 常用的乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (2)完全平方公式 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (1)立方和公式 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3； (2)立方差公式 (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(3)三数和平方公式 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )；(4)两数和立方公式 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (5)两数差立方公式 (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．计算：(x ＋1)(x －1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1).【导学号：60462001】[解] 法一：(应用平方差、立方差公式) 原式＝(x 2－1)[(x 2＋1)－x ][(x 2＋1)＋x ] ＝(x 2－1)[(x 2＋1)2－x 2] ＝(x 2－1)(x 4＋x 2＋1) ＝x 6－1.法二：(应用立方和立方差公式) 原式＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1) ＝(x 3＋1)(x 3－1) ＝x 6－1.[规律方法] 在代数式的化简、求值与证明中，要注意公式的灵活运用. [对点练](1)已知x ＋1x ＝5，求x 2＋1x 2的值； (2)已知x 2－3x ＋1＝0，求x 3＋1x 3的值.【导学号：60462002】[解] (1)由已知等式平方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x 2＋2＋1x 2＝25， 所以x 2＋1x 2＝23.(2)因为x 2－3x ＋1＝0，所以x －3＋1x ＝0即x ＋1x ＝3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝9，所以x 2＋1x 2＝9－2＝7所以，x 3＋1x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋1x 2＝3×(7－1)＝18. 即x 3＋1x 3＝18.●知识点3 因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab 的逆运算进行因式分解．(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法．(3)公式法：把乘法公式反过来用，用某些多项式因式分解的方法． (4)求根法：若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就可分解为a (x －x 1)(x －x 2)．(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式． 如2x 3－x －1，试根知x ＝1为2x 3－x －1＝0的根，通过拆项，2x 3－x －1＝2x 3－2x 2＋2x 2－2x ＋x －1提取公因式后分解因式．因式分解：(1)2x 2＋4xy ＋2y 2－8z 2； (2)x 2－(a ＋b )xy ＋aby 2.[解] (1)原式＝2(x 2＋2xy ＋y 2－4z 2) ＝2[(x ＋y )2－4z 2] ＝2(x ＋y －2z )(x ＋y ＋2z )(2)如图，将x 2分解成图中的两个x 的积，再将aby 2分解成－ay 与－by 的乘积．而图中的对角线上的两个式子的乘积的和为－(a ＋b )xy, p所以原式＝(x －ay )(x －by )[对点练]因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)xy－1＋x－y.[解](1)如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个式子乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x 用1来表示(如图②所示)．(2)由图③，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．(3)法一：(提取公因式法)xy－1＋x－y＝(xy＋x)－(1＋y)＝x(1＋y)－(1＋y)＝(x－1)(y＋1)法二：(十字相乘法)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y＋1)(如图④所示)．④二一元一次、一元二次方程及不等式●知识点1一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的等式叫一元一次方程．(2)解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.(3)关于方程ax＝b解的讨论：①当a ≠0时，方程有唯一解x ＝ba ； ②当a ＝0，b ≠0时，方程无解；③当a ＝0，b ＝0时，方程有无数解，此时任一实数都是方程的解．已知(a 2－1)x 2－(a ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程．(1)求代数式201(a ＋x )(x －2a )＋3a ＋5的值． (2)求关于y 的方程a |y |＝x 的解．[解] (1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－(a ＋1)≠0，解得：a ＝1，则方程变为－2x ＋8＝0，解得：x ＝4， 原式＝201(1＋4)(4－2)＋3＋5＝2018. (2)当a ＝1，x ＝4时，|y |＝4，所以y ＝±4.●知识点2 一元二次方程(1)定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．(2)判断依据：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有 ①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－b2a ；③当Δ<0时，方程没有实数根．判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，若方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x 2－ax －1＝0；(2)a(a＋1)x2＋x－a(a－1)＝0. 【导学号：60462003】[解](1)Δ＝a2＋4>0，所以方程有两个不相等的实数根，解得x1＝a－a2＋42，x2＝a＋a2＋42.(2)当a＝0时，方程的根为x＝0，当a＝－1时，方程的根为x＝2. 当a≠0且a≠－1时，Δ＝1＋4a2(a2－1)＝(2a2－1)2≥0，故当a＝±22时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根，即当a＝22时，x1＝x2＝1－2，当a＝－22时，x1＝x2＝1＋2；当a≠0且a≠－1且a≠±22时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1＝1－1a，x2＝－a a＋1.[对点练]解方程(1)x2－ax＋(a－1)＝0；(2)x2－2x＋a＝0.[解](1)因为Δ＝a2－4a＋4≥0，方程有实数根，方程变为(x－1)[x－(a－1)]＝0，解得x1＝1，x2＝a－1，当a＝2时，方程有两个相等的实数根x＝1，当a≠2时，方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1.