关于《圆》的知识结构整理
一．主要定理及其作用：
1．圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角②两条弧,③两条弦④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧---等角---等弦……）
用的最多的依据：
①在同圆或等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等
②等弧所对的圆心角相等：
③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等
④等弧所对的两条弦相等
2．垂径定理:
如果一条直线①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. （直角三角形---等弧……）
用的最多的依据：
①垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧
②平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
③一条弦的垂直平分线||经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦.
3．圆周角定理:
(1)直径所对的圆周角是直角；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径。
(3)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
(4)同弧所对的圆周角相等；
(5)等弧所对的圆周角相等；
(6)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
（等弧---等角---直角三角形）
4．切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。(垂直关系)
5．切线的判定定理：
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（等弦---等弧---等角）
7．相切和相交两圆的性质定理：
如果两圆相切，连心线必过切点。如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦
二．主要辅助线及其作用：
1．作弦心距：弦的中点．弧的中点。
2．过某一点作弦：构造相等的圆周角。
3．作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。
4．连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。 5．两圆相切和两圆相交时，作连心线和公共弦。
三．基本图形和基本结论：
1．等边三角形的内切圆半径．外接圆的半径和高的比为 。
2．△ABC 中，点O ．I 分别为外心和内心，那么∠A 与∠BOC ． ∠BIC 之间的关系。
3．如果三角形的内切圆的半径为r ，周长为c ，试用r ．c 的代数式表示这个三角形的面积. 4．圆的外切四边形的两组对边的和相等．
5．直角三角形的两直角边和斜边分别是a ，b ，c 则其内切圆的半径为______ 6.圆的内接四边形的对角互补.
7．圆的外切四边形的两组对边的和相等．
8．圆的内接平行四边形一定是矩形;圆的外切平行四边形一定是菱形． 9．圆的内接梯形一定是等腰梯形．
10．弧长的计算公式和扇形面积的计算公式. 11．圆柱和圆锥的侧面展开计算.
四．与圆有关的两解问题集中训练题：
1、圆中同弦（或等弦）所对圆周角是两个.
2、已知弦长、半径，求弓高.
3、同圆内，两平行弦间的距离.
4、已知圆外一点为圆心，作与已知圆相切的圆.
5、已知圆内一点为圆心，作与已知圆内切的圆.
6、两圆相交，求圆心距．
上述内容的练习题：
1．如果圆O 的弦AB 将圆分成 1:3两部分，则该弦所对的圆心角是 度。
2．已知一弓形半径为5，弓形的弦长6，则弓形高为 。 3． 在半径为5cm 的⊙O 中，两条平行弦长分别为6cm 、8cm ，两条平行弦之间距离是 。 4．⊙O 的半径为6，点Ｍ是⊙O 内一点，OM ＝４，若以点Ｍ为圆心的⊙M 与⊙O 内切，则⊙M 的半径为 ．
5．⊙O 的半径为6，点Ｍ是⊙O 外一点，ＯM ＝10，若以点Ｍ为圆心的⊙M 与⊙O 相切，则⊙M 的半径是 .
6．若两圆半径分别为R 、r （ R ＞r ），圆心距为d ，且R ²+d ²=r ²+2Rd ，则两圆的位置关系是 .
7.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们的圆心距是 . 8.若两个同心圆半径分别为6、2，那么与它们都相切的圆的半径是 .
9.已知相交两圆的半径分别是5和4，公共弦长为6，则它们重合部分的面积是 . 五．作图题：
1．如图,M 为⊙O 内的一点,利用尺规作一条过点M 的最短弦AB. 2．平分已知弧.
3．找出残破车轮的圆心
4.作出△ABC 的内切圆。
5. 作出△ABC 的外接圆。
A
B O
M
C B A
N
M O
P
N
M
O
P
六、解答题：
1．AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D.
求证:AC平分∠DAB.
2．已知：AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点C 作⊙O 的切线，切点分别为B ，D . 求证： OC//AD
4．已知:OA 是⊙O 的半径, OC ⊥OA,且交弦AB 于D,BC=DC.
求证:BC 是⊙O 的切线.
5．△ ABC 中, AB=AC,以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D, 过D 作DE ⊥AC 于E 。
求证：DE是⊙O的切线
6．已知：A．B．C三点在圆O上，AD是△ABC的高，AE是圆O的直径．求证：AB·AC=AE·AD