(2)Δ＝4－4a ，当a >1时，Δ<0，方程无实数根；当a ＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根1； 当a <1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a .●知识点3 根与系数的关系 (1)根与系数的关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .(2)应用：若已知x 1，x 2是一元二次方程的两个根，则可设一元二次方程为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0；对应的一元二次函数设为f (x )＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2.若x1，x 2是方程x 2＋2x －2018＝0的两个根，试求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；(2)1x 1＋1x2；(3)(x 1－5)(x 2－5)；(4)|x 1－x 2|. [思路探究] 本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用根与系数的关系来解答．[解] 由题意，根据根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2018；(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－2)2－2(－2018)＝4040；(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2－2018＝11009；(3)(x 1－5)(x 2－5)＝x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋25＝－2018－5(－2)＋25＝－1983； (4)|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2)2－4(－2018)＝8076＝22019.[对点练](1)若关于x 的方程x 2－x ＋a －4＝0的一个根大于零、另一个根小于零，求实数a 的取值范围．(2)若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，求实数a的取值范围.【导学号：6046204】[解](1)设方程的两个根为x1，x2，由题意x1x2＝a－4<0，解得a<4.所以实数a的取值范围是a<4.(2)设方程的两个根为x1，x2，由题意(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1<0，即a＋1＋1<0，解得a<－2.所以实数a的取值范围是a<－2.●知识点4不等式(1)解一元一次不等式(组)的注意事项．①移项要变号．②不等式两边同除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同除一个负数，不等号方向改变.③解不等式组，可先对每个不等式求解，再求这些解的公共部分(也就是求同时满足这些不等式的解)，口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找”．(2)含字母的一元一次不等式可化为形如mx>n的不等式，需要分以下几种情况讨论(形如mx<n的不等式类比求解)．f(x)>0⇔f(x)g(x)>0g(x)f(x)<0⇔f(x)g(x)<0g(x)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎨⎧ f (x )g (x )≥0g (x )≠0 f (x )g (x )≤0⇔⎩⎨⎧f (x )g (x )≤0g (x )≠0 解下列不等式及不等式组(1)3－x <2x ＋6.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12>1，7x －8<9x .(3)2x －3x ＋1<0. [解] (1)原不等式变为－3x <3，解得不等式的解为x >－1. (2)不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x >－4，故不等式组的解集为x >1.(3)原不等式等价于(2x －3)(x ＋1)<0， 所以原不等式的解为－1<x <32. [对点练](1)x －22≥7－x 3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧5x －2>3(x ＋1)，12x －1≤7－32x .(3)1x ＋2≤3. [解] (1)原不等式变为3x －6≥14－2x ， 即5x ≥20，解得不等式的解为x ≥4. (2)不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧2x >5，2x ≤8，即⎩⎨⎧x >52，x ≤4，故不等式组的解集为52<x ≤4. (3)原不等式可化为：1x ＋2－3≤0，即3x ＋5x ＋2≥0，上不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋5)(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得x <－2或x ≥－53.故不等式的解为x <－2或x ≥－53.三 正、反比例函数与一次、二次函数●知识点1 正比例函数与一次函数 (1)定义． ①一次函数．若两个变量y ，x 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (b 为常数，k 为不等于0的常数)的形式，则称y 是x 的一次函数．②正比例函数．在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，若b ＝0，称y 是x 的正比例函数． (2)性质．①正比例函数的特征．正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点的一条直线． ②一次函数的图象、性质．位：km/h)之间的函数关系(30≤x ≤120)，已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h ，耗油量增加0.002 L/km.图1(1)当速度为50 km/h 、100 km/h 时，该汽车的耗油量分别为________ L/km 、________L/km.(2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式． (3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【导学号：60462005】[解析] (1)设AB 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 把(30,0.15)和(60,0.12)代入y ＝kx ＋b 中得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 30k ＋b ＝0.15，60k ＋b ＝0.12解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001，b ＝0.18， 所以AB ：y ＝－0.001x ＋0.18，当x ＝50时，y ＝－0.001×50＋0.18＝0.13， 由线段BC 上一点坐标(90,0.12)得： 0．12＋(100－90)×0.002＝0.14. [答案] 0.13 0.14(2)由(1)得：线段AB 的解析式为： y ＝－0.001x ＋0.18.(3)设BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，把(90,0.12)和(100,0.14)代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧ 90k ＋b ＝0.12，100k ＋b ＝0.14解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.002，b ＝－0.06， 所以BC ：y ＝0.002x －0.06，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－0.001x ＋0.18，y ＝0.002x －0.06，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝0.1.答：速度是80 km/h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km. ●知识点2 反比例函数(1)定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数．自变量x 的取值范围是x ≠0.(2)图象与性质：①当k >0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；②当k <0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大．如图2，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上有一点A (m,4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，CD ＝43.图2(1)点D 的横坐标为________(用含m 的式子表示)． (2)求反比例函数的解析式． [解] (1)由题意知，B (m,0)，又C 点是由B 向右平移2个单位得到的，则C (m ＋2,0)， 又CD ∥y 轴，所以点D 的横坐标为m ＋2. (2)因为CD ∥y 轴，CD ＝43， 所以点D 的坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2，43，因为A ，D 在反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上， 所以4m ＝43(m ＋2)，解得：m ＝1， 所以点A 的坐标为(1,4)，所以k ＝4m ＝4， 所以反比例函数的解析式为：y ＝4x . [对点练]如图3，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于点A (－4，－2)，B (m,4)，与y 轴相交于点C .【导学号：60462006】图3(1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求点C 的坐标及△AOB 的面积．[解] (1)因为点A (－4，－2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，所以k ＝－4×(－2)＝8.所以反比例函数的表达式为y ＝8x ；因为点B (m,4)在反比例函数y ＝8x 的图象上， 所以4m ＝8，解得：m ＝2，所以点B (2,4)． 将点A (－4，－2)，B (2,4)代入y ＝－ax ＋b 中， 得：⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝4a ＋b ，4＝－2a ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以一次函数的表达式为y ＝x ＋2.(2)令y ＝x ＋2中x ＝0，则y ＝2，所以点C 的坐标为(0,2)．所以S △AOB ＝12OC ×(x B －x A )＝12×2×[2－(－4)]＝6.●知识点3 一元二次函数(1)一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与性质．①一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点坐标为(h ，k )(a ≠0)；③两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．如图4，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B 两点，与y轴交于点C ，点B 的坐标为(3,0)．图4(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．[解] (1)把点B 的坐标(3,0)代入抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3得：0＝－32＋3m ＋3，解得：m ＝2，所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，所以顶点坐标为(1,4)．(2)连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时P A ＋PC 的值最小， 设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 因为点C (0,3)，点B (3,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝3k ＋b .3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，所以直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，所以当P A ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1,2)．[对点练]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2,2)两点． (1)试求抛物线的解析式．(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积．(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．[解] (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1，所以抛物线解析式为y ＝12x 2－x ＋2. (2)因为y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32. 所以顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 因为直线BC 为y ＝－x ＋4，所以对称轴与BC 的交点H (1,3)，所以S △BDC ＝S△BDH ＋S △DHC＝12·32·3＋12·32·1＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2，消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，当Δ＝0时，直线与抛物线相切，1－4(4－2b )＝0，所以b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3， 当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，因为直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，所以158<b≤3.。

第一讲数与式1、绝对值（ 1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,| a | 0, a 0,a, a 0.（ 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（ 3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（ 1）含有绝对值的不等式① f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是a f ( x) a 。

② f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a 或 f (x) a 。

③f (x)2 2g(x) f (x) g(x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2.求不等式2x 1 5 的解集例 3.求不等式x 3x 2 的解集例 4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．1例 5.解不等式|x －1|＋|2－x|＞3－x．例 6.已知关于x 的不等式|x－5|＋|x －3|＜a有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（ 1）x1x 3 ＞4+x（ 2） |x+1|<|x － 2|（ 3） |x－1|+|2x +1|<4（4）3x 27(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式 2 2(a b)( a b) ab （2）完全平方公式（3）立方和公式2 2 2(a b) a 2abb2 2 33(a b)(a ab b ) ab2 2 3（ 4）立方差公式 3(a b)(a ab b ) ab2 2 2 2（ 5）三数和平方公式(a b c) a b c2(ab bcac)3 3 2 2（ 6）两数和立方公式 3(a b) a 3a b 3abb2（ 7）两数差立方公式 3 3 2 23(a b) a 3a b 3abb因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：2（ 1）x－ 3x＋ 2；（ 3）2()x a b xyy．2．提取公因式法例 2.分解因式：2b 5 a 5 b3．公式法例 3.分解因式：（1）（ 2）26x 7 x22aby ；（ 4）xy 1 x（ 2）x39 3x 23x （1）aa416 （ 2）2 23x 2y xy4．分组分解法2 2 2例 4.（ 1） xxy 3y 3x（ 2） 2xxy y4x 5y65．关于 x 的二次三项式ax2+bx +c ( a ≠ 0) 的因式分解．若关于 x 的方程20(a0)xx2(0)axbx c的两个实数根是、，则二次三项式 axbx c a就可12分解为a(x x )(xx ) .1 2例 5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（ 1） 2 2 1 2 x x ；x（ 2）y ．4 4 2 xy3练习（ 1）2 5 6 2 1 x x x ax a21118 x x（ 2）（ 3）（ 4）2 2 2 24m 12m 9 （ 5） 5 7x 6x 12x xy 6y（ 6）2 q p 35a2 b 6ab22 2 42（ 7 ）6 2p q 11 2 3 （ 8 ） a （ 9 ）4x x （ 10）x42x 21（11）x2y 2a2b22ax 2by（）a 2 2(13)x212 4ab 4b 6a 12b 9－2x－ 1（） 1 4 214 34x 13xa ；（ 15）9 ；（ 16）22 2 2 2 2 23x 5xy 2yx 9yb c ab ac bc ；4（ 17）第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式2对于一元二次方程ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根x ＝1 ， 2， 2＝2 4bb ；ac2a（ 2）当＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝ x 2＝－b；2a（ 3）当＜0时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是x1， x2，那么x 1＋ x 2＝定理．2、二次函数 2y axbx c 的性质b， x1· x2＝c．这一关系也被称为韦达a a21. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b 4ac b2a2a，。

目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。

暑期衔接班新高一数学目录第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形 1、乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。

（3）立方和公式 ；（4）立方差公式 ；（5）三数和平方公式 ；（6）两数和立方公式 ；（7）两数差立方公式 。

2、二次根式：的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

3、指数运算法则及推广①规定：1）N *）个 2）；3）） ②性质：1）、）；2）、 ）；3） ）。

4、次根式：若存在实数，使得，则称为的次方根。

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。

5、分数指数幂：6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b ±=±+2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab b -=-+-0)a ≥∈⋅⋅⋅=n a a a a n( n )0(10≠=a a 11(pp p ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R (0,rsr sa a a a r +⋅=>∈s R r a aa sr sr ,0()(>=⋅∈s R ∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()(R n x a x n =n a x =a n nma =（4）十字相乘法； （5）求根公式法； （6）换元法、待定系数法典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知，计算的值。

《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。

既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢提几点建议：一、“信心”是源泉。

人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。

二、“恒心”是保障。

人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。

:三、“巧心”是支柱。

人无巧心，就缺乏灵气和创造力。

最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！}$临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。

主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。

怎样学好数学。

A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。

（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。

（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。

罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。

”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。

B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。

数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。

初高中数学衔接教材引 入 乘法公式第一讲 因式分解第二讲 函数与方程第三讲 三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．说明：（2）x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3） 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。

初升高数学衔接教案讲义第1章 代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。

在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。

知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。

一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。

变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。

三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。

初高中数学衔接教材初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a >2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()ab a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a=，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。